精品解析：安徽省池州市青阳县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末考试 九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的基本性质变形得到，整理后即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：D 【点睛】此题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是( ) A. B. C. k > 2 D. k < 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质，由1−2k＜0即可解得答案． 【详解】∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴1−2k＜0， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则sinA＝（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目的已知设AC＝4a，AB＝5a，然后利用勾股定理求出BC的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】在△ABC中，∠C＝90°，， ∴设AC＝4a，AB＝5a， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理与锐角三角函数．掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 4. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中抛物线的平移，其规律为“左加右减，上加下减”，据此即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数为，即． 故选：A 5. 如图，C是线段的黄金分割点，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．根据黄金分割的定义得出，即可得到答案． 【详解】解：C是线段的黄金分割点，， ， 故选D． 6. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质以及二次函数的图像，根据象限得到系数的取值范围是解题的关键．根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 故二次函数开口向上，且交轴的负半轴， 故选D． 7. 已知中，是高，，，，则为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论，①AD在三角形内部，②AD在三角形外部，分别画出图形求解即可． 【详解】①当AD在三角形内部时： ∵tan∠B==1，tan∠C==， ∴∠B=45°，∠C=30°， ∴∠BAC=180°-45°-30°=105°， ②当AD在△ABC外部时： ∵tan∠C==，tan∠ABD==1， ∴∠C=30°，∠ABD=45°， ∴∠BAC=45°-30°=15°， 故选C. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，分类讨论并熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键. 8. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，和相交于点F，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定及性质．根据题意利用相似三角形判定及性质逐一对选项进行判断即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A正确， ∵， ∴，B错误， ∵， ∴，C错误， ∵， ∴，D错误， 故选：A． 9. 已知关于x的二次函数的图象上有两点，且，则 与 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出二次函数的对称轴为直线，然后判断出A、B距离对称轴的大小，即可判断 与 的大小； 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断出点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离是解题的关键． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC上任一点，F为AB中点，连接BD，E在BD上，且满足CD2＝DE•BD，连接EF，则EF的最小值为（　　） A. ﹣1 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明通过△CDE∽△BDC说明∠BEC＝90°，取BC中点Q，则EQ＝BC＝1，FQ＝AC＝，再由E、F、Q三点共线时，EF可以取到﹣1，即可得到答案， 【详解】解：在△CED和△BDC中， ∵CD2＝DE•BD， ∴， ∵∠EDC＝∠CDB， ∴△CDE∽△BDC， ∴∠DEC＝∠DCB＝90°， ∴∠BEC＝180°﹣∠DEC＝90°， 如图，取BC中点Q，则EQ＝BC＝1， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2， ∴AB＝2BC＝4， ∴AC＝， ∵F为AB中点，Q为BC中点， ∴FQ＝AC＝， ∵EF≥FQ－EQ，当且仅当E、F、Q三点共线时，EF可以取到﹣1， ∴EF最小值为﹣1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明∠BEC＝90°，取BC中点Q，构造直角三角形的斜边中线等于斜边一半． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 反比例函数的图像过点，则的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】将此点坐标代入函数解析式（k≠0）即可求得k的值． 【详解】解：根据题意，将（2，1）代入（k≠0），得：k=2×1=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的系数，图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上． 12. 二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴的一个交点的坐标是（－1，0），则图像与x轴的另一个交点的坐标是_____． 【答案】（3，0） 【解析】 【详解】把（－1，0）代入y＝x2－2x＋m得 0＝1+2＋m， ∴m=-3， ∴y＝x2－2x-3. 解x2－2x-3=0得 x1=-1,x2=3 ∴y1＝1+2-3=0, y2＝9-6-3=0 ∴另一个交点的坐标是（3，0） 13. 如图，已知，是的中线，是的中点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，将沿轴向上平移3个单位至，连接，若反比例函数的图象恰好过点与的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交x轴于点E，根据平移的性质可证明四边形是菱形，从而得到轴，设点A的坐标为，则点，，可得点D的坐标为，再由反比例函数图象的性质可得，可求出点A的坐标为，即可． 【详解】解：如图，延长交x轴于点E， ∵将沿轴向上平移3个单位至， ∴， ∴四边形是平行四边形，点C的坐标为， ∵， ∴四边形是菱形， ∴轴，， 即轴， 设点A的坐标为，则点，， ∵点D为的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象恰好过点与的中点， ∴， 解得：， ∴（负值舍去）， ∴点A的坐标为， 把点代入得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，根据题意准确得到四边形是菱形是解题的关键． 15. 四边形ABCD是一张矩形纸片，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠，使点A落在矩形的对角线BD上，连接CF，若DE＝1，请探究下列问题： （1）如图1，当F恰好为BD的中点时，AE＝ ； （2）如图2，当点C、E、F在同一条直线上时，AE＝ ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当点恰好为中点时，由折叠的性质得，即可求证，即可求出长； （2）当点、、在同一直线上时，易知，，，可求证，再根据的相似比求解即可． 【小问1详解】 解：当点恰好为中点时，由折叠的性质得， ， ， 由折叠的性质得， ， 又， ， ，， ， ． 故答案为：； 【小问2详解】 当点、、在同一直线上时， 根据翻折的性质可知： ，，， ， ， 设，可得， ，， ， ， ， 解得：或（舍去负值）， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质和矩形的性质，熟练掌握折叠的性质并结合全等三角形的判定与性质、相似三角形相似比是解决问题的关键． 三、解答题（第16-18题各7分，第19题20题各8分，第21题10分，第22题13分；共60分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】将各个特殊角的三角函数值代入求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】题目主要考查特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题： （1）画出关于轴的轴对称图形； （2）以点为位似中心，在第一象限中画出，使得与位似，且相似比为． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，位似图形的性质及作图，掌握作图方法是关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据位似图形的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 即为所求图形； 【小问2详解】 解：根据相似比为，得到， 在平面直角坐标系中描点，连线即可作图， ∴即为所求作图形． 18. 如图，一次函数的图象交y轴于点，与反比例函数的图象交于A，B两点，且A点坐标为． （1）确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求得一次函数的解析式，由题意可知，代入求得的值，即可求得反比例函数的解析式； （2）先求得的坐标，根据图象找出在的下方的图象对应的的范围． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵，在上， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 联立， 解得：，， ∴， 根据图象可知的解集为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，数形结合是解题的关键． 19. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据，可得，即有，结合，可得； （2）根据，可得，即，问题随之得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵在（1）中已证明， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 20. 小聪在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房顶端A的仰角为37°，然后又下楼至楼底的D处，测得对面楼房顶端A的仰角为60°，已知CD的距离为40米，请你用小聪测得的数据求出对面楼房AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73） 【答案】70.6米 【解析】 【分析】根据正切的定义得出AB＝BD•tan∠ABD＝BD＝1.73BD，＝0.75，即可得出BD≈40.8米，从而得出AB＝1.73BD＝70.6米． 【详解】解：作CE⊥AB于E，则四边形BDCE是矩形 ∴CE＝BD，BE＝CD， 在Rt△ABD中，，tan∠ABD＝， ∴AB＝BD•tan∠ABD＝BD•tan60°＝BD＝1.73BD， 在Rt△ACE中，，tan∠ACE＝＝， ∴＝0.75， ∴BD≈40.8（米）， ∴AB＝1.73BD≈70.6（米）． 答：楼房AB的高度约为70.6米； 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 21. 如图，E是矩形边的中点，F是边上一点，线段和相交于点P，连接，过点A作交于点Q． （1）求证：； （2）已知，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质，矩形的性质，证明即可． （2）根据，结合，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到，得到，继而得到，得到，列出比例式计算即可． 【小问1详解】 证明： ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵E是的中点， ∴， ∴, ∴． 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即, ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 22. 某大学生利用暑假40天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第天销售的相关信息如下表所示： 销售量（件） 销售单价（元/件） 当时， 当时， （1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件； （2）这40天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该加盟店元奖励，通过该加盟店的销售记录发现，前10天中，每天获得奖励后的利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）10或35；（2）第21天时获得最大利润，最大利润为725；（3）． 【解析】 【分析】（1）分情况计算，当时和当时的函数值为35，然后求得对应的x的值即可； （2）分为当时和当时两种情况，列出与天数的函数关系式，然后利用二次函数和反比例函数的性质求解即可； （3）先求得抛物线的对称轴方程，然后依据前10天的利润随x的增大而增大列出关于m的不等式求解即可． 【详解】解：（1）当时，，解得 当时，，解得， 答：第10天或35天时，该商品销售单价为35元/件， 故答案为：10；35； （2）当时，， 当时，有最大值为612.5 当时，， 当时，有最大值为725， ∵， ∴第21天时获得最大利润，最大利润为725元， 答：第21天时获得最大利润，最大利润为725元， 故答案为：725； （3）， ∵前10天每天获得奖励后的利润随时间（天）的增大而增大， ∴对称轴为，解得： ∴， 答：m的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用—销售问题，掌握二次函数的实际应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末考试 九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是( ) A. B. C. k > 2 D. k < 2 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则sinA＝（　　） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，C是线段的黄金分割点，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，是高，，，，则为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，和相交于点F，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的二次函数的图象上有两点，且，则 与 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC上任一点，F为AB中点，连接BD，E在BD上，且满足CD2＝DE•BD，连接EF，则EF的最小值为（　　） A. ﹣1 B. 1 C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 反比例函数的图像过点，则的值为_________． 12. 二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴的一个交点的坐标是（－1，0），则图像与x轴的另一个交点的坐标是_____． 13. 如图，已知，是的中线，是的中点，则___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，将沿轴向上平移3个单位至，连接，若反比例函数的图象恰好过点与的中点，则______． 15. 四边形ABCD是一张矩形纸片，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠，使点A落在矩形的对角线BD上，连接CF，若DE＝1，请探究下列问题： （1）如图1，当F恰好为BD的中点时，AE＝ ； （2）如图2，当点C、E、F在同一条直线上时，AE＝ ． 三、解答题（第16-18题各7分，第19题20题各8分，第21题10分，第22题13分；共60分） 16. 计算：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题： （1）画出关于轴的轴对称图形； （2）以点为位似中心，在第一象限中画出，使得与位似，且相似比为． 18. 如图，一次函数的图象交y轴于点，与反比例函数的图象交于A，B两点，且A点坐标为． （1）确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集． 19. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 20. 小聪在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房顶端A的仰角为37°，然后又下楼至楼底的D处，测得对面楼房顶端A的仰角为60°，已知CD的距离为40米，请你用小聪测得的数据求出对面楼房AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73） 21. 如图，E是矩形边的中点，F是边上一点，线段和相交于点P，连接，过点A作交于点Q． （1）求证：； （2）已知，，，求的长． 22. 某大学生利用暑假40天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第天销售的相关信息如下表所示： 销售量（件） 销售单价（元/件） 当时， 当时， （1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件； （2）这40天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该加盟店元奖励，通过该加盟店的销售记录发现，前10天中，每天获得奖励后的利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $