专题26【中考创新题型专项训练1】新定义问题（解析版+原卷版）-2025年中考二轮复习专题提优重难点拓展综合训练

专题26【中考创新题型专项训练1】新定义问题（解析版） 类型一 数与式注中的新定义问题 1．（2024秋•怀宁县期末）定义新运算“@”与“⊕”：a@b，a⊕b．则3@（﹣2）﹣（﹣3）⊕（﹣1）的值是（　　） A． B．﹣1 C． D．1 【思路引领】根据a@b，a⊕b．可以求得所求式子的值． 【完整解答】解：∵a@b，a⊕b， ∴3@（﹣2）﹣（﹣3）⊕（﹣1） 1 ， 故选：C． 【总结提升】本题考查有理数的混合运算、新定义，解题的关键是明确题意，利用新定义解答． 2．（2024秋•西山区期末）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab﹣ab，则﹣1※2024的值（　　） A．﹣2025 B．﹣2024 C．2024 D．2025 【思路引领】根据a※b＝ab﹣ab，可以求得所求式子的值． 【完整解答】解：∵a※b＝ab﹣ab， ∴﹣1※2024 ＝（﹣1）2024﹣（﹣1）×2024 ＝1+2024 ＝2025， 故选：D． 【总结提升】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3．（2025•沙坪坝区校级开学）对于整数a，b，定义一种新运算“⊗”：当a+b为偶数时，规定f（a）⊗f（b）＝2|a+b|+|a﹣b|；当a+b为奇数时，规定f（a）⊗f（b）＝2|a+b|﹣|a﹣b|，则下列结论正确的有（　　） ①当a＝﹣2，b＝7时，则f（a）⊗f（b）＝l； ②已知，，且3A+B的值与x的取值无关，则f（a）⊗f（b）＝0； ③已知关于x的方程的解是正整数，满足条件的最小的整数m记为m1，最大的整数m记为m2，则f（m1）⊗f（m2）＝25； ④若f（m）⊗f（3）＝9，则关于x的方程无解． A．0 B．1 C．2 D．3 【思路引领】这是新定义题，①根据定义先求a+b的值，再对应代入f（a）⊗f（b）求值即可； ②先化简3A+B，再由3A+B的值与x的取值无关得含x的项的系数为0，可求出a，b的值，进而代入f（a）⊗f（b）求值即可； ③先解方程，再根据方程解是正整数求出m的值，进而根据定义求f（m1）⊗f（m2）； ④由关于x的方程无解＝9求m的值比较麻烦，考虑到判断题，可以根据关于x的方程无解求出m的值，再回代求f（m）⊗f（3）进行判断． 【完整解答】解：①当a＝﹣2，b＝7时， ∵a+b＝5是奇数， ∴f（a）⊗f（b）＝2×5﹣9＝1， 故结论①正确； ②3A+B＝3（）（3a+3）x27， ∵3A+B的值与x的取值无关， ∴3a+3＝0，， ∴a＝﹣1，b＝3， ∴a+b＝2是偶数， ∴f（a）⊗f（b）＝2|a+b|+|a﹣b|＝4+4＝8， 故结论②错误； ③解方程得，， 由题意得，m﹣4＝1或2或3或6， ∴m＝5或6或7或10， ∴m1＝5，m2＝10， ∴m1+m2＝15 ∴f（m1）⊗f（m2）＝2×15﹣5＝25， 故结论③正确； ④若关于x的方程无解，则m＝2， m+3＝5是奇数，f（m）⊗f（3）＝1， 故结论④错误； 故选：C． 【总结提升】本题在考查新定义问题的同时考查了含参数的整式的化简求值，含参数的一元一次方程的解得问题，综合性较高，第④问，也可以从f（m）⊗f（3）＝9分类讨论求m的值，这里将涉及到绝对值方程，比较麻烦，故从结论出发，判断条件会更简单． 4．（2024秋•福山区期末）用“⊙”定义一种新运算：a⊙b＝ab﹣ab+1，如2⊙3＝23＝2×3+1＝3．则3⊙[（﹣1）⊙2]的值为 　70　． 【思路引领】根据a⊙b＝ab﹣ab+1，可以求得所求式子的值． 【完整解答】解：∵a⊙b＝ab﹣ab+1， ∴3⊙[（﹣1）⊙2] ＝3⊙[（﹣1）2﹣（﹣1）×2+1] ＝3⊙（1+2+1） ＝3⊙4 ＝34﹣3×4+1 ＝81﹣12+1 ＝70， 故答案为：70． 【总结提升】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 5．（2024秋•垫江县期末）对于一个三位数N，若其百位数字与个位数字之和等于十位上的数字，则称数N为“优选数”．例如：数132，∵1+2＝3，∴132是“优选数”，数246，∵2+6≠4，∴246不是“优选数”，则最大的“优选数”为 　990　；若“优选数”N的个位数字不为零，将其百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为N′，若为完全平方数，则满足条件的N的最小值为 　198　． 【思路引领】要求最大的三位“优选数”，那么百位数字和十位数字应该选9，根据百位数字与个位数字之和等于十位上的数字，可得个位数字为0，那么可得最大的“优选数”；N要取最小值，那么百位数字可选1，可设个位数字为x，那么十位数字为x+1，再得到N′，然后根据为完全平方数，判断出x的最小值然后即可得到N的最小值． 【完整解答】解：∵要求最大的三位“优选数”， ∴百位和十位应该选9． ∵百位数字与个位数字之和等于十位上的数字， ∴个位数字为0． ∴最大的“优选数”为：9×100+9×10+0＝990； ∵N要取最小值， ∴百位数字可选1． 设个位数字为x， ∴十位数字为x+1． ∴N＝1×100+10（x+1）+x＝11x+110； ∴N′＝x×100+10（x+1）+1＝110x+11． ∴（x+1）（x+1）． ∵为完全平方数， ∴x+1应该是9的倍数． ∴x最小可取8． ∴N＝11x+110＝198． 故答案为：990，198． 【总结提升】本题考查新定义下的因式分解的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键． 类型二 方程与不等式中的新定义问题 6．（2024秋•宁远县期末）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2+b2，a★b，则方程2☆x＝x★8的解为　x1＝x2＝2　． 【思路引领】根据新定义运算，可得出2☆x＝22+x2，x★8，由2☆x＝x★8得到x2﹣4x+4＝0，利用配方法解方程即可． 【完整解答】解：∵a☆b＝a2+b2，a★b， ∴2☆x＝22+x2＝4+x2，x★8， ∵2☆x＝x★8， ∴4+x2＝4x，即x2﹣4x+4＝0， ∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×4＝16﹣16＝0， ∴， ∴x1＝x2＝2． 故答案为：x1＝x2＝2． 【总结提升】本题考查了解一元二次方程，新定义运算，理解新定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 7．（2024春•酉阳县期末）我们用[a]表示不大于a的最大整数；用（a）表示大于a的最小整数．下列说法： ①[2.5]＝2，（﹣2）＝﹣1； ②如果，则满足条件的所有正整数x只有7和8； ③已知x，y满足方程组，则x，y的取值范围﹣1＜x＜0，2＜y＜3． 其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【思路引领】①根据题意即可判断；②根据题意可得，解不等式即可判断；③先解出该二元一次方程组得，以此即可判断． 【完整解答】解：∵[2.5]表示不大于2.5的最大整数， ∴[2.5]＝2， ∵（﹣2）表示大于﹣2的最小整数， ∴（﹣2）＝﹣1，故①正确； ∵， ∴， ∴8≤x+1＜10， ∴7≤x＜9， ∴满足条件的所有正整数x只有7和8，故②正确； ， 解得：， ∴﹣1≤x＜0，2≤y＜3，故③错误． 综上，正确的有①②，共2个． 故选：C． 【总结提升】本题主要考查新定义、解一元一次不等式组、解二元一次方程组，解题关键是读懂题意，理解新定义并熟练运用所学等不等式知识解决问题． 8．（2024春•泗洪县期末）已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.7]＝2，[﹣4.3]＝﹣5．若，则x的取值范围是（　　） A．2＜x≤5 B．2≤x＜5 C．5≤x＜8 D．5＜x≤8 【思路引领】根据已知条件中的新定义，列出关于x的不等式，解不等式即可． 【完整解答】解：由题意得：， ﹣3≤2﹣x＜0， ﹣3﹣2≤﹣x＜0﹣2， ﹣5≤﹣x＜﹣2， 2＜x≤5， 故选：A． 【总结提升】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是理解已知条件中的新定义，列出连不等式． 9．（2024•枣庄一模）定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，按此规定，若，则x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】先由题意得﹣10，再运用解不等式组的知识进行求解． 【完整解答】解：由题意得﹣10， 即， 解得x≤1， 故选：A． 【总结提升】此题考查了无理数的估算与一元一次不等式组的求解能力．关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． 10．（2024•沅江市一模）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b，这里等式右边是通常的实数运算．例如：1⊗3，则方程x⊗（﹣1）1的解是（　　） A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7 【思路引领】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【完整解答】解：根据题中的新定义化简得：1， 去分母得：2＝6﹣x+1， 解得：x＝5， 经检验x＝5是分式方程的解． 故选：B． 【总结提升】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 11．（2024•惠阳区校级开学）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ad﹣bc，若1，则x＝　4　． 【思路引领】根据新定义得出：，然后再根据解分式方程的方法，先转变为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 方程两边同时乘（x﹣1），得2+1＝x﹣1， 解得：x＝4， 检验：把x＝4代入x﹣1≠0， ∴分式方程的解为x＝4． 故答案为：4． 【总结提升】本题考查了解分式方程，新定义，理解新定义，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 12．（2023秋•如皋市期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们常用min{a，b}表示这两个数中较小的数．例如：min{﹣1，2}＝﹣1，如果min{﹣3，x}＝2x+1，那么x＝ 　﹣2　． 【思路引领】根据题意，分两种情况进行分析：①当x大于或等于﹣3时；②当x小于﹣3时．由min{﹣3，x}＝2x+1，结合min{a，b}表示这两个数中较小的数，可得出一元一次方程，再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【完整解答】解：①当x大于或等于﹣3时， ∵min{﹣3，x}＝2x+1， ∴由题意，得2x+1＝﹣3， 移项、合并同类项，得2x＝﹣4， 将系数化为1，得x＝﹣2； ②当x小于﹣3时， ∵min{﹣3，x}＝2x+1， ∴由题意，得2x+1＝x， 移项、合并同类项，得x＝﹣1（不符合题意，舍去）， 综上所述，x＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【总结提升】本题考查了解一元一次方程，新定义，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 13．（2024春•汝阳县期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“⊙”，其运算规则是：当a≥b时，a⊙b＝a+b；当a＜b时，a⊙b＝2a+b．例如：3⊙（﹣4）＝3+（﹣4）＝﹣1，（﹣2）⊙1＝2×（﹣2）+1＝﹣3． 有下列结论：①；②若（2x﹣1）⊙（x+3）＝（2x﹣1）+（x+3），则x的取值范围是x≥4；③若（3x﹣1）⊙（4﹣2x）＜0，则x的取值范围是，其中结论正确的是 　②　.（填序号） 【思路引领】先判断﹣6与的大小，然后根据新定义判断①； 根据新定义，列出关于x的不等式，解不等式判断②即可； 根据新定义，分两种情况，列出关于x的不等式，解不等式，然后判断③即可； 【完整解答】解：∵， ∴（﹣6）⊙ ， 故①结论错误； ∵当2x﹣1≥x+3时， 2x﹣x≥3+1， x≥4， （2x﹣1）⊙（x+3）＝（2x﹣1）+（x+3），x的取值范围是x≥4， 故②的结论正确； ∵当3x﹣1≥4﹣2x时， （3x﹣1）⊙（4﹣2x） ＝3x﹣1+4﹣2x ＝x+3， 若（3x﹣1）⊙（4﹣2x）＜0， 则x+3＜0， x＜﹣3； 当3x﹣1＜4﹣2x时， （3x﹣1）⊙（4﹣2x） ＝2（3x﹣1）+（4﹣2x） ＝6x﹣2+4﹣2x ＝4x+2， 若（3x﹣1）⊙（4﹣2x）＜0， 则4x+2＜0， 4x＜﹣2， ， ∴若（3x﹣1）⊙（4﹣2x）＜0，则x的取值范围是或x＜﹣3， 故③的结论错误； 综上可知：结论正确的是②， 故答案为：②． 【总结提升】本题主要考查了解一元一次不等式和新定义，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式和方程的一般步骤． 14．（2024秋•长沙县期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程2x+1＝2和2x﹣1＝2为“成双方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+1）＝2与方程2x﹣（x﹣1）＝2是否互为“成双方程”； （2）若关于x的方程4x+2m＝3x+1与方程互为“成双方程”，求m的值； （3）若关于x的方程与互为“成双方程”，求关于y的方程的解． 【思路引领】（1）先解两个方程，再根据互为“成双方程”的定义进行判断； （2）先解两个方程，用含m的代数式表示出解，再根据互为“成双方程”的定义得关于m的一次方程，求解即可； （3）先解方程，根据互为“成双方程”的定义求出的解，再观察发现3﹣y与x的关系得结论． 【完整解答】解：（1）方程4x﹣（x+1）＝2与方程2x﹣（x﹣1）＝2互为“成双方程”． 理由：解方程4x﹣（x+1）＝2，得x＝1， 解方程2x﹣（x﹣1）＝2，得x＝1， ∵1+1＝2， 所以方程4x﹣（x+1）＝2与方程2x﹣（x﹣1）＝2互为“成双方程”． （2）解方程4x+2m＝3x+1，得x＝1﹣2m． 解方程， 5（x+m）＝10x+2（m﹣1）， 5x+5m＝10x+2m﹣2， 5x＝3m+2， ∴． ∵关于x的方程4x+2m＝3x+1与方程互为“成双方程”， ∴， ∴5﹣10m+3m+2＝10， ∴﹣7m＝3， ∴． （3）， ， x＝﹣2025； ∵关于x的方程与互为“成双方程”， ∴的解为x＝2027， 当x＝3﹣y时，方程可变形为， ∴2027＝3﹣y． ∴y＝﹣2024． 【总结提升】本题考查了解方程，掌握一元一次方程的解法和“成双方程”的定义是解决本题的关键． 类型三 函数中的新定义问题 15．（2024秋•崇川区期末）定义：对于函数图象上的两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1≠x2），将的值称为该函数图象在MN段的“攀登值”，记作kMN.已知二次函数y＝ax2+1（a＞0）的图象上有两点M（x1，y1），N（x2，y2），若对于任意的x1，x2均满足当x2＞x1≥1时，该函数图象在MN段的“攀登值”始终有kMN＞2，则a的取值范围是 　a≥1　． 【思路引领】由新定义可知kMN＝a（x1+x2），kMN＞2，即a（x1+x2）＞2，又x2＞x1≥1，故x1+x2＞2，从而a，又1，所以a≥1． 【完整解答】解：由新定义可知kMNa（x1+x2）， ∵kMN＞2，即a（x1+x2）＞2， 又x2＞x1≥1，故x1+x2＞2， ∴a， ∵1， ∴a≥1． 【总结提升】本题考查了二次函数的性质，新定义，准确理解新定义并能正确计算是解题关键． 16．（2024秋•广州期末）已知抛物线y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1（m为常数，且m≠0）． （1）不论m为何值，抛物线y1的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标； （2）若对于任意自变量x，都有点（x，y1）与点（x，y2）分别到点（x，kx）的距离相等，则y2与x形成的函数称为抛物线y2（异于y1）是抛物线y1的“k倍相伴函数”． ①求抛物线y1的“2倍相伴函数”是y2的解析式； ②在①的情况下，y2的图象经过两个定点A和B（A在B左边），横坐标分别为xA、xB，若存在xA≤x≤xB时，y1与y2都随着x的增大而增大，求m的取值范围． 【思路引领】（1）根据“定点”的定义结合函数的解析式，可知当x＝1或3时，函数值y与m的取值无关，可得此时两个定点的坐标； （2）①由题意得，设函数y2上的任意一点坐标为（x，y2），则（x，y2）关于（x，kx）的对称点为（x，2kx﹣y2），代入代入y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1，再令k＝2，即可求得答案； ②由题意得：y1对称轴为直线，y2对称轴为直线．分两种情况：i）当m＞0时，ii）当m＜0时，分别列不等式求解即可． 【完整解答】解：（1）y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1＝m（x﹣1）（x﹣3）+x﹣1， 令（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝3， 在抛物线y1＝m（x﹣1）（x﹣3）+x﹣1中，令x＝1，得 y＝0，令x＝3，得 y＝2， ∴抛物线y1的图象经过定点（1，0）和（3，2）． （2）①依题意，（x，y1）与（x，y2）关于（x，kx）中心对称， 故， 设函数y2上的任意一点坐标为（x，y2），则（x，y2）关于（x，kx）的对称点为（x，2kx﹣y2）， 依题意（x，2kx﹣y2）必在函数， 代入y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1，得， 化简得， 令k＝2，得， ②y1的图象经过定点（1，0），（3，2）， 根据（x，y1）与（x，y2）关于（x，kx）中心对称，k＝2，可得y2必过定点A（1，4），B（3，10）， 故xA≤x≤xB，即1≤x≤3． y1对称轴为直线，y2对称轴为直线． i）当m＞0时，y1的图象开口向上，在对称轴右侧y1随x增大而增大， 则1时满足题意， 解得：， 当m＞0时，y2的图象开口向下，在对称轴左侧y2随x增大而增大， 则时满足题意， 解得：， 所以，当1≤x≤3时，y1与y2都随x增大而增大，满足题意． ii）当m＜0时，y1的图象开口向下，在对称轴左侧y1随x增大而增大， 则满足题意， 解得， 当m＜0时，y2的图象开口向上，在对称轴右侧y2随x增大而增大， 则满足题意， 解得：， 所以，当1≤x≤3时，y1与y2都随x增大而增大，满足题意． 综上所述，当1≤x≤3，y1与y2都随x增大而增大，或O满足题意． 【总结提升】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、列不等式求自变量的取值范围、含参数的二次函数问题的求解等知识与方法，解题的关键是理解并应用新定义，结合二次函数的图象探究函数图象经过的定点以及定点对函数自变量取值范围的影响，此题难度较大，属于考试压轴题． 17．（2024秋•长沙期末）我们规定：若二次函数的图象恰好经过一次函数的图象与坐标轴的两个交点，则称这个二次函数为一次函数的“高阶函数” （1）下列二次函数中：①y＝﹣x2x+1，②yx+1，③y＝（x+2）2+1为一次函数y＝x+1的“高阶函数”有 　②　；（填序号） （2）已知一次函数y＝x+2的“高阶函数”y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且AB＝2OC，求此“高阶函数”的解析式； （3）一次函数yx+n（n为常数，n＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A，C两点，点B与点A关于y轴对称，过点B作x轴的垂线交函数yx+n的图象于点D，以A，B，D为顶点作矩形ABDE．若函数yx+n（n为常数，n＞0）的“高阶函数”y＝ax2+bx+c的顶点P在矩形ABDE的边上，求b的值． 【思路引领】（1）一次函数y＝x+1与x轴交于点（﹣1，0），与y轴交于点（0，1），把（﹣1，0）和（0，1）两点坐标分别代入①②③函数中即可得到答案； （2）一次函数y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0），与y轴交点为C（0，2），再根据一次函数y＝x+2的“高阶函数”y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，可得c＝2，又∵AB＝2OC＝4，从而可得“高阶函数”y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标为（﹣2，0）、（2，0）或（﹣2，0）、（﹣6，0），最后根据两种情况分别利用待定系数法可求得“高阶函数”的解析式； （3）由题意可得A（﹣2n，0），B（2n，0），C（0，n），D（2n，2n），E（﹣2n，2n）．分为Ⅰ：当a＞0时，如图1，y＝ax2+bx+n的顶点与点A重合，则根据判别式和对称轴可列方程组，解出b的值；Ⅱ：当a＜0时，P在DE边上时，可设P（x，2n），如图2，根据A点在此抛物线上和顶点y值为2n列方程组，解出b的值，当P在BD边上时，即可设P（2n，y），如图3，根据A点在抛物线上和对称轴为2n列方程组，解出b的值，综合以上三种情况即是b的所有取值． 【完整解答】解：（1）一次函数y＝x+1与x轴交于点（﹣1，0），与y轴交于点（0，1）， ∵y＝﹣x2x+1只经过点（0，1），不经过点（﹣1，0），故①不符合题意； ∵yx+1同时经过点（0，1）和点（﹣1，0），故②符合题意； ∵y＝（x+2）2+1既不经过点（0，1），也不经过点（﹣1，0），故③不符合题意； 故答案为：②． （2）∵一次函数y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0），与y轴交点为C（0，2）， 又∵一次函数y＝x+2的“高阶函数”y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C， ∴c＝2， ∵AB＝2OC， 则AB＝2×2＝4，从而一次函数y＝x+2的“高阶函数”y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标为（﹣2，0）、（2，0）或（﹣2，0）、（﹣6，0）， 当y＝ax2+bx+c过C（0，2）、（﹣2，0）、（2，0）时，由待定系数法可得y； 当y＝ax2+bx+c过C（0，2）、（﹣2，0）、（﹣6，0）时，由待定系数法可得y， 综上，此“高阶函数”的解析式为y或y． （3）∵一次函数yx+n与x轴交于点A（﹣2n，0），与y轴交于点C（0，n）， 由点B与点A关于y轴对称可得B（2n，0）． ∵一次函数yx+n的“高阶函数”y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2n，0）、C（0，n）， 可设y＝ax2+bx+n， ∵四边形ABDE为矩形，则D（2n，2n），E（﹣2n，2n）． Ⅰ：当a＞0时，如图1，y＝ax2+bx+n的顶点与点A重合， 即P（﹣2n，0）， ∴，整理得：b2＝b，又b≠0，则b＝1． Ⅱ：当a＜0时，P在DE边上时，可设P（x，2n），如图2： ∴，化简整理消去a、n后可得：b2+2b﹣1＝0， ∴b， ∵对称轴在y轴左侧，则b＜0， ∴b． 当P在BD边上时，即可设P（2n，y），如图3： ∴，化简整理可得﹣b﹣2b+1＝0，b． 综上，b的值为1或或． 【总结提升】本题是一道二次函数为背景的新定义题，考查了二次函数的图象和性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的性质，一元二次方程根的判别式，以及代数变形运算，熟练掌握以上内容并学会分类讨论以及紧扣新定义是解此题关键． 18．（2024秋•深圳期末）定义：平面直角坐标系中，对于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点，称|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为PQ两点的“曼哈顿距离”，记为md（P，Q）． 【探究应用】 平面直角坐标系中，A（2，1）、B（3，3）． （1）如图1，AC∥x轴，BC∥y轴，md（A，B）＝AC+BC＝ 　3　． （2）如图2，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段MN上任取一点P，md（P，B）是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． （3）使md（Q，B）＝3的所有点Q围成的图形面积为 　18　． （4）若点Q是函数的图象上一动点，则使md（Q，B）≤3的所有点Q构成的线段长度为 　2　． 【拓展延伸】 对于平面直角坐标系中的P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点，定义Δ（P，Q）＝|x1﹣x2|﹣|y1﹣y2|，如图3的网格坐标系中，给定点P（4，3），请类比“曼哈顿距离”的探究，在网格范围内画出使Δ（P，Q）＝1的所有点Q构成的图形，并直接写出|x﹣4|﹣|2x﹣9|的最大值． 【思路引领】（1）运用新定义“曼哈顿距离”即可求得答案； （2）过点P作PC∥x轴，过点B作BC∥y轴，设P（t，﹣t+3），则PC＝3﹣t，BC＝3﹣（﹣t+3）＝t，根据新定义“曼哈顿距离”即可求得答案； （3）运用新定义“曼哈顿距离”和正方形的性质即可求得答案； （4）利用待定系数法可得直线MN的解析式为y＝﹣x+3，联立方程可得H（2，1），同理可得E（6，3），再利用两点间距离公式即可求得答案； 【拓展延伸】设Q（x，y），根据定义Δ（P，Q）＝|x1﹣x2|﹣|y1﹣y2|＝1，可得|x﹣4|﹣|y﹣3|＝1，分四种情况：当x＜4，y＜3时，则y＝x，当x＜4，y≥3时，则y＝﹣x+6，当x≥4，y＜3时，则y＝﹣x+8，当x≥4，y≥3时，则y＝x﹣2，分别画出图形，再运用不等式的性质即可求得答案． 【完整解答】解：【探究应用】 （1）如图1， ∵A（2，1）、B（3，3），AC∥x轴，BC∥y轴， ∴C（3，1）， ∴AC＝3﹣2＝1，BC＝3﹣1＝2， ∴md（A，B）＝AC+BC＝1+2＝3， 故答案为：3． （2）md（P，B）＝3为定值．理由如下： 如图2，过点P作PC∥x轴，过点B作BC∥y轴， 设P（t，﹣t+3），则PC＝3﹣t，BC＝3﹣（﹣t+3）＝t， ∴md（P，B）＝PC+BC＝3﹣t+t＝3， ∴md（P，B）＝3为定值． （3）根据新定义“曼哈顿距离”，可知：使md（Q，B）＝3的所有点Q围成的图形为正方形EFMN，如图3， ∵MN2＝OM2+ON2＝32+32＝18， ∴S正方形EFMN＝MN2＝18， 故答案为：18． （4）如图4，由（3）知：使md（Q，B）≤3的所有点Q构成的线段为EH， 设直线MN的解析式为y＝kx+b，则， 解得：， ∴直线MN的解析式为y＝﹣x+3， 联立得， 解得：， ∴H（2，1）， 同理可得E（6，3）， ∴EH2， 故答案为：2． 【拓展延伸】如图5，设Q（x，y）， ∵Δ（P，Q）＝1， ∴|x﹣4|﹣|y﹣3|＝1， 当x＜4，y＜3时，则y＝x， 当x＜4，y≥3时，则y＝﹣x+6， 当x≥4，y＜3时，则y＝﹣x+8， 当x≥4，y≥3时，则y＝x﹣2， ∴使Δ（P，Q）＝1的所有点Q构成的图形如图所示； 令x﹣4＝0，得x＝4； 令2x﹣9＝0，得x； 当x＜4时，|x﹣4|﹣|2x﹣9|＝4﹣x﹣（9﹣2x）＝x﹣5＜﹣1； 当4≤x时，|x﹣4|﹣|2x﹣9|＝x﹣4﹣（9﹣2x）＝3x﹣13， ∴﹣1≤3x﹣13； 当x时，|x﹣4|﹣|2x﹣9|＝x﹣4﹣（2x﹣9）＝﹣x+5， ∴|x﹣4|﹣|2x﹣9|的最大值为． 【总结提升】本题主要考查了坐标与图形，不等式的性质，一次函数与几何综合，正确理解题意是解题的关键． 19．（2024秋•五华区校级期末）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数）． （1）若该函数经过点（1，﹣6），求该函数解析式； （2）在（1）的条件下，①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当t≤x≤t+2时，求出该函数的最小值； （3）在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 【思路引领】（1）把（1，﹣6）代入y＝﹣x2﹣x+c即可求得抛物线解析式； （2）①设点P是函数y＝﹣x2﹣x﹣4图象上的“三倍点”，则P（m，3m），代入抛物线解析式，即可求得“三倍点”坐标； ②由（1）得y＝﹣x2﹣x﹣4，分两种情况：当t+1，即t时，当t+1，即t时，分别求解即可． （3）由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，将在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，即可求解． 【完整解答】解：（1）∵函数y＝﹣x2﹣x+c经过点（1，﹣6）， ∴﹣1﹣1+c＝﹣6， 解得：c＝﹣4， ∴该函数解析式为y＝﹣x2﹣x﹣4； （2）①设点P是函数y＝﹣x2﹣x﹣4图象上的“三倍点”， 则P（m，3m）， ∴3m＝﹣m2﹣m﹣4， 解得：m1＝m2＝﹣2， ∴P（﹣2，﹣6）； ②由（1）可知y＝﹣x2﹣x﹣4， 配方得y＝﹣（x）2， ∴抛物线的对称轴为直线x． 当t+1，即t时，y最小值＝﹣（t+2）2﹣（t+2）﹣4＝﹣t2﹣5t﹣10； 当t+1，即t时，y最小值＝﹣t2﹣t﹣4； 综上，当t时，y最小值＝﹣t2﹣5t﹣10，当t时，y最小值＝﹣t2﹣t﹣4； （3）由题意，得“三倍点”所在的直线为y＝3x．在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x的图象至少有一个交点，令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得：x2+4x﹣c＝0，则Δ＝42﹣4×1×（﹣c）＝16+4c≥0，解得：c≥﹣4；把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c，得y＝﹣6+c，代入y＝3x，得y＝﹣9，则﹣9＞﹣6+c，解得：c＜﹣3；把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c，得y＝﹣2+c，代入y＝3x，得y＝3，则3＞﹣2+c，解得：c＜5．综上，c的取值范围为﹣4≤c＜5． 【总结提升】本题考查了二次函数图象与系数的关系：常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由Δ＝b2﹣4ac决定．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 类型四 三角形中的新定义问题 20．（2024秋•成华区校级期中）如果三角形的两个内角α和β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，点D是BC上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则AD的长为 　6或15　． 【思路引领】先在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AB＝20，然后分两种情况：当∠B+2∠BAD＝90°时；当2∠B+∠BAD＝90°时；分别进行计算即可解答． 【完整解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16， ∴AB20， ∵△ABD是准互余三角形， ∴∠B+2∠BAD＝90°或2∠B+∠BAD＝90°； 分两种情况： 当∠B+2∠BAD＝90°时，如图： 过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°， ∵∠B+2∠BAD＝90°， ∴∠DAC＝∠BAD， ∴AD平分∠BAC， ∵DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DC＝DE， ∵△ABD的面积BD•ACAB•DE， ∴12（16﹣DC）＝20DC， 解得：DC＝6， ∴AD6； 当2∠B+∠BAD＝90°时，如图： ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°， ∵2∠B+∠BAD＝90°， ∴∠DAC＝∠B， ∵∠C＝∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∵， ∴， ∴CD＝9， ∴AD15； 综上所述：AD的长为6或15， 故答案为：6或15． 【总结提升】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 21．（2024•常州模拟）定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即：．如图，若∠A＝45°，则thiA的值为 　　． 【思路引领】作BH⊥AC于H，设BH＝x，由△ABH是等腰直角三角形，得到ABx，由∠C＝30°，得到BC＝2x，由角的邻弦定义，即可解决问题． 【完整解答】解：作BH⊥AC于H， 设BH＝x， ∵∠A＝45°， ∴△ABH是等腰直角三角形， ∴ABBHx， ∵∠C＝30°， ∴BC＝2BH＝2x， ∴thiA． 故答案为：． 【总结提升】本题考查含30°角的直角三角形，角的邻弦定义，关键是掌握角的邻弦定义． 22．（2024春•邗江区校级月考）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为 　10　． 【思路引领】由∠C＝100°，∠A＝∠B，得∠A＝∠B＝40°，根据将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，可得∠EDF＝∠A＝40°，当△BED为“准直角三角形”时，2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，可解得x＝25°或x＝10°，①当x＝25°时，即∠DEB＝25°，可得∠CFD＝55°，2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°，故△CDF不是“准直角三角形”；②当x＝10°时，即∠DEB＝10°，可得∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，2∠CDF+∠CFD＝90°，△CDF是“准直角三角形”，即可得到答案． 【完整解答】解：∵∠C＝100°，∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝40°， ∵将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处， ∴∠EDF＝∠A＝40°， 当△BED为“准直角三角形”时，2∠DEB+∠B＝90°或∠DEB+2∠B＝90°， ∴2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°， ∴x＝25°或x＝10°， ①当x＝25°时，即∠DEB＝25°， ∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝65°， ∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝25°， ∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝55°， 此时2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°， ∴△CDF不是“准直角三角形”； ②当x＝10°时，即∠DEB＝10°， ∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝50°， ∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝10°， ∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°， 此时2∠CDF+∠CFD＝90°， ∴△CDF是“准直角三角形”； 综上所述，能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为10， 故答案为：10． 【总结提升】本题考查三角形中的折叠问题，涉及新定义，解题的关键是读懂“准直角三角形”的定义及分类讨论思想的应用． 23．（2024秋•青阳县期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，∠AOB＝2∠BOC，则OB是∠AOC的一条三分线． （1）若∠AOC＝66°，则∠BOC＝　22°　； （2）如图2，若∠AOB＝120°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，且∠BOC＜∠AOC．若以点O为中心，将∠COD顺时针旋转n°（0＜n＜90）得到∠C'OD'，当OA恰好是∠C'OD'的三分线时，n的值为 　或　． 【思路引领】（1）根据∠AOB＝2∠BOC得到，利用已知条件求出答案即可； （2）分两种情况：①当OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD′＞∠AOC′时，求出∠AOC′；②当OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD′＜∠AOC′时，求出∠AOD′，从而求出n即可． 【完整解答】解：（1）∵∠AOB＝2∠BOC，OB是∠AOC的一条三分线， ∴∠BOC， 故答案为：22°； （2）分两种情况： ①当OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD′＞∠AOC′时，则∠AOD′＝2∠AOC′，如图所示： ∵∠AOB＝120°，OC，OD是∠AOB的两条三分线， ∴∠AOD， ∴∠AOC′， ∴∠DOC′＝∠AOD﹣∠AOC′， ∴∠DOD′＝∠DOC′+∠C′OD′； ②当OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD′＜∠AOC′时， ∵∠AOB＝120°，OC，OD是∠AOB的两条三分线， ∴∠AOD， ∴∠AOD′， ∴∠DOD′＝∠AOD+∠AOD′， 综上可知：n的值为：或， 故答案为：或． 【总结提升】本题主要考查了角的计算，解题关键是熟练掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用． 24．（2024秋•东莞市期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和点H（点H的横、纵坐标相等），给出如下定义：l1为过点H（h，h）且与x轴垂直的直线．l2为过点H（h，h）且与y轴垂直的直线，先作点P关于l1的对称点E，再作点E关于l2的对称点P′，则称点P′是点P关于点H（h，h）的“关联点”． 例如：如图，点C（2，1）关于原点O（0，0）的“关联点”是G′（﹣2，﹣1）． （1）如果点F′（1，2）是点F（﹣3，﹣4）关于点H（h，h）的“关联点”，那么h＝　﹣1　； （2）点A（0，4）关于点H（h，h）的“关联点”为A′，如果△OAA′是以OA为底的等腰三角形，求该三角形的面积； （3）点B（h，2）关于点H（h，h）的“关联点”为B'，如果以BB'为边的等腰直角三角形只在第一象限内，直接写出h的取值范围． 【思路引领】（1）设点F关于l1对称的点为E，则点F'与点E关于l2对称，据此求出点E的横坐标，然后根据对称性即可求出h的值； （2）设点A关于l1对称的点为E，则点A'与点E关于l2对称，先求出点E的纵坐标，当△OAA′是以OA为底的等腰三角形时，点A'在线段OA的垂直平分线上，据此求出点A'的纵坐标，然后根据对称性求出h，求出点A'到OA的距离即可求出△OAA′的面积； （3）根据定义求出B'（h，2h﹣2），则BB'＝|2h﹣4|，根据题意可得h﹣|2h﹣4|＞0，解得h＜4，当h＝2时，不能构成三角形，h≠2，由此可求h的取值范围． 【完整解答】解：（1）设点F关于l1对称的点为E， 则点F'与点E关于l2对称， ∴点E的横坐标与点F'的横坐标相同，等于1， ∵点F的横坐标为﹣3， ∴h＝（﹣3+1）÷2＝﹣1． 故答案为：﹣1； （2）设点A关于l1对称的点为E， ∵点A（0，4）， ∴点E的坐标为（2h，4）， ∵△OAA′是以OA为底的等腰三角形， ∴点A'在OA的垂直平分线上， ∴点A'的纵坐标为（0+4）÷2＝2， ∴点A'的坐标为（2h，2）， ∵点A'与点E关于l2对称， ∴h＝（2+4）÷2＝3， ∴点A'到OA的距离＝2h＝6， ∴S△OAA′4×6＝12； （3）∵B（h，2）关于点H（h，h）的“关联点”为B'， ∴B'（h，2h﹣2）， ∴BB'＝|2h﹣2﹣2|＝|2h﹣4|， ∵以BB'为边的等腰直角三角形只在第一象限内， ∴h﹣|2h﹣4|＞0， 解得h＜4， 当h＝2时，不能构成三角形， ∴h≠2， ∴h＜4且h≠2时，以BB'为边的等腰直角三角形只在第一象限内． 【总结提升】本题是三角形综合题，主要考查等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，点的对称性以及新定义等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 类型五 四边形中的新定义问题 25．（2024秋•宝安区期末）新定义：若点P（m，n），点Q（p，q），如果m+n＝p+q，那么点P与点Q就叫作“和等点”，m+n＝p+q＝k，称k为等和．例如：点P（4，2），点Q（1，5），因4+2＝1+5＝6，则点P与点Q就是和等点，6为等和．如图在长方形GHMN中，点H（2，3），点N（﹣2，﹣3），MN⊥y轴，HM⊥x轴，若长方形GHMN的边上存在不同的两个点P、Q，这两个点为和等点，等和为4，则PQ的长为 　　． 【思路引领】设点P（m，n），点Q（p，q），由题意可得，m+n＝p+q＝4，P（m，4﹣m），Q（p，4﹣p），可知点P，Q均在直线y＝﹣x+4上，在坐标系中可作出直线y＝﹣x+4，则直线y＝﹣x+4与矩形的交点即为点P，Q，求出P，Q的坐标即可得出结论． 【完整解答】解：设点P（m，n），点Q（p，q）， 由题意可得，m+n＝p+q＝4， ∴P（m，4﹣m），Q（p，4﹣p）， ∴点P，Q均在直线y＝﹣x+4上， 在坐标系中可作出直线y＝﹣x+4，则直线y＝﹣x+4与矩形的交点即为点P，Q， ∴令y＝3时，x＝1，令x＝2时，y＝2， ∴P（1，3），Q（2，2）或P（2，2），Q（1，3）， ∴PQ． 故答案为：． 【总结提升】本题考查一次函数图象上点的特征、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 26．（2024秋•香洲区校级期中）在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，四边形ABCD的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点P与A，B，C，D也构成爱尔特希点集，则∠APB＝　72或36　°． 【思路引领】由题意知A、B、C、D为某正五边形的四个顶点时，即满足题意． 【完整解答】解：由题意知A、B、C、D为某正五边形的四个顶点时，构成爱尔特希点集， 当P为正五边形的中心点时，与A、B、C、D构成爱尔特希点集， 所以∠APB＝360°÷5＝72°， 当点P在正五边形的顶点时，∠APB＝180°÷5＝36°， 故答案为：72或36． 【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，正多边形的内角，解题的关键是正确推理． 27．（2024秋•徐汇区校级期末）若∠α和∠β均为大于0°小于180°的角，且|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： （1）若∠α和∠β互为“伙伴角”，当∠α＝130°时，求∠β的度数； （2）如图1，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点B'，若∠1与∠2互为“伙伴角”，求∠3的度数； （3）如图2，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着PF对折（点F在线段AD上）使点C落在线段PE上的点C'处，线段PB'落在∠EPF内部．若∠1与∠4互为“伙伴角”，求∠BPF的度数． 【思路引领】（1）由已知得到∠β＝∠α﹣60°或∠β＝∠α+60°，再根据∠α的度数可得答案． （2）根据题意可得，∠2＝∠1﹣60°或∠2＝∠1+60°，由翻折可得，∠1＝∠3，再结合∠1+∠2+∠3＝180°，可求得∠3的度数． （3）由题意可得2∠CPF＝∠1+∠4，再与（2）同理求出∠1和∠4的度数，即可得到∠CPF的度数，从而可得答案． 【完整解答】解：（1）∵∠α和∠β互为“伙伴角”， ∴|∠α﹣∠β|＝60°， ∴∠β＝∠α﹣60°或∠β＝∠α+60°， ∵∠α＝130°， ∴∠β＝70°或190°． ∵∠α和∠β均为大于0°小于180°的角， ∴∠β＝70°． （2）由翻折可得，∠1＝∠3， ∵∠1与∠2互为“伙伴角”， ∴|∠1﹣∠2|＝60°， ∴∠2＝∠1﹣60°或∠2＝∠1+60°， ∵∠1+∠2+∠3＝180°， ∴2∠3+∠3﹣60°＝180°或2∠3+∠3+60°＝180°， ∴∠3＝80°或40°． （3）由题意得，∠CPF＝∠EPF＝∠1+∠B′PF＝∠1+∠4﹣∠CPF， ∴2∠CPF＝∠1+∠4． 由（2）可知，∠1＝∠3＝40°或80°，∠4＝∠1+60°或∠1﹣60°， 当∠1＝∠3＝80°时不符合题意， ∴∠4＝100°， ∴∠1+∠4＝140°， ∴∠CPF＝70°， ∴∠BPF＝180°﹣∠CPF＝110°． 【总结提升】本题考查翻折变换（折叠问题），能够正确理解四边形中的新定义问题是解答本题的关键． 28．（2024秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，Q是x轴正半轴上一点，对于四边形ABCD边上的点P和图形W（点P不在x轴上），给出如下定义：若∠POQ＝α，将图形W绕点P逆时针旋转α得到图形M，则称图形M是图形和点P的“关联图”． 如图，点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）． （1）点N1（﹣1，2），N2（2，2），，中，在四边形ABCD和点E（0，1）的“关联图”上的点是 　N4（2，），N2（2，2）　； （2）已知点，． ①若线段OF关于点P的“关联图”在四边形ABCD的内部（包含边界），设点P的横坐标的最小值为m，纵坐标的最大值为n，直接写出n﹣m的值 　　； ②当△OFG关于点P的“关联图”和△OFG都在四边形ABCD的内部（包含边界）时，锐角α的最大值是60°，请直接写出t的取值范围 　　． 28．（2024秋•长沙期中）问题背景：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△ADE互为“M三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“M高”，点A叫做“M中心”． （1）特例研究：在图2中，△ABC与△ADE互为“M三角形”，AH是△ADE的“M高”．当∠BAC＝90°时，写出AH与DE之间的数量关系，并给出证明． （2）猜想论证：在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AH与DE之间的数量关系，并给出证明． （3）迁移应用：如图3，在四边形ABCD中，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，，四边形ABCD的内部是否存在点P，使得△PAD与△PBC互为“M三角形”，若存在，请给出证明，并求出△PBC的“M高”的长；若不存在，请说明理由． 【思路引领】（1）通过证明△ABC≌△ADE得出BC＝DE，再由等腰直角三角形的性质即可求出． （2）作AF⊥DE，然后根据“M三角形”的性质推出∠C＝∠FAD，再由“AAS”证明△AHC≌△DFA得到AH＝DF，从而得出结论． （3）连接AC，作BC的垂直平分线交AC于点P，连接PD，PB．先根据“SSS”证明△ADC≌△ABC，进而得出△ADC和△ABC都是含有30°锐角的直角三角形，进而推出PC＝PB＝PD＝PA，∠APD+∠BPC＝180°，从而证明存在点P使△PAD与△PBC互为“M三角形”，再由（2）中结论得出△PBC的“M高”的长度． 【完整解答】解：（1）结论：． 证明如下： ∵△ABC 与△ADE 互为“M三角形”， ∴AB＝AC＝AD＝AE 又∵∠BAC＝90°＝180°﹣∠DAE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． ∴BC＝DE． 又∵AH为△ABC 的高，△ABC 为等腰直角三角形． ∴， ∴． （2）结论：． 理由如下： 过点A作AF⊥DE于点F． 根据△ABC 与△ADE 互为“M三角形”可知：∠HAC+∠FAD90°， 又∵∠HAC+∠C＝90°， ∴∠C＝∠FAD． ∴在△AHC与△DFA中： ， ∴△AHC≌△DFA（AAS）， ∴AH＝DF． 在△ADE 中，AD＝AE，AF⊥DE， ∴， ∴． （3）结论：存在点P，使得△PAD与△PBC互为“M三角形”． 证明如下： 连接AC，作BC的垂直平分线交AC于点P，连接PD，PB． 根据题意有 ∴△ADC≌△ABC（SSS）． ∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∠DAC＝∠BAC30°． ∴ ∴△PBC为等边三角形． 同理得△PDC为等边三角形， ∴PC＝PB＝PD＝PA，∠APD+∠BPC＝180°﹣60°+60°＝180°， ∴存在点P使△PAD与△PBC互为“M三角形”． 过点P作PH⊥AD于点H，PH为△PBC 的“M 高”． ∴． 【总结提升】本题考查了四边形中新定义模型的理解和应用，涉及全等三角形的判定和性质，等腰三角形和等边三角形的性质等，通过辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 29．（2024•南皮县三模）某实验中学为培养学生对数学的兴趣，举办“数学素养”探究活动，在这次探究活动中，同学们探讨了下面的问题： 【材料阅读】 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，对于点R，如果点T满足条件：以线段RT为对角线的四边形是正方形，且正方形的边分别与x轴，y轴平行，那么称点T为点R的“和谐点”． 【问题探究】 已知点A（﹣2，1），D（1，2），E（﹣1，2），F（1，﹣2）． （1）在点D、E、F中，是点A的“和谐点”的是 　E、F　； （2）已知点B的坐标为（0，b），如果点B为点A的“和谐点”，求b的值； （3）已知点C（m，0），如果线段DE上存在一个点M，使得点M是点C的“和谐点”，直接写出m的取值范围． 【思路引领】（1）画出图形根据“和谐点”的定义判断即可； （2）画出图形根据“和谐点”的定义解决问题即可； （3）在x轴上作出在点E下方的“和谐点”G（﹣3，0），在x轴上作出在点D下方的“和谐点”H（3，0），利用图象法可得结论． 【完整解答】解：（1）如图，在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是点E，点F， 故答案为：E、F． （2）如图， ∵点B的坐标为（0，b），点B为点A的“和谐点”， 观察图形可知B（0，3）或B'（0，﹣1）， ∴b＝3或﹣1． （3）﹣3≤m≤﹣1或1≤m≤3． 如图， 观察图形可知，点M在线段DE上， ∴点M的“和谐点”在线段GH上，H（3，0），G（﹣3，0）， ∴点C（m，0）在线段GH上， ∴﹣3≤m≤﹣1或1≤m≤3， 【总结提升】本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，“和谐点”的定义等知识，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 类型六 圆中的新定义问题 30．（2024秋•平谷区期末）我们给出如下定义：在平面内，已知点M和图形G，点M到图形G上所有点的距离的最小值称作点M到图形G的距离． （1）平面直角坐标系下，已知点P（0，3），以O为圆心，1为半径画圆，则点P到⊙O的距离为 　2　； （2）平面直角坐标系下，已知点P（0，3），在平面内有一个矩形ABCD，A（﹣2，1），B（2，1），D（﹣2，﹣1）． ①当矩形绕着点O旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围为 　　． ②若M为矩形ABCD上一点，连接OM，以OM为直径画圆，记作圆G，则点P到圆G的距离d的取值范围为 　　． 【思路引领】（1）由题意可知⊙O与y轴交于点（0，1），故P到⊙O的最短距离为2； （2）①当矩形绕着点O旋转时，可知当AB在x轴上方，且平行于x轴时，点P到矩形的距离d最大，当矩形的顶点落在y轴上时，点P到矩形的距离d最小； ②当M在CD中点时，点P到圆G的距离d最大，最大为d＝3﹣0＝3；当M在矩形ABCD的顶点时，如在A点时，此时d最小，根据点圆最值可求． 【完整解答】解：（1）由题意可知⊙O与y轴交于点（0，1），故P到⊙O的最短距离为3﹣1＝2， 故答案为：2； （2）①当矩形绕着点O旋转时，可知当AB在x轴上方，且平行于x轴时，点P到矩形的距离d最大， 最大为d＝3﹣1＝2； 当矩形的顶点落在y轴上时，点P到矩形的距离d最小， ∵OA＝OB＝OC＝OD， 则最小为d， 故答案为：； ②如图1所示， 当M在CD中点时，点P到圆G的距离d最大，最大为d＝3﹣0＝3； 当M在矩形ABCD的顶点时，如在A点时，此时d最小， ∵OA中点G坐标为（﹣1，），P（0，3） ∴PG， 又∵OA， ∴d， 故答案为：． 【总结提升】本题是一道圆的新定义问题，考查了点到圆的距离，矩形的性质，点圆最值，分类讨论的数学思想，熟练掌握点圆最值是解此题关键． 31．（2024秋•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O半径长为1，AB为⊙O的一条弦，若∠APB＝α（0°＜α＜180°），则称点P为⊙O的弦AB的α度相关点． （1）如图，直线y＝x与⊙O交于A，B两点，在点C1（1，0），C2（2，1），中，是弦AB的90°相关点的有 　C1和C3　． （2）已知⊙O的弦CD的长为，点P是弦CD的60°相关点，T是CD中点，则△PCD面积的最大值为 　　，当△PCD面积取得最大值时PT长为 　　． （3）已知点Q是直线y＝x﹣1上的一个动点，且存在⊙O的弦EF，EF＝2，点Q为⊙O的弦EF的60°相关点，直接写出点Q横坐标t的取值范围． 【思路引领】（1）根据题意可判断出仅C1（1，0）和在⊙O上，如图1所示，再由圆周角定理推论可得∠AC1B＝∠AC3B＝90°，从而可判断C1和C3是弦AB的90°相关点； （2）如图2所示，T为弦CD中点，当PT⊥CD时，PT最大，由垂径定理可知，PC＝PD，得到△CPD为等边三角形，CD＝PC＝PD，PT＝sin60°×PC，进而△PCD面积的最大值为； （3）大致思路如下：由题知EF为⊙O的直径，由题意及定弦定角原理，先判断出当EF两点在x轴上固定不变时，点Q在分别以M（0，）、N（0，）为圆心，为半径的、弦EF所对的优弧上运动（不含EF两点），如图3所示．再判断得出当EF旋转起来后，Q点在以原点为圆心，以为半径的圆上运动，综合可得点Q的运动区域为以原点为圆心，1和为半径的两个一小一大的圆所形成的圆环区域（不含内圆边界），又点Q必须在直线y＝x﹣1上运动，从而可得到点Q的横坐标的取值范围． 【完整解答】解：（1）C1（1，0）和位置如图1所示， 由题可知点C1（1，0）和在⊙O上，AB为直径， 由圆周角定理推论可得∠AC1B＝∠AC3B＝90°， ∴C1和C3是弦AB的90°相关点， 故答案为：C1和C3． （2）如图2所示，T为弦CD中点， ∵弦CD的长为，点P是弦CD的60°相关点， 故∠CPD＝60°，P点在弦CD所对优弧上， 当PT⊥CD时，PT最大，由垂径定理可知，PC＝PD， △CPD为等边三角形，CD＝PC＝PD， PT＝sin60°×PC， ∴△PCD面积的最大值为． 故答案为：，． （3）∵⊙O半径长为1，故⊙O直径为2， ∵⊙O的弦EF＝2，故EF为⊙O的直径． 由于点Q为⊙O的弦EF的60°相关点，及定弦定角原理， 则当EF两点在x轴上固定不变时，点Q在分别以M（0，）、N（0，）为圆心， 为半径的、弦EF所对的优弧上运动（不含EF两点），如图3所示： 此时； 当EF旋转起来后，Q点在以原点为圆心，以为半径的圆上运动， 此圆交直线y＝x﹣1于Q1和Q2两点， 由题意可设点Q1（t，t﹣1）， 则由勾股定理可得，解得：t（舍去正值）， 则t， 同理可得Q2的横坐标为， 综上，点Q的运动区域为以原点为圆心，1和为半径的两个一小一大的圆所形成的圆环区域（不含内圆边界）， 又∵点Q必须在直线y＝x﹣1上运动， 综上可得点Q横坐标t的取值范围为或． 【总结提升】本题以是一道圆的新定义综合题，主要考查了圆周角定理及其推论，垂径定理，等边三角形的判定及性质，勾股定理，一次函数，定弦定角，（3）问难度较大，根据定弦定角找出Q点的运动轨迹是解题关键． 32．（2024秋•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B，对于直线AB外一点P，给出如下定义：若∠PAB＝α，将点A绕点P顺时针旋转α得到点Q，再将点P绕点Q逆时针旋转α得到点R，则称点R为点P关于A、B的“关联点”． （1）如图，点A（1，0），B（2，0），C（1，1），D（2，﹣2）．①在点R1（2，2），R2（0，2），R3（2，﹣1），R4（1，﹣1）中，点C关于A、B的“关联点”是 　R2　，点 　R4　关于A、B的“关联点”是点D； ②已知点E在射线 （x≥1）上，若点E关于A、B的“关联点”F在以点G（2，1）为圆心，OG为半径的圆内，直接写出点E的横坐标xE的取值范围 　1＜xE＜1　； （2）已知OA＝OB＝1，将点A绕点O逆时针旋转120°得到点M，若点N为点M关于A、B的“关联点”，记ON的长为t，直接写出t的取值范围 　t　． 【思路引领】（1）①根据“关联点”的定义在坐标系里作出相应点的位置，进行判断即可． ②根据射线AE的关系式求出AE与x轴的夹角，然后由“关联点”的定义得出点F在过点A垂直于x轴的射线AF上．再求出AF与⊙G的交点F的坐标即可求出答案． （2）先求出点N的运动轨迹为⊙Q的部分圆弧．然后由等边三角形的性质求出点Q、T的坐标，进而求出OQ、OT的长度，最后由OQ﹣QM≤ON＜OT求出t的范围． 【完整解答】解：（1）①如图所示，根据题意∠CAB＝90°，点A绕点C顺时针旋转90°至点R5（0，1），点C再绕点R5逆时针转90°后与R2重合，则R2是点C关于A、B的“关联点”； ∠R4AB＝90°，点A绕R4顺时针旋转90°与R3重合，R4绕R3逆时针旋转90°后与点D重合，则R4关于A、B的“关联点”是点D． 故答案为：R2；R4． ②如图，点E在射线 （x≥1）上，作EJ⊥x轴，垂足为I．设点E坐标为（e，e）． ∴EIe.AI＝e﹣1． ∴tan∠EAI，∠EAI＝60°． ∵点A绕点E顺时针旋转60°得到点H，点E绕点H逆时针旋转60°得到点F． ∴△AHE和△FHE均是等边三角形． ∴四边形AEFH为菱形，HE∥x轴，∠AFE＝30°． 故射线 （x≥1）上的点关于A、B的“关联点”在射线AF上． 当该“关联点”F恰好在⊙G上时，设点F坐标为（1，yF）． ∵FG＝OG， ∴yF＝3． ∴xE＝xAHE＝13•tan∠AFE＝1． 则1＜xE＜1． 故答案为：1＜xE＜1． （2）如图，点Q在AM的延长线上，⊙Q和⊙M为等圆相交于点S、V，都是以MA为半径． 则△QVM和△QSM为等边三角形． 当点B从点M处绕点O逆时针旋转至点A的过程中，点M关于A、B的“关联点”点N是从点M绕点Q顺时针旋转至点T． 点B旋转120°至点U时，相应地，点M关于A、B的“关联点”N从点M旋转60°至点S处； 点B旋转接近240°至点U时，相应地，点M关于A、B的“关联点”N从点M旋转接近120°至点T处； 同理，当点B绕点O顺时针旋转接近点A时，点M关于A、B的“关联点”N从点M绕点Q逆时针旋转接近点V． 根据“关联点”的定义可知，∠AMS＝∠MST＝120°．AM∥TS，易得△TVU也为等边三角形．QS∥UV∥y轴． 故△TQS和△SMU也是等边三角形． 在△AMU中，根据等边三角形的性质，AM＝MU＝2AO•sin60°． 在△TVU中，根据等边三角形的性质，VM＝MU，TM⊥UV， ∴TV＝AQ＝2QM＝2AM＝2.，TM＝TV•sin60°＝3． ∵MA∥TS，MA＝TS， ∴四边形MAST为平行四边形，TM＝SA． ∴xQ＝﹣OS＝﹣（SA﹣OA）＝﹣（3﹣1）＝﹣2，yQ＝QS＝AM； xT＝xQ﹣TQ•sin60°＝﹣2．yT＝AM•cos60°． 则OQ，OT． 由图中点N的轨迹可知，OT＞OV， ∴OQ﹣QM≤ON＜OT． ∴t． 故答案为：t． 【总结提升】本题考查了坐标系中关于点位置的新定义问题的理解，一次函数的图象和性质，等边三角形的性质，圆的性质，解直角三角形等知识点．求出“关联点”的运动轨迹是解答本题的关键． 33．（2024秋•大丰区期中）定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为点和直线的等距圆，圆心称为点和直线的等距点． 例如图1，⊙G过点P，且与直线l相切，⊙G为点P和直线l等距圆． 【概念理解】（1）在图2中用尺规法作出点A和直线m的等距圆⊙F，且与直线m的切点为B点．（不写作法，但要保留作图痕迹） 【初步运用】（2）如图3，已知点M（0，2），N（0，6），⊙D既为点M和x轴的等距圆，又为点N和x轴的等距圆，求点D的坐标． 【探索发现】（3）如图4，已知点M（0，2），⊙D为点M和x轴的等距圆，易见等距圆和等距点均有无数个，设等距点D（x，y），求出y与x的函数关系式． 【拓展提高】（4）已知点M（0，2），⊙D为点M和x轴的等距圆，圆D被y轴分得的较大部分的弧长不小于⊙D周长的，直接写出D点横坐标x的取值范围 　﹣2（1）≤x≤﹣2或2≤x≤2（1）　． 【思路引领】（1）连接BA，过点B作m的垂线与过点A作AB的垂线交于点C，根据圆周角所对应的弦为直径，故以BC为直径的圆即为所求． （2）由MF和MF+MO＝DE＝MD，求出MF和DM，然后由勾股定理求出DF，再根据轴对称的性质求出符合题意的D点坐标． （3）根据题意求出MD、DF和MF关于点D坐标的表达式，再由MD2＝DF2+MF2建立等量关系，即可求出y与x的函数关系式． （4）根据题意先得出∠MDF≤45°．然后由sin∠MDF得出0，结合（3）中y与x的函数关系式，即可求出x的范围． 【完整解答】解：（1）作法如图所示，⊙F即为所求． （2）根据题意，⊙D既为点M和x轴的等距圆，又为点N和x轴的等距圆． ∴⊙D经过M、N两点且与x轴相切． 过圆心D作MN的垂线交y轴于点F，作DE⊥x轴，垂足为E. ∵MD＝ND，MN＝6﹣2＝4， ∴MF＝NF2． ∵四边形OEDF为矩形， ∴DE＝FO＝MF+MO＝2+2＝4． 在Rt△DFM中，DF2． 同理，点D关于y轴对称点D′左侧也符合条件． ∴点D坐标为（2，4）或（﹣2，4）． （3）如图所示，⊙D为点M和x轴的等距圆．⊙D和y轴交于M、N两点． 过圆心D作MN的垂线交y轴于点F，作DE⊥x轴，E为垂足. 点D的坐标（x，y）．点M坐标为（0，2）． ∵MD＝DE＝y，DF＝|x|，MD2＝DF2+MF2，MO＝2，MF＝DE﹣MO， ∴y2＝x2+（y﹣2）2． 整理得yx2+1． 故y与x的函数关系式为yx2+1． （4）设点D坐标为（x，y），⊙D周长为∁D． 由（3）可知MD＝MN＝y，DF＝|x|，yx2+1，MF＝y﹣MO＝y﹣2． 根据题意，∁D，则∠MDN360°＝90°． ∴△MDN为等腰直角三角形． ∵MF＝NF， ∴∠MDF≤45°． 又∵sin∠MDF．sin45°， ∴0．即y≥2且y≤2（2）． 当1≥2时，x≤﹣2或x≥2． 当2（2）时，﹣2（1）≤x≤2（1）． ∴﹣2（1）≤x≤﹣2或2≤x≤2（1）． 【总结提升】本题考查了与圆有关的新定义问题，涉及到垂线的尺规作图，切线的性质，圆的性质，勾股定理，解不等式等知识点．求出等距圆圆心横纵坐标之间的函数表达式是解答的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26【中考创新题型专项训练1】新定义问题（原卷版） 类型一 数与式注中的新定义问题 1．（2024秋•怀宁县期末）定义新运算“@”与“⊕”：a@b，a⊕b．则3@（﹣2）﹣（﹣3）⊕（﹣1）的值是（　　） A． B．﹣1 C． D．1 2．（2024秋•西山区期末）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab﹣ab，则﹣1※2024的值（　　） A．﹣2025 B．﹣2024 C．2024 D．2025 3．（2025•沙坪坝区校级开学）对于整数a，b，定义一种新运算“⊗”：当a+b为偶数时，规定f（a）⊗f（b）＝2|a+b|+|a﹣b|；当a+b为奇数时，规定f（a）⊗f（b）＝2|a+b|﹣|a﹣b|，则下列结论正确的有（　　） ①当a＝﹣2，b＝7时，则f（a）⊗f（b）＝l； ②已知，，且3A+B的值与x的取值无关，则f（a）⊗f（b）＝0； ③已知关于x的方程的解是正整数，满足条件的最小的整数m记为m1，最大的整数m记为m2，则f（m1）⊗f（m2）＝25； ④若f（m）⊗f（3）＝9，则关于x的方程无解． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2024秋•福山区期末）用“⊙”定义一种新运算：a⊙b＝ab﹣ab+1，如2⊙3＝23＝2×3+1＝3．则3⊙[（﹣1）⊙2]的值为 　 　． 5．（2024秋•垫江县期末）对于一个三位数N，若其百位数字与个位数字之和等于十位上的数字，则称数N为“优选数”．例如：数132，∵1+2＝3，∴132是“优选数”，数246，∵2+6≠4，∴246不是“优选数”，则最大的“优选数”为 　 ；若“优选数”N的个位数字不为零，将其百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为N′，若为完全平方数，则满足条件的N的最小值为 ． 类型二 方程与不等式中的新定义问题 6．（2024秋•宁远县期末）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2+b2，a★b，则方程2☆x＝x★8的解为　 　． 7．（2024春•酉阳县期末）我们用[a]表示不大于a的最大整数；用（a）表示大于a的最小整数．下列说法： ①[2.5]＝2，（﹣2）＝﹣1； ②如果，则满足条件的所有正整数x只有7和8； ③已知x，y满足方程组，则x，y的取值范围﹣1＜x＜0，2＜y＜3． 其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2024春•泗洪县期末）已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.7]＝2，[﹣4.3]＝﹣5．若，则x的取值范围是（　　） A．2＜x≤5 B．2≤x＜5 C．5≤x＜8 D．5＜x≤8 9．（2024•枣庄一模）定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，按此规定，若，则x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 10．（2024•沅江市一模）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b，这里等式右边是通常的实数运算．例如：1⊗3，则方程x⊗（﹣1）1的解是（　　） A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7 11．（2024•惠阳区校级开学）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ad﹣bc，若1，则x＝　 　． 12．（2023秋•如皋市期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们常用min{a，b}表示这两个数中较小的数．例如：min{﹣1，2}＝﹣1，如果min{﹣3，x}＝2x+1，那么x＝ 　 　． 13．（2024春•汝阳县期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“⊙”，其运算规则是：当a≥b时，a⊙b＝a+b；当a＜b时，a⊙b＝2a+b．例如：3⊙（﹣4）＝3+（﹣4）＝﹣1，（﹣2）⊙1＝2×（﹣2）+1＝﹣3． 有下列结论：①；②若（2x﹣1）⊙（x+3）＝（2x﹣1）+（x+3），则x的取值范围是x≥4；③若（3x﹣1）⊙（4﹣2x）＜0，则x的取值范围是，其中结论正确的是 　 　.（填序号） 7．（2024秋•长沙县期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程2x+1＝2和2x﹣1＝2为“成双方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+1）＝2与方程2x﹣（x﹣1）＝2是否互为“成双方程”； （2）若关于x的方程4x+2m＝3x+1与方程互为“成双方程”，求m的值； （3）若关于x的方程与互为“成双方程”，求关于y的方程的解． 类型三 函数中的新定义问题 15．（2024秋•崇川区期末）定义：对于函数图象上的两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1≠x2），将的值称为该函数图象在MN段的“攀登值”，记作kMN.已知二次函数y＝ax2+1（a＞0）的图象上有两点M（x1，y1），N（x2，y2），若对于任意的x1，x2均满足当x2＞x1≥1时，该函数图象在MN段的“攀登值”始终有kMN＞2，则a的取值范围是 　 ． 16．（2024秋•广州期末）已知抛物线y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1（m为常数，且m≠0）． （1）不论m为何值，抛物线y1的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标； （2）若对于任意自变量x，都有点（x，y1）与点（x，y2）分别到点（x，kx）的距离相等，则y2与x形成的函数称为抛物线y2（异于y1）是抛物线y1的“k倍相伴函数”． ①求抛物线y1的“2倍相伴函数”是y2的解析式； ②在①的情况下，y2的图象经过两个定点A和B（A在B左边），横坐标分别为xA、xB，若存在xA≤x≤xB时，y1与y2都随着x的增大而增大，求m的取值范围． 17．（2024秋•长沙期末）我们规定：若二次函数的图象恰好经过一次函数的图象与坐标轴的两个交点，则称这个二次函数为一次函数的“高阶函数” （1）下列二次函数中：①y＝﹣x2x+1，②yx+1，③y＝（x+2）2+1为一次函数y＝x+1的“高阶函数”有 　　；（填序号） （2）已知一次函数y＝x+2的“高阶函数”y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且AB＝2OC，求此“高阶函数”的解析式； （3）一次函数yx+n（n为常数，n＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A，C两点，点B与点A关于y轴对称，过点B作x轴的垂线交函数yx+n的图象于点D，以A，B，D为顶点作矩形ABDE．若函数yx+n（n为常数，n＞0）的“高阶函数”y＝ax2+bx+c的顶点P在矩形ABDE的边上，求b的值． 18．（2024秋•深圳期末）定义：平面直角坐标系中，对于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点，称|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为PQ两点的“曼哈顿距离”，记为md（P，Q）． 【探究应用】 平面直角坐标系中，A（2，1）、B（3，3）． （1）如图1，AC∥x轴，BC∥y轴，md（A，B）＝AC+BC＝ 　 　． （2）如图2，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段MN上任取一点P，md（P，B）是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． （3）使md（Q，B）＝3的所有点Q围成的图形面积为 　 　． （4）若点Q是函数的图象上一动点，则使md（Q，B）≤3的所有点Q构成的线段长度为 　 ． 【拓展延伸】 对于平面直角坐标系中的P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点，定义Δ（P，Q）＝|x1﹣x2|﹣|y1﹣y2|，如图3的网格坐标系中，给定点P（4，3），请类比“曼哈顿距离”的探究，在网格范围内画出使Δ（P，Q）＝1的所有点Q构成的图形，并直接写出|x﹣4|﹣|2x﹣9|的最大值． 19．（2024秋•五华区校级期末）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数）． （1）若该函数经过点（1，﹣6），求该函数解析式； （2）在（1）的条件下，①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当t≤x≤t+2时，求出该函数的最小值； （3）在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 类型四 三角形中的新定义问题 20．（2024秋•成华区校级期中）如果三角形的两个内角α和β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，点D是BC上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则AD的长为 　 ． 21．（2024•常州模拟）定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即：．如图，若∠A＝45°，则thiA的值为 　 ． 22．（2024春•邗江区校级月考）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为 　 　． 23．（2024秋•青阳县期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，∠AOB＝2∠BOC，则OB是∠AOC的一条三分线． （1）若∠AOC＝66°，则∠BOC＝　 　； （2）如图2，若∠AOB＝120°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，且∠BOC＜∠AOC．若以点O为中心，将∠COD顺时针旋转n°（0＜n＜90）得到∠C'OD'，当OA恰好是∠C'OD'的三分线时，n的值为 　． 24．（2024秋•东莞市期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和点H（点H的横、纵坐标相等），给出如下定义：l1为过点H（h，h）且与x轴垂直的直线．l2为过点H（h，h）且与y轴垂直的直线，先作点P关于l1的对称点E，再作点E关于l2的对称点P′，则称点P′是点P关于点H（h，h）的“关联点”． 例如：如图，点C（2，1）关于原点O（0，0）的“关联点”是G′（﹣2，﹣1）． （1）如果点F′（1，2）是点F（﹣3，﹣4）关于点H（h，h）的“关联点”，那么h＝　 　； （2）点A（0，4）关于点H（h，h）的“关联点”为A′，如果△OAA′是以OA为底的等腰三角形，求该三角形的面积； （3）点B（h，2）关于点H（h，h）的“关联点”为B'，如果以BB'为边的等腰直角三角形只在第一象限内，直接写出h的取值范围． 类型五 四边形中的新定义问题 25．（2024秋•宝安区期末）新定义：若点P（m，n），点Q（p，q），如果m+n＝p+q，那么点P与点Q就叫作“和等点”，m+n＝p+q＝k，称k为等和．例如：点P（4，2），点Q（1，5），因4+2＝1+5＝6，则点P与点Q就是和等点，6为等和．如图在长方形GHMN中，点H（2，3），点N（﹣2，﹣3），MN⊥y轴，HM⊥x轴，若长方形GHMN的边上存在不同的两个点P、Q，这两个点为和等点，等和为4，则PQ的长为 　　 ． 26．（2024秋•香洲区校级期中）在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，四边形ABCD的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点P与A，B，C，D也构成爱尔特希点集，则∠APB＝　 　°． 27．（2024秋•徐汇区校级期末）若∠α和∠β均为大于0°小于180°的角，且|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： （1）若∠α和∠β互为“伙伴角”，当∠α＝130°时，求∠β的度数； （2）如图1，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点B'，若∠1与∠2互为“伙伴角”，求∠3的度数； （3）如图2，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着PF对折（点F在线段AD上）使点C落在线段PE上的点C'处，线段PB'落在∠EPF内部．若∠1与∠4互为“伙伴角”，求∠BPF的度数． 28．（2024秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，Q是x轴正半轴上一点，对于四边形ABCD边上的点P和图形W（点P不在x轴上），给出如下定义：若∠POQ＝α，将图形W绕点P逆时针旋转α得到图形M，则称图形M是图形和点P的“关联图”． 如图，点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）． （1）点N1（﹣1，2），N2（2，2），，中，在四边形ABCD和点E（0，1）的“关联图”上的点是 　 　； （2）已知点，． ①若线段OF关于点P的“关联图”在四边形ABCD的内部（包含边界），设点P的横坐标的最小值为m，纵坐标的最大值为n，直接写出n﹣m的值 　 ； ②当△OFG关于点P的“关联图”和△OFG都在四边形ABCD的内部（包含边界）时，锐角α的最大值是60°，请直接写出t的取值范围 　 ． 28．（2024秋•长沙期中）问题背景：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△ADE互为“M三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“M高”，点A叫做“M中心”． （1）特例研究：在图2中，△ABC与△ADE互为“M三角形”，AH是△ADE的“M高”．当∠BAC＝90°时，写出AH与DE之间的数量关系，并给出证明． （2）猜想论证：在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AH与DE之间的数量关系，并给出证明． （3）迁移应用：如图3，在四边形ABCD中，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，，四边形ABCD的内部是否存在点P，使得△PAD与△PBC互为“M三角形”，若存在，请给出证明，并求出△PBC的“M高”的长；若不存在，请说明理由． 29．（2024•南皮县三模）某实验中学为培养学生对数学的兴趣，举办“数学素养”探究活动，在这次探究活动中，同学们探讨了下面的问题： 【材料阅读】 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，对于点R，如果点T满足条件：以线段RT为对角线的四边形是正方形，且正方形的边分别与x轴，y轴平行，那么称点T为点R的“和谐点”． 【问题探究】 已知点A（﹣2，1），D（1，2），E（﹣1，2），F（1，﹣2）． （1）在点D、E、F中，是点A的“和谐点”的是 　 ； （2）已知点B的坐标为（0，b），如果点B为点A的“和谐点”，求b的值； （3）已知点C（m，0），如果线段DE上存在一个点M，使得点M是点C的“和谐点”，直接写出m的取值范围． 类型六 圆中的新定义问题 30．（2024秋•平谷区期末）我们给出如下定义：在平面内，已知点M和图形G，点M到图形G上所有点的距离的最小值称作点M到图形G的距离． （1）平面直角坐标系下，已知点P（0，3），以O为圆心，1为半径画圆，则点P到⊙O的距离为 　 　； （2）平面直角坐标系下，已知点P（0，3），在平面内有一个矩形ABCD，A（﹣2，1），B（2，1），D（﹣2，﹣1）． ①当矩形绕着点O旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围为 　 　． ②若M为矩形ABCD上一点，连接OM，以OM为直径画圆，记作圆G，则点P到圆G的距离d的取值范围为 　 ． 31．（2024秋•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O半径长为1，AB为⊙O的一条弦，若∠APB＝α（0°＜α＜180°），则称点P为⊙O的弦AB的α度相关点． （1）如图，直线y＝x与⊙O交于A，B两点，在点C1（1，0），C2（2，1），中，是弦AB的90°相关点的有 　 　． （2）已知⊙O的弦CD的长为，点P是弦CD的60°相关点，T是CD中点，则△PCD面积的最大值为 　 ，当△PCD面积取得最大值时PT长为 　 ． （3）已知点Q是直线y＝x﹣1上的一个动点，且存在⊙O的弦EF，EF＝2，点Q为⊙O的弦EF的60°相关点，直接写出点Q横坐标t的取值范围． 32．（2024秋•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B，对于直线AB外一点P，给出如下定义：若∠PAB＝α，将点A绕点P顺时针旋转α得到点Q，再将点P绕点Q逆时针旋转α得到点R，则称点R为点P关于A、B的“关联点”． （1）如图，点A（1，0），B（2，0），C（1，1），D（2，﹣2）．①在点R1（2，2），R2（0，2），R3（2，﹣1），R4（1，﹣1）中，点C关于A、B的“关联点”是 　 ，点 　 　关于A、B的“关联点”是点D； ②已知点E在射线 （x≥1）上，若点E关于A、B的“关联点”F在以点G（2，1）为圆心，OG为半径的圆内，直接写出点E的横坐标xE的取值范围 　 ； （2）已知OA＝OB＝1，将点A绕点O逆时针旋转120°得到点M，若点N为点M关于A、B的“关联点”，记ON的长为t，直接写出t的取值范围 　 ． 33．（2024秋•大丰区期中）定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为点和直线的等距圆，圆心称为点和直线的等距点． 例如图1，⊙G过点P，且与直线l相切，⊙G为点P和直线l等距圆． 【概念理解】（1）在图2中用尺规法作出点A和直线m的等距圆⊙F，且与直线m的切点为B点．（不写作法，但要保留作图痕迹） 【初步运用】（2）如图3，已知点M（0，2），N（0，6），⊙D既为点M和x轴的等距圆，又为点N和x轴的等距圆，求点D的坐标． 【探索发现】（3）如图4，已知点M（0，2），⊙D为点M和x轴的等距圆，易见等距圆和等距点均有无数个，设等距点D（x，y），求出y与x的函数关系式． 【拓展提高】（4）已知点M（0，2），⊙D为点M和x轴的等距圆，圆D被y轴分得的较大部分的弧长不小于⊙D周长的，直接写出D点横坐标x的取值范围 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$