专题21【几何综合】相似与平行四边形（含矩形菱形正方形）的综合（解析版+原卷版）-2025年中考数学二轮复习专题提优重难点拓展综合训练

专题21【几何综合】相似与平行四边形（含矩形菱形正方形）的综合（原卷版） 专题诠释：几何综合题是中考必考题型。试题一般以全等或相似为中心 , 以四边形为重点 , 常常是三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用. 解题策略：解答几何综合题应注意 :(1) 注意观察、分析图形 , 把复杂的图形分解成几个基本图形 , 通过添加辅助线补全或构造基本图形 .(2) 掌握常规的证题方法和思路 ;(3) 运用转化的思想解决几何证明问题 , 运用方程的思想解决计算问题。另外还用结合数学思想和方法。 第一部分 专题典例剖析 类型一 相似三角形与平行四边形的综合 1．（2024秋•博兴县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F． 求证：（1）△GDF∽△CBF； （2）CF2＝GF•EF． 2．（2024秋•茌平区期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接AE，F为线段AE上一点，且∠DFE＝∠C． （1）求证：； （2）若AB＝5，，DE＝4，求DF的长． 3．（2024春•朝阳区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B． （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长． 类型二 相似三角形与矩形的综合 4．（2024秋•冷水江市期末）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE⊥BD，垂足为点F． （1）求证：AB•DC＝BF•BD； （2）过点O作OG⊥AC交AD于点G，求证：EC＝2DG． 5．（2024秋•秦都区期末）【问题提出】 （1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC边上一点，连接AE，作EF⊥AE交CD于点F，若AE＝2EF，求CF的长； 【问题解决】 （2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，矩形ABCD是某校的一块劳动实践基地，AB＝20m，BC＝30m，BC边上的点E处有一口灌溉水井，AE和EF是两条互相垂直的小路，且AE＝2EF，现在沿AF修了一条延伸至BC边上的小路AM（点M在BC上，点F在AM上），发现点M到灌溉水井E的距离EMBC．求灌溉水井E到点B的距离BE． 6．（2024秋•梁溪区期末）如图，矩形ABCD，E是AB边上的定点． （1）用无刻度直尺和圆规在BC上作出所有使△EBF∽△FCD的点F．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若AB＝3，BE＝1，BC边上使得△EBF与△FCD相似的点F有且只有两个，求BC的长． 类型三 相似三角形与菱形的综合 7．（2025•龙湾区开学）如图，在菱形ABCD中，连结对角线AC，点E在边AB上，过点E作EF∥BC交AC于点F，连结DE交AC于点G． （1）若DA＝DE，∠B＝105°，求∠CDE的度数． （2）若AC＝15，AE＝2BE，求GF的长． （3）求证：GA2＝GF•GC． 8．（2024春•东平县期末）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD． （1）求DE的长；（结果保留根号） （2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF． ①求证：△AGE∽△DGF； ②求DF的长．（提示：过点E作EH⊥CD于点H．） 9．（2024秋•武侯区校级期中）已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点．连接AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S． （1）求证：OA2＝OR•OS． （2）若AD＝8，∠DCB＝60°，BS＝20，求AS和OR的长． 10．（2024秋•南海区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点G在边CD上，连线AG并延长交BC的延长线于点F，连结BD交AF于点E，连结CE． （1）求证：EC2＝EF•EG； （2）若AB＝6，3，求CF的长． 类型四 相似三角形与正方形的综合 11．（2024秋•凤翔区期末）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长． 12．（2024秋•海门区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE于点F，垂足为F，连接PE． （1）求证：△PFA∽△ABE； （2）设PA＝x，是否存在实数x，使得△PEF与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 13．（2024秋•洪雅县期末）如图，在正方形ABCD中，点G是对角线BD上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG． （1）求证：AB2＝BE•DF； （2）若，，求EF的长． 14．（2024秋•揭西县期末）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG． （1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝ 　 °； （2）证明：△AFC∽△AGD； （3）若，请求出的值． 15．（2024秋•金牛区期末）在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，且AE＝CF，连接DE和BF分别交对角线AC于点G、H，连接BG、DH． （1）求证：四边形BFDE为平行四边形； （2）若正方形边长为4，AG，求四边形GBHD面积． 第2部分 专题提优训练 1．（2024秋•余姚市期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在BC延长线上，连结AE，且∠CAE＝∠D． （1）求证：△ABE∽△CAE． （2）若AE＝5，BE＝8，求CE的长． 2．（2024秋•临邑县期末）如图所示，B、E、C、F四点在一条直线上，四边形ABED，ADFC为平行四边形． （1）求证：△ABC∽△DFE； （2）若S△ABC＝2S△GEC，BC＝2，求BE的长． 3．（2024秋•拱墅区期末）如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，连接EF，交对角线AC于点G，EF∥AD． （1）求证：△CFG∽△ABC． （2）若CF＝2，FD＝4，AD＝3，求CG的长． 4．（2024秋•化州市期末）如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，AH是△ABC的高，DE：DG＝1：2，BC＝40cm，AH＝30cm，求矩形DEFG的周长． 5．（2024秋•邗江区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED＝∠B． （1）求证：△ABE∽△DEA； （2）若AE＝4，DE＝8，求菱形ABCD的边长． 6．（2024秋•法库县期末）在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，已知AB＝6，CE＝2，求CF长． 7．（2024秋•红古区期末）如图，过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP； （3）若AB＝6，AD＝8，求AP的长． 8．（2024秋•宿豫区期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且DF＝1，若△ABE与△DEF相似，求AE的长． 9．（2024秋•成华区期末）如图，在正方形ABCD中，延长AD到点E，连结CE，过点A作AH⊥CE，垂足为点H，AH交CD于点F，交BD于点G． （1）求证：AF＝CE； （2）若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21【几何综合】相似与平行四边形（含矩形菱形正方形）的综合（解析版） 专题诠释：几何综合题是中考必考题型。试题一般以全等或相似为中心 , 以四边形为重点 , 常常是三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用. 解题策略：解答几何综合题应注意 :(1) 注意观察、分析图形 , 把复杂的图形分解成几个基本图形 , 通过添加辅助线补全或构造基本图形 .(2) 掌握常规的证题方法和思路 ;(3) 运用转化的思想解决几何证明问题 , 运用方程的思想解决计算问题。另外还用结合数学思想和方法。 第一部分 专题典例剖析 类型一 相似三角形与平行四边形的综合 1．（2024秋•博兴县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F． 求证：（1）△GDF∽△CBF； （2）CF2＝GF•EF． 【思路引领】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质求出∠GDF＝∠CBF，∠DGF＝∠BCF，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证； （2）根据平行四边形的性质求出AD∥BC，AB∥CD，根据平行线分线段成比例定理及比例的性质即可得证． 【完整解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠GDF＝∠CBF，∠DGF＝∠BCF， ∴△GDF∽△CBF； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴△GDF∽△CBF，△CDF∽△EBF， ∴， ∴， 即CF2﹣GF•EF． 【总结提升】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质是解题的关键． 2．（2024秋•茌平区期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接AE，F为线段AE上一点，且∠DFE＝∠C． （1）求证：； （2）若AB＝5，，DE＝4，求DF的长． 【思路引领】（1）证明△ADF∽△EAB，即可证明 （2）利用勾股定理求出AE的长，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【完整解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD， ∴∠DAE＝∠AEB，∠B+∠C＝180°， ∵∠DFE＝∠C，∠AFD+∠DFE＝180°， ∴∠B＝∠AFD， ∴△ADF∽△EAB， ∴， ∴； （2）解：在Rt△AED中，，DE＝4， 由勾股定理得：， ∵△ADF∽△EAB， ∴， ∵AB＝5， ∴， 解得：． 【总结提升】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 3．（2024春•朝阳区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B． （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长． 【思路引领】（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF＝∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似； （2）在Rt△ABE中，由相似得DE的长，再根据勾股定理可求出AE的长． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°； ∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B， ∴∠AFD＝∠C， ∴△ADF∽△DEC； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB＝8， ∵△ADF∽△DEC； ∴， 即， ∴DE＝12， ∵AD∥BC，AE⊥BC， ∴AE⊥AD； 在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE＝12，AD＝6， ∴AE6． 【总结提升】此题主要考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是熟记判定三角形相似的各种方法和各种性质． 类型二 相似三角形与矩形的综合 4．（2024秋•冷水江市期末）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE⊥BD，垂足为点F． （1）求证：AB•DC＝BF•BD； （2）过点O作OG⊥AC交AD于点G，求证：EC＝2DG． 【思路引领】（1）根据题意证明△ABF∽△BDC，利用相似三角形的性质得出AB•DC＝BF•BD即可； （2）证明△GOD∽△EAC，根据相似三角形的性质和矩形的性质即可得证． 【完整解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝∠ABC＝90°， ∴∠ABF+∠CBD＝90°， 又∵AE⊥BD， ∴∠AFB＝90°， ∴∠ABF+∠BAF＝90°， ∴∠BAF＝∠CBD， ∵∠BCD＝∠AFB， ∴△ABF∽△BDC， ∴， ∴AB•DC＝BF•BD； （2）如图， ∵OG⊥AC， ∴∠GOD+∠DOC＝90°， 在矩形ABCD中，∠AOF＝∠DOC， 又∵AE⊥BF， ∴∠AOF+∠EAC＝90°， ∴∠EAC＝∠GOD， ∵， ∴∠ADB＝∠DBC＝∠ACB， ∴△GOD∽△EAC， ∵， ∴EC＝2GD． 【总结提升】本题考查了三角形的性质与判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 5．（2024秋•秦都区期末）【问题提出】 （1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC边上一点，连接AE，作EF⊥AE交CD于点F，若AE＝2EF，求CF的长； 【问题解决】 （2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，矩形ABCD是某校的一块劳动实践基地，AB＝20m，BC＝30m，BC边上的点E处有一口灌溉水井，AE和EF是两条互相垂直的小路，且AE＝2EF，现在沿AF修了一条延伸至BC边上的小路AM（点M在BC上，点F在AM上），发现点M到灌溉水井E的距离EMBC．求灌溉水井E到点B的距离BE． 【思路引领】（1）证明△ABE∽△EFC得到，再代入AE＝2EF和AB＝8计算即可； （2）过F作FN⊥BC于N，先△ABE∽△EFN得到，得到，BE＝2FN，再根据得到MN＝5，最后根据△ABM∽△FNM得到列方程计算即可． 【完整解答】解：（1）由题意可得：∠B＝∠C＝90°， ∵EF⊥AE， ∴∠B＝∠C＝∠AEF＝90°， ∴∠AEB＝∠EFC＝90°﹣∠CEF， ∴△ABE∽△EFC， ∴， ∵AE＝2EF，AB＝8，BC＝12， ∴， ∴EC＝4，CF＝4； （2）过F作FN⊥BC于N，则∠FNM＝∠FNE＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠AEB＝∠EFN＝90°﹣∠NEF， ∴△ABE∽△EFN， ∴， ∵AE＝2EF，AB＝20m， ∴， ∴EN＝10，BE＝2FN， 设BE＝2FN＝2x，则FN＝x ∵BC＝30m，， ∴， ∴MN＝EM﹣EN＝5，BM＝BE+EM＝2x+15， ∵∠FNM＝∠B＝90°， ∴△ABM∽△FNM， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【总结提升】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的实际应用，解一元二次方程，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 6．（2024秋•梁溪区期末）如图，矩形ABCD，E是AB边上的定点． （1）用无刻度直尺和圆规在BC上作出所有使△EBF∽△FCD的点F．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若AB＝3，BE＝1，BC边上使得△EBF与△FCD相似的点F有且只有两个，求BC的长． 【思路引领】（1）以DE为直径作⊙O交BC于点F1，F2，连接EF1，DF1，EF2，DF2，可证EBF1∽△F1CD，△EBF2∽△F2CD； （2）分两种情形：如图2中，当DE为直径的⊙O与BC相切时，△EBF与△FCD相似的点F有且只有两个，利用梯形中位线定理求出OF，再利用勾股定理求出AD即可．如图3中，作点E关于BC的对称点E′，以DE为直径作⊙O交BC于点F1，F2，当D，F1E′共线时满足条件． 【完整解答】解：（1）如图1中，点F1，F2即为所求； （2）如图2中，当DE为直径的⊙O与BC相切时，△EBF与△FCD相似的点F有且只有两个， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝3，∠A＝∠B＝∠C＝90°， 设切点为F，连接OF，则OF⊥BC， ∵BE∥OF∥CD，OE＝OD， ∴BF＝CF， ∴OE＝OD＝OF（BE+CD）＝2， ∴DE＝4， ∴BC＝AD2． 如图3中，作点E关于BC的对称点E′，以DE为直径作⊙O交BC于点F1，F2，当D，F1E′共线时满足条件． 此时BE＝BF1＝1，CD＝AB＝CF1＝3， ∴BC＝4． 综上所述，BC的长为2或4． 【总结提升】本题考查作图﹣相似变换，矩形的性质，直线与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 类型三 相似三角形与菱形的综合 7．（2025•龙湾区开学）如图，在菱形ABCD中，连结对角线AC，点E在边AB上，过点E作EF∥BC交AC于点F，连结DE交AC于点G． （1）若DA＝DE，∠B＝105°，求∠CDE的度数． （2）若AC＝15，AE＝2BE，求GF的长． （3）求证：GA2＝GF•GC． 【思路引领】（1）由菱形性质知∠BAD＝75°，由DA＝DE知∠AED＝∠BAD＝75°，∠ADE＝30°，由菱形对角相等可得∠ADC＝105°，从而∠CDE＝75°． （2）由EF∥BC，可得，又AC＝15，AF10，由EF∥BC，可得△AEF∽△ABC，，又BC＝AD， 则，再证明△GEF∽△GDA，，从而GF4． （3）由菱形性质证明AE＝EF，再证明△AGE∽△CGD，列出比例式，由（2）中知，故，化为乘积式即GA2＝GF•GC． 【完整解答】（1）解：∵∠B＝105°，AD∥BC， ∴∠BAD＝75°， ∵DA＝DE， ∴∠AED＝∠BAD＝75°， ∴∠ADE＝30°， 由菱形对角相等可得∠ADC＝∠B＝105°， ∴∠CDE＝105°﹣30°＝75°． （2）解：∵EF∥BC， ∴， 又∵AC＝15， ∴AF10， 由EF∥BC，可得△AEF∽△ABC， ∴， 又∵BC＝AD， ∴， ∵EF∥AD， ∴△GEF∽△GDA， ∴， 故GF4． （3）证明：由菱形性质知∠DAC＝∠BAC， 又∵EF∥AD， ∴∠DAC＝∠AFE， ∴∠BAC＝∠AFE， ∴AE＝EF． ∵DC∥AB， ∴△AGE∽△CGD， ∴， 由（2）中知， ∴， ∴GA2＝GF•GC． 【总结提升】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上内容以及熟练进行中间比转化证明比例式是解题关键． 8．（2024春•东平县期末）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD． （1）求DE的长；（结果保留根号） （2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF． ①求证：△AGE∽△DGF； ②求DF的长．（提示：过点E作EH⊥CD于点H．） 【思路引领】（1）只要证明DE是等边△DBC的高即可解决问题； （2）①由△AGD∽△EGF，可得，推出，又∠AGE＝∠DGF，即可推出△AGE∽△DGF； ②求出CF的长即可解决问题． 【完整解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB＝CD， ∵∠C＝60°， ∴△CDB是等边三角形， ∴DB＝DC＝AB＝4， ∵BE＝EC ∴DE⊥BC， ∴DE＝CD•sinC＝2． （2）①证明：∵AD∥BC ∴∠ADG＝∠DEC＝90°， ∴∠ADG＝∠GFE＝90°， 又∵∠AGD＝∠EGF， ∴△AGD∽△EGF， ∴， ∴， ∵∠AGE＝∠DGF， ∴△AGE∽△DGF， ②解：作EH⊥CD于H． ∵△AGE∽△DGF， ∴∠EAG＝∠GDF＝30°， ∵∠GFE＝∠ADG＝90°， ∴EFAE， 在Rt△ECH中，CH＝1，EH， 在Rt△EFH中，FH2， ∴CF＝2+1＝3， ∴DF＝CD﹣CF＝1． 【总结提升】本题主要考查相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题． 9．（2024秋•武侯区校级期中）已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点．连接AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S． （1）求证：OA2＝OR•OS． （2）若AD＝8，∠DCB＝60°，BS＝20，求AS和OR的长． 【思路引领】（1）根据菱形得到AD∥BC，AB∥CD，继而，，等量代换，交叉相乘即可求证； （2）首先求AS的长，要通过构建直角三角形求解；过A作BC的垂线，设垂足为T，在Rt△ABT中，易证得∠ABT＝∠DCB＝60°，又已知了斜边AB的长，通过解直角三角形可求出AT、BT的长；进而可在Rt△ATS中，由勾股定理求出斜边AS的值；由于四边形ABCD是菱形，则AD∥BC，易证得△ADO∽△SBO，已知了AD、BS的长，根据相似三角形的对应边成比例线段可得出OA、OS的比例关系式，即可求出OA、OS的长；同理，可通过相似三角形△ADR和△SCR求得AR、RS的值；由OR＝OS﹣RS即可求OR的长． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴，， ∴， ∴OA2＝OR•OS； （2）解：在菱形ABCD中，∠DCB＝60°，AD＝8，∠DCB＝60°，BS＝20，如图，过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T． ∴AB＝AD＝8，AB∥CD， ∴∠ABT＝∠DCB＝60°， 在Rt△ATB中，，TB＝ABcos60°＝4， ∴TS＝TB+BS＝24， 在Rt△ATS中，． ∵AD∥BS， ∴△AOD∽△SOB． ∴， 则， ∴ ∵， ∴． 同理可得△ARD∽△SRC． ∴， 则， ∴， ∴． ∴． 【总结提升】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 10．（2024秋•南海区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点G在边CD上，连线AG并延长交BC的延长线于点F，连结BD交AF于点E，连结CE． （1）求证：EC2＝EF•EG； （2）若AB＝6，3，求CF的长． 【思路引领】（1）证明△FEC∽△CEG，可得出结论； （2）设GC＝x，则CF＝3x，DG＝6﹣x，证明△ADG∽△FCG，得出方程求解即可． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线， ∴由对称性可得∠DAE＝∠DCE． ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠F， ∴∠DCE＝∠F， ∵∠FEC＝∠CEG， ∴△FEC∽△CEG， ∴， ∴EC2＝EF•EG； （2）解：由（1）可知△FEC∽△CEG， ∴∵AD∥CF， ∴△ADG∽△FCG， ∴， ∴， 解得x＝4， 经检验，x＝4是分式方程的解， ∴CF＝3x＝12． 【总结提升】本题主要考查菱形的性质以及相似三角形的判定和性质，熟记菱形的性质以及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 类型四 相似三角形与正方形的综合 11．（2024秋•凤翔区期末）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长． 【思路引领】（1）由正方形的性质得出∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，证出∠ABE＝∠DEF，即可得出△ABE∽△DEF； （2）求出DF＝1，CF＝3，由相似三角形的性质得出，解得DE＝2，证明△EDF∽△GCF，得出，求出CG＝6，即可得出答案． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC， ∵∠BEF＝90°， ∴∠AEB+∠DEF＝90°， ∵∠ABE+∠AEB＝∠DEF+∠EBA＝90°， ∴∠ABE＝∠DEF， ∴△ABE∽△DEF； （2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD， ∴DF＝1，CF＝3， ∵△ABE∽△DEF， ∴，即， 解得：DE＝2， ∵AD∥BC， ∴△EDF∽△GCF， ∴，即， ∴CG＝6， ∴BG＝BC+CG＝4+6＝10． 【总结提升】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 12．（2024秋•海门区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE于点F，垂足为F，连接PE． （1）求证：△PFA∽△ABE； （2）设PA＝x，是否存在实数x，使得△PEF与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【思路引领】（1）在△PFA与△ABE中，可得∠PAF＝∠AEB及∠PFA＝∠ABE＝90°，故可得△PFA∽△ABE； （2）由题意知，分△PFE∽△ABE，△EFP∽△ABE，两种情况求解． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠PAF＝∠AEB， ∵∠PFA＝∠ABE＝90°， ∴△PFA∽△ABE； （2）解：存在． 由题意知，分△PFE∽△ABE，△EFP∽△ABE，两种情况求解： ①当△PFE∽△ABE时，如图1， ∴∠PEF＝∠AEB，，即，PF＝2EF， 由勾股定理得，2， ∵△PFA∽△ABE， ∴∠PAF＝∠AEB， ∴∠PAF＝∠PEF， ∴AP＝EP， ∵PF⊥AE， ∴AF＝EF， 由勾股定理得，APEF，即x＝5， ②当△EFP∽△ABE，如图2， ∴∠PEF＝∠EAB， ∴AB∥PE， ∴∠BEP＝90°， ∴四边形ABEP是矩形， ∴AP＝BE＝2，即x＝2； 综上所述，存在，x的值为2或5． 【总结提升】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 13．（2024秋•洪雅县期末）如图，在正方形ABCD中，点G是对角线BD上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG． （1）求证：AB2＝BE•DF； （2）若，，求EF的长． 【思路引领】（1）由正方形的性质得BC＝DC＝AB，∠EBC＝∠CDF＝90°，AB∥DC，则∠BEC＝∠DCF，所以△EBC∽△CDF，则，所以，即可证明AB2＝BE•DF； （2）由BE∥DC，证明△BEG∽△DCG，得，由BC∥DF，证明△BCG∽△DFG，得，则，而GE，GC＝3，求得GF6，则EF＝GF﹣GE＝5． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC＝AB，∠EBC＝∠CDF＝90°，AB∥DC， ∴∠BEC＝∠DCF， ∴△EBC∽△CDF， ∴， ∴， ∴AB2＝BE•DF． （2）解：∵BE∥DC， ∴△BEG∽△DCG， ∴， ∵BC∥DF， ∴△BCG∽△DFG， ∴， ∴， ∵GE，GC＝3， ∴GF6， ∴EF＝GF﹣GE＝65， ∴EF的长是5． 【总结提升】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△EBC∽△CDF、△BEG∽△DCG及△BCG∽△DFG是解题的关键． 14．（2024秋•揭西县期末）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG． （1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝ 　27　°； （2）证明：△AFC∽△AGD； （3）若，请求出的值． 【思路引领】（1）由四边形ABCD，AEFG是正方形，得到∠BAC＝∠GAF＝45°，于是得到∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，推出∠HAG＝∠BAF＝18°，由于∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，于是得到结论； （2）由四边形ABCD，AEFG是正方形，推出，得，由于∠DAG＝∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到结果； （3）设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，根据勾股定理得到AF，AC由于∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到结论． 【完整解答】解：（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴∠BAC＝∠GAF＝45°， ∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°， ∴∠HAG＝∠BAF＝18°， ∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°， ∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°， 故答案为：27． （2）∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴，， ∴， ∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°， ∴∠DAG＝∠CAF， ∴△AFC∽△AGD； （3）∵， 设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k， ∴AFk，ACAB＝3k， ∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF， ∴△AFH∽△ACF， ∴， ∴． 【总结提升】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找准相似三角形是解题的关键． 15．（2024秋•金牛区期末）在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，且AE＝CF，连接DE和BF分别交对角线AC于点G、H，连接BG、DH． （1）求证：四边形BFDE为平行四边形； （2）若正方形边长为4，AG，求四边形GBHD面积． 【思路引领】（1）由正方形的性质得AB∥CD，AB＝CD，而AE＝CF，则AB﹣AE＝CD﹣CF，所以BE＝DF，由BE∥DF，且BE＝DF，证明四边形BFDE为平行四边形； （2）连接BD交AC于点L，由DG∥BH，得∠LDG＝∠LBH，可证明△DLG≌△BLH，则DG＝BH，而BD⊥GH，则四边形GBHD是菱形，由∠ABC＝90°，AB＝CB＝4，求得BD＝AC＝4，所以AL＝CL＝2，因为AG，所以HL＝GL，求得GH＝2，则S四边形GBHDBD•GH＝8． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵点E、F分别在边AB和CD上，且AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF， ∴BE＝DF， ∵BE∥DF，且BE＝DF， ∴四边形BFDE为平行四边形． （2）解：连接BD交AC于点L，则BD⊥AC，且BD＝AC， ∵四边形BFDE是平行四边形， ∴DG∥BH， ∴∠LDG＝∠LBH， ∴DL＝BL，∠DLG＝∠BLH， ∴△DLG≌△BLH（ASA）， ∴DG＝BH， ∴四边形GBHD是平行四边形， ∵BD⊥GH， ∴四边形GBHD是菱形， ∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝4， ∴BD＝ACAB＝4， ∴AL＝CLAC＝2， ∵AG， ∴HL＝GL＝AL﹣AG＝2， ∴GH＝2GL＝2， ∴S四边形GBHDBD•GH428， ∴四边形GBHD的面积为8． 【总结提升】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形GBHD是菱形是解题的关键． 第2部分 专题提优训练 1．（2024秋•余姚市期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在BC延长线上，连结AE，且∠CAE＝∠D． （1）求证：△ABE∽△CAE． （2）若AE＝5，BE＝8，求CE的长． 【思路引领】（1）由平行四边形的性质得∠B＝∠D，因为∠CAE＝∠D，所以∠B＝∠CAE，而∠E＝∠E，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABE∽△CAE； （2）由相似三角形的性质得，因为AE＝5，BE＝8，所以CE． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵∠CAE＝∠D， ∴∠B＝∠CAE， ∵∠E＝∠E， ∴△ABE∽△CAE． （2）解：∵△ABE∽△CAE， ∴， ∵AE＝5，BE＝8， ∴CE， ∴CE的长是． 【总结提升】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠B＝∠CAE，进而证明△ABE∽△CAE是解题的关键． 2．（2024秋•临邑县期末）如图所示，B、E、C、F四点在一条直线上，四边形ABED，ADFC为平行四边形． （1）求证：△ABC∽△DFE； （2）若S△ABC＝2S△GEC，BC＝2，求BE的长． 【思路引领】（1）由平行四边形的性质和相似三角形的判定证明△ABC∽△DFE； （2）由相似三角形的判定与性质和线段的和差求出BE的长为2． 【完整解答】解：如图所示： （1）∵四边形ABED为平行四边形， ∴AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， 又∵四边形ADFC为平行四边形． ∴AC∥DF， ∴∠ACB＝∠F， ∴△ABC∽△DFE（AA）； （2）∵GE∥AB， ∴△CGE∽△CAB， ∴， 又∵S△ABC＝2S△GEC，BC＝2， ∴， 解得：CE， 又∵BE+EC＝BC， ∴BE＝2． 【总结提升】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质和线段的和差，重点掌握相似三角形的判定与性质． 3．（2024秋•拱墅区期末）如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，连接EF，交对角线AC于点G，EF∥AD． （1）求证：△CFG∽△ABC． （2）若CF＝2，FD＝4，AD＝3，求CG的长． 【思路引领】（1）由EF∥AD，得∠CFG＝∠D，由矩形的性质得∠D＝∠B，CD∥AB，则∠CFG＝∠B，∠FCG＝∠BAC，所以△CFG∽△ABC； （2）由CF＝2，FD＝4，求得CD＝6，因为AD＝3，∠D＝90°，所以CA3，由GF∥AD，证明△CFG∽△CDA，则，求得CGCA． 【完整解答】（1）证明：∵EF∥AD， ∴∠CFG＝∠D， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠B，CD∥AB， ∴∠CFG＝∠B，∠FCG＝∠BAC， ∴△CFG∽△ABC． （2）解：∵CF＝2，FD＝4，AD＝3， ∴CD＝CF+FD＝2+4＝6， ∵∠D＝90°， ∴CA3， ∵GF∥AD， ∴△CFG∽△CDA， ∴， ∴CGCA3， ∴CG的长是． 【总结提升】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△CFG∽△CDA是解题的关键． 4．（2024秋•化州市期末）如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，AH是△ABC的高，DE：DG＝1：2，BC＝40cm，AH＝30cm，求矩形DEFG的周长． 【思路引领】设AH交DG于点L，由DE：DG＝1：2，得DG＝2DE，由DG∥BC证明△ADG∽△ABC，而AH⊥BC，则AL⊥DG，可证明LH＝DE，由相似三角形的性质得，则，求得DE＝FG＝12cm，DG＝EF＝24cm，则DE+EF+FG+DG＝72cm，所以矩形DEFG的周长为72cm． 【完整解答】解：设AH交DG于点L， ∵DE：DG＝1：2， ∴DG＝2DE， ∵四边形DEFG是矩形，且点D、G分别在AB、AC上，EF边在BC边上， ∴DG∥BC，∠DEC＝90°， ∴△ADG∽△ABC， ∵AH是△ABC的高， ∴AH⊥BC， ∴∠ALD＝∠AHB＝90°， ∴AL⊥DG， ∴， ∵DG∥BC，LH⊥BC，DE⊥BC，BC＝40cm，AH＝30cm， ∴LH＝DE， ∴AL＝AH﹣LH＝AH﹣DE， ∴， 解得DE＝12， ∴DE＝FG＝12cm，DG＝EF＝24cm， ∴DE+EF+FG+DG＝2×12+2×24＝72（cm）， ∴矩形DEFG的周长为72cm． 【总结提升】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ADG∽△ABC是解题的关键． 5．（2024秋•邗江区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED＝∠B． （1）求证：△ABE∽△DEA； （2）若AE＝4，DE＝8，求菱形ABCD的边长． 【思路引领】（1）根据菱形的性质，得出∠DAE＝∠AEB，进而证明结论即可； （2）根据菱形的性质和相似三角形的性质，得到AE•DE＝AB2，即可求出菱形ABCD的边长． 【完整解答】（1）证明：∵在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED＝∠B， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴△ABE∽△DEA； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵△ABE∽△DEA， ∴， ∴AB•AD＝AE•DE＝AB2， ∵AE＝4，DE＝8， ∴AB2＝32， ∴AB＝4或﹣4（不合题意，舍去）， ∴菱形ABCD的边长为4． 【总结提升】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键． 6．（2024秋•法库县期末）在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，已知AB＝6，CE＝2，求CF长． 【思路引领】取BC的中点H，连接OH，由菱形的性质得BC＝CD＝AB＝6，BO＝DO，则BH＝CHBC＝3，HO∥CD，HOCD＝3，可证明△HOF∽△CEF，得，求得CFCH． 【完整解答】解：取BC的中点H，连接OH，则BH＝CH， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，AB＝6， ∴BC＝CD＝AB＝6，BO＝DO， ∴BH＝CHBC＝3，HO∥CD，HOCD＝3， ∵点E在DC的延长线上，且CE＝2， ∴HO∥CE， ∴△HOF∽△CEF， ∴， ∴CFCHCH3， ∴CF的长为． 【总结提升】此题重考查菱形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．（2024秋•红古区期末）如图，过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP； （3）若AB＝6，AD＝8，求AP的长． 【思路引领】（1）由矩形的性质得AD∥BC，由EF垂直平分AC得AE＝CE，CF＝AF，由∠AEF＝∠CEF，∠AEF＝∠CFE，推导出∠CEF＝∠CFE，则CE＝CF，所以AE＝CE＝CF＝AF，则四边形AFCE是菱形； （2）由EF⊥AC于点O，EP⊥AD于点E，得∠AOE＝∠AEP＝90°，而∠OAE＝∠EAP，所以△OAE∽△EAP，则，所以，即可证明2AE2＝AC•AP； （3）由∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝8，求得AC10，由CD2+DE2＝CE2，且AE＝CE，DE＝8﹣AE，得62+（8﹣AE）2＝AE2，求得AE，由2AE2＝AC•AP，得AP． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∵过AC的中点O作AC的垂线分别交AD，BC于点E，F， ∴EF垂直平分AC， ∴AE＝CE，CF＝AF， ∵EF⊥AC， ∴∠AEF＝∠CEF， ∵∠AEF＝∠CFE， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， ∴AE＝CE＝CF＝AF， ∴四边形AFCE是菱形． （2）证明：∵EF⊥AC于点O，EP⊥AD于点E， ∴∠AOE＝∠AEP＝90°， ∵∠OAE＝∠EAP， ∴△OAE∽△EAP， ∴， ∵OA＝OCAC， ∴， ∴2AE2＝AC•AP． （3）解：∵∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝8， ∴AC10， ∵CD2+DE2＝CE2，且AE＝CE，DE＝8﹣AE， ∴62+（8﹣AE）2＝AE2， 解得AE， 由（2）得2AE2＝AC•AP， ∴AP， ∴AP的长是． 【总结提升】此题重点考查矩形的性质、菱形的判定性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△OAE∽△EAP是解题的关键． 8．（2024秋•宿豫区期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且DF＝1，若△ABE与△DEF相似，求AE的长． 【思路引领】根据“相似三角形的对应边成比例”求解即可． 【完整解答】解：在边长为4的正方形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝4， 当△ABE∽△DEF时，， ∴， ∴AE＝2； 当△ABE∽△DFE时，，此时AB＝DF（不成立，舍去）， 故AE＝2． 【总结提升】此题考查了相似三角形的性质、正方形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 9．（2024秋•成华区期末）如图，在正方形ABCD中，延长AD到点E，连结CE，过点A作AH⊥CE，垂足为点H，AH交CD于点F，交BD于点G． （1）求证：AF＝CE； （2）若，求的值． 【思路引领】（1）由AH⊥CE于点H∠AHE＝90°，由正方形的性质得AD＝CD，∠ADF＝∠CDE＝90°，则∠DAF＝∠DCE＝90°﹣∠E，即可根据“ASA”证明△ADF≌△CDE，则AF＝CE； （2）设DF＝DE＝2m，由，得BA＝DC＝AD＝5m，则CF＝3m，AFm，可证明△DFG∽△BAG，得，则GFAFm，再证明△CHF∽△ADF，得，则FHm，求得． 【完整解答】（1）证明：∵AH⊥CE于点H，交CD于点F，交BD于点G， ∴∠AHE＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，点D在AD的延长线上， ∴AD＝CD，∠ADF＝∠CDE＝90°， ∴∠DAF＝∠DCE＝90°﹣∠E， 在△ADF和△CDE中， ， ∴△ADF≌△CDE（ASA）， ∴AF＝CE． （2）解：由（1）得△ADF≌△CDE， ∴DF＝DE， 设DF＝DE＝2m， ∵， ∴BA＝DC＝ADDE2m＝5m， ∴CF＝DC﹣DF＝5m﹣2m＝3m，AFm， ∵DF∥BA， ∴△DFG∽△BAG， ∴， ∴GFAFAFmm， ∵∠CHF＝∠ADF＝90°，∠CFH＝∠AFD， ∴△CHF∽△ADF， ∴， ∴FHm， ∴， ∴的值是． 【总结提升】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△ADF≌△CDE，△DFG∽△BAG，以及△CHF∽△ADF是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$