陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

， 数学 (120分钟150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。)】 1.已知集合A={x∈N1-1<x<√反)，则集合A的子集个数是 ( A.4 B.7 C.8 D.16 2已知复数1-(1+2)i:=4-3i,则1和在复平面内对应的点关于 () A坐标原点对称Bx轴对称 C.y轴对称DD.直线y=x对称 3.已知向量a=(x+4,x),b=(x,2),则“a/仍”的一个充分条件是7年 (，) A.x=4 B.x=2 C.x=-33,D.x=-6E道 4.圆C:x2+y242x+6y=0关于直线：x一y+20对称的圆的方程为 0).() A.(x+4)2+(y-2)2=10 B.(x-4)+(y年6)210 C.(x+5)2+(y-3)2=10 D.(x-5)'+(y+7)=10 5.已知cos(x+y)-sin(c-),an(红-y）=2,则tan tan y 1 1 () A.-4 B-青 c D.4 级过小球阳 6.在正四棱柱ABCD-A,B,CD,中，AB=AD-2,AA,-1,点E,F分别是AB,BC1的中 点，则直线EF与AD所成夹角的余弦值为阳，G.业，听的（型） A号 B号 (哈 D.25他， 3 5 7.定义：若函数y=∫(x)存在"一1(n∈N)个极值点，则称y一x)为n折函数.例如，函数 f(x)=x-3z为3折函数.已知函数f(x)=cos2x+xlnx-x,则f(x)为 (参考数据1e2.718,x≈3,14) A.3折函数 B4折函数 C,5折函数 压D.6折函数州 8.已知双曲线Ct云一 =1(a>0,b>0)的离心率为2，其左，右焦点分别为F,F:,双曲线C ,3a2 上一点P到其两条渐近线的距离之积为2，若∠F,PF:=120°，则△F,PF:的面积为 A.5 B√g C.25 D.43 数学第1页（共4页） 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分】 9。一组单调递增数据12，…，，的极差，平均数，中位数，方差依次为△，江，m,,构造一 组新的数据y2,y,(其中y,■3x,一1（一1,2，，n),新数据的极差，平均数、中位 数、方差依次为△y,y,n,号，则下列结论或说法正确的 () A.△y=3△x B.若x=y,则x=0 C.若m十对=3，则材=2 D.若5十5=4，则s1=1 10.已知数列{a.}的前n项和为S。,满足a1-2,a1=8,a,41十a-1=2a,(n≥2)，数列佑，满 足b1=2,b.+1=2b.,记c,=a.,数列c,)的前n项和为T.,则下列说法正确的是（) A.S=3n'n 2 0 BT.=3·2+1-7 C.若T.≤2025，则n的最大值为8 D.满足2S≥b.的m的最大值为8 11.已知抛物线C:y=4红的焦点为F,直线1与抛物线C交于A,B两点（异于坐标原点O), 则下列说法正确的是3中人可，人从从() A.以AF为直径的圆与y轴相切阀的乙来，7人”引审大 B若直线1过点F,则1AB到的最小值为2后u三，1火 ‘C.若直线1的斜率为2，且SA0A=2 S,则1AB=3V5 D.若OA⊥OB,则直线1过定点（④，0）8点1l岁，区高1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。】 12.已知(ar+2 二)的服开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中 的常数项为 13.定义在R上的函数f(x)满足对任意的m∈(0，+∞)，都有∫(m十x)=f(m一x)成立，且 当x>m时，f(x)=mnx一x,则不等式f(2x十m)>f(x+m一1)的解集是 14.已知正项数列a,}满是a1=豆a+1a,十a,1一a,=4,若存在非零常数a,使得数列 a.ta ,-日为等比数列，则a一 :数列(a,)的通项公式为a。= 数学第2页（共4页） 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤），三 15.(本小题满分13分) 已知a1-骨a,∈0，受.ana,1 1(m∈N) cos d. (1)tan a,tan az.tan a,! (2)证明：tan2a,}是等老数列，并求出an2a.: 1 (3)设6，一ana,十an,求认.)的前#项和5.， 16.(本小题满分15分) 某市为了丰富市民的娱乐，在我国的传统节日眷节期间组织系列活动，在广泛宣传之下，有 1000名市民参加本次活动.组委会按照参赛市民的年龄，将参加活动的市民分成“青年组” 和~老龄组”，得到如下2×2列联表： 男性市民 女性市民 合计 青年组 400 200 600 老年组 250 150 0400 合计 650 3501000 (1)是否有75%的把操认为“参加本次活动的市民与其性别有关”？ (2)采用分层抽样的方法从青年组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行“采访”，记 这2人中“女性市民”的人数为X,求X的分布列及朗望E(X):, (3)若本次活动有慢跑、冬泳、滑冰三个可选顶目，现组委会准备从来自“向阳小区”的4名 男性市民和2名女性市民中随机抽取2人参加这三项话动，其中每名女性市民至多从 上 中选择参加2项话动，且选择参加1项或2项的可能性均为2，每名男性市民至少从中 选择参加2项活动，且选择参加2项政3项的可能性也均为7，每人每参加1项活动可 获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的2人的得分 之和为Y,求Y的期望EY. 参考公式：X2= n(ad-be) a+b)e+)a+c6+d其中n-a6+c+d.01, 参考数据： P(X≥x.) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 x 0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 数学第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 设函数f(x)=血x十axa∈R,手一尘配妹学华高班活中0心 (1)讨论函数(x)的单调性： (2)若f(x)≤x+1恒成立，求实数a的取值范围. 一证风，中个m的出水都各公0此，化2司心，自本共琴发，一 (的出受四国的门 业此可 18.(本小题满分17分)a 在平面直角坐标系xOy中，已知点F(一1,0)，F,(1,0),动点P到点F1和F:的距离之 和为4.记动点P的轨迹为曲线C,行， (1)求曲线C的方程：的个一”根.8，心，十1=日 (2)设直线1与曲线C交于D,E两点. ①若点A(0原)，直线/过点F1且与直线AF,垂直，求△ADE的周长：，5 ②若OD⊥OE,求△ODE面积的取值范围. 61=1+2-) 01n位-t1+g+动3 25 19.(本小题满分17分) E-4 如图，在多面体ABCDEF中，平面FABL平面ABCD,△FAB为等 边三角形，四边形ABCD为正方形，EF/BC,且EE=BC=3,H,C 3姓 分别为CE,CD的中点.a (1)证明：BF⊥AD: (2)求平面BCEF与平面FGH所成角的余弦值：)一音（气一《抛面：义奔 ③作平面FHG与平有ABCD的交线，记该交我与直线AD交点为P,写出铝的值（不 需要说明理由，保留作图痕迹). 年过) 婴花 洛所【 数学第4页（共4页） 数学 1.C因为-1<x<2,所以一1<x<,又6，B如图，在正四棱柱 x∈N,所以A=(0,1,2},所以A的子集有2 ABCD-A:B:CD =8个.故选C 中，取CD的中点M, 2.B因为1=(1+2)2，所以1=-3十4i,对 连接EM,FM,又因 应的点为(-3,4)，又i·z1=4-3i,所以1= 为E是AB的中点， 一3-4i,对应的点为(-3，一4)，所以点(-3， 所以AE=DM,且AE∥DM,所以四边形 AEMD是平行四边形，所以AD∥EM,且AD 4)与点（一3，一4）关于x轴对称，故选B =-EM-2,所以EM与EF所成的角就是AD 3.A因为ab,所以2×(x十4)-x=0,即 与EF所成的角，即∠MEF,因为F是BC x2-2x一8=0，解得x=一2或x=4,放选 的中点，所以F是四边形BCC,B,的中心，所 A. 以EF=MF,取EM的中点N,连接NF,则 4.C方程x2+y2-2x+6y=0,可化为 FN⊥EM,且EN=1,在矩形BCC,B1中， (x一1)2+(y+3)=10,则圆心C的坐标为 (1,-3),半径r-/10,设圆C关于直线1对 BC-2,0C,=1,所以BC,=5,则BF-9, 称的圆的圆心为M(a,b),则半径仍为√1⑥ 在Rt△EBF中，BE=1,EF=√BE+BF 学+=0 0 a=-5 =受，所以在R△EFN中，6s∠MEF- ,解得 6=36:所以图 登-号放达 M的方程为(x+5)°+(y-3)=10,故选C 7.D因为∫ (x)=c08 5.D因为cos(x十y)=sin(x一y),所以cos 2x+zInx xcos y-sin asin y=sin xeos y-cos xsin -x,所以 y,所以l-tan ztan y=tanx-tany.又tan f'(x)=-2sin2x+nx.函数f(x)的极值 tanx一tany x-y)=2,所以+tan ztany =2,联立解 点问题，等价于∫'(x)的零点问题，令∫(x) =0,得1nx=2sin2x,所以将函数f(x)的 14 得tan tan y=一方，tan工-any一3，所以 零点个数问题，转化为函数g(x)=lnx与函 11上any一tan王=4，放选D. 数h(x)=2sin2x的图象在(0，+∞)上的交 tan z tan y tan ztan y 点个数问题，因为<<号”，所以A(2< A(d)<A(学)-2，又心)-2，在同-坐标 数学答案第】页 系中，西出函数g(x)和h(x)的图象，由图象 =3s1,因为1十，=4，所以1=1，故D正 可知，函数g(x)=1nx与函数h(x)一2sn 确.故选ACD. 2x的图象在(0，十∞)上有5个交点，所以函 10.AC.对于A,因为a.+t十a.-1=2a.(n≥ 数f(x)为6折函数，故选D. 2),所以a+1一a,=a,一a,-1,所以数列 8A由题意知双曲线的渐近线方程为y=士 《a,)是等差数列，设公差为d,因为a1=2, ，即6c士ay=0.设P(x,),所以 b a,=8,所以2d=8-2=6,解得d=3,所以 lbe+al×be。-al=lbx-a'yl a=a1+(n-1Dd=3n-1,3,=na1+a,2 2 a+6 √a+b 一号因为点P在双商线上，所以导答- 3a' _3n+,故A正确对于B,因为6，=2， 2 1,所以6x-a-d6,所以5-3a 64=20断以会=2，所以数列，是公 c21 比为2的等比数列，所以6.=b1g1=2, 即26=3c,因为后=2，所以c=2a,又c2= 2-1=2,所以c.=a.=36.-1-3·2”- 2(1-2") a2+b2,所以b°=3a°，所以2×3a2=3×2a, 1,所以T.=3· -n=3·2+-n 1-2 解得a=1,b=3,c=2.由双曲线的对称性， -6,故B错误对于C,由B知T.=3·2+1 不妨设点P在双曲线的右支上，令|PF,| 一n一6，所以T,+1-T,=3·2-3·2+1 m,则1PF,|=2a+m=m十2，因为∠F,PF 一1=3·2+-1>0恒成立，所以数列 =120°，所以由余弦定理得1F,F,|-|PF, (T.)单调递增，当n=8时，T。=3·2-8 +|PF:12-2lPF,l·|PF:1cos120°，即16 -6=1522<2025,当m-9时，T,-3·20 =(m+2)2+m2+(m十2)m,化简得(m+2) 9-6=3057>2025,所以#的最大值为8，故 m=4,所以△F,PF:的面积S=PP· C正确：对于D,设f(n)-b。一2S。=2” IPF,im∠RPF-点6m+2》m=有，故话 3m2-t,则f(n+1)-f(n)=2+1-3 (m+1)f-#-1-(2-3m2-n)=2"-6n A 4,令g(m)=2”-6m-4,所以g(n+1)-8 9.ACD对于A,因为数据x1,xa,,x,单调 (m)=2”-6,当≥3时，g(n十1)一g(n)> 递增，所以数据y1y,y,也单调递增，所 0,即g(n+1)>g(n),所以当n≥3时，g 以极差Ax=x,一x1,△y=y,一y1=3x,一1 (n)单调递增，即当n≥3时，f(n+1)一∫ 一(3x1一1)=3(x,一x1)=3△x,故A正确， (n)=2一6m一4单调递增，当n=1时，f 对于B,因为y=3x,一1(i=1,2,,n),所 (2)-f(1)■-8<0，即f(1)>f(2):当n 1 =2时，f(3)-f(2)=-12<0,即f(2)>1 以y=3正-1，因为工-y,所以x=2,放B (3):当n=3时，f(4)-f(3)=-14<0,即 错误对于C,由A可知n=3m一1，因为别十 f(3)>f(4):当n=4时，f(5)一f(4)= n=3,所以n=2,故C正确：对于D,因为y 12<0,即f(4)>f(5):当n=5时，∫(6)一 =3x1-1(i=1,2,…,n),所以经=9s时，即52 f(5)=-2<0,即f(5)>f(6):当=6时， 数学答案第2页 f(7)-f(6》=24>0,即f(7)>f(6),所以 -2洲+m=4=2,解得m一2，所以A(4, 当1≤n≤6时，f(n)一2”-3m2一n单测递 减，当n≥6时，f(m)=2-3n2-n单调递 增，因为f(1)=-2<0,f(7)=-19<0,f 4),B(1,-2),所以1AB1= (8)-56>0,所以满足2S.≥b,的n的最大 √(4-1+(4+2了=35，②当y>0时， 值为7，故D错误.故选AC 设y1=2m,y:=m(m>0),所以A(m2, 11.AD对于A,由题意知F(1,0),设A(x1 2m),B( y),取AF的中点M,过点M作y轴的垂 车m),所以k物=2m一州=4 4 线番是为N,测对=M史，学》 =2,解得m-号所以A(号，台.B(哈 2 N0,学，所以加·w=-营× .所以AB=√-+合一 -1.所以NA1NF,所以以AF 怎结合①，@可得1AB1-3v5玻，故C 为直径的圆与y轴相切，故A正确：对于B, 错误：对于D,当直线1的斜常不存在时，因 当直线1的斜率不存在时，因为直线1过点 为OA⊥0B,所以∠AOx=∠BOz=45°，易 F,所以可以得到A(1,2),B(1,-2)或A 得A(4,4),B(4,-4)或A(4,-4),B(4, (1,-2),B(1,2),所以1AB1=4:当直线1 4),则直线1的方程为x=4,过点(4,0)：当 的斜率存在且不为0时，设直线的方程为y 直线【的斜率存在且不为0时，设直线的方 =kx一k(k≠0)，与抛物线C的方程联立， 程为y=kx+b(k≠0)，与抛物线C的方程 得P一红一 ,消去y并整理，得产-2 联立，得 y=kx十b y2=4x ,消去x并整理，得y 5y2=4x (k2+2)x十k°-0，设A(工1，y1),B(x4 -4y+4h=0,设A(x,y1),B(z,y2),则 2,则，十，=2+2，此时1AB1= =后，所以x1,=- 16,因为0A AF1+1BF1=4+x,+2=2+2+2- ⊥0B,所以OA·O=0,所以xx:+y1y 4什>4，综上所述，1AB1≥4，放B错误： -0,所哈十兰-6，因为A,B再友异于坐 对于C,设A(x1y1),B(x,y:),不妨设点 标原点0，所以6≠0，所以b一一4k,所以直 线1的方程为y=x一4km本(x一4)，则直 A在x轴上方，则y1>0,因为S△A 线1过点(4,0)，故D正确.故选AD 2S6a,所以210F1·1,1=2×21OF 12.60az+)'的展开式的通项公式为 y:l,即1y=2引yl,由直线1的斜率为 2,①当ya<0时，设y1-2m,y2=一m(m> T-C(dz)(= 0),所以A(m,2m),B(四， Vt ，一加)，所以泰 0,1,2,,6,所以展开式中第2项的系数为 数学答案第3页 a'C=6a',二项式系数为C=6,所以6a' (a+1)a:+(4-a2)a,-a(a+4) (1-a)a+(4-a2)a,+a(4-a) =-3,且 +6=198,解得a=2.令6-当-0，得=4， 4+1-2=8,十4 所以展开式中的常数项为a'C=4×15= 台-2因为>0所 60,故答案为60. 以a+1一2>0，所以数列佑，)成等比数列， 1(-1,号令gx)=jz+m),因为fm 其公比q=一3，满足题意：当a=一2时， （a+1)a:+(4-a)a,-a(a+2 十x)=f(m一x),所以g(x)=g(-x),所 b。 (1-a)a+(4-a2)a.十a(4-a) 以g(x)为偶函数，当x>m时，f(x)=mln 且a-2=8t4 3 =。+-2=。,有因为 x-x,所以f(x)=”-1=m二二<0恒成 a,>0,所以a+1一2>0，所以数列6，}成等 立，所以f(x)在(m,十∞)上单调递减，即g 1 比数列，其公比g=一方，满足题意当4一4 (x)在(0，+∞)上单调递减，因为f(2x+ (a+1)ai+(4-a2)a.-a(a+4) m)>f(x+m-1),所以g(2x)>g(红 ≠0时，若 (1-a)a:+(4-a')a,+a(4-a) 1D,所以g(12x|)>g(x-1),所以|2x <:-,解得-1<x<宁，故答案为(-1， 为常数，则是--智由 1-a4-a a14-4 3 -a=4-d,得a一0，这与a为非零常数 矛盾，所以4二a2≠0时，不满足题意.综上所 14.±2(3分) 4 5·(-3)1+2(2分)因 述4±2.当。一2时， 为a.+1a,十a.+1一a,=4,所以a.+1 (a+1)a+(4-a)a.-a(a+4) (1-a)a+(4-a)a.+a(4-a) =-3,又 a,+所以a十a a,+4 a,+1-a a,十4 -a a。+1 分所似么二好是+2 -所 (a+1)a.+a+4 am十a (1-a)an+4-a 设b。=.-a,所以6 以6=6g=-号·(-8》=5· (a+1)a.+a+4 (1-4)a.+4-a × (一3》，所以+经-6，-5·《-3，佩 (a+1)a+(4-a2)a,-a(a+4) 4 (1-a)a+(4-a')a,+a(4-a)' 因为数 得a,=5·（-3》--+2当a=-2时， 列 侣：9为等比数列，所以 4 同理求得a,=。,（一3)-一十2，故答案 （a+lDa:+4-a2)a,-aa+为常数。 4 (1-a)a+(4-a)a.+a(4-a) 为士2写·(-3》可+2 ba以 当4-a'=0时，a=土2，当a=2时， 15.解：()a1=7,tana1=1, ·数学答案第4页 cos a 2.tan a:=v2, 所以X的分布列为 X 1 25 （2)证明：tan'a,+t= 1 cosa. 所以Bx)-0x号+1x号+2x言-景 cos'a.+sin'd.=tn'a,+1, cos'a. 4444…10分 故{tan2a,)是以1为首项，1为公差的等差 (3)设1名女性市民参加活动可获得的分数 为X1,1名男性市民参加活动可获得的分数 数列.放tana,=作，………8分 为X:,则X1的所有可能取值为3,6，X:的 （3)因为b.=ana,十tana+ 所有可能取值为6,9， 1 =√n十1一√a, 则P(X=3)=P(X1=6)=2所以E √m+√m+ .19 所以S.=/m+1一1.…13分 (X)=3×2+6×2■2 16.解：(1)零假设为H,:参加本次活动的市民 与其性别无关，根据列联表中的数据可以求 PX,-6)-PX=9=,所以E 得 0x)=6x+9x7号 n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 设有X名女性市民参加酒动，则有2一X名 1000(400×150-200×250)500 男性市民参加活动， 600×400×650X350 273*L.83, 由于X2≈1.83>1.32， 则y-2x+9e-X)=15-3x. 所以有？5%的把握认为“参加本次括动的市 由(2)可知，E(X)=号，所以E0M=E 民与其性别有关”.………5分 (2)因为青年组中男性市民与女性市民之比 a5-3x)=15-3E(x)=15-3×号-13 为端-子，所以采用分层镇帮的方法抽取 即随机选取的2人的得分之和的期望为13 分 ………15分 的6人中，男性市民有4人，女性市民有2 人，则X的所有可能取值为0,1,2， 1.解：由fe)=lnx+a,则fe)-} 依题意知X服从超几何分布，且P +a,x>0 (X-)-Cc -(k=0,1,2) 当a≥0时，f广(x)>0恒成立，则f(x)在 C (0,十∞)上单调递增， 则P(X=0)= C c 当a<0时：令了)-0，得到x=-合 C91 影PX=2)-己-市 re(0,-日）时，fe)>0,则f)在 数学答案第5页 （0,-)上单调递增。 则由DE⊥AF:,得直线DE为线段AF:的 垂直平分线， x∈（←子，+∞）时了x)<0,则fx)在 所以IDAI=IDFl,且IEA|=|EF:I, (仁+阿)上单调递减。……6分 则△ADE的周长为IAD|+IAE1+IDEI =IDF:+IEF:1+IDEI=IDF:1+IEF: (2)lnx十ax≤x+l恒成立，则 I+(DF,|+|F,E) 因为x>0,得a<+l二血兰恒成立，即a =(DF+IDF:1)+(EF,1+IEF:)= x 4a=8.…9分 ②(I)当直线OD,OE的斜率一条为0，另 记ga)-+1-n三，x>0,g)= 一条不存在时，△ODE的面积为2b=3, (Ⅱ)当直线OD,OE的斜率存在且都不为 2 零时，设直线OD:y=x, 令g'(x)=0,得x■e2,令g'(x)<0,得0< (y=kz x<e,即g(x)在(0，e)上单调递减， 由x ,得3x2+4(kx)=12, 令g'(x)>0可得x>e,即g(x)在 (e,十o∞)上单调递增， 即x2= 12 4k2+3 则 所以g(x)山=g(心)=1- 1 12k y=4+3 所以a≤1一，所以实数a的取值范围为 则0D2一秋+3 ,12 （1- ……15分 12212(°+12 4h+34+3’ 18解：(1)由题意知，1 F,F:I=2,IPF+ 同理可得，0E=12+1) 3k十4 1PF:|=4>2=1 F:F:I,所以动点P 故△ODE的面积为言×OD X OE= 的轨迹是以F,和F 16(0+1) 为焦点的椭圆，放可设椭圆的方程为。十 √+3·√3+4 6(2+1) -1(a>6>0), √12k+25k+12 则c=1,2a=4,所以a=2,b=a2-c2=3, 6(k+1) 所以画线C的方程为后+号-1.…4分 √/12(k+2+1)+ 6 (2)①由(1)知，a=2c,b=√5c,得△AF,F, 12(k+2A+1)+丽 为正三角形， k+2*+1 数学答案第6页