精品解析：河南省周口市扶沟县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

河南省周口市扶沟县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若2x·（ ）=-6x3y，则括号内应填的代数式是（ ） A. 3xy B. -3xy C. -3x2y D. -3y 3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式有意义，下列说法错误的是（ ）． A. 当 时，分式的值为正数 B. 当时，分式无意义 C. 当时，分式的值为0 D. 当时，分式的值为1 5. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料．石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.0000000142cm．用科学记数法表示0.0000000142为（ ） A. B. C. D. 6. 电子文件的大小常用等作为单位，其中，某视频文件的大小约为等于( ) A. B. C. D. 7. 如图，已知．能直接判断的方法是（ ） A. B. C. D. 8. 从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A. B. C. D. 9. 已知是完全平方式，则m为（ ） A. 6 B. C. D. 12 10. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ） A. 4.8 B. 9.6 C. 8 D. 6 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知三张卡片上面分别写有6，，，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为__________．（写出一个分式即可） 12. 如果二次三项式可以分解为，那么p的值为 _______． 13. 若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是 ____． 14. 某人沿一条河流顺流游泳米，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为，水流速度为．则他来回一趟所需的时间为 ____________． 15. 如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点 落在点处，当时， 的度数为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． （1）写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； （2）请你写出正确的解答过程． 17. 计算： （1） （2） （3） 18. 如图，中，点D在边上，且 ． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接 ．求证： ． 19. （1）因式分解： （2）解分式方程： 20. 计算 我区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：每施工一天，甲工程队要 万元，乙工程队要万元，工程小组根据甲、乙两队标书的测算，有三种方案：甲队单独完成这个工程，刚好如期完成；乙队单独完成这个工程要比规定时间多用5天；**********，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完成. 方案中“星号”部分被损毁了. 已知，一个同学设规定的工期为天，根据题意列出方程： （1）请将方案中“星号”部分补充出来________________； （2）你认为哪个方案节省工程款，请说明你的理由. 21. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图①可以得到. 请回答下面的问题： （1）写出图②中所表示的数学公式 . （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求 的值. （3）图③中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片，若干个长为b，宽为a的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图，使得计算它的面积能得到数学公式. 22. 观察下列等式，并回答问题． ， ， ， ， …… （1）将2024写成两整数平方差的形式： ______ ______ ______ （2）用含有字母 （ 的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． （3）相邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由． 23. 如图①，点D是等边△ABC的边BC上一点，连接AD，以AD为一边，向右作等边三角形ADE，连接CE，求证：AC=CD+CE. 【类比探究】 (1)如果点D在BC的延长线上，其它条件不变，请在图②的基础上画出满足条件的图形，写出线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由. (2)如果点D在CB的延长线上，请在图③的基础上画出满足条件的图形，并直接写出AC，CD，CE之间的数量关系，不需要说明理由.数量关系：_______. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省周口市扶沟县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用幂的运算性质和完全平方公式分别判断得出答案． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了幂的运算性质和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2. 若2x·（ ）=-6x3y，则括号内应填的代数式是（ ） A. 3xy B. -3xy C. -3x2y D. -3y 【答案】C 【解析】 【分析】设空白部分的代数式为M，则M=-6x3y÷2x，根据单项式除单项式的运算法则，即可得出答案． 【详解】设空白部分的代数式为M，则M=−6x3y÷2x=−3x2y. 故答案选C. 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟练的掌握单项式除单项式的运算法则. 3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解．根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、不是对多项式进行变形，故选项错误，不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，故选项错误，不符合题意； C、是因式分解，故选项正确，符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 若分式有意义，下列说法错误的是（ ）． A. 当 时，分式的值为正数 B. 当时，分式无意义 C. 当时，分式的值为0 D. 当时，分式的值为1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，分式的值为正，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的值为正，分式的值，逐项判断即可． 【详解】解：A、当 时，分母，但的值可能是正数也可能是负数，根据“两数相除同号得正，异号得负”可判定分式的值可能是正数，也可能是负数，还可能是0，故此选项错误，符合题意； B、当时，分母，所以当时，分式无意义，故此选项正确，不符合题意； C、当时，分母，分子，当时，分式的值为0，故此选项正确，不符合题意； D、当时，分母，，当时，分式的值为1，故此选项正确，不符合题意． 故选：A． 5. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料．石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.0000000142cm．用科学记数法表示0.0000000142为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法 表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中， 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 6. 电子文件的大小常用等作为单位，其中，某视频文件的大小约为等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意及幂的运算法则即可求解． 【详解】依题意得= 故选A． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则． 7. 如图，已知．能直接判断的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理解答. 【详解】在△ABC和△DCB中， , ∴(SAS), 故选：A. 【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到全等所需的对应相等的边或角是解题的关键. 8. 从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：∵大正方形的面积-小正方形的面积，矩形的面积， ∴． 故选：A． 9. 已知是完全平方式，则m为（ ） A. 6 B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的解题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解∶∵是完全平方式， ∴， 故选∶C． 10. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ） A. 4.8 B. 9.6 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可证AD是BC边上的高，设点Q关于直线AD对称的对称点为，可得，根据题意可证点在AB上，当且C、P、三点共线时，有最小值，根据等面积法计算求值即可． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴ （等腰三角形三线合一）， 设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，如图， ∵是的平分线， ∴点在AB上（根据轴对称性质和角平分线性质）， ∴， ∴当且C、P、三点共线时， 有最小值，即， ∵, ，，， ∴， 解得，， ∴的最小值是9.6， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形性质，根据等腰三角形三线合一求解，点到直线距离，运用等面积法求的值是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知三张卡片上面分别写有6，，，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为__________．（写出一个分式即可） 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式分析得出答案． 【详解】解：6为分母时不是分式， 不是分式， 不是最简分式， 是最简分式， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的基本性质以及最简分式的定义，解题的关键是掌握分式的基本性质以及最简分式的定义． 12. 如果二次三项式可以分解为，那么p的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的乘法运算，根据题意正确的计算是解决问题的关键．先计算，即可求解． 【详解】解：∵二次三项式可以分解为， ∴， 即：， ∴， 故答案为：． 13. 若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据同类项的定义求出a、b的值，再根据单项式乘单项式的法则计算即可． 本题考查了单项式乘单项式，同类项，熟练掌握同类项的定义以及单项式乘单项式的法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，，， 解得，， 所以这两个单项式是和， 所以， 故答案为：． 14. 某人沿一条河流顺流游泳米，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为，水流速度为．则他来回一趟所需的时间为 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算的实际应用，灵活运用相关知识是解题的关键． 首先得顺流速度为，逆流速度为，结合游泳距离米，然后根据来回一趟所需时间 顺流游一趟所用的时间 逆流游一趟所用的时间，列出整理即可得出答案． 【详解】∵此人在静水中的游速为，水流速度为 ∴顺流速度为，逆流速度为， ∴ ． 故答案为：． 15. 如图，在三角形纸片中，，点 是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点 落在点处，当时， 的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解． 【详解】解：由折叠的性质得：； ∵， ∴； ①当在下方时，如图， ∵， ∴， ∴； ②当在上方时，如图， ∵， ∴， ∴； 综上， 的度数为或 ； 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． （1）写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）小明，小红 （2）， 正确的解答过程如下： ． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算， （1）利用异分母分式加减法的法则进行计算，逐一判断即可解答； （2）利用异分母分式加减法的法则进行计算，即可解答． 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【小问1详解】 解： 故小明计算错误； 故小红计算错误； 故这个“接力游戏”中计算错误的同学有：小明，小红； 【小问2详解】 略 17. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了单项式乘以多项式运算，多项式乘以多项式运算，分式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据单项式乘以多项式运算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式运算法则求解即可； （3）根据分式的混合运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 如图，中，点D在边上，且 ． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接 ．求证： ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 证明：∵平分， ∴ ， ∵ ，， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键． 19. （1）因式分解： （2）解分式方程： 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解分式方程，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1） ； （2） 方程可化为， 得， 解得， 检验：当时，， 所以是分式方程的增根， 所以原分式方程无解． 20. 计算 我区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：每施工一天，甲工程队要 万元，乙工程队要万元，工程小组根据甲、乙两队标书的测算，有三种方案：甲队单独完成这个工程，刚好如期完成；乙队单独完成这个工程要比规定时间多用5天；**********，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完成. 方案中“星号”部分被损毁了. 已知，一个同学设规定的工期为天，根据题意列出方程： （1）请将方案中“星号”部分补充出来________________； （2）你认为哪个方案节省工程款，请说明你的理由. 【答案】（1）甲、乙两队合作4天；（2） 方案可以节省工程款. 【解析】 【分析】（1）方程中代表甲乙合作4天所做工程量，据此可得结果； （2）根据题意先求得规定的天数，然后再计算三种方案的价钱后进行对比. 【详解】解：（1）方程中代表甲乙合作4天所做工程量，所以“星号”部分应为“甲、乙两队合作4天”； （2）设规定的工期为天， 根据题意列出方程：， 解得：. 经检验：是原分式方程的解. 这三种施工方案需要的工程款为： （A） （万元）； （B） （万元）； （C） （万元）. 综上所述， 方案可以节省工程款. 【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意列出分式方程是关键，还需要注意解分式方程需要验根. 21. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图①可以得到. 请回答下面的问题： （1）写出图②中所表示的数学公式 . （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求 的值. （3）图③中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片，若干个长为b，宽为a的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图，使得计算它的面积能得到数学公式. 【答案】（1） （2）18 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）根据图形的面积求解即可； （2）把，代入（1）中的结论求解即可； （3）根据数学公式可得用6个边长为a的正方形、7个边长分别为a和b的长方形、2个边长为b的正方形拼成一个边长为和的长方形即可求解． 【小问1详解】 解：由图可得，大正方形的面积为：， 又∵大正方形的面积为， ∴图②中所表示的数学公式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图， 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，根据长方形的面积公式分整体与部分两种方法列等式是解题的关键． 22. 观察下列等式，并回答问题． ， ， ， ， …… （1）将2024写成两整数平方差的形式： ______ ______ ______ （2）用含有字母 （ 的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． （3）相邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由． 【答案】（1）506，， （2）见详解 （3）相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了实数的规律运算，平方差公式的应用，解题的关键是整理题目给出的规律． （1）根据题意给出的规律即可求出答案； （2）利用平方差公式的应用即可验证； （3）根据题意列出式子即可求证． 【小问1详解】 解：， 故答案为：506，，． 【小问2详解】 由题意可知：（ 的整数）， 证明：右边左边； 【小问3详解】 相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由如下： 设相邻的两个整数分别：， 根据题意可知：， ∵ 的整数， ∴ 为奇数， ∴相邻的两个整数的平方差不是4的倍数． 23. 如图①，点D是等边△ABC的边BC上一点，连接AD，以AD为一边，向右作等边三角形ADE，连接CE，求证：AC=CD+CE. 【类比探究】 (1)如果点D在BC的延长线上，其它条件不变，请在图②的基础上画出满足条件的图形，写出线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由. (2)如果点D在CB的延长线上，请在图③的基础上画出满足条件的图形，并直接写出AC，CD，CE之间的数量关系，不需要说明理由.数量关系：_______. 【答案】证明见解析；类比探究：(1)CE﹣CD=AC；(2)AC=CD﹣CE. 【解析】 【分析】先证明△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可证出CE+CD=BD+CD=BC=AC； 类比探究： （1）先证明△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可证出CE-CD=BD-CD=BC=AC； （2）先证明△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可得出数量关系：AC=CD-CE． 【详解】∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE， ∴CE+CD=BD+CD=BC=AC； 类比探究：（ 1）CE﹣CD=AC； 如图②： ∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE， ∴CE﹣CD=BD﹣CD=BC=AC. （ 2）数量关系：AC=CD﹣CE. 如图③： ∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE， ∴CD﹣CE=CD﹣BD=BC=AC. 故答案为AC=CD﹣CE. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $