精品解析：河南省驻马店市西平县2024-2025学年上学期学科素养提升测试九年级数学

2024-2025学年度第一学期学科素养提升测试 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．请用黑色水笔或2B铅笔在答题卡上作答． 2．答卷前将相关信息在答题卡上准确填涂． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 实数a，b，c满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行求值，正确进行变形，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．运用完全平方公式结合已知等式进行变形求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C 2. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，按从小到大的顺序排列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握对称轴的计算，二次函数图象的增减性，对称性的特点是解题的关键．根据二次函数的对称轴及开口方向，比较各点到对称轴的距离，从而确定函数值的大小关系． 【详解】解：二次函数为（），其对称轴为． 因，抛物线开口向上，离对称轴越近的点函数值越小． 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为． 距离由小到大为，对应函数值． 故选：A． 3. 如图，四边形是的内接四边形，连接，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、平行线的性质，熟知圆周角定理是解答的关键．先根据圆周角定理求得，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4. 如图，在平面直角坐标系中，线段与轴正方向夹角为，且，若将线段绕点沿逆时针方向旋转到线段，则此时点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平角的定义，解直角三角形等知识，正确做出辅助线是解题的关键．过点作轴于点B，求出，解直角三角形得到的长度即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点B． 将线段绕点O沿逆时针方向旋转到线段， ， ． 在中， ， ． 根据勾股定理，得， 点的坐标为． 故选：C． 5. 如图，为等边三角形，点分别在边上，，如果，，则的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定及性质等，由等边三角形的性质可证，从而可证，从而可得，再由求出，即可求解． 【详解】解：为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 故选：D． 6. 关于的一元二次方程．若方程有一个根小于1，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程和解不等式，利用因式分解将一元二次方程分解，并求得其根，结合已知列出不等式求解即可． 【详解】解：∵． ∴， 则， ∵若方程有一个根小于1， ∴，解得， 故答案为：C． 7. 如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以组成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意两条横线和两条竖线都可以组成矩形个数，再得出含点A矩形个数，进而利用概率公式求出即可． 【详解】解：两条横线和两条竖线都可以组成一个矩形， 则如图的三条横线和三条竖线可以组成9个矩形，其中含点A矩形4个， ∴所选矩形含点A的概率是 故选：D 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8. 如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，取向右为正方向；直线c、d与水平线垂直，以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数y＝mx2+2mx+（m≠0）的图象如图，则下面结论正确的是（　　） A. a为x轴，c为y轴 B. a为x轴，d为y轴 C. b为x轴，c为y轴 D. b为x轴，d为y轴 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线与y轴的交点坐标为（0， ），配方成顶点式得出其对称轴为直线x＝−1，据此判断可得． 【详解】解：∵在y＝mx2+2mx+（m≠0），当x＝0时，y＝， ∴直线b为x轴， ∵y＝mx2+2mx+（m≠0）的对称轴为直线x＝﹣1， ∴直线d是y轴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线解析式判断出抛物线的对称轴位置，与坐标轴的交点，开口方向等特征． 9. 如图，正方形的边长为，分别以，为圆心，半径为作弧和，两处阴影部分面积分别记为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减及扇形面积的计算．过点作，交、于点、，连接，可知、，从而可得，根据扇形的面积公式和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如下图所示，过点作，交、于点、，连接， 四边形为正方形， ，，， ，， 设，则， ，， ．   故选：A ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得， 同理可得，， ∴即， 解得， ∴， ∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点，则点关于点的对称点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由于点关于点的对称点为，则为的 中点，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】解：点关于点的对称点为， 为的中点， 设的坐标为， ， ， ，， 的坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，解题的关键是熟练掌握中点坐标公式． 12. 如图，点均在直线上，点在直线外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为____________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、确定圆的条件，熟练掌握列表法与树状图法、确定圆的条件是解答本题的关键． 根据题意可得出所有等可能的结果以及经过这三个点能够画出圆的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：从这五个点中随机选择三个点，所有等可能的结果有：，，共10种， 其中经过这三个点能够画出圆的结果有：，)，共6种， ∴经过这三个点能够画出圆的概率为． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、． ∴， 当抛物线经过点时，则， 当抛物线经过时，， 观察图象可知，抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是， 故答案为：． 14. 如图，在扇形中，半径，的长为，点在上，连接，将沿折叠得到．若与所在的圆相切于点，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，求得，利用求得圆心角，利用三角函数，解答即可． 【详解】解：连接，交于点， 沿折叠得到． ，， 与所在的圆相切于点， ， ， ， ， 半径，的长为， ， 解得， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线性质，折叠的性质，弧长，三角函数，熟练掌握切线性质，三角函数，弧长公式是解题的关键． 15. 如图，等腰三角形中，，该三角形的两条高与交于点，连接，点为射线上一个动点，连接，若，当与相似时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质；分两种情况讨论，①时，；②时，，分别根据相似三角形的性质，构造方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵，该三角形的两条高与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，设， 在中，， 解得：，即， 又， 如图所示， ①当时，； ∴， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根为，若，求出的最小值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的最值．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的最值是解题的关键． （1）由，证明作答即可； （2）由的两个实数根为，可得，，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的两个实数根为， ∴，， ∴ ， ∵， ∴最小值为． 17. 如图，在中，点分别是的中点，且，连接并延长交于点． （1）证明：； （2）证明：． 【答案】（1） 证明：， ，即， 又点分别是的中点， ，， ， ∴， ； （2） 证明：如图，作交于点H， ， ，；，， ，， 又点分别是的中点， ，， ，， ， 由（1）得， ，即， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）根据等边对等角可得，再证这组夹角的两边成比例即可； （2）作交于点H，可证，，推出，，进而可得，再根据得出，推出，等量代换可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 有六张完全相同的卡片，分A，B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图1． （1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率．（请用“树形图法”或“列表法“求解） （2）若把A，B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图2所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记． ①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？ ②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率． 【答案】（1）P=；（2）①P=；②P=． 【解析】 【分析】（1）先列表，找到所有可能的情况，然后找到满足条件情况，利用概率公式即可求得 （2）①根据题意得到所有等可能情况有3种，其中看到的标记是“√”的情况有2种，即可求出所求概率； ②所有等可能的情况有2种，其中揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，它的反面也是“√”的情况有1种，即可求出所求概率． 【详解】（1）列表如下： √ × √ √ （√，√） （×，√） （√，√） × （√，×） （×，×） （√，×） × （√，×） （×，×） （√，×） 所有等可能的情况有9种，两种卡片上标记都是“√”的情况有2种，则P=； （2）①所有等可能的情况有3种，其中随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的情况有2种，则P=； ②所有等可能的情况有2种，其中揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，它的反面也是“√”的情况有1种，则P=． 考点：列表法与树状图法． 19. 如图，在中，．以为直径的与交于点，与交于点，点在边的延长线上，且． （1）证明：是的切线； （2）过点作，垂足为．若，，求的半径． 【答案】（1） 证明： 连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵为直径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆与几何的综合，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，圆的切线的判定和性质，解题的关键是掌握圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，圆的切线的判定和性质． （1）连接，根据题意，可得，根据等腰三角形三线合一，可得，再根据，等量代换，得到，即可； （2）根据题意，则，根据直角的性质，可得，等角对等边，可得，根据勾股定理求出，推出，根据相似三角形的判定和性质，可得，得到，求出，即可得到半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． 20. 小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为10元/本，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：本）与线下售价x（单位：元/本，，且x为整数）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x（元/本） 12 13 14 15 16 y（本） 120 110 100 90 80 （1）求y与x的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每本便宜1元，且线上的月销量固定为40件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． 【答案】（1）；（2）当元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为680元． 【解析】 【分析】（1）根据线下的月销量y（单位：本）与线下售价x（满足一次函数的关系，将表格中任意两对数值代入一次函数，计算求解即可． （2）先算线下利润=线下月销售量y×每本笔记本利润（x-10），再算线上利润=线上的月销量固定为40件×每本笔记本利润，可求线上和线下月利润总和为w元，其结果可表示成以x为自变量的二次函数，运用求二次函数最大值的方法运算求解． 【详解】解：（1）∵y与x满足一次函数的关系， ∴设， 将；代入得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为：； （2）设线上和线下月利润总和为w元， 则， ， ， ， ∵，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当，且x为整数，在对称轴左侧，W随x的增大而增大， ∴当元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为-10×9+770=680元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数在销售中求最大值，找出题中的数量关系，掌握二次函数求最值的方法是解题关键． 21. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 【答案】探索发现：；问题解决：（1）；（2）大于且小于 【解析】 【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可； 问题解决：（1）令二次函数代入函数解析式即可求解； （2）设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度．结合，即可求解. 【详解】探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系， 设，， 由题意得：，， 解得：， ∴． 问题解决（1） 解：依题总，得． 解得，（舍），， 当时，． 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为． （2）解：设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度． ， ， ， 在中， 当时，； 当时，． ． 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，利用待定系数法求函数的解析式，关键是把实际问题分析转变成数学模型． 22. 阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即． 小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接． 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接 任务： （1）请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程， （2）就图3证明：． 【答案】（1）证明：如图2，在CB上截取C， 连接， ∵是的中点， ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ； （2）证明：在中，， 在中，， 由（1）可知， ， ∴ ； 【解析】 【分析】（1）首先证明，进而可得，即可得到解答； （2）由（1）可知，，整理等式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 23. （1）如图1，为四边形的对角线，，，E，F，G分别为的中点，连接．判断的形状，并说明理由； （2）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在上，且，．求的取值范围； （3）如图3，在四边形中，，，，点E，F分别在上，且，，求的值． 【答案】（1）解：是直角三角形；理由如下： 点E、F、G分别是的中点， 、分别为、的中位线， ，， ，， ，， ，， ，， ， 是直角三角形； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到、分别为、的中位线，则，，所以，，，由此即可求解； （2）如图，连接，在上截取，连接，则，可证 ，得到，则，同理，得到，则，再根据三角形三边数量关系即可求解； （3）如图，连接，在上截取，连接，作交的延长线于点，可证，得，证，得，根据，得，则，所以，，由勾股定理得到，，由此即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）如图，连接，在上截取，连接，则， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的取值范围是； （3）如图，连接，在上截取，连接，作交的延长线于点， ，，，， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 【点睛】本题主要考查中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形三边数量关系，勾股定理的运用，掌握中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期学科素养提升测试 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．请用黑色水笔或2B铅笔在答题卡上作答． 2．答卷前将相关信息在答题卡上准确填涂． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 实数a，b，c满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，按从小到大的顺序排列正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形是的内接四边形，连接，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，线段与轴正方向夹角为，且，若将线段绕点沿逆时针方向旋转到线段，则此时点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为等边三角形，点分别在边上，，如果，，则的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 6. 关于的一元二次方程．若方程有一个根小于1，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以组成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，取向右为正方向；直线c、d与水平线垂直，以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数y＝mx2+2mx+（m≠0）的图象如图，则下面结论正确的是（　　） A. a为x轴，c为y轴 B. a为x轴，d为y轴 C. b为x轴，c为y轴 D. b为x轴，d为y轴 9. 如图，正方形的边长为，分别以，为圆心，半径为作弧和，两处阴影部分面积分别记为，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点，则点关于点的对称点的坐标是_____． 12. 如图，点均在直线上，点在直线外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为____________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是______． 14. 如图，在扇形中，半径，的长为，点在上，连接，将沿折叠得到．若与所在的圆相切于点，则的长为_____． 15. 如图，等腰三角形中，，该三角形的两条高与交于点，连接，点为射线上一个动点，连接，若，当与相似时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根为，若，求出的最小值． 17. 如图，在中，点分别是的中点，且，连接并延长交于点． （1）证明：； （2）证明：． 18. 有六张完全相同的卡片，分A，B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图1． （1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率．（请用“树形图法”或“列表法“求解） （2）若把A，B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图2所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记． ①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？ ②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率． 19. 如图，在中，．以为直径的与交于点，与交于点，点在边的延长线上，且． （1）证明：是的切线； （2）过点作，垂足为．若，，求的半径． 20. 小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为10元/本，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：本）与线下售价x（单位：元/本，，且x为整数）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x（元/本） 12 13 14 15 16 y（本） 120 110 100 90 80 （1）求y与x的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每本便宜1元，且线上的月销量固定为40件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． 21. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 22. 阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即． 小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接． 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接 任务： （1）请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程， （2）就图3证明：． 23. （1）如图1，为四边形的对角线，，，E，F，G分别为的中点，连接．判断的形状，并说明理由； （2）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在上，且，．求的取值范围； （3）如图3，在四边形中，，，，点E，F分别在上，且，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $