专题22 锐角函数与几何图形（四边形和圆）的综合（解析版+原卷版）-2025年中考数学二轮复习专题提优重难点拓展综合训练

专题22 锐角函数与几何图形的综合（解析版） 类型一 锐角三角函数与矩形的综合 1．（2025•永寿县校级一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，且sin∠BAE，若BD＝8，则AE的长为（　　） A． B．2 C． D． 【思路引领】先求得∠ADB＝∠BAE，得到，利用正弦函数的定义求得AB＝4，BE＝2，再利用勾股定理求解即可． 【完整解答】解：∵AE⊥BD， ∴∠ADB＝90°﹣∠ABE＝∠BAE， ∴， ∴， ∵BD＝8， ∴AB＝4， ∵， ∴， ∴BE＝2， ∴， 故选：C． 【总结提升】本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握该知识点是关键． 2．（2024秋•秦都区期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，点M是AD边上一点，连接CM，以CM为边向右作等边△CMN，连接BN，则BN的最小值为 　1　． 【思路引领】以CD为边向右作等边△CDE，连接EN，利用SAS可证得△MCD≌△NCE，于是可得∠NEC＝∠MDC＝90°，则点N在射线EN上运动，过B作BN′⊥EN于N′，由垂线段最短可知，此时BN最小，最小值为BN′的长，延长BC交NE延长线于F，可得∠ECF＝∠FBN′＝30°，然后通过解直角三角形即可求出BN′的长． 【完整解答】解：由等边三角形可知∠MCN＝60°，CM＝CN， ∴CD＝AB＝1，BC＝AD＝2，∠ADC＝90°， 如图，以CD为边向右作等边△CDE，连接EN， 则∠MCN＝∠DCE＝60°，CE＝CD＝1， ∴∠MCD＝∠NCE＝60°﹣∠DCN， 又∵CM＝CN， ∴△MCD≌△NCE（SAS）， ∴∠NEC＝∠MDC＝90°， ∴点N在射线EN上运动， 如图，过B作BN′⊥EN于N′，由垂线段最短可知，此时BN最小，最小值为BN′的长， 延长BC交NE延长线于F， ∴CE∥BN′， ∴∠FBN′＝∠ECF＝90°﹣∠DCE＝30°， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【总结提升】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，同位角相等两直线平行，解直角三角形的相关计算等知识点，得出点N的运动路线是解题的关键． 3．（2023秋•槐荫区期末）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，AB＝18cm，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为30°时，杯中水的最大深度为（　　） A．9 B．15 C．6 D．9 【思路引领】过点A作AG⊥BH，先利用角间关系求出∠ABG，再在Rt△AGB中利用边角关系得结论． 【完整解答】解：过点A作AG⊥BH，垂足为G．如图． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝90°． ∵∠CBH＝30°， ∴∠ABG＝180°﹣∠ABC﹣∠CBH＝60°． 在Rt△AGB中， ∵sin∠ABG， ∴AG＝AB•sin∠ABG ＝18•sin60° ＝18 ＝9（cm）． 故选：D． 【总结提升】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 4．（2024•海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点E为AD中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF为矩形； （2）若BC＝6，sin，求EF的长． 【思路引领】（1）先证△AFE≌△DBE（AAS），得出AF＝BD，则AF＝DC，得出四边形ADCF为平行四边形，再证∠ADC＝90°，即可得出结论； （2）BC＝6，AD为BC边上的中线，则，在Rt△ABD 中，，求出，则，又根据点E为AD中点，求出，则EF可根据勾股定理可求． 【完整解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝ED， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF＝BD， ∴AF＝DC， 又∵AF∥BC， ∴四边形ADCF为平行四边形， ∵AB＝AC，AD为BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF为矩形； （2）解：∵BC＝6，AD为BC边上的中线， ∴， ∵在Rt△ABD 中，， ∴， ∴， 又∵点E为AD中点， ∴， ∴在 Rt△EBD中，， ∴． 【总结提升】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 类型二 锐角三角函数与菱形的综合 5．（2024•罗湖区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，，点M是边AB的中点，点N是边AD上一点，若一条光线从点M射出，先到达点N，再经AD反射后经过点C，则的值为 　　． 【思路引领】作ME⊥AD于E，CF⊥AD的延长线于F，设菱形边长为10个单位长，设EN＝x，利用三角函数表示出EN、FN，求出CF和ME，由光的反射定律得，∠MNE＝∠CND，证明△MNE∽△CNF，利用相似比求出x即可． 【完整解答】解：作ME⊥AD于E，CF⊥AD的延长线于F， 设菱形边长为10个单位长， ∵M为AB中点， ∴AM＝5， ∵tanA， ∴AE＝3，ME＝4， ∵AD＝10， ∴DE＝7， ∵AB∥CD， ∴∠CDF＝∠A， ∴tan∠CDF， ∵CD＝10， ∴CD＝8，DF＝6， 设EN＝x， ∴DN＝7﹣x， ∴FN＝13﹣x， 由光的反射定律得，∠MNE＝∠CND， ∴△MNE∽△CNF， ∴EN：FN＝ME：CF，即x：（13﹣x）＝4：8， ∴x， ∴AN＝AE+EN，DN＝7﹣x， ∴AN：DN， 故答案为：． 【总结提升】本题考查了解直角三角形，菱形的性质及光的反射定理是本题的解题关键． 6．（2024•金凤区校级三模）如图所示，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E． （1）求证：四边形ODEC是矩形； （2）当∠ADB＝60°，时，求sin∠AED的值． 【思路引领】（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC＝90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形． （2）先求得，再求解，根据四边形ODEC是矩形，根据正弦的定义，求解，再结合平行线的性质可得答案． 【完整解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形ODEC是平行四边形， 又∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD， ∴∠DOC＝90°， ∴四边形ODEC是矩形． （2）解：∵AC⊥BD，∠ADB＝60°，， ∴∠CAD＝30°， ∴，，， ∵四边形ODEC是矩形， ∴，∠ACE＝90°．AC∥DE， ∴， ∴．∠CAE＝∠AED， ∴． 【总结提升】本题考查了解直角三角形，菱形的性质以及矩形的判定与性质．熟记矩形与菱形的性质是解本题的关键． 7．（2023•泰山区校级三模）如图，两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝4cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（　　） A．2cm B．4cm C． D． 【思路引领】连接OC，利用菱形的性质和直角三角形的边角间关系先求出BE，再求出AB，最后求出橡皮筋被拉长了多少． 【完整解答】解：连接OC，交AB于点E． ∵四边形OACB是菱形， ∴BC＝AC＝AO＝4cm， OC⊥AB，BEAB，∠BOEAOB＝60°． 在Rt△BOE中， ∵AO＝4cm，∠BOE＝60°， ∴sin∠BOE． ∴BE＝sin60°×4 4 ＝2（cm）． ∴AB＝2BE＝4（cm）． ∴BC+CA﹣AB ＝4+4﹣4 ＝（8﹣4）cm． 故选：D． 【总结提升】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握“菱形的边相等、菱形的对角线互相垂直平分、菱形的一条对角线平分一组对角”及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 8．（2022•长春）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若，则tan∠BCF的值为 　　． 【思路引领】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由DE⊥AC，即可得出结论； （2）设BE＝a，则CE＝4a，由菱形的性质得AE＝CE＝4a，AE∥CF，则∠BEA＝∠BCF，再由勾股定理得ABa，然后由锐角三角函数定义即可得出结论． 【完整解答】（1）证明：∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∵DF＝DE， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵DE⊥AC， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：∵， ∴CE＝4BE， 设BE＝a，则CE＝4a， 由（1）可知，四边形AECF是菱形， ∴AE＝CE＝4a，AE∥CF， ∴∠BEA＝∠BCF， ∵∠ABC＝90°， ∴ABa， ∴tan∠BCF＝tan∠BEA， 故答案为：． 【总结提升】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 类型三 锐角三角函数与正方形的综合 9．（2024秋•盐湖区校级期末）如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，直角三角形的较小的锐角为α，则sinα的值是　　． 【思路引领】根据“弦图”已知数据求得每个直角三角形的斜边长为13，进而根据正弦的定义，即可求解． 【完整解答】解：在直角三角形中，两条直角边长分别为5，12， 由勾股定理得：斜边长为， ∵直角三角形的较小的锐角为α， ∴边长为5所对的直角三角形的锐角， ∴， 故答案为：． 【总结提升】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角形函数的定义． 10．（2024秋•乐亭县期中）如图6个大小相同的小正方形，恰好放置在三角形ABC中，若小正方形的边长为1，则： （1）tanB＝　　； （2）BC＝　8　． 【思路引领】（1）先将图形补全，依题意可得FH∥BC，EH＝1，FH＝2，进而得∠B＝∠EFH，即可求出答案； （2）根据DE∥FH，DE＝2，CD＝3得∠EFH＝∠ADE，进而得到tan∠EFH＝tan∠ADE，由此可求出AD，进而求出AC的长，再由（1）的结论可得出BC的长． 【完整解答】解：（1）如图， 依题意得：FH∥BC，EH＝1，FH＝2， ∴∠B＝∠EFH， ∴tanB＝tan∠EFH． 故答案为：； （2）依题意得：DE∥FH，DE＝2，CD＝3， ∴∠EFH＝∠AED， ∴tan∠EFH＝tan∠AED， ∴AD＝1， ∴AC＝AD+CD＝1+3＝4， ∴tanB， ∴BC＝2AC＝8． 故答案为：8． 【总结提升】本题主要考查解直角三角形，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质和正切函数的定义． 11．（2024•滨湖区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，P为CD上一动点，AB＝4，CP＝x，（0＜x＜4），作C关于BP的对称点C′，连接BC′、PC′． （1）当x＝1时，求cos∠DPC′； （2）连接AC交BC′、BP于M、N，若AM＝y，求y与x的函数关系式． 【思路引领】（1）延长BC′与DC交于点E，利用勾股定理求出C′E、PE的长即可； （2）延长BC′与DC交于点E，利用勾股定理表示出PE的长度，再根据AB∥CD得到求解即可． 【完整解答】解：（1）延长BC′与DC交于点E，设C′E＝a，PE＝b， ∵正方形ABCD中，P为CD上一动点，AB＝4， ∴AB＝BC＝DC＝AD＝4，AB∥CD，∠BCD＝90°， ∵作C关于BP的对称点C′，CP＝x＝1， ∴∠BCD＝∠BC′P＝90°，BC＝BC′＝4，CP＝C′P＝1， ∴BE＝BC′+EC′＝4+a，CE＝CP+PE＝1+b， 在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，即42+（1+b）2＝（4+a）2， 在Rt△PC′E中，C′P2+C′E2＝PE2，即12+a2＝b2， 两个方程相减得b＝4a﹣1， ∴12+a2＝（4a﹣1）2， 解得a10（舍去）， ∴a，b＝4a﹣1， ∴cos∠DPC′； （2）延长BC′与DC交于点E，设C′E＝a，PE＝b， ∵作C关于BP的对称点C′，CP＝x， ∴∠BCD＝∠BC′P＝90°，BC＝BC′＝4，CP＝C′P＝x， ∴BE＝BC′+EC′＝4+a，CE＝CP+PE＝x+b， 在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，即42+（x+b）2＝（4+a）2， 在Rt△PC′E中，C′P2+C′E2＝PE2，即x2+a2＝b2， 两个方程相减得bx， ∴x2+a2＝（x）2， 解得a1，a2＝0（舍去）， ∴a，bx， ∴EC＝CP+PE＝b+x， ∵AB∥CD， ∴， ∴， 整理得y． 【总结提升】本题考查解直角三角形，正方形的性质，轴对称的性质；掌握这些知识点是解题的关键． 12．（2024秋•沈阳月考）如图，点O是正方形ABCD的中心，，在Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，则OE+OM的值为　　． 【思路引领】连接BD，过点F作FH⊥CD于点H，运用勾股定理求得BG，再证明△BAG∽△DEG利用相似三角形的性质求出EG、DE，再证明△BAG≌△FHD（AAS），通过性质得出FH＝BC，推出BM＝ME，然后由勾股定理求出ME、BD，最后运用直角三角形的性质以及三角形中位线的性质求得OE，OM即可解答． 【完整解答】解：点O是正方形ABCD的中心，，如图，连接BD，过点F作FH⊥CD于点H， 在直角三角形ABG中，由勾股定理得：， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAG＝90°，， ∴，， ∵∠BEF＝90°， ∴∠BAG＝∠DEG＝90° ∵∠AGB＝∠DGE， ∴△BAG∽△DEG， ∴，∠ABG＝∠EDG， ∴， 解得：，， ∴， ∵∠ADH＝∠FHD＝90°， ∴AD∥FH， ∴∠EDG＝∠DFH， ∴∠ABG＝∠DFH， 在△BAG和△FHD中， ， ∴△BAG≌△FHD（AAS）， ∴AB＝FH， ∵AB＝BC， ∴FH＝BC， ∵∠C＝∠FHM＝90°， ∴FH∥BC， ∴△FHM∽△BCM， ∴， ∴FM＝BM， ∵， ∴， ∵∠BEF＝90°，BM＝MF， ∴， ∵BO＝OD，BM＝MF， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【总结提升】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，正确添加常用辅助线面构造全等三角形是解题的关键． 13．（2020•余杭区一模）已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧． （1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长； （2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小． 【思路引领】（1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出； 求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出； 解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出； （2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B＝PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135°． 【完整解答】解：（1）①如图，作AE⊥PB于点E， ∵△APE中，∠APE＝45°，PA， ∴AE＝PE1， ∵PB＝4，∴BE＝PB﹣PE＝3， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°， ∴AB． ②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将 △PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB， 可得△PAD≌△P'AB，PD＝P'B，PA＝P'A． ∴∠PAP'＝90°，∠APP'＝45°，∠P'PB＝90° ∴PP′PA＝2， ∴PD＝P′B； 解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的 延长线交PB于G． 在Rt△AEG中， 可得AG，EG，PG＝PE﹣EG． 在Rt△PFG中， 可得PF＝PG•cos∠FPG＝PG•cos∠ABE，FG． 在Rt△PDF中，可得， PD． （2）如图所示， 将△PAD绕点A顺时针旋转90° 得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值， ∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′PA＝2，PB＝4， 且P、D两点落在直线AB的两侧， ∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图） 此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6． 此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135度． 【总结提升】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中要求学生充分发挥想象空间，确定P′B取得最大值时点P′的位置． 类型四 锐角三角函数与圆的综合 14．（2024•东西湖区模拟）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB，AC在圆心O的同侧，AB＝8，AC＝6，则关于tan∠BAC的取值范围正确的是（　　） A．0.225≤tan∠BAC＜0.25 B．0.25≤tan∠BAC＜0.275 C．0.275≤tan∠BAC＜0.30 D．0.30≤tan∠BAC＜0.325 【思路引领】连接OA，过点O作OD⊥AB于D，AE⊥AC于E，交AB于F，根据垂径定理得ADAB＝4，AEAC＝3，再由勾股定理得OD＝3，则OD＝AE＝3，进而可判定△ODF和△AEF全等，则DF＝EF，再设DF＝EF＝a，则AF＝AD﹣DF＝4﹣a，在Rt△AEF中由勾股定理得a，进而得tan∠BAC0.292，据此可得出答案． 【完整解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于D，AE⊥AC于E，交AB于F，如图所示： 则∠ODF＝∠AEF＝90°， ∵AB＝8，AC＝6，OA＝5， ∴ADAB＝4，AEAC＝3， 在Rt△OAD中，由勾股定理得：OD3， ∴OD＝AE＝3， 在△ODF和△AEF中， ， ∵△ODF≌△AEF（AAS）， ∴DF＝EF， 设DF＝EF＝a，则AF＝AD﹣DF＝4﹣a， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：AF2＝AE2+EF2， ∴（4﹣a）2＝a2+32， 解得：a， ∴tan∠BAC0.292， ∵0.275＜0.292＜0.30， 故选：C． 【总结提升】此题主要考查了锐角三角函数定义，垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解锐角三角函数定义，垂径定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 15．（2025•汕头校级模拟）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F． （1）求证：AE2＝AF•AD； （2）若，AB＝5，求S△BOG． 【思路引领】（1）连接ED，根据直角三角形中两锐角互余得出∠EAH+∠AEH＝90°，根据直径所对的圆周角是直角得出∠AEC＝90°，根据直角三角形中两锐角互余得出∠EAH+∠ACE＝90°，根据等角的余角相等得出∠ACE＝∠AEH，根据同弧所对的圆周角相等得出∠ADE＝∠AEH，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出△EAF∽△DAE，根据相似三角形的对应边之比相等即可证明AE2＝AF•AD； （2）连接OB，过点G作GK⊥AD，垂足为K，过点G作GM⊥CD，垂足为M，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADC＝90°，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠AOB＝2∠ADB＝90°，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出GK＝GM，根据等腰直角三角形的性质和特殊角的三角函数值求出，，根据锐角三角函数的定义和同弧所对的圆周角相等求出，，根据三角形的面积求出，，即可求出S△BOG． 【完整解答】（1）证明：点D，E在以AC为直径的⊙O上，EH⊥AC，垂足为H，如图1，连接ED， ∴∠EAH+∠AEH＝90°，∠AEC＝90°， ∴∠EAH+∠ACE＝90°， ∴∠ACE＝∠AEH， ∴∠ADE＝∠AEH， 又∵∠EAF＝∠DAE， ∴△EAF∽△DAE， ∴， ∴AE2＝AF•AD； （2）解：点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，如图2，连接OB，过点G作GK⊥AD，垂足为K，过点G作GM⊥CD，垂足为M， ∴∠ADC＝90°，∠AOB＝2∠ADB＝90°，GK＝GM， 在等腰直角△AOB中，AB＝5， ∴， ∴， ∵，∠ABD＝∠ACD， ∴， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【总结提升】本题属于圆的综合题，考查了直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，角平分线的性质等，正确作出辅助线，通过三角形的面积求出CG是解题的关键． 16．（2024秋•沛县期末）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CE＝2，，求⊙O的直径． 【思路引领】（1）连接OD，由角平分线可得∠BAD＝∠EAD，又由OA＝OD可得∠OAD＝∠ODA，即得∠ODA＝∠EAD，由DE⊥AE得∠EAD+∠ADE＝90°，进而可得∠ODA+∠ADE＝90°，即得OD⊥DE，即可求证； （2）AB是⊙O的直径可得∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°，又由（1）知∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°，由∠BAD＝∠EAD，∠DBC＝∠ADC，进而可得∠DBC＝∠CDE，再根据∠DBC＝∠CAD，∠DCB＝∠BAD，∠CAD＝∠BAD，可得∠CDE＝∠DBC＝∠DCB＝∠BAD，得到BD＝CD，sin∠CDE＝sin∠BAD，解Rt△CDE得到CD＝BD，再解Rt△ABD即可求解． 【完整解答】（1）证明：连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠EAD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠ODA＝∠EAD， ∵DE⊥AE， ∴∠E＝90°， ∴∠EAD+∠ADE＝90°， ∴∠ODA+∠ADE＝90°， 即∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB+∠ABD＝90°， 即∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°， ∵∠EAD+∠ADE＝90°， ∴∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°， ∴∠DAB+∠ABC+∠DBC＝∠EAD+∠ADC+∠CDE， ∵∠BAD＝∠EAD，∠ABC＝∠ADC， ∴∠DBC＝∠CDE， ∵∠DBC＝∠CAD，∠DCB＝∠BAD，∠CAD＝∠BAD， ∴∠CDE＝∠DBC＝∠DCB＝∠BAD， ∴BD＝CD，sin∠CDE＝sin∠BAD， 在Rt△CDE中，sin∠CDE， ∴CD＝3CE＝3×2＝6， ∴BD＝6， 在Rt△ABD中，sin∠BAD， ∴AB＝3BD＝3×6＝18， 即⊙O的直径为18． 【总结提升】本题是圆的综合题，考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，掌握圆的有关定理是解题的关键． 17．（2024•绵阳）如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD⊥AB，垂足为E，直径BF交CD于点G，连接AF，AD．若AB＝AC＝5，． （1）证明：四边形ADGF为平行四边形； （2）求的值； （3）求sin∠CAD的值． 【思路引领】（1）根据圆周角定理得到∠BAF＝90°，根据平行线的判定定理得到CD∥AF，推出∠ADC＝∠BGD，得到AD∥GF，根据平行四边形的判定定理得到结论； （2）设BE＝x，得到AE＝AB﹣BE＝5﹣x，根据勾股定理得到BE＝2，AE＝3，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）过点D作DH⊥AC于H，根据勾股定理得到CE4，根据相似三角形的性质得到，求得AD，DE，根据三角函数的定义即可得到结论． 【完整解答】（1）证明：∵BF是⊙O的直径， ∴∠BAF＝90°， ∴AF⊥AB， ∵CD⊥AB， ∴CD∥AF， ∴DG∥AF， ∴∠AFB＝∠BGD， ∵， ∴∠ADC＝∠ABC， ∵， ∴∠ACB＝∠AFB， ∴∠ADC＝∠BGD， ∴AD∥GF， ∴四边形ADGF为平行四边形； （2）解：设BE＝x， ∵AB＝AC＝5， ∴AE＝AB﹣BE＝5﹣x， ∵AB⊥CD， ∴∠BEC＝∠AEC＝90°， ∴BC2﹣BE2＝AC2﹣AE2＝CE2， ∵BC＝2， ∴（2）2﹣x2＝52﹣（5﹣x）2， 解得x＝2， ∴BE＝2，AE＝3， ∴， 由（1）知，∠ADC＝∠BGD， ∵∠AED＝∠BEG， ∴△ADE∽△BGE， ∴， ∴； （3）解：过点D作DH⊥AC于H， 在Rt△BCE中，CE4， ∵， ∴∠BAD＝∠BCD， ∵∠AED＝∠CEB， ∴△AED∽△CEB， ∴， ∴， ∴AD，DE， ∴CD＝CE+DE＝4， ∵S△ACDAC•DH， ∴3＝5DH， ∴DH， 在Rt△ADH中，sin， ∴sin∠CAD． 【总结提升】本题是圆的综合题，考查了三角形外接圆和外心，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正地的作出辅助线是解题的关键． 18．（2024•齐齐哈尔）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若sin∠CFB，AB＝8，求图中阴影部分的面积． 【思路引领】（1）证连接OC，根据垂直的定义得到∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，根据折叠的性质得到∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，根据平行线的性质得到∠COF＝∠E＝90°，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据三角函数的定义得到∠CFB＝45°，求得∠COF＝∠CFO＝45，°得到CD＝ODOC＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【完整解答】（1）证明：连接OC， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB， ∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°， ∴∠OCB＝∠CBE， ∴OC∥BE， ∴∠OCF＝∠E＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CF是⊙O的切线； （2）解：∵sin∠CFB， ∴∠CFB＝45°， ∵∠COF＝90°， ∴∠COF＝∠CFO＝45， ∴CF＝OC4， ∴∠CDO＝90°， ∴∠OCD＝∠COD＝45°， ∴CD＝ODOC＝2， ∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△COD面积222π﹣4． 【总结提升】本题考查了切线的判定和性质，折叠的性质，解直角三角形，扇形面积的计算，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 19．（2024•雅安）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若sin∠B，求证：AC＝AP； （3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的长． 【思路引领】（1）如图，连接OC，根据AB是⊙O的直径，可知∠ACB＝90°，根据OB＝OC，可得∠B＝∠BCO，再根据∠PCA＝∠B，可知OC⊥PC，故PC是⊙O的切线； （2）根据sin∠B，可知∠B＝30°，则∠PCA＝30°，根据∠ACB＝90°，则∠CAB＝60°，可得∠P＝30°，故∠PCA＝∠P，可证AC＝AP； （3）设AD＝x，在Rt△ACB中，CD⊥AB，可得CD2＝AD×BD＝6x，易证△PAC∽△PCB，故PC2＝PA•PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，即（4+x）2+6x＝4（10+x），求解即可． 【完整解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCO+∠OCA＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠BCO， ∵∠PCA＝∠B， ∴∠PCA＝∠BCO， ∴∠PCA+∠OCA＝90°， ∴OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线； （2）证明：∵sin∠B， ∴∠B＝30°， ∴∠PCA＝∠B＝30°， 由（1）知∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝60°， ∴∠P＝∠CAB﹣∠PCA＝30°， ∴∠PCA＝∠P， ∴AC＝AP； （3）设AD＝x， 在Rt△ACB中，CD⊥AB， ∴CD2＝AD×BD＝6x， ∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B， ∴△PAC∽△PCB， ∴， ∴PC2＝PA•PB＝4（6+4+x）＝4（10+x）， 在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2， 即（4+x）2+6x＝4（10+x）， 整理得x2+10x﹣24＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣12（舍去）， 故AD＝2． 【总结提升】本题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角函数等知识，熟练掌握这些数学知识进行分析是解题的关键． 20．（2024•济南）如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°． （1）求证：AG与⊙O相切； （2）若，，求DE的长． 【思路引领】（1）根据圆周角定理得到∠EDB＝∠EAB，求得∠BAD＝45°，根据等腰三角形的性质得到∠B＝45°，求得∠B＝∠G＝45°，根据切线的判定定理得到结论； （2）如图，连接CE，根据圆周角定理得到∠DAE＝∠DCE，∠DEC＝90°，解直角三角形即可得到结论． 【完整解答】（1）证明：∵∠EDB，∠EAB所对的弧是同弧， ∴∠EDB＝∠EAB， ∵∠EAD+∠EDB＝45°， ∴∠EAD+∠EAB＝45°， 即∠BAD＝45°， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B＝45°， ∵AB＝AG， ∴∠B＝∠G＝45°， ∴∠GAB＝90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴AG与⊙O相切； （2）解：如图，连接CE， ∵∠DAE，∠DCE所对的弧是同弧， ∴∠DAE＝∠DCE， ∵DC为直径， ∴∠DEC＝90°， 在Rt△DEC中，sin∠DCE＝sin ， ∵，∠B＝45°，∠BAG＝90°， ∴， ∴． 【总结提升】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键． 21．（2024•潍坊）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CE＝1，，求⊙O的直径． 【思路引领】（1）连接OD，由角平分线可得∠BAD＝∠EAD，又由OA＝OD可得∠OAD＝∠ODA，即得∠ODA＝∠EAD，由DE⊥AE得∠EAD+∠ADE＝90°，进而可得∠ODA+∠ADE＝90°，即得OD⊥DE，即可求证； （2）AB是⊙O的直径可得∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°，又由（1）知∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°，由∠BAD＝∠EAD，∠DBC＝∠ADC，进而可得∠DBC＝∠CDE，再根据∠DBC＝∠CAD，∠DCB＝∠BAD，∠CAD＝∠BAD，可得∠CDE＝∠DBC＝∠DCB＝∠BAD，得到BD＝CD，，解Rt△CDE得到CD＝BD＝3，再解Rt△ABD即可求解． 【完整解答】（1）证明：连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠EAD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠ODA＝∠EAD， ∵DE⊥AE， ∴∠E＝90°， ∴∠EAD+∠ADE＝90°， ∴∠ODA+∠ADE＝90°， 即∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB+∠ABD＝90°， 即∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°， ∵∠EAD+∠ADE＝90°， ∴∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°， ∴∠DAB+∠ABC+∠DBC＝∠EAD+∠ADC+∠CDE， ∵∠BAD＝∠EAD，∠ABC＝∠ADC， ∴∠DBC＝∠CDE， ∵∠DBC＝∠CAD，∠DCB＝∠BAD，∠CAD＝∠BAD， ∴∠CDE＝∠DBC＝∠DCB＝∠BAD， ∴BD＝CD，， 在Rt△CDE中，， ∴CD＝3CE＝3×1＝3， ∴BD＝3， 在Rt△ABD中，， ∴AB＝3BD＝3×3＝9， 即⊙O的直径为9． 【总结提升】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，掌握圆的有关定理是解题的关键． 22．（2024•宜宾）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若tan∠ABE，求CD和DE的长． 【思路引领】（1）连接并延长AO交BC于点F，连接OC，由AB＝AC，得∠AOB＝∠AOC，可证明∠FOB＝∠FOC，所以OF⊥BC，由平行线的性质得∠OAE＝∠OFB＝90°，即可证明AE是⊙O的切线； （2）由OB＝OA，得∠BAF＝∠ABE，则tan∠BAF＝tan∠ABE，由ABBF＝10，求得BF＝2，AF＝4，由勾股定理得（2）2+FO2＝（4FO）2，求得FO，则OD＝OB＝OA，所以CD＝2FO＝3，由cos∠AOE＝cos∠FOB，求得OE，则DE． 【完整解答】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OB＝OC， ∵AB＝AC， ∴∠AOB＝∠AOC， ∴∠FOB＝∠FOC， ∴OF⊥BC， ∵AE∥BC， ∴∠OAE＝∠OFB＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：∵OB＝OA， ∴∠BAF＝∠ABE， ∴tan∠BAF＝tan∠ABE， ∴AF＝2BF， ∵ABBF＝10， ∴BF＝2，AF＝4， ∵BF2+FO2＝OB2，且OB＝OA＝4FO， ∴（2）2+FO2＝（4FO）2， 解得FO， ∴OD＝OB＝OA＝4， ∵OB＝OD，BF＝CF， ∴CD＝2FO＝23， ∵cos∠AOE＝cos∠FOB， ∴OE， ∴DE＝OE﹣OD， ∴CD的长是3，DE的长是． 【总结提升】此题重点考查等腰三角形的性质、等角的补角相等、平行线的性质、切线的判定定理、三角形的中位线定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 类型五 锐角三角函数与圆及四边形的综合 23．（2023•烟台）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值． 【思路引领】（1）连接OA，则∠OAF＝∠OFA，由垂径定理得OF⊥AD，则∠AGF＝90°，由菱形的性质得AB＝AD，AC⊥BD，则∠BAE＝∠DAE，所以∠OAB＝∠OAF+∠BAE＝∠OFA+∠DAE＝90°，即可证明AB是⊙O的切线； （2）由，AD＝2AG，得，设AG＝4m，则OF＝OA＝5m，由勾股定理得OG3m，则FG＝2m，再证明∠ADB＝∠AFG，则tan∠ADB＝tan∠AFG2． 【完整解答】（1）证明：连接OA，则OF＝OA， ∴∠OAF＝∠OFA， ∵AG＝GD， ∴OF⊥AD， ∴∠AGF＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AC⊥BD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠OAB＝∠OAF+∠BAE＝∠OFA+∠DAE＝90°， ∴OA是⊙O半径，且AB⊥OA， ∴AB是⊙O的切线． （2）解：∵，AD＝2AG， ∴， ∴， 设AG＝4m，则OA＝5m， ∴OF＝OA＝5m， ∵∠AGO＝90°， ∴OG3m， ∴FG＝OF﹣OG＝5m﹣3m＝2m， ∵∠AED＝∠AGF＝90°， ∴∠ADB＝∠AFG＝90°﹣∠DAE， ∴tan∠ADB＝tan∠AFG2， ∴tan∠ADB的值是2． 【总结提升】此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 24．（2024•广西）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC．点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE＝EF，连接AF． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）求证：AF与⊙O相切； （3）若tan∠BAC，BC＝12，求⊙O的半径． 【思路引领】（1）利用全等三角形的判定与性质得到DC＝AF，∠EDC＝∠F，利用内错角相等两直线平行的性质得到BC∥AF，利用线段中点的定义得到BD＝AF，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形的性质解答即可得出结论； （2）连接AD，利用等腰三角形的三线合一的性质得到AD垂直平分BC，利用（1）的结论得到DA⊥AF，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （3）连接OB，OC，OD，利用等腰三角形的 三线合一的性质得到OD⊥BC，∠BOD∠BOC，利用圆周角定理得到∠BOD＝∠BAC，则tan∠BOD，求得OD后再利用勾股定理解答即可得出结论． 【完整解答】（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点， ∴BD＝DC，AE＝EC， 在△EDC和△EFA中， ， ∴△EDC≌△EFA（SAS）， ∴DC＝AF，∠EDC＝∠F， ∴BC∥AF，BD＝AF， ∴四边形ABDF是平行四边形； （2）证明：连接AD，如图， ∵AB＝AC，BD＝DC ∴AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， ∴AD经过圆心O， 由（1）知：AF∥BC， ∴DA⊥AF， ∵OA为⊙O半径， ∴AF与⊙O相切； （3）解：连接OB，OC，OD，如图， ∵OB＝OC，BD＝CDBC＝6， ∴OD⊥BC，∠BOD∠BOC， ∵∠BAC∠BOC， ∴∠BOD＝∠BAC． ∵tan∠BAC， ∴tan∠BOD， ∵tan∠BOD， ∴， ∴OD＝8， ∴OB10， ∴⊙O的半径为10． 【总结提升】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的切线的判定定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 25．（2024•立山区校级模拟）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过O，C两点的⊙P切线段AD于点T，分别交线段OD，CD，BC于点F，E，M，连结FM，已知AB＝5． （1）求证：BM＝FM； （2）若⊙P的半径为3，求tan∠OCE的值． 【思路引领】（1）根据矩形的性质可得OA＝OB＝OC＝OD，从而得到∠OBC＝∠OCB，进而得到∠OBC＝∠OFM，即可证明； （2）连结EF，EM，根据题意可得CM＝2CH＝2，再由矩形的性质可得DE＝1，根据圆内接四边形的性质可得∠DFE＝∠OCD，从而得到∠ODC＝∠DFE，进而得到EF＝DE＝1，然后根据勾股定理可得FM，即可求解． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴∠OBC＝∠OCB， 又∵∠OFM＝∠OCB， ∴∠OBC＝∠OFM， ∴BM＝FM； （2）解：连结EF，EM，连接TP交BC于点H，作PG⊥CD于点G．得矩形DTHC，矩形PGCH， ∵⊙P的半径为3， ∴TP＝CP＝3，ME＝6， ∵CD＝AB＝5， ∴PH＝2， ∴CH， ∴CM＝2CH＝2， ∵四边形PGCH是矩形， ∴CG＝PH＝2， ∴CE＝2CG＝4， ∴DE＝1， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵四边形OFEC内接于⊙P， ∴∠EFO+∠OCD＝180°， ∵∠EFO+∠DFE＝180°， ∴∠DFE＝∠OCD， ∴∠ODC＝∠DFE， ∴EF＝DE＝1， ∵∠MCE＝90°， ∴∠MFE＝90°， ∴FM2+EF2＝EM2＝36， ∴FM， ∴BC＝BM+CM＝FM+CM2， ∴tan∠OCE＝tan∠BAC． 【总结提升】本题主要考查了矩形的判定和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键． 26．（2024•宁波模拟）如图，作半径为3的⊙O的内接矩形ABCD，设E是弦BC的中点，连接AE并延长，交⊙O于点F，G是的中点，CG分别交AB，AF于点H，P，若BC＝4． （1）求BH； （2）求AP：PE． （3）求tan∠APH． 【思路引领】（1）连接OG，利用垂径定理求得ON∥BC，利用相似三角形的判定和性质求得OM＝MN＝NG＝1，再证明△GHN∽△CHB，结合勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理求得AE的长，证明，再证明△GMP∽△CEP，推出，据此求解即可； （3）连接AG，推出∠AGP＝90°，利用勾股定理分别求得AG和PG的长，据此即可求解． 【完整解答】解：（1）连接OG，分别交AF、AB于点M、N，如图1， ∵G是的中点， ∴ON⊥AB， ∴， ∵矩形ABCD内接于⊙O， ∵∠B＝90°，AC为⊙O的直径， ∵E是弦BC的中点，BC＝4， ∴， ∴ON∥BC， ∴△AMN∽△AEB，△AOM∽△ACE， ∴，， ∴MN＝1，OM＝1， ∵半径为3， ∴OM＝MN＝NG＝1， ∵GN∥BC， ∴△GHN∽△CHB， ∴， ∴BH＝4NH， ∵， ∴， ∴； （2）∵，BE＝2， ∴， ∵△AOM∽△ACE， ∴， ∴， ∵GM∥EC， ∴△GMP∽△CEP， ∴， ∴， ∴， ∴AP：PE＝3：1； （3）连接AG，如图2， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AGP＝90°， ∵，GN＝1， ∴， 又， ∴， ∴． 【总结提升】本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22 锐角函数与几何图形（四边形和圆）的综合（原卷版） 类型一 锐角三角函数与矩形的综合 1．（2025•永寿县一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，且sin∠BAE，若BD＝8，则AE的长为（　　） A． B．2 C． D． 2．（2024秋•秦都区期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，点M是AD边上一点，连接CM，以CM为边向右作等边△CMN，连接BN，则BN的最小值为 　 ． 3．（2023秋•槐荫区期末）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，AB＝18cm，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为30°时，杯中水的最大深度为（　　） A．9 B．15 C．6 D．9 4．（2024•海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点E为AD中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF为矩形；（2）若BC＝6，sin，求EF的长． 类型二 锐角三角函数与菱形的综合 5．（2024•罗湖区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，，点M是边AB的中点，点N是边AD上一点，若一条光线从点M射出，先到达点N，再经AD反射后经过点C，则的值为 　 ． 6．（2024•金凤区校级三模）如图所示，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E． （1）求证：四边形ODEC是矩形； （2）当∠ADB＝60°，时，求sin∠AED的值． 7．（2023•泰山区校级三模）如图，两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝4cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（　　） A．2cm B．4cm C． D． 8．（2022•长春）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF． （1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若，则tan∠BCF的值为 　 ． 类型三 锐角三角函数与正方形的综合 9．（2024秋•盐湖区校级期末）如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，直角三角形的较小的锐角为α，则sinα的值是　 ． 10．（2024秋•乐亭县期中）如图6个大小相同的小正方形，恰好放置在三角形ABC中，若小正方形的边长为1，则： （1）tanB＝　 ； （2）BC＝　 ． 11．（2024•滨湖区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，P为CD上一动点，AB＝4，CP＝x，（0＜x＜4），作C关于BP的对称点C′，连接BC′、PC′． （1）当x＝1时，求cos∠DPC′； （2）连接AC交BC′、BP于M、N，若AM＝y，求y与x的函数关系式． 12．（2024秋•沈阳月考）如图，点O是正方形ABCD的中心，，在Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，则OE+OM的值为　 ． 13．（2020•余杭区一模）已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧． （1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长； （2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小． 类型四 锐角三角函数与圆的综合 14．（2024•东西湖区模拟）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB，AC在圆心O的同侧，AB＝8，AC＝6，则关于tan∠BAC的取值范围正确的是（　　） A．0.225≤tan∠BAC＜0.25 B．0.25≤tan∠BAC＜0.275 C．0.275≤tan∠BAC＜0.30 D．0.30≤tan∠BAC＜0.325 16．（2024秋•沛县期末）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CE＝2，，求⊙O的直径． 17．（2024•绵阳）如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD⊥AB，垂足为E，直径BF交CD于点G，连接AF，AD．若AB＝AC＝5，． （1）证明：四边形ADGF为平行四边形； （2）求的值；（3）求sin∠CAD的值． 18．（2024•齐齐哈尔）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若sin∠CFB，AB＝8，求图中阴影部分的面积． 19．（2024•雅安）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若sin∠B，求证：AC＝AP； （3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的长． 20．（2024•济南）如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°． （1）求证：AG与⊙O相切； （2）若，，求DE的长． 21．（2024•潍坊）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CE＝1，，求⊙O的直径． 22．（2024•宜宾）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若tan∠ABE，求CD和DE的长． 类型五 锐角三角函数与圆及四边形的综合 23．（2023•烟台）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值． 24．（2024•广西）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC．点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE＝EF，连接AF． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）求证：AF与⊙O相切； （3）若tan∠BAC，BC＝12，求⊙O的半径． 25．（2024•立山区校级模拟）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过O，C两点的⊙P切线段AD于点T，分别交线段OD，CD，BC于点F，E，M，连结FM，已知AB＝5． （1）求证：BM＝FM； （2）若⊙P的半径为3，求tan∠OCE的值． 26．（2024•宁波模拟）如图，作半径为3的⊙O的内接矩形ABCD，设E是弦BC的中点，连接AE并延长，交⊙O于点F，G是的中点，CG分别交AB，AF于点H，P，若BC＝4． （1）求BH； （2）求AP：PE． （3）求tan∠APH． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$