10.3　乘法公式 导学案 2024—2025学年青岛版数学七年级下册　

第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.通过探索多项式乘法,推导出完全平方公式,并能够进行计算. 抽象能力、模型观念 2.综合运用乘法公式进行计算. 应用意识、运算能力 基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势 新知要点 完全平方公式: (1)文字语言:两个数的和(差)的平方,等于这两个数的平方和加上(减去)它们乘积的2倍. (2)符号语言:(a±b)2=a2±2ab+b2. 对点小练 下列运算正确的是( ) A.(x-2y)2=x2-4y2 B.(x-y)2=x2-xy+y2 C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2 D.(x-y)(-x-y)=y2-x2 重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒 重点1完全平方公式(抽象能力、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P109例3拓展) 运用完全平方公式计算: (1) (x2-y)2.　(2)(-xy+5)2. (3)(-x-y)2. 【举一反三】 1.(2024·青岛黄岛模拟)下列运算正确的是( ) A.3x2+2x2=5x4 B.(-x2)3=-x5 C.x8÷(-x)2=x6 D.(x-y)2=x2-y2 2.若(x+5)2=65,则(2x-6)(x+13)= .  3.(2024·潍坊青州质检)已知多项式A=(m-3)2-(2-m)(2+m)+2. (1)化简多项式A; (2)若x2-2mx+4是一个完全平方式,求A的值. 【技法点拨】 完全平方公式的应用 1.直接应用:符合完全平方公式的特点,直接用完全平方公式展开即可; 2.变符号应用:当式子中a或b带有负号时,可以通过改变符号的方式应用完全平方公式; 3.变结构应用:有时需要对表达式进行适当的变形,以符合完全平方公式的结构. 重点2乘法公式的灵活运用(模型观念、应用意识) 【典例2】先化简,再求值:(a-2b)2+(a-4b)(a+4b),其中a=-1,b=2. 【举一反三】 1.(2024·青岛平度模拟)对于任意整数n,能整除(n+3)(n-3)-(n+4)(n-4)的整数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 2.计算:(a+b-3)(a-b+3). 3.先化简,再求值:(x+2y)2-(x+y)(x-y)-5y2,其中x=2,y=. 【技法点拨】 乘法公式应用中的易错点 1.完全平方公式与平方差公式易混淆; 2.用完全平方公式运算,容易出现漏项的问题; 3.完全平方公式展开时,易漏系数的平方; 4.完全平方公式展开时,易漏中间项的系数“2”. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·运算能力、模型观念)下列计算正确的是( ) A.(x-7)(x+9)=x2-63 B.(m+2n)2=m2+4n2 C. (x-y)2=x2-xy+y2 D.(1-m)(m-1)=1-m2 2.(3分·推理能力、运算能力)已知2x2+x-2=0,则代数式(x+1)2+(x+1)(x-1)+2x2的值为( ) A.4 B.2 C.1 D.0 3.(4分·推理能力)若x2+mx+n=(x-3)2,则m+n的值为 .  4.(4分·运算能力)计算:1032= .  5.(6分·抽象能力、运算能力)先化简,再求值:2a(a-2b)-(2a-b)2,其中a=-2,b=3. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3　乘法公式 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.通过探索多项式乘法,推导出平方差公式,并能够进行计算. 抽象能力、模型观念 2.能够阐述平方差公式,并能够用平方差公式解实际应用题. 应用意识、运算能力 基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 新知要点 平方差公式: 　(1)文字语言:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的 .  (2)符号语言:(a+b)·(a-b)= .  对点小练 下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( ) A.(4x-3y)(3y-4x)　　　　B.(-4x+3y)(-4x-3y) C. (-x+2y) (x+2y) D.(3y+2x)(2x-3y) 重点典例研析　　启思凝智 教学相长 重点1平方差公式(模型观念、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P106例1拓展)计算: (1)(3m-n)(-n-3m); (2)(3x-y)(9x2+y2)(3x+y). 【举一反三】 1.(2024·青岛平度模拟)下列计算结果正确的是( )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.3a+2a=5a2 B.(4a+b)(b-4a)=16a2-b2 C.3a·2a=6a2 D.(a2)4÷(-2a)2=a4 2.若a2-b2=-8,a+b=-4,则a-b的值为 .  重点2平方差公式的应用(几何直观、应用意识) 【典例2】如图①,边长为a的大正方形四个角各有一个边长为b的小正方形(a>2b). (1)请你计算图①中阴影部分的面积; (2)小明将阴影部分拼成了一个长方形,如图②,这个长方形的长与宽分别是多少?面积又是多少? (3)由图②到图①可以得到什么公式?运用你所得到的公式,计算(2m+n-p)(2m-n+p). 【举一反三】 1. (2024·聊城冠县模拟)如图,点D,C,H,G分别在长方形ABJI的边上,点E,F在CD上,若正方形ABCD的面积等于15,图中阴影部分的面积总和为6,则正方形EFGH的面积等于( ) A.9 B.8 C.3 D.5 2.若三角形的一边长为2a+3,该边上的高为2a-3,则此三角形的面积是 .  3.(2024·泰安新泰模拟)(1)数学课堂上老师留了一道数学题,如图①,用式子表示空白部分的面积.甲,乙两名同学表示的式子是:甲:10×6-10x-6x;乙:(10-x)(6-x).列式正确的同学是 .  (2)如图②,有一块长为(8a+3b)米,宽为(7a-3b)米的长方形空地,计划修筑东西、南北走向的两条道路.其余进行绿化,已知两条道路的宽分别为2a米和3a米,求绿化的面积.(用含a,b的式子来表示) 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·几何直观、推理能力)一个长方形的长为(m+2n),宽为(m-2n),则这个长方形的面积为( ) A.m2-2n2 B.m2-4n2 C.m2+2n2 D.4m2-n2 2.(3分·几何直观、运算能力)a,b,c是三个连续的正整数,以b为边长作正方形,分别以a,c为长和宽作长方形,我们可以得到的结论是( ) A.正方形比长方形的面积大1 B.长方形比正方形的面积大1 C.正方形和长方形的面积一样大 D.正方形和长方形的面积关系无法确定 3.(4分·运算能力、推理能力)化简(a+b)(a-b)+2b2= .  4.(4分·运算能力、推理能力)计算: 20.1×19.9= .  5.(6分·推理能力、运算能力)计算: (1)(x+5)(2x-7); (2)2 0242-2 023×2 025(用乘法公式简便运算). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.通过探索多项式乘法,推导出完全平方公式,并能够进行计算. 抽象能力、模型观念 2.综合运用乘法公式进行计算. 应用意识、运算能力 基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势 新知要点 完全平方公式: (1)文字语言:两个数的和(差)的平方,等于这两个数的平方和加上(减去)它们乘积的2倍. (2)符号语言:(a±b)2=a2±2ab+b2. 对点小练 下列运算正确的是(D) A.(x-2y)2=x2-4y2 B.(x-y)2=x2-xy+y2 C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2 D.(x-y)(-x-y)=y2-x2 重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒 重点1完全平方公式(抽象能力、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P109例3拓展) 运用完全平方公式计算: (1) (x2-y)2.　(2)(-xy+5)2. (3)(-x-y)2. 【自主解答】(1)原式=(x2)2-2x2·y+=x4-x2y+y2. (2)原式=(-xy)2+2(-xy)×5+52=x2y2-10xy+25. (3)原式=(-x)2+2(-x)(-y)+(-y)2=x2+2xy+y2. 【举一反三】 1.(2024·青岛黄岛模拟)下列运算正确的是(C) A.3x2+2x2=5x4 B.(-x2)3=-x5 C.x8÷(-x)2=x6 D.(x-y)2=x2-y2 2.若(x+5)2=65,则(2x-6)(x+13)=　2　.  3.(2024·潍坊青州质检)已知多项式A=(m-3)2-(2-m)(2+m)+2. (1)化简多项式A; (2)若x2-2mx+4是一个完全平方式,求A的值. 【解析】(1)A=(m-3)2-(2-m)(2+m)+2 =m2-6m+9-(4-m2)+2 =m2-6m+9-4+m2+2 =2m2-6m+7; (2)因为x2-2mx+4是一个完全平方式, 所以-2m=±2×1×2,所以m=±2. 当m=2时,A=2×22-6×2+7=8-12+7=3; 当m=-2时,A=2×(-2)2-6×(-2)+7=8+12+7=27. 故所求A的值为3或27. 【技法点拨】 完全平方公式的应用 1.直接应用:符合完全平方公式的特点,直接用完全平方公式展开即可; 2.变符号应用:当式子中a或b带有负号时,可以通过改变符号的方式应用完全平方公式; 3.变结构应用:有时需要对表达式进行适当的变形,以符合完全平方公式的结构. 重点2乘法公式的灵活运用(模型观念、应用意识) 【典例2】先化简,再求值:(a-2b)2+(a-4b)(a+4b),其中a=-1,b=2. 【自主解答】原式=a2-4ab+4b2+a2-16b2 =2a2-4ab-12b2. 当a=-1,b=2时,原式=2+8-12×4=-38. 【举一反三】 1.(2024·青岛平度模拟)对于任意整数n,能整除(n+3)(n-3)-(n+4)(n-4)的整数是(D) A.4 B.5 C.6 D.7 2.计算:(a+b-3)(a-b+3). 【解析】原式=[a+(b-3)][a-(b-3)] =a2-(b-3)2 =a2-b2+6b-9. 3.先化简,再求值:(x+2y)2-(x+y)(x-y)-5y2,其中x=2,y=. 【解析】原式=x2+4xy+4y2-(x2-y2)-5y2 =x2+4xy+4y2-x2+y2-5y2 =4xy, 当x=2,y=时,原式=4×2×=4. 【技法点拨】 乘法公式应用中的易错点 1.完全平方公式与平方差公式易混淆; 2.用完全平方公式运算,容易出现漏项的问题; 3.完全平方公式展开时,易漏系数的平方; 4.完全平方公式展开时,易漏中间项的系数“2”. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·运算能力、模型观念)下列计算正确的是(C) A.(x-7)(x+9)=x2-63 B.(m+2n)2=m2+4n2 C. (x-y)2=x2-xy+y2 D.(1-m)(m-1)=1-m2 2.(3分·推理能力、运算能力)已知2x2+x-2=0,则代数式(x+1)2+(x+1)(x-1)+2x2的值为(A) A.4 B.2 C.1 D.0 3.(4分·推理能力)若x2+mx+n=(x-3)2,则m+n的值为　3　.  4.(4分·运算能力)计算:1032=　10 609　.  5.(6分·抽象能力、运算能力)先化简,再求值:2a(a-2b)-(2a-b)2,其中a=-2,b=3. 【解析】2a(a-2b)-(2a-b)2 =2a2-4ab-(4a2-4ab+b2) =2a2-4ab-4a2+4ab-b2 =-2a2-b2, 当a=-2,b=3时, 原式=-2×(-2)2-32=-17. 训练升级,请使用　“课时过程性评价 二十六” 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3　乘法公式 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.通过探索多项式乘法,推导出平方差公式,并能够进行计算. 抽象能力、模型观念 2.能够阐述平方差公式,并能够用平方差公式解实际应用题. 应用意识、运算能力 基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 新知要点 平方差公式: 　(1)文字语言:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的　平方差　.  (2)符号语言:(a+b)·(a-b)=　a2-b2　.  对点小练 下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是(A) A.(4x-3y)(3y-4x)　　　　B.(-4x+3y)(-4x-3y) C. (-x+2y) (x+2y) D.(3y+2x)(2x-3y) 重点典例研析　　启思凝智 教学相长 重点1平方差公式(模型观念、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P106例1拓展)计算: (1)(3m-n)(-n-3m); (2)(3x-y)(9x2+y2)(3x+y). 【自主解答】(1)原式=(-n+3m)(-n-3m)=(-n)2-(3m)2=n2-9m2. (2)原式=(3x-y)(3x+y)(9x2+y2)=(9x2-y2)(9x2+y2)=81x4-y4. 【举一反三】 1.(2024·青岛平度模拟)下列计算结果正确的是(C)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.3a+2a=5a2 B.(4a+b)(b-4a)=16a2-b2 C.3a·2a=6a2 D.(a2)4÷(-2a)2=a4 2.若a2-b2=-8,a+b=-4,则a-b的值为　2　.  重点2平方差公式的应用(几何直观、应用意识) 【典例2】如图①,边长为a的大正方形四个角各有一个边长为b的小正方形(a>2b). (1)请你计算图①中阴影部分的面积; (2)小明将阴影部分拼成了一个长方形,如图②,这个长方形的长与宽分别是多少?面积又是多少? (3)由图②到图①可以得到什么公式?运用你所得到的公式,计算(2m+n-p)(2m-n+p). 【自主解答】(1)图①中阴影部分的面积为:a2-4b2. (2)图②中长方形的长是a+2b,宽是a-2b, 面积是(a+2b)(a-2b). (3)由图②到图①可以得到公式:(a+2b)(a-2b)=a2-4b2; (2m+n-p)(2m-n+p) =[2m+(n-p)][2m-(n-p)] =4m2-n2-p2+2np. 【举一反三】 1. (2024·聊城冠县模拟)如图,点D,C,H,G分别在长方形ABJI的边上,点E,F在CD上,若正方形ABCD的面积等于15,图中阴影部分的面积总和为6,则正方形EFGH的面积等于(C) A.9 B.8 C.3 D.5 2.若三角形的一边长为2a+3,该边上的高为2a-3,则此三角形的面积是　2a2-　.  3.(2024·泰安新泰模拟)(1)数学课堂上老师留了一道数学题,如图①,用式子表示空白部分的面积.甲,乙两名同学表示的式子是:甲:10×6-10x-6x;乙:(10-x)(6-x).列式正确的同学是　　　　.  (2)如图②,有一块长为(8a+3b)米,宽为(7a-3b)米的长方形空地,计划修筑东西、南北走向的两条道路.其余进行绿化,已知两条道路的宽分别为2a米和3a米,求绿化的面积.(用含a,b的式子来表示) 【解析】(1)空白部分的面积为:10×6-10x-6x+x2,故甲错误; 因为(10-x)(6-x) =10×6-10x-6x+x2, 所以乙正确. 答案:乙 (2)由题意可得: (8a+3b-3a)(7a-3b-2a) =(5a+3b)(5a-3b) =(25a2-9b2)平方米. 答:绿化的面积为(25a2-9b2)平方米. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·几何直观、推理能力)一个长方形的长为(m+2n),宽为(m-2n),则这个长方形的面积为(B) A.m2-2n2 B.m2-4n2 C.m2+2n2 D.4m2-n2 2.(3分·几何直观、运算能力)a,b,c是三个连续的正整数,以b为边长作正方形,分别以a,c为长和宽作长方形,我们可以得到的结论是(A) A.正方形比长方形的面积大1 B.长方形比正方形的面积大1 C.正方形和长方形的面积一样大 D.正方形和长方形的面积关系无法确定 3.(4分·运算能力、推理能力)化简(a+b)(a-b)+2b2=　a2+b2　.  4.(4分·运算能力、推理能力)计算: 20.1×19.9=　399.99　.  5.(6分·推理能力、运算能力)计算: (1)(x+5)(2x-7); (2)2 0242-2 023×2 025(用乘法公式简便运算). 【解析】(1)(x+5)(2x-7) =2x2-7x+10x-35 =2x2+3x-35; (2)原式=2 0242-(2 024-1)×(2 024+1) =2 0242-(2 0242-1) =2 0242-2 0242+1 =1. 训练升级,请使用　“课时过程性评价 二十五 ” 学科网（北京）股份有限公司 $$