精品解析：河南省周口市商水县大武乡二中等校2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度上期期末综合测试卷(一) 八年级数学（HS版） 时间∶120分钟 满分∶120分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 根据《九章算术》的记载中国人最早使用负数，下列四个数中的负数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将各数化简即可求出答案． 【详解】解：A.原式，故A不是负数； B.原式，故B不是负数； C. 是负数； D.原式，故D不是负数； 故选C． 【点睛】本题考查正数与负数，解题的关键是将原数化简，本题属于基础题型． 2. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 互为邻补角的角一定互补 C. 相等的角是对顶角 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质、对顶角的定义、垂线的定义及互补的定义分别对每个选项进行判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，则原命题是假命题，故本选项不符合题意； B、邻补角一定互补，是真命题，故本选项符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，则原命题是假命题，故本选项不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则原命题假命题，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的性质、垂线的定义及互补的定义等知识，难度中等． 3. 如图，在中，，点D在CA的延长线上，于点E，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形两个锐角互余求出即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质求出底角的度数． 4. 小明想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成（ A. 9厘米，12厘米，15厘米 B. 7厘米，12厘米，13厘米 C. 12 厘米，15厘米，17厘米 D. 3 厘米，4厘米，7厘米 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，符合a2+b2=c2条件的三个木棒，就能组成直角三角形. 【详解】解：设每组木棒的长度分别为a、b、c，令最长的木棒为c，计算每组三个木棒的长的平方，A选项中，92+122=225=152，B、C、D三个选项经过计算均不符合条件， 故选择A. 【点睛】本题考查了直角三角形勾股定理逆定理. 5. 已知一组数据有40个数，把它们分成6组，第1组到第4组的频数分别是10、7、6、5，第5组的频率为，则第6组的频率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了频率的计算，解题关键是求出第6组的频数，准确进行计算．求出第5组的频数，再求出第6组的频数，最后求出频率即可． 【详解】解：有40个数据，第5组的频率为， 则第5组的频数为， 第6组的频数为， 第6组的频率为； 故选：D． 6. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1． 【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线， ∵∠C=90°， ∴当GP⊥AB时，GP=CG=1， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理． 7. 已知，则a的值为（ ） A. B. 0或 C. 0或 D. 0、或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立方根的综合应用，根据已知条件推导出一个数的立方根是它本身这个条件是解题的关键． 根据已知推导出一个数的立方根是它本身这个条件，进而得出这样的数有0，，1三个，求解即可． 【详解】∵，即一个数的立方根是它本身， ∴这样的数有0，，1三个， ∴，，， ∴，或． 故答案为：D． 8. 已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A. AB＝AC B. BD＝CD C. ∠B＝∠C D. ∠BDA＝∠CDA 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案． 【详解】A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意； B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意； C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意； D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意． 故选：B． 9. 如图①所示的正方体木块的棱长为 ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点爬行到顶点 的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体截面图、垂直平分线的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先分析出将裁剪后的几何体表面展开，可得是等腰直角三角形， 是等边角形，设交于点，易得当蚂蚁沿着的路线爬行时，距离最短，且垂直平分线，利用勾股定理和直角三角形的性质解得，的值，即可获得答案． 【详解】解：将裁剪后的几何体表面展开，得到如图所示的图形（部分），是等腰直角三角形， 是等边角形，设交于点， 当蚂蚁沿着的路线爬行时，距离最短， 此时，， ∴垂直平分线， 在中，， ∴，， 在 中，， ∴从顶点爬行到顶点的最短距离为． 故选：D． 10. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（　　） A. 15 B. 12.5 C. 14.5 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=×5×5=12.5，即可得出结论． 【详解】如图，过A作AE⊥AC，交CB延长线于E， ∵∠DAB=∠DCB=90°， ∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC， ∴∠D=∠ABE， 又∵∠DAB=∠CAE=90°， ∴∠CAD=∠EAB， 又∵AD=AB， ∴△ACD≌△AEB， ∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形， ∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等， ∵S△ACE=×5×5=12.5， ∴四边形ABCD的面积为12.5， 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 二、填空题(每小题3分，共15 分) 11. 已知，，则_______，______． 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键在于熟练掌握完全平方公式的变换． 根据完全平方公式变形计算求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴得， ∴； ∴得， ∴． 故答案为：10，． 12. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】先估算出，再估算出即可完成求解． 【详解】解：∵； ∴； 因为1.236介于整数1和2之间， 所以; 故答案为：1． 【点睛】本题考查了对算术平方根取值的估算，要求学生牢记的近似值或者能正确估算出的整数部分即可；该题题干前半部分涉及到数学文化，后半部分为解题的要点，考查了学生的读题、审题等能力． 13. 已知，则的值等于_________． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法成为解题的关键． 先提取公因式，然后再运用完全平方公式分解，最后将已知条件代入求值即可． 【详解】解： ． 故答案为：50． 14. 两组邻边相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中 ，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论∶①；②；③；④四边形的面积 ，其中，正确的结论有______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，先证明与全等，即可判断②；然后根据全等三角形的性质得出，再等腰三角形的性质即可判断①和③；根据四边形的面积求解即可判断④． 【详解】在与中， ， ∴， 故②正确； ∴， 又， ∴，， 故①③正确； 四边形的面积， 故④正确； 故答案为：①②③④． 15. 如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是____米． 【答案】312.5 【解析】 【分析】过点A作AB⊥l于B，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：过点A作AB⊥l于B， 则AB=300，AD=500． ∴BD==400， 设CD=x，则CB=（400-x）， 根据勾股定理得：x2=（400-x）2+3002， 整理得：x2=160000+x2-800x+3002， 解得：x=312.5． 答：商店与车站之间的距离为312.5米， 故答案为：312.5． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解决本题的难点是构造已知长度的线段所在的直角三角形，利用勾股定理求解． 三、解答题(共75分) 16. 若 ，则求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）4；（2）；10 【解析】 【分析】本题考查实数的运算和整式的化简求值，按照运算顺序计算并熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． （1）先计算立方根和平方根，最后加减运算即可； （2）先利用完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式将整式展开，再合并同类项得化简结果，最后代值计算即得． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时，原式． 18. 如图，在中，D是边上的点，，垂足分别为E，F，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由得出，由SAS证明，得出对应角相等即可． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观． 19. 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角. 已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B，∠C必为锐角. 【答案】见解析. 【解析】 【分析】假设结论不成立，则∠B，∠C为直角或钝角，再分别得出与三角形的三个内角和等于180°相矛盾的结论，则假设不成立，故得证. 【详解】假设结论不成立，则∠B，∠C为直角或钝角， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 当∠B=∠C为直角时，∠B+∠C=180°，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾； 当∠B=∠C为钝角时，∠B+∠C＞180°，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾. 综上所述，假设不成立， ∴∠B，∠C必为锐角. 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 20. 为了丰富同学们的课余生活，某学校举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生只能从“A(植物园)、B(动物园)、C(湿地公园)、D(岳麓山)”四个景点中选择一个，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）这次问卷调查的人数是 人． （2）补全条形统计图． （3）计算“A”所在扇形的圆心角度数． 【答案】（1）60 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图，读懂统计图的信息是解题的关键． （1）将项目A的人数除以其百分比，即可解答； （2）将总人数减去项目A，B，D的人数，得到项目C的人数，即可补全条形图； （3）将乘以项目A的百分比，即可解答． 【小问1详解】 解：这次问卷调查的人数是(人)， 故答案为：60． 【小问2详解】 解：选择“C”的人数为(人)， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：“A”所在扇形的圆心角是 ． 21. 如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 【答案】6.5 【解析】 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案． 【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC， 由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB−BE＝AB−DC＝1.3−0.8＝0.5m， ∴AC=m， ∴1.3÷0.2＝6.5s， 答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处． 【点睛】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 22. 问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数． 答案：∠DAC＝45° 思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由； （2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数． 【答案】（1）∠DAC的度数不会改变，理由见解析；（2）n°． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°-∠BAD＝90°-（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论； （2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∠DAC的度数不会改变，理由如下： ∵EA＝EC， ∴∠AED＝2∠C，① ∵∠BAE＝90°， ∴∠BAD＝ [180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C， ∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，② 由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°； （2）设∠ABC＝m°， 则∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°， ∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°， ∵EA＝EC， ∴∠CAE＝∠AEB＝90°﹣n°﹣m°， ∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键． 23. 如图，在长方形 中，，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点运动，设点的运动时间为秒： （1）______．（用 的代数式表示） （2）当 为何值时，? （3）当点 从点开始运动，同时，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点 运动，是否存在这样 的值，使得 与 全等？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当秒或秒时和全等 【解析】 【分析】本题主要考查矩形性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据题意写出表达式即可； （2）根据题意得出当时，，据此计算出即可； （3）分情况根据三角形全等得出的值即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ， 在和中， ， ； ∴， 【小问3详解】 解：①当，时，， ， ， ， 即， 解得； ②当，时，， ， ， ， 解得， ， 即， 解得； 综上所述，当秒或秒时和全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上期期末综合测试卷(一) 八年级数学（HS版） 时间∶120分钟 满分∶120分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 根据《九章算术》的记载中国人最早使用负数，下列四个数中的负数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 互为邻补角的角一定互补 C. 相等的角是对顶角 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3. 如图，在中，，点D在CA的延长线上，于点E，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 小明想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成（ A. 9厘米，12厘米，15厘米 B. 7厘米，12厘米，13厘米 C. 12 厘米，15厘米，17厘米 D. 3 厘米，4厘米，7厘米 5. 已知一组数据有40个数，把它们分成6组，第1组到第4组的频数分别是10、7、6、5，第5组的频率为，则第6组的频率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 7. 已知，则a值为（ ） A. B. 0或 C. 0或 D. 0、或 8. 已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A. AB＝AC B. BD＝CD C. ∠B＝∠C D. ∠BDA＝∠CDA 9. 如图①所示的正方体木块的棱长为 ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点爬行到顶点 的最短距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（　　） A. 15 B. 12.5 C. 14.5 D. 17 二、填空题(每小题3分，共15 分) 11. 已知，，则_______，______． 12. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是______． 13. 已知，则的值等于_________． 14. 两组邻边相等四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中 ，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论∶①；②；③；④四边形的面积 ，其中，正确的结论有______． 15. 如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是____米． 三、解答题(共75分) 16. 若 ，则求的值． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，D是边上点，，垂足分别为E，F，且．求证：． 19. 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角. 已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B，∠C必为锐角. 20. 为了丰富同学们的课余生活，某学校举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生只能从“A(植物园)、B(动物园)、C(湿地公园)、D(岳麓山)”四个景点中选择一个，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）这次问卷调查的人数是 人． （2）补全条形统计图． （3）计算“A”所在扇形的圆心角度数． 21. 如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 22. 问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数． 答案：∠DAC＝45° 思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由； （2）如果把以上“问题”中条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数． 23. 如图，在长方形 中，，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点运动，设点的运动时间为秒： （1）______．（用 的代数式表示） （2）当 为何值时，? （3）当点 从点开始运动，同时，点 从点 出发，以 秒速度沿 向点 运动，是否存在这样 的值，使得 与 全等？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$