精品解析： 黑龙江省齐齐哈尔市依安县等四地2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市依安县等四地九年级（上）期末数学试卷 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球 B. 抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7 C. 抛掷一枚一元硬币，正面朝上 D. 从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块 3. 已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ） A. 无法确定 B. 相切 C. 相交 D. 相离 4. 将分别标有“建”、“设”、“大”、“美”、“中”、“国”汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“中国”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A，B，C，D在上，，点B是弧的中点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某中学九年级学生在七年级时植树400棵，计划到今年毕业时使植树总数达到1324棵，若设植树年平均增长率为x，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 如图，点A、B、C、D在上．于点．若，．则长为（） A. B. C. 8 D. 4 9. 一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，有下列结论：①②③④方程的两根是⑤当时，随的增大而增大．其中正确的个数为（ ）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 已知点与点关于原点对称，则的值是_____． 12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是______． 13. 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为_____． 14. 如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是______． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠ABC＝30º，AC＝1．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为______． 16. 已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长的两个根，则k的值等于 ________． 17. 如图，直线交轴于点，交轴于点，点坐标为，过点作轴垂线交直线于点，以点A为圆心，长为半径画弧交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧交轴于点；按此做法进行下去，点的坐标为_____． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18 解方程 （1）； （2）． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）请画出将关于原点成中心对称的图形； （2）画出以点为旋转中心逆时针旋转后得到的图形：点旋转到点所经过的路径长为_____． （3）在轴上找一点，使的值最小，则点的坐标为_____．（直接写出答案） 20. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了___________名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）扇形统计图中圆心角___________度； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 21. 如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°． （1）求证：DP是⊙O的切线； （2）若⊙O半径为3cm，求图中阴影部分的面积． 22. 某商店销售龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”纪念品，已知每件进价为元，当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映：销售单价每提高元，日销量将会减少件，现销售单价不低于原销售单价，且不得超过进价的倍，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 23. 综合与实践 旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条件，所以在等腰（或等边）三角形、正方形中常进行旋转变换． （1）正方形中的“旋转”：如图①，点、点分别是正方形的边、上的点，连接、，若，则之间的数量关系为______． 问题解决：将绕点顺时针旋转，得到，则点G、点B、点F三点______，可证明_____，从而得出结论．请你完成上述全等关系证明． （2）如图②，为正方形内一点，且，，，请你确定的度数：_____． 小杰同学的思路是：设法将PA、PB、PC相对集中，于是将绕点B顺时针旋转90°得到，连接PE，确定与的形状分别为：______，问题得以解决． （3）等边三角形中的“旋转”：请你参考小杰同学的思路，解决下面问题： 如图③，P点是等边三角形内一点，若，，请你直接写出：以线段的长度为边长的三角形的各内角的度数分别为______． 24. 综合与探究 已知抛物线与直线交于，两点，与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式． （2）若为抛物线顶点，则线段的长为_____． （3）如图1，点是直线上方抛物线的一动点，过点作轴，交于点．连接，求的面积的最大值． （4）如图2，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市依安县等四地九年级（上）期末数学试卷 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确． 故选：D． 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球 B. 抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7 C. 抛掷一枚一元硬币，正面朝上 D. 从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小即可判断. 【详解】A. 从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球的概率为0，故错误； B. 抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7的概率为1，故为必然事件，正确； C. 抛掷一枚一元硬币，正面朝上的概率为50%，为随机事件，故错误； D. 从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块，为随机事件，故错误； 故选B. 【点睛】此题主要考查事件发生的可能性，解题的关键是熟知概率的定义. 3. 已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ） A. 无法确定 B. 相切 C. 相交 D. 相离 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是直线和圆的位置关系，解题关键是熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法． 按照判断直线和圆的位置关系的方法进行判断即可． 【详解】解：的半径为，圆心到直线的距离为， 且， 直线与的位置关系是相交． 故选：． 4. 将分别标有“建”、“设”、“大”、“美”、“中”、“国”汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“中国”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 建 设 大 美 中 国 建 建，设 建，大 建，美 建，中 建，国 设 设，建 设，大 设，美 设，中 设，国 大 大，建 大，设 大，美 大，中 大，国 美 美，建 美，设 美，大 美，中 美，国 中 中，建 中，设 中，大 中，美 中，国 国 国，建 国，设 国，大 国，美 国，中 共30种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“中国”的情况有2种； ∴； 故选B． 5. 如图，点A，B，C，D在上，，点B是弧的中点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆心角、弧、弦的关系定理得到,再根据圆周角定理解答. 【详解】解：如图，连接, 点B是弧AC的中点， 由圆周角定理得，, 故选：D. 6. 某中学九年级学生在七年级时植树400棵，计划到今年毕业时使植树总数达到1324棵，若设植树年平均增长率为x，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程．根据关键描述语“毕业时植树总数为1324棵”找到等量关系，列出方程求解． 【详解】解：设该年级植树平均每年增长率是x，那么八年级时该年级植树棵，九年级时该年级植树棵． 方程可列为， 故选：D． 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是：①二次项系数不等于0；②根的判别式． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 即，解得； 又， 的取值范围是：且． 故选：B． 8. 如图，点A、B、C、D在上．于点．若，．则的长为（） A. B. C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．连接，根据圆周角定理求得，在中可得得到，从而得到，然后根据垂径定理得到的长． 【详解】解：连接，如图，    ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 9. 一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的系数与图象的关系是解题的关键．先利用一次函数的图象得出，的取值范围，再判断的图象． 【详解】解：由一次函数的图象可得，， ∴对于二次函数的图象，开口向上，与轴的交点在轴负半轴上， 又∵的图象的对称轴为轴， 只有选项B的图象符合， 故选：B． 10. 已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，有下列结论：①②③④方程的两根是⑤当时，随的增大而增大．其中正确的个数为（ ）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与轴的交点，二次函数，的符号由抛物线的开口方向决定，的符号由抛物线与轴交点的位置确定，的符号由及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴与开口方向共同决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边随的增大而增大，对称轴右边随的增大而减小．此外抛物线解析式中得到一元二次方程的解即为抛物线与轴交点的横坐标． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴正半轴， ， ，故①错误； 抛物线与轴的一个交点为，又对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 方程两根是，，故④正确； 则抛物线过点，当时，， ∴，故③正确； 当时，，即，故②正确， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故⑤错误． 综上：②③④正确， 故选：C 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 已知点与点关于原点对称，则的值是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a、b的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：与点关于原点对称， 故答案为：1． 12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是______． 【答案】##平方厘米 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积公式是解答本题的关键．如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积等于． 【详解】解：这个圆锥的侧面积． 故答案为：． 13. 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先配方法为顶点式，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， 所得抛物线对应的函数表达式为． 故答案为：． 14. 如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，再根据三角形的周长进行计算即可． 【详解】解：切相切于点， ， 切相切于点， ， 切相切于点， ， 的周长为18， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠ABC＝30º，AC＝1．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1， ∴A′C=AC=1，AB=2，BC=． ∵∠A=60°， ∴△AA′C是等边三角形． ∴AA′=AB=1． ∴A′C=A′B．∴∠A′CB=∠A′BC=30°． ∵△A′B′C是△ABC旋转而成， ∴∠A′CB′=90°，BC=B′C． ∴∠B′CB=90°－30°=60°． ∴△BCB′是等边三角形． ∴BB′=BC=． 故答案：． 16. 已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长的两个根，则k的值等于 ________． 【答案】7或6 【解析】 【分析】当或时，即，代入方程即可得到结论，当时，即，解方程即可得到结论． 【详解】解：∵、、分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， ∴当或时，即， ∴方程为， 解得：， 此时该方程为， 解得：，， 此时三角形的三边为，符合题意； 当时，即， 解得：， 此时该方程为， 解得：， 此时三角形的三边为，符合题意， 综上所述，的值等于或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确的理解题意是解本题的关键． 17. 如图，直线交轴于点，交轴于点，点坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以点A为圆心，长为半径画弧交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧交轴于点；按此做法进行下去，点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题是坐标规律题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，根据坐标规律，找出点的规律是解题关键．根据一次函数的性质，得到，，再由勾股定理得到，同理得到，，，，观察发现点得坐标为（正整数），即可求出点的坐标． 【详解】解：当时，，解得：， ， 点坐标为， 把代入直线得， ， ， 在中，， 以点A为圆心，长为半径画弧交轴于点； ， ， 把代入直线得， ， ， ， ， ，， …… 观察发现，点得坐标为（正整数）， 点的坐标为，即， 故答案为：． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：． ，； 【小问2详解】 解：，，， ， ， ， 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）请画出将关于原点成中心对称的图形； （2）画出以点为旋转中心逆时针旋转后得到的图形：点旋转到点所经过的路径长为_____． （3）在轴上找一点，使的值最小，则点的坐标为_____．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析 （2），图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作中心对称图形，旋转图形作图，求弧长，轴对称求线段和的最值问题； （1）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点，即可； （2）利用弧长公式进行计算即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小，求得直线的解析式，令，得出，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 如图，为所作 【小问2详解】 解：如图，为所作 点旋转到点所经过的路径长为 故答案为：． 【小问3详解】 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图，则， ， ， 此时的值最小， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， 点坐标为． 20. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了___________名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）扇形统计图中圆心角___________度； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）200，补全条形统计图见解析 （2）54 （3）恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 【解析】 【分析】（1）用B类型社团的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减去A、B、D、E四个类型社团的人数得到C类型社团的人数，即可补全条形统计图； （2）用乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中的度数； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：(人)， C类型社团的人数为(人)， 补全条形统计图如图， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：， 故答案为：54； 【小问3详解】 解：画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键． 21. 如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°． （1）求证：DP是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可． （2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案． 【详解】解：（1）证明：连接OD， ∵∠ACD=60°， ∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°． ∴∠DOP=180°﹣120°=60°． ∵∠APD=30°， ∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°． ∴OD⊥DP． ∵OD为半径， ∴DP是⊙O切线． （2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm， ∴OP=6cm， 由勾股定理得：DP=3cm． ∴图中阴影部分的面积 22. 某商店销售龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”纪念品，已知每件进价为元，当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映：销售单价每提高元，日销量将会减少件，现销售单价不低于原销售单价，且不得超过进价的倍，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）与的函数关系式为 （2）当为时，日销售利润最大，最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键． （1）根据题意得到函数解析式即可； （2）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 故与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，最大， 答：当为时，日销售利润最大，最大利润元． 23. 综合与实践 旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条件，所以在等腰（或等边）三角形、正方形中常进行旋转变换． （1）正方形中的“旋转”：如图①，点、点分别是正方形的边、上的点，连接、，若，则之间的数量关系为______． 问题解决：将绕点顺时针旋转，得到，则点G、点B、点F三点______，可证明_____，从而得出结论．请你完成上述全等关系的证明． （2）如图②，为正方形内一点，且，，，请你确定的度数：_____． 小杰同学的思路是：设法将PA、PB、PC相对集中，于是将绕点B顺时针旋转90°得到，连接PE，确定与的形状分别为：______，问题得以解决． （3）等边三角形中的“旋转”：请你参考小杰同学的思路，解决下面问题： 如图③，P点是等边三角形内一点，若，，请你直接写出：以线段的长度为边长的三角形的各内角的度数分别为______． 【答案】（1）；共线；；证明见解析 （2）；等腰直角三角形、直角三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）绕点A顺时针旋转，得到，可得点G、点B、点F三点共线；再由，可得，即可求证； （2）将相对集中，于是将绕点B顺时针旋转得到，连接，可得，从而得到是等腰直角三角形，进而得到，，再由勾股定理逆定理可得是直角三角形，即可求解； （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接，则，，可得是等边三角形，进而得到以线段的长度为边长的三角形是，从而即可求解． 【小问1详解】 解：如图，绕点A顺时针旋转，得到， 在正方形中，， 根据题意得：， ∴， ∴点G、点B、点F三点共线； ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：；共线；． 【小问2详解】 解：如图，将相对集中，于是将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴； 故答案为：；等腰直角三角形、直角三角形 【小问3详解】 解：∵为等边三角形， ∴， 如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即三点共线， ∴以线段的长度为边长的三角形是， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点，利用类比的思想解答是解题的关键． 24 综合与探究 已知抛物线与直线交于，两点，与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式． （2）若为抛物线顶点，则线段的长为_____． （3）如图1，点是直线上方抛物线的一动点，过点作轴，交于点．连接，求的面积的最大值． （4）如图2，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）8 （4）存在，点的坐标为， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先将二次函数配方成顶点式，求出点N的坐标，再求出的长； （3）先求出直线的解析式为，设，，根据列出关于的二次函数关系式，化为顶点式即可求出最大值； （4）设点的坐标为，根据勾股定理表示出，，，当时，，当时，，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为； 由（1）知抛物线的解析式为，直线的解析式为， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为8； 【小问4详解】 解：存在，点的坐标为，，理由如下： 设点的坐标为， ，， ，，， 当中，当时，， ， 化简得， 解得或， 当时，点与点重合，不合题意，舍去， 当时，， 点的坐标为； 同理，当时，， ， 化简得， 解得或， 当时，点与点重合，不合题意，舍去， 当时，， 点的坐标为； 综上可知，点的坐标为，． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，利用二次函数求最值，勾股定理，直角三角形的存在性问题，解题的关键是熟练运用数形结合及分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $