精品解析：四川省德阳市中江县2024—2025学年上学期九年级数学期末试题

2024年秋期末教学质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 下列四个数中，比大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 小菊上学一定乘坐公共汽车 B. 某种彩票中奖率为，买10000张该种彩票一定会中奖 C. 在一个只装有红球的盒子里摸到白球 D. a是实数， 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（ ） A. ，开口向上 B. ，开口向下 C. ，开口向上 D. ，开口向下 6. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 没有交点 D. 不能确定 7. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 8. 已知、是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 9. 如图，AB⊥OB，AB=2，OB=4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（　　） A. 2 B. 2π C. π D. π 10. 如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的面积为（ ） A. B. C. D. 18 11. 不等式组的所有整数解的和为9，则整数的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 已知抛物线（a，b，c是常数，）经过，，三点，且．有下列结论： ①； ②当时，若点在该抛物线上，则； ③若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中，正确结论的个数是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 13. 若，为实数，且，则的值为______． 14. 分式方程的解是___________． 15. 已知二次函数，当时，y的取值范围是_____． 16. 如图，在扇形中，，，则的长为______． 17. 如图所示，在圆形转盘中，，拨动指针，指针指向区域a的概率为，在矩形转盘中，，，拨动指针，指针指向区域的概率为，则______． 18. 如图，四边形是的内接四边形，且，点E在的延长线上，若，则的面积为_______． 三、解答题（共7小题，满分90分） 19. （1）计算：； （2）解方程：①；②． 20. 某校举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D.24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为 ，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有1000名学生，请估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数； （3）此次“魔方游戏”中获得优胜的有2名男生和2名女生，该校计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市级魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． （1）将绕点A顺时针旋转，得到（点，分别是B，C的对应点），在图中画出； （2）在图中画出关于点O中心对称的（点，分别是B，C的对应点），点的坐标是 ； （3）在（1）、（2）的基础上，我们发现点，关于某点中心对称，则对称中心的坐标是 ． 22. 某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液．经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶． （1）若售价定为35元，每月可售出多少桶？ （2）若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为多少元？ （3）当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？ 23. 已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． （1）若方程有两个实数根，求m的值． （2）已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 24. 如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点． （1）求抛物线表达式； （2）点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形． ①求点的坐标； ②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期末教学质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 下列四个数中，比大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，掌握负数的大小的方法，即负数的绝对值越大，本身便越小．根据实数的大小比较方法进行解答即可． 【详解】解：A、，则，符合题意； B、，则，不符合题意； C、，则，不符合题意； D、，则，不符合题意， 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义；理解定义：“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．” 是解题的关键． 【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 小菊上学一定乘坐公共汽车 B. 某种彩票中奖率为，买10000张该种彩票一定会中奖 C. 在一个只装有红球的盒子里摸到白球 D. a是实数， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可解答． 【详解】解：A、小菊上学一定乘坐公共汽车，是随机事件，不符合题意； B、某种彩票中奖率为，买10000张该种彩票一定会中奖，是随机事件，不符合题意； C、在一个只装有红球的盒子里摸到白球，是不可能事件，不符合题意； D、a是实数，，是必然事件，符合题意， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，故该选项不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（ ） A. ，开口向上 B. ，开口向下 C. ，开口向上 D. ，开口向下 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，开口向上， 故选：A． 6. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 没有交点 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交， ∴直线与有2个交点， 故选：B． 7. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是掌握抛物线的平移规则，左加右减，上加下减． 根据抛物线的平移规则，左加右减，上加下减，即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是，即 故选：D． 8. 已知、是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据题意得出代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A 9. 如图，AB⊥OB，AB=2，OB=4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（　　） A. 2 B. 2π C. π D. π 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理得到OA，然后根据边AB扫过的面积==解答即可得到结论． 【详解】如图，连接OA、OC． ∵AB⊥OB，AB=2，OB=4，∴OA==，∴边AB扫过的面积=== =． 故选C． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 10. 如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的面积为（ ） A. B. C. D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形，连接，，由正多边形的性质得是等边三角形，求出三角形的面积，即可求解；理解正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， 正六边形内接于， ， ， 是等边三角形， ， 解得：， ， 正六边形的面积为 ； 故选：C． 11. 不等式组的所有整数解的和为9，则整数的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式组，求出其解集（用a表示），再根据不等式组的所有整数解的和为9，得到不等式整数解，从而得出关于a的不等式组，再求解即可． 【详解】解：解等式组得 ， ∴， ∵不等式组的所有整数解的和为9， 当x的整数解为2，3，4时， ∴ ∵a为整数， ∴， 当x的整数解为-1，0，1，2，3，4时， ∴ ∵a为整数， ∴， ∴整数的值有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查解不等式组，不等式组的整数解情况求参问题，熟练掌握解不等式组，确定不等式组解集的方法是解题的关键．根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解题的难点． 12. 已知抛物线（a，b，c是常数，）经过，，三点，且．有下列结论： ①； ②当时，若点在该抛物线上，则； ③若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中，正确结论的个数是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】①根据图象经过，，且抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，即，再把代入 得，先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，利用不等式的性质即可得出，即可求解；②先得出抛物线对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可求解；③根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，即可求解． 【详解】解：①图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点， ∵中， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧， 如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在的左侧， ∴当时，， 由于当，， ∴假设不成立，抛物线的开口不能向上， ∴抛物线的开口一定向下，即， 把代入得：， 即， ，， ， ，，，， ∴方程的两个根的积大于0， 即， ， ， ∴， 即抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴抛物线的顶点在点的右上方， ∴顶点纵坐标：， ， ， 故①正确； ②， ∴当 时，， ∴抛物线对称轴在直线的右侧， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ，抛物线开口向下， ∴距离抛物线越近的函数值越大， ， 故②正确； ③方程可变为， ∵方程有两个相等的实数解， ． ∵把代入得，即， ， 即， ， ，即， ∵，在抛物线上， ∴m，n为方程的两个根， ， ， ， ， ． 故③错误． 综上，正确的结论有：①②． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合法，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 13. 若，为实数，且，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 14. 分式方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先去分母将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得，， 检验，当时，，是原分式方程的解， 故答案为：． 15. 已知二次函数，当时，y的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先把函数化成顶点式，求出二次函数的最小值，再求出当和对应的y值，最后求出最大值和最小值即可． 【详解】解：二次函数化为顶点式为， ∵， ∴二次函数有最小值为0，此时， 当时，， 当时，， ∴该函数在的取值范围内，y的取值范围内是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当和对应的y值是解此题的关键． 16. 如图，在扇形中，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得的长为 ， 故答案为： 17. 如图所示，在圆形转盘中，，拨动指针，指针指向区域a的概率为，在矩形转盘中，，，拨动指针，指针指向区域的概率为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用几何图形求概率；由圆得圆中区域的圆心角为，可求出，由矩形的性质及等边三角形的判定及性质得，可得，可求出，即可求解；理解利用区域对应的角度进行求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 圆中区域的圆心角为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：． 18. 如图，四边形是的内接四边形，且，点E在的延长线上，若，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点，运用“圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”证得是解题的关键． 连接，根据圆内接四边形的性质，证得是等边三角形，过点O作于F，则 ，再利用三角函数即可求得答案. 【详解】如图，连接，过点O作于F， ∵四边形是的内接四边形，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∵， ∴ ， ∴. ∴的面积为：， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，满分90分） 19. （1）计算：； （2）解方程：①；②． 【答案】（1）5；（2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，再进行加减计算； （2）①利用配方法求解；②先化为一般式，再利用因式分解法求解． 【详解】（1）解： ； （2）①解： 解得：； ②解： 或 解得：． 20. 某校举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D.24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为 ，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有1000名学生，请估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数； （3）此次“魔方游戏”中获得优胜的有2名男生和2名女生，该校计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市级魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）200人； 补全条形统计图如图所示． （2）约150人 （3） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次调查总人数；用本次调查总人数分别减去A，B，C，E类游戏活动的人数，可得D类游戏活动的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中E类游戏活动的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次调查总人数为（人）． ∴D类游戏活动的人数为（人）． 故答案为：200人． 【小问2详解】 解：（人）． ∴估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数约150人． 【小问3详解】 解：列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 【点睛】本题考查了扇形统计图，样本容量，样本估计总体，列表法计算概率，熟练掌握计算是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． （1）将绕点A顺时针旋转，得到（点，分别是B，C的对应点），在图中画出； （2）在图中画出关于点O中心对称的（点，分别是B，C的对应点），点的坐标是 ； （3）在（1）、（2）的基础上，我们发现点，关于某点中心对称，则对称中心的坐标是 ． 【答案】（1） 如图，即为所求作的三角形； （2） 如图，即为所求作的三角形； 由的位置可得：点的坐标是； （3）． 【解析】 【分析】本题考查旋转作图，中心对称，点的坐标，熟练掌握利用旋转的性质作图是解题的关键． （1）根据旋转的性质，分别是作出点A、B、C旋转后的对应点，再连接即可； （2）根据中心对称的性质，分别是作出点绕点逆时针旋转后的对应点，再连接即可，根据点位置，写出点坐标即可； （3）连接，交轴于，根据中心对称的性质，求出的中点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，交轴于， 由图可得：为对称中心，坐标为． 22. 某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液．经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶． （1）若售价定为35元，每月可售出多少桶？ （2）若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为多少元？ （3）当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？ 【答案】（1）每月可售出桶 （2）每桶洗衣液的定价为元 （3）销售价格应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出销量和单价，用销量乘以单价表示出利润即可． （1）由“洗衣液的售价每提高1元，其销售量就减少10桶”进行解答； （2）设销售价格应定为x元，根据“洗衣液的售价每提高1元，，其销售量就减少10桶”列出方程并解答； （3）设销售价格应定为y元，根据“每月有8000元的销售利润”列出方程并解答结合“薄利多销”取合适的值即可． 【小问1详解】 解：当售价为35元时， 每月可以售出（桶）； 【小问2详解】 解：设销售价格应定为x元，则 ， 解得， 答：销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为60元； 【小问3详解】 解：设销售价格应定为y元，则 ， 整理得：， 解得：或， 为体现“薄利多销”的销售原则， ， 答：销售价格应定为元． 23. 已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． （1）若方程有两个实数根，求m的值． （2）已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1） （2）17 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）分①长为7的边是等腰的腰和②长为7的边是等腰的底边两种情况，再结合三角形的三边关系定理、利用一元二次方程根的定义求解即可得． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， 方程根的判别式， 解得； 【小问2详解】 解：由题意，分以下两种情况： ①当长为7的边是等腰的腰时， 则7是方程的一个根， 因此有， 解得或， 当时，方程为，解得或， 此时等腰的周长为， 当时，方程为，解得或， 此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去； ②当长为7的边是等腰的底边时， 则，即方程有两个相等的实数根， 则 ∴， 方程为，解得， 此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去， 综上，这个三角形的周长为17． 24. 如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点C在上， ∴是的切线； （2） 证明： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可知，等量代换得，由得，进而得，即，然后由切线的判定定理即可得出结论； （2）由（1）得，可得，由得，由等边对等角可得，由余角性质得，由对顶角相等得，等量代换得，等角对等边即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握切线的判定及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点． （1）求抛物线表达式； （2）点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形． ①求点的坐标； ②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式； （2）①由坐标求出解析式，然后根据四边形是平行四边形和得出，再分类讨论求得和的坐标； ②求出解析式，交点为，再求出坐标，然后由两点间距离公式求出和长度，因为旋转不改变长度，所以长度不变，当旋转到轴上时，此时最短，所以此时等于，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于点，交轴于点和点， ， 解得： ； 【小问2详解】 如图 ， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， 为与轴交点， ， ， 四边形是平行四边形， 且，且点在点下方， 点在轴上，点在平面内，， ， ， 或， 若为， ， 故， 若为， ，此时，矛盾，舍去， 综上，点的坐标为； ②如图，设的解析式为 抛物线交轴于点， 点的坐标为，， 将点、的坐标代入得： ， 解得， 的解析式为， 与相交于点， ， 解得， 所以点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点、的坐标代入直线的解析式得： ， 解得， 所以直线的解析式为， 与相交于点， ， 解得， 点的坐标为， 当旋转到轴上时，此时最短，如图 的最小值为． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、用待定系数法求函数表达式、二次根式的化简、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标等知识和方法，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $