精品解析：甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高二下学期阶段检测数学试题

兰州一中2024-2025-2学期阶段检测 高二数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 直线，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线垂直的充要条件列方程求解即可. 【详解】，即，解得或. 故选：C. 2. 已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先用公差表示出，结合等比数列求出. 【详解】,因为成等比数列，所以，解得. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键. 3. 用0，1，…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 652 B. 648 C. 504 D. 562 【答案】B 【解析】 【分析】应用乘法原理计算求解. 【详解】用0，1，…，9十个数字， 先取百位数有9种情况，因为无重复数字再取十位数有9种情况，最后个位数字有8种情况。 所以可以组成无重复数字的三位数的个数为. 故选：B. 4. 已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由题得到，结合，即可求得. 【详解】无论椭圆焦点位于轴或轴，根据点,,为椭圆的三个顶点, 若是正三角形,则，即，即， 即有，则，解得. 故选：C. 5. 已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l所过定点，定点在圆内，因此当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短，由勾股定理可得结论． 【详解】直线l方程变形为， 由得，即直线l过定点， 圆心为，半径为， 定点到圆心距离为，即定点在圆内部， 所以当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短， 最短弦长为 故选： 6. 如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点，，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得． 【详解】 如图，分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，， 设，则由得：， 由抛物线定义得：， 由此可知在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 由抛物线定义得：，，， ，从而得， ， 解得. 故选：B 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在双曲线上，且，的面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据双曲线方程得到,设可得,. 由,在根据余弦定理可得:,即可求得答案. 【详解】 在双曲线上, 设 ① 由 在根据余弦定理可得: 故 即: ② 由①②可得 直角的面积 故选:B. 【点睛】本题考查求椭圆中三角形面积问题,解题关键是掌握椭圆定义和椭圆中三角形面积求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图， 因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 设椭圆C：的焦点为、，M在椭圆上，则（ ） A. B. 的最大值为7，最小值为1 C. 的最大值为16 D. △面积的最大值为10 【答案】ABC 【解析】 【分析】由椭圆方程可得，根据椭圆的性质结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】由椭圆方程知：， ∴，故A正确. ，，故B正确. ，此时在椭圆左右顶点上，同时△面积也最大，为，故C正确，D错误. 故选：ABC 10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，，．则（ ） A. B. C. 时，的最小值为 13 D. 最大时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据，，即可得到，进而即可判断A；根据，，，，从而列出和的方程组，求解即可判断B；结合A选项知，从而得到，再结合，进而即可C；结合选项A和B知，当时，，当时，，进而即可判断D． 【详解】对于A，由，则，又，则，故A正确； 对于B，结合选项A知，，， 又，所以，解得，故B错误； 对于C，结合选项A知，又，所以时，的最小值为13，故C正确； 对于D，结合选项A和B知，当时，，当时，，所以当最大时，，故D错误． 故选：AC． 11. 下列结论正确的是（ ） A. 已知点在圆：上，则的最大值是 B. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 已知点是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离 D. 已知直线：，：，则存在实数，使得和关于直线对称 【答案】AD 【解析】 【分析】利用三角代换可判断A；求出直线所过定点，结合图形可判断B； 利用点到直线的距离公式可判断C；转化为寻找对称点问题，即可判断D. 【详解】A选项：因为点在圆上，所以 当时，取得最大值，故A 正确； B选项：由所以，即直线过点， 因为直线和线段相交，故只需或，故B 错误； C选项：圆的圆心到直线的距离为，而点是圆的圆外一点， 所以，即，故直线与圆相交，故C错误； D选项：在上任取点，则关于直线对称的点坐标， 代入方程，得：①当时，，②当时，为任意实数；故D正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足，且为递增数列，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】数列为递增数列，则，做差即可求出的取值范围. 【详解】解：为递增数列，则，所以，即，所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查已知数列的单调性求参数的取值范围，做差法是判断数列单调性的常用方法，属于基础题. 13. 为进一步了解学生的学习和生活，某校选派6名老师去A，B，C三个学生家中进行家访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有________种． 【答案】 【解析】 【分析】由排列、组合知识及两个计数原理，结合分组分配问题求解即可． 【详解】选派6名老师去A，B，C三个学生家中进行家访活动， 每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，选派方案为：； 不同的安排方式有：(种) 故答案为： 14. 点M为抛物线上任意一点，点N为圆上任意一点，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】画图，找出抛物线焦点，化简圆的普通方程为标准方程，根据圆外一点到圆上点的最短距离以及抛物线定义得出最值. 【详解】抛物线的焦点为，抛物线的准线为， 圆变形为， 则圆心为抛物线的焦点，半径为. 点为抛物线上任意一点，当三点共线，取最小值，最小值为. 所以取最小值时，即取最小值， 如图，过点作于点，由抛物线定义可知，， 所以，当三点共线，当时，等号成立. 则的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解； （2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解. 【小问1详解】 首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l的方程为或. 16. 已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点P（m，2）到其焦点F的距离为4． （1）求抛物线C的方程； （2）过点F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积． 【答案】（1）x2＝8y；（2）. 【解析】 【分析】（1）解方程即得解； （2）求出和，即得解. 【详解】解：（1）由已知及抛物线定义可得，∴p＝4，∴抛物线C的方程为x2＝8y． （2）由（1）可得F（0，2），∴l：y＝x+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 将l方程代入C方程整理得y2﹣12y+4＝0，∴y1+y2＝12，∴|AB|＝y1+y2+p＝16， 原点O到直线l的距离为， ∴OAB的面积． 17. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2．过点的直线l与椭圆W交于A，B两点，O为坐标原点． （1）求椭圆W的方程； （2）设C为AB的中点，当直线l的斜率为1时，求中点C的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的短轴得出，结合离心率代入求得，从而求得椭圆方程； （2）写出直线方程和椭圆联立，利用中点坐标公式求得点的坐标； 【小问1详解】 因为短轴长为2，所以， 因为椭圆W的离心率为，所以，即， 解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率为1时，直线l的方程为． 由得， 设． 则， 所以，代入直线得． 所以中点的坐标为． 18. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据递推公式求出，检验时是否成立即可求解； (2)结合（1）得到，利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 由题意知：① 当时，得. 当时，② ①-②得：，则， 检验：成立，故. 【小问2详解】 由（1）可知：， 令③ ④ ③-④得： 化简得： 19. 已知双曲线，直线l交双曲线于A、B两点． （1）若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在，求证：为定值； （2）若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出M的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）设点，，分别表示，再根据点P在双曲线上，可得证； （2）当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立直线与双曲线，结合韦达定理，可将恒成立转化为 ，所以，解得， 当直线斜率不存在时，直线方程为此时，由可解得. 【小问1详解】 设点，，则， 则，又点与点均在双曲线上， 则，所以， 所以定值为3. 【小问2详解】 假设存在点，使恒成立，由已知得， 当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立直线与双曲线方程， 得，判别式， 且，则，故， 则 ， 若恒成立，则恒成立，即， 解得， 当直线斜率不存在时，直线方程为此时， 得，由，可解得或. 综上所述：， 所以存在点,使得恒成立. 【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立， 消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州一中2024-2025-2学期阶段检测 高二数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 直线，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 2. 已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 用0，1，…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 652 B. 648 C. 504 D. 562 4. 已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点，，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在双曲线上，且，的面积为 A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 设椭圆C：的焦点为、，M在椭圆上，则（ ） A. B. 的最大值为7，最小值为1 C. 的最大值为16 D. △面积的最大值为10 10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，，．则（ ） A. B. C. 时，的最小值为 13 D. 最大时， 11. 下列结论正确的是（ ） A. 已知点在圆：上，则的最大值是 B. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 已知点是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离 D. 已知直线：，：，则存在实数，使得和关于直线对称 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足，且为递增数列，则的取值范围是______. 13. 为进一步了解学生的学习和生活，某校选派6名老师去A，B，C三个学生家中进行家访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有________种． 14. 点M为抛物线上任意一点，点N为圆上任意一点，且，则的最小值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 16. 已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点P（m，2）到其焦点F的距离为4． （1）求抛物线C的方程； （2）过点F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积． 17. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2．过点的直线l与椭圆W交于A，B两点，O为坐标原点． （1）求椭圆W的方程； （2）设C为AB的中点，当直线l的斜率为1时，求中点C的坐标． 18. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 19. 已知双曲线，直线l交双曲线于A、B两点． （1）若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在，求证：为定值； （2）若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出M的坐标：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $