精品解析：江西省上饶市万年县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

江西省上饶市万年县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 若分式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列交通警告标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅，已知硅原子的半径约为0.000000000117米．将数据“0.000000000117”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是边延长线上的一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若的计算结果中不含的二次项，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：_______________________． 8. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为_______________． 9. 如图，，若利用证明，需添加的条件是_______________．（写出一种即可） 10. 如图，M是的平分线上一点，过点M作，垂足为C．若，D是上任意一点，则的最小值为_____． 11. 如图，在中，是边的垂直平分线，周长为的长为，则的周长为_______________． 12. 在中，与相邻的外角是，要使为等腰三角形，则____________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）解方程：． 14. 如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是多少？ 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出与关于轴对称的图形； （2）在（1）的作图下，在轴上找一点，使得最短． 17. 某早餐店一天的“瓦罐汤”的销售额是2000元，“拌粉”的销售额是1200元，且这两种餐品的销量相同．已知“拌粉”的单价比“瓦罐汤”的单价少2元，求“拌粉”和“瓦罐汤”的单价． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 19. 请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； （2）如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 20. 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为， 由题意，得， 整理，得， 解得，， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法，解答下面问题． 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分) 21. 如图，在中，是的角平分线，点在边上，且不与点重合，与交于点． （1）若是的高，且，则的度数为 ； （2）若是的角平分线，，求的度数． 22. 【知识回顾】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为____________；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为____________． 【拓展探究】 （2）若，求的值． 【解决问题】 （3）如图3，是线段上的一点，分别以为边向直线两侧作正方形，正方形，连接.若，两正方形的面积和为31，求多边形的面积． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，，是等边三角形，点在ED的延长线上，连接CE． （1）①求证：． ②求的度数． （2）如图2，若，是等腰直角三角形，过点作，交于点．若，的面积为13，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市万年县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 若分式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分母不为零列出不等式计算即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2. 下列交通警告标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别按照积的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项知识点进行判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 4. 5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅，已知硅原子的半径约为0.000000000117米．将数据“0.000000000117”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：将数据“0.000000000117”用科学记数法表示为； 故选：C． 5. 如图，是边延长线上的一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 6. 若的计算结果中不含的二次项，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，解一元一次方程．根据多项式乘多项式的法则先把原式展开得，再根据的积中不含x的二次项，得出方程，求解即可． 【详解】解： ， ∵的积中不含x的二次项， ， 解得：． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 8. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称．根据关于轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，进行求解即可． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为 故答案为：． 9. 如图，，若利用证明，需添加的条件是_______________．（写出一种即可） 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题主要考查的是直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 根据两个直角三角形全等的判定方法HL，即“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”即可求解． 【详解】解：， 和都是直角三角形， ，， 当或时，． 故答案为：（或）． 10. 如图，M是的平分线上一点，过点M作，垂足为C．若，D是上任意一点，则的最小值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质．根据垂线段最短可知，当时最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【详解】解：如图，作交于点D， 垂线段最短， 当时，最短， 是的平分线，， ， ， ， 即长度最小为3， 故答案为：3． 11. 如图，在中，是边的垂直平分线，周长为的长为，则的周长为_______________． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质及线段的和差，熟练掌握垂直平分线的性质定理是解题的关键． 先根据垂直平分线得到，那么周长化为，即可求解的周长． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴周长为， ∵， ∴的周长为， 故答案为：27． 12. 在中，与相邻的外角是，要使为等腰三角形，则____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质．依据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质进行分类讨论计算即可． 【详解】解：． 当时，； 当时，，则； 当时，． ∴的度数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算及解分式方程，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式先去括号，然后合并即可求解； （2）先将分式方程转化为一元一次方程，然后进行计算，再检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：等式两边同乘，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 14. 如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是多少？ 【答案】这个多边形的边数是8 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和的综合应用，设多边形的边数是，根据题意，列出方程进行求解即可，掌握多边形的内角和公式以及外角和为360度，是解题的关键． 【详解】解：设多边形的边数是， 由题意，得：， 解得：； 故这个多边形的边数是8． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查分式的四则运算及化简求值，属于基础题，熟练掌握分式的四则运算法则，计算过程中细心即可． 先计算括号内分式减法，再将除法化为乘法化简计算，再代入即可． 【详解】解： ， ∴当时，． 16. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出与关于轴对称的图形； （2）在（1）的作图下，在轴上找一点，使得最短． 【答案】（1） 如图所示，为所求三角形， （2） 如图所示，点P为所求点． 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）作点关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，此时最短． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 某早餐店一天的“瓦罐汤”的销售额是2000元，“拌粉”的销售额是1200元，且这两种餐品的销量相同．已知“拌粉”的单价比“瓦罐汤”的单价少2元，求“拌粉”和“瓦罐汤”的单价． 【答案】“瓦罐汤”的单价为5元，则“拌粉”的单价为3元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设“瓦罐汤”的单价为元，则“拌粉”的单价为元，根据“两种餐品的销量相同”列分式方程即可求解． 【详解】解：设“瓦罐汤”的单价为元，则“拌粉”的单价为元， 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：“瓦罐汤”的单价为5元，则“拌粉”的单价为3元． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ， ∵，， ； （2）的长为10． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定． （1）根据平行线的性质，得出题意得出，再由全等三角形的判定定理即可证明； （2）根据可得，求得，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 19. 请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； （2）如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 【答案】（1） 点即为所作； （2） 线段即为所作； 【解析】 【分析】本题考查了重心和垂心的性质． （1）连接，，两线相交于点，作射线并延长交点，根据三角形三条中线相交于一点，即可判断点是的中点，点即为所作； （2）连接并延长交的延长线于点，连接交的延长线于点，根据三角形三条垂线相交于一点，即可得到，线段． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为， 由题意，得， 整理，得， 解得，， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法，解答下面问题． 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式是，的值是． 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法、解二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中所给的解题思路，按照思路进行解答即可．设另一个因式为，则有，利用多项式乘以多项式的法则把等号左边的展开，可得：，从而得到二元一次方程组，解方程组求出和的值即可． 【详解】解：设另一个因式为， 根据题意可得：， 整理可得：， ， 解得：， 另一个因式是，的值是． 五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分) 21. 如图，在中，是的角平分线，点在边上，且不与点重合，与交于点． （1）若是的高，且，则的度数为 ； （2）若是的角平分线，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由三角形角平分线的定义得，由三角形高的定义得，进而根据三角形外角性质即可求解； （）由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 本题考查了三角形的角平分线，三角形的高，三角形的外角性质和内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 22. 【知识回顾】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为____________；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为____________． 【拓展探究】 （2）若，求的值． 【解决问题】 （3）如图3，是线段上的一点，分别以为边向直线两侧作正方形，正方形，连接.若，两正方形的面积和为31，求多边形的面积． 【答案】知识回顾：，；拓展探究：52；解决问题：40 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 知识回顾：根据图1和图2中阴影部分的面积的两种计算方法即可得； 拓展探究：由，代入即可求解； 解决问题：设正方形和的边长分别为，则，从而可得，再利用完全平方公式求出的值，然后利用2个直角三角形的面积加上两个正方形面积求解即可得． 【详解】解：知识回顾：图1中阴影部分的面积有两种方法计算，方法一：直接利用正方形的面积公式计算为；方法二：两个小正方形与两个小长方形的面积之和，即， 所以图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 图2中阴影部分的面积有两种方法计算，方法一：直接利用正方形的面积公式计算为；方法二：利用大正方形的面积减去两个小长方形的面积，再加上一个小正方形的面积，即， 所以图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 故答案为：，； 拓展探究： ∵，， ∴， ∴； 解决问题：设正方形和的边长分别为，则，如图： ∵，两正方形的面积和为31， ∴， ∴， ∴多边形的面积为． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，，是等边三角形，点在ED的延长线上，连接CE． （1）①求证：． ②求的度数． （2）如图2，若，是等腰直角三角形，过点作，交于点．若，的面积为13，求的长． 【答案】（1） ①证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ； ②； （2）．． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①由等边三角形的性质得，，，再由证得； ②由等边三角形的性质得，则，再由，得出，进一步计算即可得出结果； （）过点作于点，通过底相等，高两倍得出，再通过面积换算得出的面积，从而求出的长度； 【小问1详解】 ①略 ②解：是等边三角形， ， ， 由①得：， ， ； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵ 是等腰直角三角形 ∴， 同①可证， ∴，，， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 令，， ∵，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $