专题23 解直角三角形的实际应用的六种类型（解析版+原卷版）-2025年中考数学二轮复习专题提优重难点拓展综合训练

专题23 解直角三角形的实际应用的六种类型（解析版） 类型一 解直角三角形在物理、化学、生物等学科中的应用 1．（2024•沈阳模拟）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔MN发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至EF处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，GH为法线，测得BF＝36cm，DF＝48cm．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） （1）求入射角α的度数； （2）若光线从空气射入水中的折射率n，求光斑移动的距离BC． 【分析】（1）由题可知GH∥BF，根据平行线的性质得到∠BDH＝∠DBF＝∠PDG，根据正切的定义求出tan∠DBF，从而可得入射角； （2）根据n，先求出，再作DH⊥AB，设 CH＝3x，CD＝5x，则 DH＝4x，列出关于x的方程式，求得x的值，进而求得答案． 【解答】（1）如图，由题可知GH∥BF， ∴∠BDH＝∠DBF＝∠PDG， ∵BF＝36cm，DF＝48cm， ∴tan∠DBF， ∵tan53°， ∴入射角约为53°， ∴a＝53°． （2）∵，α＝53°， ∴， ∴， 作DH⊥AB， ， 设 CH＝3x，CD＝5x，则 DH＝4x， ∴4x＝36， 解得：x＝9， ∴CH＝27cm， ∴BC＝DF﹣CH＝48﹣27＝21（cm）， 答：光斑移动的距离是21cm． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． 2．（2024•大庆模拟）在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆AB长为8dm，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方距离为10dm处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．当杆AB与水平面夹角为30°时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知，AB＝8dm，CA⊥AD于点D且CA＝10dm，连接CB，求点A到BC的距离．请写出解答过程求出点A到BC的距离．（结果保留根号） 【分析】设点A到BC的距离为h dm，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：设点A到BC的距离为h dm， 过B作BE⊥AC于E， ∵CA⊥AD， ∴∠DAC＝90°， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BAE＝60°， ∵∠AEB＝90°， ∴ABE＝30°， ∵AB＝8dm， ∴AEAB＝4（dm）， ∴BEAB＝4（dm）， ∵AC＝10dm， ∴CE＝10﹣4＝6（dm）， ∴BC2， ∵S△ABCAC•BEBC•h， ∴h， 答：点A到BC的距离为dm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 3．（2024•呼和浩特）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB＝24cm，BEAB，试管倾斜角∠ABG为12°． （1）求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝28cm，MN＝8cm，∠ABM＝147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【分析】（1）根据cos12°，得出BG的长度； （2）延长GB，NM交于点H，得出四边形DNHG是矩形，通过计算得出GH的长度，从而得出DN的长度． 【解答】解：（1）∵AB＝24cm，BEAB， ∴BE8， ∵， ∴BG＝8cos12°（cm）； （2）∵sin12°， ∴EG＝8sin12°（cm）， 延长GB，NM交于点H， ∴四边形DNHG是矩形， ∴NH＝DG＝DE﹣EG＝（28﹣8sin12°）cm， ∴HM＝NH﹣MN＝（20﹣8sin12°）cm， ∵∠ABG＝12°，∠ABM＝147°， ∴∠FBG＝135°， ∴∠MBH＝45°， ∴BH＝HM＝（20﹣8sin12°）cm， ∴DN＝GH＝BG+BH＝（8cos12°+20﹣8sin12°）cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握三角函数是解题的关键． 4．（2024秋•招远市期中）为避免伤害器官，医学领域发明了一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器，采用新型检测技术的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN． 测量数据 ∠DBN＝36°，∠ECN＝25°，BC＝9cm 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47） 【分析】过点A作AH⊥MN，垂足为H，在Rt△AHC，用 AH与∠ACH的正切值表示出CH，在Rt△AHB中，用AH和∠ABH的正切值表示出BH，由CH﹣BH＝BC＝9，联立求解AH即可． 【解答】解：∠DBN＝36°，∠ECN＝25°，BC＝9cm，如图，过点A作AH⊥MN，垂足为H． 由题意得，∠ABH＝∠DBN＝36°，∠ACH＝∠ECN＝25°， 在Rt△AHB中，． 在Rt△AHC中，． ∵CH﹣BH＝BC， ∴， 解得：AH＝11.8， 答：新生物A处到皮肤的距离约为11.8cm． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键． 类型二 与坡度、坡角相关的实际问题 5．（2024秋•通许县期末）为了防洪需求，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度（指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比）i＝3：4．已知斜坡CD度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 【分析】过点D作DE⊥BC于E，设AF＝3x米，根据坡度的个用x表示出BF，根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义求出DE，进而求出AB． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E． ∵AF⊥BC，AD∥EF， ∴DE＝AF， 设AF＝3x米， ∵斜面AB的坡度i＝3：4， ∴， ∴BF＝4x米， 由勾股定理得：AB5x米， 在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米． ∵sinC， ∴DE＝CD•sinC≈20×0.31＝6.2（米）， ∴AF＝DE＝6.2米，即3x＝6.2米， ∴x， 则AB＝5x10.3米， 答：斜坡AB的长约为10.3米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 6．（2024秋•姜堰区期末）如图，小明从点A出发，沿着坡度i（即tanA）为1：2.4的坡道AB向上走了130m到达点B，再沿着水平平台BC向前走了80m到达点C，最后沿着坡角为36.8°的坡道CD向上走了150m到达点D． （1）当小明到达点B时，求他沿垂直方向上升的高度； （2）求点A，D间的水平距离AE长． （参考数据：sin36.8°≈0.6，cos36.8°≈0.8，tan36.8°≈0.75） 【分析】（1）过点B作BF⊥AE于F，过点C作CG⊥AE于G，延长BC交DE于H，设BF＝x m，根据坡度的概念用x表示出AF，根据勾股定理求出BF； （2）根据余弦的定义求出CH，进而求出AE． 【解答】解：（1）如图，过点B作BF⊥AE于F，过点C作CG⊥AE于G，延长BC交DE于H， 设BF＝x m， ∵坡道AB的坡度为1：2.4， ∴AF＝2.4x m， 在Rt△ABF中，AB2＝BF2+AF2，即1302＝x2+（2.4x）2， 解得：x＝50， 答：他沿垂直方向上升的高度为50m； （2）由（1）可知：AF＝50x＝120m，四边形BFGC为矩形， ∴FG＝BC＝80m，CG＝BF＝50m， 在Rt△DCH中，CD＝150m，∠DCH＝36.8°， 则CH＝CD•cos∠DCH≈150×0.8＝120（m）， 则AE＝AF+FG+GE＝120+80+120＝320（m）， 答：点A，D间的水平距离AE长约为320m． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 7．（2025•鹿城区校级开学）如图，某数学兴趣小组为了测量某灯塔的高度，在其附近高台上的D处测得塔顶A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°．已知高台CD为4米，请计算该灯塔AB的高．（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） 【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：CD＝BE＝4米，然后在Rt△BED中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， 由题意得：CD＝BE＝4米， 在Rt△BED中，∠BDE＝22°， ∴DE10（米）， 在Rt△ADE中，∠ADE＝45°， ∴AE＝DE•tan45°＝10（米）， ∴AB＝AE+BE＝10+4＝14（米）， ∴该灯塔AB的高约为14米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（2025•娄底模拟）如图，有一建筑物FD在小山BC上，小山的斜坡AB的坡角为，在建筑物顶部有一座避雷塔EF，在坡底A处测得避雷塔顶端E的仰角为45°，在山顶B处测得建筑物顶端F的仰角为60°，已知E、F、D在同一条垂直于地面的直线上，BD∥AC，AB＝1000m，BD＝250m． （1）求小山BC的高度； （2）求避雷塔EF的高度．（结果精确到0.1m，，） 【分析】（1）由小山的斜坡AB的坡度为，则可得出∠BAC＝30°，故有BC＝sin30°•AB，然后代入求解即可； （2）过点D作DG⊥AC，垂足为点G，证明四边形BCGD是矩形，则BC＝DG＝500m，CG＝BD＝250m，在Rt△ABC中求出，则有，然后证明△AGE是等腰直角三角形，则，在Rt△BDF中，，最后由EF＝EG﹣FD﹣DG，代入求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得：， ∴∠BAC＝30°， ∴Rt△ABC中，， 则小山BC的高度为500m； （2）如图，过点D作DG⊥AC，垂足为点G， ∴∠DGA＝∠BCA＝90°则BC∥DG， 又∵BD∥AC， ∴四边形BCGD是矩形， ∴BC＝DG＝500m，CG＝BD＝250m， 又∵在Rt△ABC中，， ∴， 又∵E、F、D在同一条垂直于地面的直线上，∠EAC＝45°， ∴EG⊥AC， ∴△AGE是等腰直角三角形， ∴， 又∵在Rt△BDF中，， ∴， 则避雷塔EF的高度约为182.5m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，仰角俯角问题，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 类型三 与方向角相关的实际问题 9．（2024秋•达州期末）如图，在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西52°方向上，与C的距离是40海里，B在C的南偏西38°方向上，与C的距离是30海里． （1）求点A与点B之间的距离； （2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离； （2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝25海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数． 【解答】解：（1）∠NCA＝52°，∠SCB＝38°， ∴∠ACB＝90°； ∵AC＝40海里，BC＝30海里； ∴（海里）； （2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝25海里． 由题意可得：∠CHB＝90°； ∵； ∴CH＝24海里； ∵CN＝CM＝25海里； ∴海里； 行驶时间为7×2÷20＝0.7（小时）． 答：有0.7小时可以接收到信号． 【点评】本题考查了勾股定理的应用﹣航海问题，方向角的应用，路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 10．（2025•天心区开学）2025年春节期间，中国海警在黄岩岛海域的巡航活动是例行任务的一部分，旨在维护国家主权和海洋权益，确保海上安全与秩序．中国对黄岩岛及其周边海域拥有无可争辩的主权，海警的行动严格遵守国际法和中国国内法律．如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． （1）求∠APB的度数； （2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？ 【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，利用三角形的外角性质得出∠APB＝∠PBD﹣∠PAB，进而可解决问题； （2）由（1）可知∠APB＝∠PAB＝30°，先求出 PB＝AB＝50海里，在Rt△PBD中，PD＝BP•sin60°，再比较即可判定． 【解答】解：（1）过点P作PD⊥AB于点D， ∵灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上， ∴∠PAB＝30°，∠PBD＝60°， ∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAB＝30°， ∴∠APB的度数为30°； （2）由（1）可知∠APB＝∠PAB＝30°， ∴PB＝AB＝50×1＝50（海里） 在Rt△PBD中，PD＝BP•sin60°（海里）， ∵， ∴海监船继续向正东方向航行是安全的． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确理解题意是解题的关键． 类型四 与不易策略相关的实际问题 11．（2024•铁东区二模）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，某兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上，求A，B两点间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【分析】根据题意可得：∠ECD＝∠ADC＝90°，∠ECA＝37°，∠ADB＝53°，从而可得∠ACD＝53°，∠BDC＝37°，再利用三角形内角和定理可得∠DBC＝90°，从而可得∠ABD＝90°，进而可得∠A＝37°，然后在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，再在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：∠ECD＝∠ADC＝90°，∠ECA＝37°，∠ADB＝53°， ∴∠ACD＝∠ECD﹣∠ECA＝53°，∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝37°， ∴∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠ACD＝90°， ∴∠ABD＝180°﹣∠CBD＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ADB＝37°， 在Rt△CBD中，CD＝90米， ∴BD＝CD•cos37°≈90×0.8＝72（米）， 在Rt△ABD中，∠A＝37°， ∴AB96（米）， ∴A，B两点间的距离约为96米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 类型五 与可调节的滑动悬杆相关的问题 12．（2025•汕头模拟）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝18cm，灯臂CD＝33cm，灯罩DE＝20cm，BC⊥AB，CD，DE分别可以绕点C，D上下调节一定的角度．经使用发现：当∠DCB＝140°，且ED∥AB时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．（精确到0.1cm，参考数值：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数，即可得到DF的长，再根据FG＝CB，即可求得DG的长，从而可以解答本题． 【解答】解：过点D作DG⊥AB，垂足为G，过点C作CF⊥DG，垂足为F，如图所示， ∵CB⊥AB，FG⊥AB，CF⊥FG， ∴∠B＝∠BGF＝∠GFC＝90°， ∴四边形BCFG为矩形， ∴∠BCF＝90°，FG＝BC＝18cm， 又∵∠DCB＝140°， ∴∠DCF＝50°， ∵CD＝33cm，∠DFC＝90°， ∴DF＝CD•sin50°≈33×0.77＝25.41（cm）， ∴DG≈25.41+18≈43.4（cm）， 答：点D到桌面AB的距离约为43.4cm． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 13．（2024秋•仪征市期末）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为50cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACP＝50°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACP＝35°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：sin50°≈0.77，tan50°≈1.19，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70） 【分析】过点M作MN⊥CP于N，设每节拉杆的长度为x cm，根据正弦的定义用x分别表示出MN、AH，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：如图1，过点M作MN⊥CP于N， 设每节拉杆的长度为x cm，则CM＝（50+x）cm，CA＝（50+2x）cm， 如图1，在Rt△MCN中，∠MCN＝50°， ∵sin∠MCN， ∴MN＝CM•sin∠MCN≈0.77（50+x）cm， 如图2，在Rt△ACH中，∠ACH＝35°， ∵sin∠ACH， ∴AH＝AC•sin∠ACH≈0.57（50+2x）cm， 由题意得：0.77（50+x）＝0.57（50+2x）， 解得：x≈27， 答：每节拉杆的长度约为27cm． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡度问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 类型六 “触礁甄别”类型试题 14．（2024秋•海南期末）如图，已知港口A的南偏东80°方向上有一座小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°方向出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B位于C处的北偏东60°方向． （1）求此时货轮到小岛B的距离． （2）在小岛B周围36海里范围内是暗礁区，此时货轮向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由． 【分析】（1）先根据题意求出∠BAC＝40°，∠ACB＝100°，据此得∠ABC＝∠ACB＝40°，从而得出AC＝BC，从而可得答案； （2）作BD⊥CD于点D，由∠BCD＝30°，BC＝80海里，可得：海里，从而可得答案． 【解答】解：（1）如图1，标注字母， 一艘货轮从港口A沿南偏东40°方向出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B位于C处的北偏东60°方向．由题意知：∠EAB＝80°，∠EAC＝40°，∠QCB＝60°， ∴∠ACQ＝40°， ∴∠BAC＝80°﹣40°＝40°，∠ACB＝40°+60°＝100°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝40°， ∴∠ABC＝∠BAC， ∴BC＝AC＝80海里， 即此时货轮到小岛B的距离为80海里； （2）如图2，作BD⊥CD于点D， 在Rt△BCD中，∠BCD＝90°﹣60°＝30°，BC＝80海里， ∴海里， ∵40＞36， ∴货轮向正东方向航行没有触礁危险． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是构造出直角三角形． 15．（2024•嘉祥县二模）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备厢，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°． （1）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的距离； （2）若小明爸爸的身高为1.83m，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，） 【分析】（1）过点B′E⊥AD于E，根据正弦的定义求出B′E，进而求出车后盖最高点B'到地面l的距离； （2）过点C′作C′F⊥B′E于点F，根据题意求出∠C′B′F＝60°，根据余弦的定义求出B′F，再求出点C'到地面l的距离，比较大小证明结论． 【解答】解：（1）如图2，过点B′E⊥AD于E， 在Rt△AB′E中，AB′＝AB＝1m，∠B′AD＝27°， ∵sin∠B′AE， ∴B′E＝AB′•sin∠B′AE＝1×sin27°≈0.454（m）， ∴点B'到地面l的距离为：0.454+1.7＝2.154≈2.15（m）， 答：车后盖最高点B'到地面l的距离约为2.15m； （2）没有碰头的危险， 理由如下：如图2，过点C′作C′F⊥B′E于点F， 在Rt△AB′E中，∠B′AD＝27°， 则∠AB′E＝90°﹣27°＝63°， ∵∠AB′C＝∠ABC＝123°， ∴∠C′B′F＝60°， ∵B′C′＝BC＝0.6m， ∴B′F＝B′C′•cos∠C′B′F＝0.60.3（m）， ∴点C'到地面l的距离为：2.15﹣0.3＝1.85（m）， ∵1.85＞1.83， ∴没有碰头的危险． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23 解直角三角形的实际应用的六种类型（原卷版） 类型一 解直角三角形在物理、化学、生物等学科中的应用 1．（2024•沈阳模拟）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔MN发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至EF处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，GH为法线，测得BF＝36cm，DF＝48cm．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） （1）求入射角α的度数； （2）若光线从空气射入水中的折射率n，求光斑移动的距离BC． 2．（2024•大庆模拟）在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆AB长为8dm，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方距离为10dm处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．当杆AB与水平面夹角为30°时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知，AB＝8dm，CA⊥AD于点D且CA＝10dm，连接CB，求点A到BC的距离．请写出解答过程求出点A到BC的距离．（结果保留根号） 3．（2024•呼和浩特）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB＝24cm，BEAB，试管倾斜角∠ABG为12°． （1）求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝28cm，MN＝8cm，∠ABM＝147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 4．（2024秋•招远市期中）为避免伤害器官，医学领域发明了一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器，采用新型检测技术的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN． 测量数据 ∠DBN＝36°，∠ECN＝25°，BC＝9cm 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47） 类型二 与坡度、坡角相关的实际问题 5．（2024秋•通许县期末）为了防洪需求，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度（指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比）i＝3：4．已知斜坡CD度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 6．（2024秋•姜堰区期末）如图，小明从点A出发，沿着坡度i（即tanA）为1：2.4的坡道AB向上走了130m到达点B，再沿着水平平台BC向前走了80m到达点C，最后沿着坡角为36.8°的坡道CD向上走了150m到达点D． （1）当小明到达点B时，求他沿垂直方向上升的高度； （2）求点A，D间的水平距离AE长． （参考数据：sin36.8°≈0.6，cos36.8°≈0.8，tan36.8°≈0.75） 7．（2025•鹿城区校级开学）如图，某数学兴趣小组为了测量某灯塔的高度，在其附近高台上的D处测得塔顶A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°．已知高台CD为4米，请计算该灯塔AB的高．（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） 8．（2025•娄底模拟）如图，有一建筑物FD在小山BC上，小山的斜坡AB的坡角为，在建筑物顶部有一座避雷塔EF，在坡底A处测得避雷塔顶端E的仰角为45°，在山顶B处测得建筑物顶端F的仰角为60°，已知E、F、D在同一条垂直于地面的直线上，BD∥AC，AB＝1000m，BD＝250m． （1）求小山BC的高度； （2）求避雷塔EF的高度．（结果精确到0.1m，，） 类型三 与方向角相关的实际问题 9．（2024秋•达州期末）如图，在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西52°方向上，与C的距离是40海里，B在C的南偏西38°方向上，与C的距离是30海里． （1）求点A与点B之间的距离； （2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 10．（2025•天心区开学）2025年春节期间，中国海警在黄岩岛海域的巡航活动是例行任务的一部分，旨在维护国家主权和海洋权益，确保海上安全与秩序．中国对黄岩岛及其周边海域拥有无可争辩的主权，海警的行动严格遵守国际法和中国国内法律．如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． （1）求∠APB的度数； （2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？ 类型四 与不易策略相关的实际问题 11．（2024•铁东区二模）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，某兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上，求A，B两点间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 类型五 与可调节的滑动悬杆相关的问题 12．（2025•汕头模拟）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝18cm，灯臂CD＝33cm，灯罩DE＝20cm，BC⊥AB，CD，DE分别可以绕点C，D上下调节一定的角度．经使用发现：当∠DCB＝140°，且ED∥AB时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．（精确到0.1cm，参考数值：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 13．（2024秋•仪征市期末）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为50cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACP＝50°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACP＝35°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：sin50°≈0.77，tan50°≈1.19，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70） 类型六 “触礁甄别”类型试题 14．（2024秋•海南期末）如图，已知港口A的南偏东80°方向上有一座小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°方向出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B位于C处的北偏东60°方向． （1）求此时货轮到小岛B的距离． （2）在小岛B周围36海里范围内是暗礁区，此时货轮向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由． 15．（2024•嘉祥县二模）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备厢，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°． （1）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的距离； （2）若小明爸爸的身高为1.83m，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$