精品解析：内蒙古自治区通辽市奈曼旗2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年第一学期末质量抽样监测 数学（八年级） 注意事项∶ 1．本试卷共6页，23小题，满分100分，考试时间90分钟． 2．本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上做答，答在本试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡分别封装一并上交． 一、选择题（本题包括10道小题，1-5题每小题2分，6-10每小题3分，共25分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的字母用2B铅笔涂黑） 1. 中国汉字文化博大精深，蕴含了古人的智慧，其中也包含了数学的韵味，在下列文字中，可以将其看成轴对称图形的文字是（ ） A. “最” B. “美” C. “东” D. “阳” 2. 分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠2 B. x≠﹣2 C. x＝2 D. x＝﹣2 3. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.0000005米的碳纳米管，将0.0000005用科学记数法表示为（　　） A B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 6. 在下列说法中，正确的是（ ） A. 如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称 B. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C. 等腰三角形是以底边高线为对称轴轴对称图形 D. 若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧 7. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点、，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，其中一边长为，则三角形的底边长为（　　） A. B. C. D. 或 9. 如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题包括6道小题，11-13题每小题2分，14-16每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上） 11. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________． 12. 如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带__________去（填序号）． 13. 分解因式：_______． 14. 如图，在中，是边的垂直平分线． 若，，则的周长为________． 15. 一个多边形的内角和比外角和多，它的边数是______． 16. 关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是________． 三、解答题（本大题共7小题，共55分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 17. （1）计算： （2）计算：； （3）解分式方程： 18. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：． 19. 下面是小白同学进行分式计算过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务： （1）上述解题过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______． （2）请写出正确的计算过程，并求当时，该分式的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，， （1）在图中作出关于轴对称的，其中的坐标为 　 　； （2）如果要使以为顶点的三角形与全等（不重合），写出所有符合条件的点坐标． 21. 列分式方程解应用题 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． （1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数 型 型 3000 （2）请你完整解答本题． 22. 【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考： 型式子的因式分解 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢? 在第102页的练习第2题中，我们发现，.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出： 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 ① 利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如，将式子分解因式。这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，因此这是一个型的式子.利用①式可得. 上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）. 这样，我们也可以得到. 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： （1）分解因式：_____________； 【知识应用】 （2），则_________，_________； 【拓展提升】 （3）如果，其中m，p，q均为整数，求m的值. 23. 已知△ABC是等边三角形，E、F分别是边上的点，与相交于点G，且． （1）如图（1），求证：，并直接写出度数； （2）如图（2），若，垂足为D，且，，求的长度； （3）如图（3），以为边在左侧作等边，连接，求证：．（提示：延长GE至点H，使GH=BG） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期末质量抽样监测 数学（八年级） 注意事项∶ 1．本试卷共6页，23小题，满分100分，考试时间90分钟． 2．本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上做答，答在本试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡分别封装一并上交． 一、选择题（本题包括10道小题，1-5题每小题2分，6-10每小题3分，共25分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的字母用2B铅笔涂黑） 1. 中国汉字文化博大精深，蕴含了古人的智慧，其中也包含了数学的韵味，在下列文字中，可以将其看成轴对称图形的文字是（ ） A. “最” B. “美” C. “东” D. “阳” 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意． C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2. 分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠2 B. x≠﹣2 C. x＝2 D. x＝﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】分式有意义，分母不等于零，据此来求x的取值范围． 【详解】当分母x-2≠0．即x≠2时，分式有意义； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是记住分式无意义时分母为零． 3. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.0000005米的碳纳米管，将0.0000005用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】0.0000005用科学记数法表示为． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的幂的乘方的运算法则，单项式乘单项式和单项式除以单项式的运算法则解答即可． 此题主要考查了幂的乘方的运算法则，单项式乘以单项式，单项式除以单项式正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的画法是解题的关键；因此此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【详解】解：在中，边上的高为； 故选B． 6. 在下列说法中，正确的是（ ） A. 如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称 B. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C. 等腰三角形是以底边高线为对称轴的轴对称图形 D. 若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧 【答案】B 【解析】 【分析】利用轴对称的性质进行判定后即可得到正确的答案． 【详解】解：A、全等的三角形不一定对称，故A错误，不合题意； B、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，故B正确，符合题意； C、等腰三角形是以底边的高线所在的直线为对称轴的轴对称图形，故C错误，不合题意； D、若两个图形关于某条直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故D错误，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的概念和全等三角形的性质，在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键． 7. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点、，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质，过点作于点，根据角平分线的性质得出，进而根据三角形的面积即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】如图，过点作于点， ∵， ∴， 根据题中作图可知：平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 故答案为：． 8. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，其中一边长为，则三角形的底边长为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义以及构成三角形的条件分类讨论，分析即可求解． 【详解】解：依题意，若长的边为腰，则三角形的底边长为，三边分别为，而，不能构成直角三角形， 若长的边为底，则三角形的腰长为，三边分别为，而，能构成直角三角形， ∴三角形的底边长为 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键． 9. 如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用大正方形的面积减去两个空白三角形的面积即可得出答案． 【详解】解： 将，代入得 原式= 故答案为：D． 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，难度适中，需要熟练掌握完全平方公式及其变式． 10. 如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可以把关于对称到的点，如此的最小值问题即变为与线段上某一点的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，则，连接，过点作于点，所以、、三点共线时，，此时有可能取得最小值， 当垂直于即移到位置时，的长度最小， 的最小值即为的长度， ， ，即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键． 二、填空题（本题包括6道小题，11-13题每小题2分，14-16每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上） 11. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响． 12. 如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带__________去（填序号）． 【答案】③ 【解析】 【分析】本题是一道利用全等三角形解决实际问题的题目，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理； 利用三角形全等的判定定理“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”，即可确定； 【详解】解：第③块玻璃含有两个角，能确定整块玻璃的形状．第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据“”来配一块一样的玻璃．应带③去． 故答案为：③． 13. 分解因式：_______． 【答案】b（a+2）（a-2） 【解析】 【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式因式分解即可. 【详解】. 故答案为：b（a+2）（a-2）. 【点睛】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握提取公因式法与平方差公式. 14. 如图，在中，是边的垂直平分线． 若，，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键，根据垂直平分线的性质，可知，进而可求出的周长． 【详解】解：∵DE是BC边的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 15. 一个多边形的内角和比外角和多，它的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意列方程求解即可． 本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理．多边形的内角和， 多边形的外角和等于，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得 ， 解得：． 故答案为：8 16. 关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 详解】解： 方程两边同乘（x-2）得，1+2x-4=k-1， 解得 ， ，且 故答案为：且 【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共55分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 17. （1）计算： （2）计算：； （3）解分式方程： 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查整数运算，解分式方程： （1）先进行积的乘方运算，再进行单项式乘以单项式，单项式除以单项式的运算即可； （2）进行完全平方公式和单项式乘以多项式运算，再合并同类项即可； （3）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：（1）原式； （2） ； （3） 方程两边都乘，得， 解得： 检验：当时，； 所以是原分式方程的解． 18. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，根据题意证明，后选择边边边证明即可． 【详解】证明：， ，即. 在和中， . ， ， ． 19. 下面是小白同学进行分式计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务： （1）上述解题过程中，从第______步开始出现错误，错误原因是______． （2）请写出正确的计算过程，并求当时，该分式的值． 【答案】（1）三，去括号出现错误； （2）， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式运算的顺序和相关法则． （1）观察发现第三步开始出现错误，去括号出现错误； （2）根据分式的混合运算法则进行化简，再把代入代简结果求值即可． 【小问1详解】 解：上述解题过程中，从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号出现错误； 故答案为：三，去括号出现错误； 【小问2详解】 解： 当时, 原式 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，， （1）在图中作出关于轴对称的，其中的坐标为 　 　； （2）如果要使以为顶点的三角形与全等（不重合），写出所有符合条件的点坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）或或 【解析】 【分析】（1）由关于轴对称的点的坐标的特征先确定三点的坐标，再描点，连线即可； （2）根据全等三角形的判定可画出图形，根据图形可直接写出一个符合条件的点D坐标． 【小问1详解】 如图，即为所求；的坐标为（2，﹣3）； 故答案为：（2，﹣3）； 【小问2详解】 如图2，所有符合条件的点坐标为：或或； 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定等，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用． 21. 列分式方程解应用题 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． （1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数 型 型 3000 （2）请你完整解答本题． 【答案】（1）1300；； （2）每套B型号的“文房四宝”的价格为100元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）先求出型号的“文房四宝”花费元，再根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高得到每套型号的“文房四宝”的价格为元，据此可求出购买型号的“文房四宝”套； （2）根据（1）所求结合一共购买40套“文房四宝”列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，型号的“文房四宝”花费元， ∵每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，， ∴每套型号的“文房四宝”的价格为元， ∴购买型号的“文房四宝”套， 故答案为：1300；；； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元． 22. 【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考： 型式子的因式分解 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢? 在第102页的练习第2题中，我们发现，.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出： 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 ① 利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如，将式子分解因式。这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，因此这是一个型的式子.利用①式可得. 上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）. 这样，我们也可以得到. 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： （1）分解因式：_____________； 【知识应用】 （2），则_________，_________； 【拓展提升】 （3）如果，其中m，p，q均为整数，求m的值. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】本题主要考查某些二次项系数是1的二次三项式分解因式及其应用： （1）根据阅读材料中提供的方法进行解答即可； （2）先将等号右边的括号括号展开合并，根据对应项的系数相等可得结论； （3）先将等号右边的括号括号展开合并，根据对应项的系数相等可得，根据m，p，q均为整数讨论求解即可. 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）由， ∴， 解得，， 故答案为：； （3）由， ∴， ∵m，p，q均为整数， ∴，此时； 或者，此时； 或者，此时； 或者，此时； 或者，此时； 或者，此时； 综上，的值为： 23. 已知△ABC是等边三角形，E、F分别是边上的点，与相交于点G，且． （1）如图（1），求证：，并直接写出的度数； （2）如图（2），若，垂足为D，且，，求的长度； （3）如图（3），以为边在左侧作等边，连接，求证：．（提示：延长GE至点H，使GH=BG） 【答案】（1）证明见解析， （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）解直角三角形求出，可得结论； （3）如图（3）中，延长至点，使，证明，推出，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 证明：延长至点H，使，连接，如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$