精品解析：河北省唐山市遵化市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级数学试卷 考生注意：1.本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟． 2.答题前考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3.考生务必将答案写在试卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 平行 D. 相离 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相离， 故选：D． 2. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式S=计算即可． 【详解】S=， 故选C． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键． 3. 计算的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数值，根据30度角的正弦值等于即可求解． 【详解】解：， 故选B． 4. 已知抛物线，下列结论错误的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与x轴没有交点 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质判断即可． 【详解】解：A、，抛物线开口向上，正确，不符合题意； B、，且开口向上，抛物线与x轴没有交点，正确，不符合题意； C、抛物线的顶点坐标为，正确，不符合题意； D、抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小，错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大；时，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小是解题的关键． 5. 为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（m3）一定的污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）满足关系式：V=Sh（V≠0），则S关于h的函数图象大致是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵V=Sh（V为不等于0的常数），∴（h≠0），S是h的反比例函数． 根据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分． 故选C． 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 7. 现有甲、乙两组数据，数据甲：1，2，3，4．数据乙：2021，2022，2023，2024．若数据甲的平均数为，乙的平均数为，则与之间的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平均数的含义．先求解两组数据的算术平均数，从而可得答案． 【详解】解：， ， ∴， 故选B 8. 广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ） A. 1米 B. 2米 C. 5米 D. 6米 【答案】B 【解析】 【分析】先把函数关系式配方，即可求出函数取最大值时自变量的值． 【详解】解：∵y=-x2+6x=-（x2-4x）=-[（x-2）2-4]=-（x-2）2+6， ∴当x=2时，y有最大值， ∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出当函数取最大值时自变量的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 9. 溱潼古镇历史悠久，具有丰富的文化底蕴，古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查正方形和正八边形的性质、相似三角形的判定和性质．设，得到，，即可得到． 【详解】解：如图，设， 由正方形和正八边形的性质得到，， ∴，， ∴， 故选：B 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式得到关于k的不等式，然后求解不等式即可. 【详解】是一元二次方程， ． 有两个不相等的实数根，则， ， 解得． 且． 故选D 【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式： （1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根； （3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根. 11. 如图，周末小新一家来到河北石家庄正定古城游元，一座古塔塔高为，小新在距离古塔的位置观看古塔时，与观看到的手中的景点地图的古塔缩略图感觉相同（），若缩略图中的古塔高为，则缩略图距离眼睛的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟练的利用相似三角形的性质建立方程求解是关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ∴， ∴， ∴，经检验符合题意； 故选A 12. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，位似比，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形．根据位似图形的性质解答即可． 【详解】解：∵点，与C关于原点对称，且位似比为， ∴的坐标为， 即的坐标为． 故选：A． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 某中学2022年用于教学设施的投资为4万元，预计2024年用于教学设施的投资达到4.84万元，设这两年教学设施投资的年平均增长率为，由题意可列方程：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可得024年用于教学设施的投资元，进而可求解；掌握增长率的典型模型（）的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故答案：． 14. 如图，在中，D、E分别是边AB、AC的中点，若的面积是1，则的面积是______； 【答案】4 【解析】 【分析】据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DE=BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴S△ADE：S△ABC=（）2=， 的面积是1， 的面积是4 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B纵坐标分别为，则的值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解. 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称， ∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称， ∴， 故答案为：0. 【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题. 16. 如图，为的直径，、是的弦，且，，，图中阴影部分的面积为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理以及扇形面积的计算，根据平行线的性质将图1中阴影部分1的面积与扇形的面积相等，图1中阴影部分的面积与扇形的面积相等，由图1中阴影部分面积为，圆面积为得到图2，再根据圆周角定理以及勾股定理进行计算即可，掌握扇形面积的计算方法，勾股定理，圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 即图1中阴影部分①的面积与扇形的面积相等，图1中阴影部分②的面积与扇形的面积相等， ∵图1中，圆的面积为，而图1中阴影部分的面积为， ∴图1中阴影部分的面积占圆面积的一半， 如图2，扇形的面积与图1中阴影部分①的面积相等，扇形的面积与图1中阴影部分②的面积相等， 在图2中， ∵是直径， ∴， 中，，， ∴， 即， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8个小题，共64分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （1）解下列方程∶ （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角度的三角函数值的混合运算，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤，以及特殊角度的三角函数值的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）先将特殊角度的三角函数值和0次幂化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：； （2）解： ． 18. 已知函数， （1）当m，n为何值时是一次函数？ （2）当m，n为何值时，为正比例函数？ （3）当m，n为何值时，为反比例函数？ 【答案】（1）且 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的定义知，且，据此可以求得m、n的值； （2）根据正比例函数的定义知，据此可以求得m、n的值； （3）根据反比例函数的定义知，据此可以求得m、n的值． 【小问1详解】 解：当函数是一次函数时，，且， 解得：且； 【小问2详解】 当函数是正比例函数时，， 解得：． 【小问3详解】 当函数是反比例函数时，， 解得：． 【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、反比例函数的定义．关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式以及三种函数的形式． 19. 如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一点 （1）求证：∠ADC=∠AOB； （2）求AE=2,BC=6，求OA的长 【答案】（1）详见解析；（2）OA= 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理及同圆中等弧所对的圆心角相等可得，根据圆周角定理可得结论； （2）设OA=x,则OE=x-2，BE长易知，在Rt△BOE中，利用勾股定理可求解. 【详解】（1）证明：连接OC ∵OA⊥BC ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）设OA=x,则OE=x-2， ∵OA⊥BC ∴ BE=EC=3. 在Rt△BOE中，由OE2+BE2=OB2得（x-2）2+32=x2,, 解得x= ∴OA= 【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理及圆周角定理，灵活利用垂径定理证明角与线段间的关系是解题的关键. 20. 已知抛物线． （1）求证：不论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）若该抛物线与轴两交点为和，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系： （1）证明一元二次方程中即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求出和，根据列等式即可求解． 【小问1详解】 证明：令， ， ， ， 有两个不相等的实数根， 不论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点； 【小问2详解】 解：该抛物线与轴两交点为和， 是一元二次方程的两个根， ，， ， ， 解得 21. 如图，是的直径，为上一点，平分交于点．过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连，根据圆的半径相等可得，可证，可得，根据，可得，由此即可求证； （2）如图，连接，交于，为的直径，，可证四边形为矩形，可得，由（1）可得，可证，可得点时的中点，为的中位线，则，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，即，且， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接，交于， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由（1）可得，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点时的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的基础知识，平行性的判定和性质，切线的证明，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握圆与几何图形的综合，切线的证明方法，相似三角形的判定，合理构造辅助线是解题的关键． 22. 如图，已知中，，点D、E分别在边、上，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）由相似三角形的性质可求解． 【小问1详解】 证明：中， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ， . 23. 任意球是足球比赛的主要得分手段之一，在某次足球比赛中，李强站在点O处发出任意球，如图，把球看做点，其运行轨迹的高度与水平距离满足函数关系式，李强罚任意球时防守队员站在李强前方8米处组成人墙，防守队员的身高为2米，对手球门与李强的水平距离为18米，已知足球球门的宽是7.32米，高是2.43米． （1）当时，求y与x的函数关系式； （2）在第（1）问的前提下，足球能否越过人墙？足球能否直接射进球门？请说明理由； （3）若李强罚出任意球一定能直接射进球门得分，直接写出h的取值范围． 【答案】（1） （2）足球能越过人墙，能直接射进球门，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，根据函数图象过原点，求出a的值即可； （2）当时，由（1）中解析式，分别把和代入函数解析式求出y的值与2和2.43比较即可； （3）由抛物线过原点得到，由足球能越过人墙，得，由足球能直接射进球门，得，然后解不等式即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴所求的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，足球能越过人墙，能直接射进球门，理由如下： 当时，由（1）得， 当时，， ∴足球能越过人墙， 当时， ∴足球能直接射进球门，不会踢飞； 【小问3详解】 解：由题设知，函数图象经过点(0，0)， 得， 整理得． 由足球能越过人墙，得， 整理得． 由足球能直接射进球门，得， 整理得． 把代入，得， 解得． 把代入，得 解得． ∴h的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解不等式组等，解题的关键是理解构建的二次函数模型，学会用不等式解决实际问题． 24. 如图1，在等腰三角形中，，，点D从A点出发向终点B运动，过点D作交折线于点G，设．     （1）______；（用含x的代数式表示） （2）连接，设的面积为y，求y与x的函数表达式，并指出当x取何值时，y有最大值； （3）如图2，当点G在边上时，作点G关于点C的对称点M，取的中点N，当时，求的长． 【答案】（1）； （2），当时，有最大值是6； （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，二次函数的应用，掌握相似的性质是解题关键． （1）根据线段的和差求解即可； （2）作，垂足分别为H，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理，得到，根据点的位置，分两种情况讨论：①当点在上时；②当点G在上时，作，垂足分别为D，根据相似三角形的判定和性质，用含x的代数式表示出的长，再根据三角形面积公式得出对应二次函数，进而求最值即可； （3）作，垂足分别为，证明，得到，再结合对称的性质，得到，根据平行线分线段成比例定理，得到，即可求出的长． 【小问1详解】 解：，， ， 故答案： 【小问2详解】 解：如图，作，垂足分别为H，   ，， ， 中，， ①当点在上时，即时， ， ， ， ，即， ， ， ， 当时，y随x的增大而增大，即当时，有最大值是6， ②当点G在上时，即时，如图作，垂足分别为D， ， ， ，即， ， ， ， 当时，y随x的增大而减小， 综上所述当时，有最大值是6； 【小问3详解】 解：如图，作，垂足分别为， 由（2）可知， ， ， ， 点于点关于点的对称， ， ， 点是的中点，且， ， ， ， ， 即的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学试卷 考生注意：1.本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟． 2.答题前考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3.考生务必将答案写在试卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 平行 D. 相离 2. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π 3. 计算的值是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知抛物线，下列结论错误的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与x轴没有交点 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 5. 为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（m3）一定的污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）满足关系式：V=Sh（V≠0），则S关于h的函数图象大致是 A. B. C. D. 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 7. 现有甲、乙两组数据，数据甲：1，2，3，4．数据乙：2021，2022，2023，2024．若数据甲的平均数为，乙的平均数为，则与之间的关系为（ ） A. B. C. D. 8. 广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ） A 1米 B. 2米 C. 5米 D. 6米 9. 溱潼古镇历史悠久，具有丰富的文化底蕴，古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 11. 如图，周末小新一家来到河北石家庄正定古城游元，一座古塔塔高为，小新在距离古塔的位置观看古塔时，与观看到的手中的景点地图的古塔缩略图感觉相同（），若缩略图中的古塔高为，则缩略图距离眼睛的距离为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，位似比，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 某中学2022年用于教学设施投资为4万元，预计2024年用于教学设施的投资达到4.84万元，设这两年教学设施投资的年平均增长率为，由题意可列方程：_______． 14. 如图，在中，D、E分别是边AB、AC的中点，若的面积是1，则的面积是______； 15. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为_______． 16. 如图，为的直径，、是的弦，且，，，图中阴影部分的面积为，则________． 三、解答题（本大题有8个小题，共64分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解下列方程∶ （2）计算： 18. 已知函数， （1）当m，n为何值时是一次函数？ （2）当m，n为何值时，为正比例函数？ （3）当m，n何值时，为反比例函数？ 19. 如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一点 （1）求证：∠ADC=∠AOB； （2）求AE=2,BC=6，求OA的长 20. 已知抛物线． （1）求证：不论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）若该抛物线与轴两交点为和，且，求的值． 21. 如图，是的直径，为上一点，平分交于点．过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． 22. 如图，已知中，，点D、E分别在边、上，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 23. 任意球是足球比赛的主要得分手段之一，在某次足球比赛中，李强站在点O处发出任意球，如图，把球看做点，其运行轨迹的高度与水平距离满足函数关系式，李强罚任意球时防守队员站在李强前方8米处组成人墙，防守队员的身高为2米，对手球门与李强的水平距离为18米，已知足球球门的宽是7.32米，高是2.43米． （1）当时，求y与x的函数关系式； （2）在第（1）问的前提下，足球能否越过人墙？足球能否直接射进球门？请说明理由； （3）若李强罚出任意球一定能直接射进球门得分，直接写出h取值范围． 24. 如图1，在等腰三角形中，，，点D从A点出发向终点B运动，过点D作交折线于点G，设．     （1）______；（用含x的代数式表示） （2）连接，设的面积为y，求y与x的函数表达式，并指出当x取何值时，y有最大值； （3）如图2，当点G在边上时，作点G关于点C的对称点M，取的中点N，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$