精品解析：贵州省铜仁市碧江区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

铜仁市碧江区2024—2025学年度第一学期期末质量监测 八年级 数学 注意事项： 1．答题时，请将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试题卷和答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦拭干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 4．全卷共6页，三大部分，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式为闭卷． 一．选择题（共36分） 1. 在，，，，，0中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根和无理数的概念，无理数是无限不循环小数．先计算，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：， 所以在，，，，，0中， 其中无理数有，，共2个． 故选：B． 2. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 若，则， C. 内错角相等，两直线平行 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角的定义、平行线的判定及有理数的运算可进行求解． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，比如这两个角是直角，故不符合题意； B、若，则有可能同为正数，有可能是异号，且正数的绝对值较大，故不符合题意； C、内错角相等，两直线平行，属于真命题，故符合题意； D、若，，则，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查真假命题、对顶角、平行线的判定及有理数的运算，熟练掌握真假命题、对顶角、平行线的判定及有理数的运算是解题的关键． 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是整数指数幂的运算，负整数指数幂的含义.先计算积的乘方，再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可. 【详解】解：， 故选：C. 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，只有当时，，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的腰长为 （　 ） A. 3cm B. 6cm C. 3cm或6cm D. 3cm或9cm 【答案】B 【解析】 【分析】分3cm是腰还是底边两种情况进行讨论，再根据三角形三边的关系进行取舍即可. 【详解】解：当3cm是底时，则腰长是（15-3）÷2=6（cm），此时能够组成三角形； 当3cm是腰时，则底是15-3×2=9（cm），此时3+3＜9，不能组成三角形， 应舍去． 故选B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系，已知条件没有给出是边还是底的时候要分两种情况进行讨论. 6. 如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 不变 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式分式的值不变． 将分式中的都扩大为原来的2倍，得到新的分式化简与原分式比较即可得答案． 【详解】解：分式中的都扩大到原来的2倍， 那么新分式为， 所以分式的值扩大为原来的2倍． 故选：A． 7. 如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据三角形中线平分三角形面积，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵点，分别为，边上的中点， ∴，， ∵的面积为12， ∴， 故选：A． 8. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．根据分式的加法运算法则化简分式，再整体代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 9. 要使有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式、分式有意义的条件．熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得，且， 故选：C． 10. 某物流公司运送一批货物，若用普通列车送到800千米的某城市，所需时间比规定时间多用2小时；若改为高速列车派送，则所需时间比规定时间少用3小时，已知高速列车的速度是普通列车的倍，则规定送达时间是多少？设规定时间为x小时，则分式方程列式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据普通列车、高速列车运送所需时间与规定时间之间的关系，可得出用普通列车运送所需时间为天，高速列车运送所需时间为天，利用速度=路程÷时间，结合高速列车的速度是普通列车的倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：由题意可得，， 故选：D． 11. 已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值，数轴上实数大小的比较等知识，掌握二次根式的性质是解题的关键；由数轴知，从而可确定的符号，由二次根式的性质及绝对值可化简． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ； 故选：A． 12. 如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 二．填空题（每小题4分，共16分） 13. 81的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 14. 纳米机器人在医学和材料科学等领域有广泛应用，尺寸为几十至几百纳米．例如，一个52纳米大小的纳米机器人，其长度为0.000000052米．数据0.000000052用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得出答案． 这里． 【详解】 故答案为： 15. 如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及应用，由两张正方形纸片面积分别为和，则两张正方形纸片边长分别为和，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和， ∴两张正方形纸片边长分别为和， ∴剩余部分的面积为， 故答案为：． 16. 如图，是等边三角形，且，的面积，在上移动，连接AD，将线段AD绕点A顺时针方向旋转，得到线段AE，连接．则的周长最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，由全等三角形的性质得出，由旋转的性质得出，证明是等边三角形，则得出，当时，最小，即的周长有最小值，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长， ∵将线段绕点A顺时针旋转， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 当时，最小，即的周长有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的周长最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，垂线段的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三．简答题 17. 计算： （1）． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，实数的运算，以及负整数整数解，熟练掌握分式方程的解法及运算法则是解本题的关键． （1）原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可求出值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 去分母得， 解得， 经检验，是原方程的解． 18. 先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数代入求值． 【答案】，． 【解析】 【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后选一个使得分式有意义的x的值代入求值即可． 【详解】原式 分式的分母不能为0 解得：m不能为，0，3 则选代入得：原式． 【点睛】本题考查了分式的减法与除法、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的运算法则是解题关键． 19. 解不等式：，将解集在数轴上表示出来，并写出符合解集条件的非负整数解． 【答案】，数轴见解析，非负整数解为0，1． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，求不等式的整数解等知识．根据去分母、去括号，移项合并，最后系数化为1可得不等式的解集，然后在数轴上表示解集，最后求非负整数解即可， 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 其解集在数轴上表示如下所示： ， ∴该不等式的非负整数解为0，1． 20. 八年级数学课外活动小组在探究用类比思想解决实际问题时发现，用表示不大于A的最大整数，如：，，，，……以此类推． （1）______； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确理解新定义和求出每一个不等式解集是解答此题的关键． （1）根据表示不大于A的最大整数即可得； （2）根据新定义知，解之可得． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 解得：， 故答案为：． 21. 如图，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E，连接，过C点作，垂足为F．不添加辅助线找出图中与相等的线段，然后再加以证明． （1）结论：______． （2）证明过程： 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识； （1）根据题意结合图形得； （2）根据垂直的定义和平行线的性质，可得，，即可证得，据此即可证明． 【小问1详解】 解：根据题意得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 22. 如图所示，是等腰三角形，若，且． （1）基本作图（不写作法，保留作图痕迹）：在线段上确定一点，使得，连接； （2）在（1）问所作图中，当时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理； （1）结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交于点，连接，则点即为所求． （2）根据等腰三角形的性质可得，，，则．根据，可求出，进而可得的度数． 【小问1详解】 解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接， 则点即为所求． 【小问2详解】 ， ， ． ， ， ． ， ． ， ， ， ． 23. 铜仁市碧江区某中学数学社团的同学，在一次社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）聪明的小明同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，根据，因为，，所以______，______，则可得到化简． 【学以致用】 （2）请仿照小明的解题思路，化简二次根式； 【知识迁移与拓展】 （3）若，解方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键． （1）根据题目所给方法对变形即可得解； （2）根据题意结合所给方法对变形，再利用二次根式的性质化简即可得解； （3）根据题目所给方法，左边化简得到，再利用二次根式性质化简，得到，再解方程即可； 【详解】（1）， 故答案为：； （2） ， （3），， ∴ ， 又， ∴， 原式 ， 故方程为， 解得：． 24. 铜仁市碧江区某中学参加由“亲子猫”研学公司组织的石阡佛顶山和困牛山研学活动，在活动筹备前中，研学公司安排部分同学去购买A品牌和B品牌的文具作为活动奖品，经同学们进行市场调查发现，A、B两种品牌文具的进价和售价如下表所示： 品牌 A B 进货（元／个） 销售（元／个） 80 100 （1）同学们与商家接洽交谈时，商家说：我第一次进货时，用4800元购买A品牌文具和用6080元购买B品牌文具的数量相同，请你们给求出A、B两种文具的进货价分别是多少元？ （2）接着商家又说：我第二次进货时，种品牌文具每个上涨5元，我计划购买A、B两种品牌文具共180个，销售时A、B两种品牌售价不变，请你们继续给我算一算我至少要购买品牌多少个，才能使第二次进货全部售完后获得利润不低于3600元？ 【答案】（1）60 （2）至少购进B品牌文具100个 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用等知识点，审清题意、列出分式方程、不等式以及函数解析式成为解题的关键． （1）根据用4800元购进A品牌文具，6080元购进B品牌文具，再根据两种品牌所购得的数量相同列出分式方程求解即可； （2）设购进B品牌文具为m个，A品牌文具为个，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 解得：． 经检验：是原方程的解． ， 答：A、B两种文具的进货价分别是60元和76元； 【小问2详解】 解：设购进B品牌文具为m个，A品牌文具为个， 由题意可得： ， 解得：． 答：至少购进B品牌文具100个． 25. 【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1）； （2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，, ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图， 由（2）可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜仁市碧江区2024—2025学年度第一学期期末质量监测 八年级 数学 注意事项： 1．答题时，请将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试题卷和答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦拭干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 4．全卷共6页，三大部分，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式为闭卷． 一．选择题（共36分） 1. 在，，，，，0中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 若，则， C. 内错角相等，两直线平行 D. 若，，则 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的腰长为 （　 ） A. 3cm B. 6cm C. 3cm或6cm D. 3cm或9cm 6. 如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 不变 D. 不能确定 7. 如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 要使有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 某物流公司运送一批货物，若用普通列车送到800千米的某城市，所需时间比规定时间多用2小时；若改为高速列车派送，则所需时间比规定时间少用3小时，已知高速列车的速度是普通列车的倍，则规定送达时间是多少？设规定时间为x小时，则分式方程列式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 二．填空题（每小题4分，共16分） 13. 81的平方根是________． 14. 纳米机器人在医学和材料科学等领域有广泛应用，尺寸为几十至几百纳米．例如，一个52纳米大小的纳米机器人，其长度为0.000000052米．数据0.000000052用科学记数法表示为______． 15. 如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为______． 16. 如图，是等边三角形，且，的面积，在上移动，连接AD，将线段AD绕点A顺时针方向旋转，得到线段AE，连接．则的周长最小值是______． 三．简答题 17. 计算： （1）． （2）解方程：． 18. 先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数代入求值． 19. 解不等式：，将解集在数轴上表示出来，并写出符合解集条件的非负整数解． 20. 八年级数学课外活动小组在探究用类比思想解决实际问题时发现，用表示不大于A的最大整数，如：，，，，……以此类推． （1）______； （2）若，求的取值范围． 21. 如图，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E，连接，过C点作，垂足为F．不添加辅助线找出图中与相等的线段，然后再加以证明． （1）结论：______． （2）证明过程： 22. 如图所示，是等腰三角形，若，且． （1）基本作图（不写作法，保留作图痕迹）：在线段上确定一点，使得，连接； （2）在（1）问所作图中，当时，求的度数． 23. 铜仁市碧江区某中学数学社团的同学，在一次社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）聪明的小明同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，根据，因为，，所以______，______，则可得到化简． 【学以致用】 （2）请仿照小明的解题思路，化简二次根式； 【知识迁移与拓展】 （3）若，解方程． 24. 铜仁市碧江区某中学参加由“亲子猫”研学公司组织的石阡佛顶山和困牛山研学活动，在活动筹备前中，研学公司安排部分同学去购买A品牌和B品牌的文具作为活动奖品，经同学们进行市场调查发现，A、B两种品牌文具的进价和售价如下表所示： 品牌 A B 进货（元／个） 销售（元／个） 80 100 （1）同学们与商家接洽交谈时，商家说：我第一次进货时，用4800元购买A品牌文具和用6080元购买B品牌文具的数量相同，请你们给求出A、B两种文具的进货价分别是多少元？ （2）接着商家又说：我第二次进货时，种品牌文具每个上涨5元，我计划购买A、B两种品牌文具共180个，销售时A、B两种品牌售价不变，请你们继续给我算一算我至少要购买品牌多少个，才能使第二次进货全部售完后获得利润不低于3600元？ 25. 【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $