精品解析：湖南省娄底市冷水江市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024年下学期八年级期末考试试题卷 数学 （全卷满分：120分 考试时量：120分钟） 注意事项： 1.答题前，请先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号． 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 3.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 4.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸 一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题设要求的．） 1. 若，则下列化简一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若式子有意义，则的取值范围为（　　　） A. B. C. 且 D. 5. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ） … 0 1 2 … … 0 * * 无意义 * … A B. C. D. 7. 观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（ ） A. 在之间 B. 在之间 C. 之间 D. 在之间 8. 如图，，，动点P从点A出发，以的速度沿射线运动，设运动的时间为．若，则t的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、…，且…，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（ ） A. 15根 B. 16根 C. 17根 D. 无数根 二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分） 11. 世界上有一种开花植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为___________． 12. 若m是无理数，且1＜m＜2，请写出一个符合条件的m：________． 13. 不等式最小整数解为_________． 14. 若，则_________． 15. 若=2，则=_____ 16. 如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为 _______． 17. 如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为_______时，能够在某一时刻与全等． 18. 如图，的两边的垂直平分线分别交于D、E，若，则的度数为_________． 三、解答题（本大题共有8小题，其中第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共计66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 计算 （1）； （2） 20 先化简，再求值：，其中 21. 解一元一次不等式组并把解表示在如图所示的数轴上． 22. 如图，已知，，，与交于点O． （1）求证：． （2）求的度数． 23. 如图，在中，点分别在边上，，平分． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 24. 某村2024年计划维修村路3000米，通过招标安排了甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天的工作效率是乙队每天工作效率的1.5倍，甲队单独完成维修任务要比乙队单独完成维修任务少用10天． （1）求甲、乙两个工程队每天能完成维修任务各多少米； （2）若甲队维修一天需支付费用0.5万元，乙队维修一天需支付费用0.4万元，那么要使这次的维修总费用不超过11万元，计划至少应安排甲队维修多少天？ 25. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （2）应用：求分式的最大值； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 26. 如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE． （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，AD与BE交于点P，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下学期八年级期末考试试题卷 数学 （全卷满分：120分 考试时量：120分钟） 注意事项： 1.答题前，请先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号． 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 3.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 4.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸 一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题设要求的．） 1. 若，则下列化简一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的约分化简，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项化简错误，不符合题意； B、，选项化简错误，不符合题意； C、，选项化简错误，不符合题意； D、，选项化简正确，符合题意； 故选D． 2. 在数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义．算术平方根和立方根，先求出算术平方根和立方根再根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：，， 所以无理数是． 故选：B 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】A、，说法错误，该选项不符合题意； B、，说法错误，该选项不符合题意； C、，说法错误，该选项不符合题意； D、说法正确，该选项符合题意． 故选：D 4. 若式子有意义，则的取值范围为（　　　） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件和分式分母有意义的条件即可解得． 【详解】∵式子有意义 ∴， 解得且 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是列出不等式求解． 5. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握三种判定定理的内容是解题的关键；由已知有，且它们的夹角是对顶角也相等，则由可判定这两个三角形全等． 【详解】解：在与中， ， ∴； 故选：B． 6. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ） … 0 1 2 … … 0 * * 无意义 * … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时分式无意义， ∴不合题意； ∵当时，分式的值为， ∴不符合题意，符合题意， 故选：． 7. 观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中数据可知（ ） A. 在之间 B. 在之间 C. 在之间 D. 在之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数大小，根据表中的数据可得1269的平方根在35到36之间，进而可得12.69的平方根在3.5到3.6之间． 【详解】解：根据表中数据可得1269平方根在35到36之间， ∵， ∴在之间， 故选：B． 8. 如图，，，动点P从点A出发，以的速度沿射线运动，设运动的时间为．若，则t的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题出来一元一次不等式的应用，等边三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质求出的长，再列不等式求解． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴当点P在射线上时， ， 此时， 解得：， 故选：D． 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断． 【详解】解：A、，所以A选项不符合题意； B、，所以B选项不符合题意； C、，所以C选项符合题意； D、，所以D选项不符合题意． 故选：C． 10. 如图，是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、…，且…，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（ ） A. 15根 B. 16根 C. 17根 D. 无数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确理解题意是解题关键．根据题意发现一般规律，添加根钢管，有个等腰三角形，且第个等腰三角形的底角为，再由等腰三角形的底角小于，得出，即可得到答案． 【详解】解：添加一根钢管时，，即， 添加两根钢管时，； ，即， 添加三根钢管时，； ，即， ； …… 观察发现，添加根钢管，有个等腰三角形，且第个等腰三角形的底角为， 等腰三角形的底角小于， ， ， 即最多能添加这样的钢管的根数为根， 故选：． 二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分） 11. 世界上有一种开花植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法：把一个小于1的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向右移动的位数．根据科学记数法的定义，计算求值即可； 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 若m是无理数，且1＜m＜2，请写出一个符合条件的m：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 13. 不等式的最小整数解为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，先算出不等式的解集是，结合最小整数解这个条件，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 则不等式的最小整数解为， 故答案为：2 14. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，再求出的值即可． 【详解】解：∵式子与在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 若=2，则=_____ 【答案】 【解析】 【分析】由=2，得x+y=2xy，整体代入所求的式子化简即可． 【详解】=2，得x+y=2xy 则==， 故答案为：. 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想． 16. 如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为 _______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根的概念，根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可，熟练掌握其性质并能灵活运用已知条件求得每个方块的体积是解决此题的关键． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴其边长为， 故答案为：5． 17. 如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为_______时，能够在某一时刻与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．判定全等三角形的方法有：、、、，直角三角形的全等判定还有．因为是等腰三角形，所以有，与全等分两种情况一种是、时，另一种是、，本题要分两种情况分别求解． 【详解】解：中，点为的中点， ，， 与中， 当时， 有，， ， ， 解得：， ， 点的运动速度为， 点运动的时间为， 点运动的时间也是， 点的运动速度是； 当时， 有，， ， 点运动的时间是， 点运动的时间也是， 点运动的速度是． 综上所述点运动的速度是或， 故答案为：或． 18. 如图，的两边的垂直平分线分别交于D、E，若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线性质，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC．则有∠B+∠C+2∠DAE=150°，即 180°-∠BAC+2∠DAE=150°，再与∠BAC+∠DAE=150°联立解方程组即可． 【详解】解：∵△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E， ∴DA=DB，EA=EC， ∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC． ∵∠BAC+∠DAE=150°，① ∴∠B+∠C+2∠DAE=150°． ∵∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴180°-∠BAC+2∠DAE=150°， 即∠BAC-2∠DAE=30°．② 由①②组成的方程组， 解得∠BAC=110°． 故答案为：110°． 【点睛】此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是得到∠BAC和∠DAE的数量关系． 三、解答题（本大题共有8小题，其中第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共计66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握各自的运算法则和运算顺序． （1）先化简二次根式，计算零指数幂，负指数幂，化简绝对值，再算加减法； （2）先化简二次根式，计算除法，再合并计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先化简分式，再代入即可得解。 【详解】解：原式， ， ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算及求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键。 21. 解一元一次不等式组并把解表示在如图所示的数轴上． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】分别求出各个不等式的解集，再求其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由得，， 由得，， 故不等式的解集为：， 在数轴上表示为： 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练运用以上知识式解题的关键． 22. 如图，已知，，，与交于点O． （1）求证：． （2）求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2）的度数为 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定． （1）根据证明两个三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论； 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 23. 如图，在中，点分别在边上，，平分． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义得出，利用平行线的性质得出，等量代换可得出，根据等角对等边即可得出． （2）由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，由（1）得出，由等边对等角得出，由三角形外角的定义可性质得出 ，最后利用平行线的性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：，， ， 平分， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，平行线的性质，角平分线的定义以及相关计算，三角形外角的定义和性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 24. 某村2024年计划维修村路3000米，通过招标安排了甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天的工作效率是乙队每天工作效率的1.5倍，甲队单独完成维修任务要比乙队单独完成维修任务少用10天． （1）求甲、乙两个工程队每天能完成维修任务各是多少米； （2）若甲队维修一天需支付费用0.5万元，乙队维修一天需支付费用0.4万元，那么要使这次的维修总费用不超过11万元，计划至少应安排甲队维修多少天？ 【答案】（1）甲、乙两个工程队每天完成维修任务分别为150米、100米 （2）至少安排甲队维修10天 【解析】 【分析】本题考查分式方程和不等式解决实际问题． （1）设乙队每天完成维修任务x米，则甲队每天完成维修任务米，甲队单独完成维修任务需要天，乙队单独完成维修任务需要天，根据“甲队单独完成维修任务要比乙队单独完成维修任务少用10天”即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）设安排甲队维修n天，则安排乙队维修天，根据“维修总费用不超过11万元”即可列出不等式，求解即可解答． 【小问1详解】 设乙队每天完成维修任务x米，则甲队每天完成维修任务米．根据题意，得 ， 解得： 经检验，是该分式方程的解． ∴． 答：甲、乙两个工程队每天完成维修任务分别为150米、100米． 【小问2详解】 设安排甲队维修n天．根据题意，得 解得：， 答：至少应安排甲队维修10天． 25. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （2）应用：求分式的最大值； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】（1） （2）最大值是5 （3）2＋，当时，分式运算的结果是整数 【解析】 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， 【小问3详解】 解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 26. 如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE． （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，AD与BE交于点P，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AD与BE的位置关系不发生变化． 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE； （2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，得到∠BPD=∠DCA=90°，利用等腰三角形三线合一，即可得到AD平分∠BAE； （3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP=∠AFC，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE． 【详解】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°， ∴∠CBA=∠CAB， ∴BC=CA， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD=BE； （2）∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC=∠DAC， ∵∠BDP=∠ADC， ∴∠BPD=∠DCA=90°，即AP⊥BE， ∵AB=AE， ∴AD平分∠BAE； （3）AD⊥BE．AD与BE的位置关系不发生变化． 如图2， ∵∠BCA=∠DCE=90°， ∴∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD， ∴∠BCE=∠ACD， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴∠EBC=∠DAC， ∵∠BFP=∠AFC， ∴∠BPF=∠ACF=90°， ∴AD⊥BE．即AD⊥BE． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BCE≌△ACD． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$