数学（广西卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

2025年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2025的相反数是（     ） A． B．2025 C． D． 1．C 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：C． 2．保护环境，人人有责．下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，属于中心对称图形的是（     ） A．厨余垃圾 B．可回收物 C．其他垃圾 D．有害垃圾 2．D 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心，中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形，常见的中心对称图形有：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等．根据中心对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A. 厨余垃圾，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B. 可回收物，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C. 其他垃圾，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D. 有害垃圾，是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：． 3．截止目前，电影《哪吒之魔童闹每》以111.7亿元票房领跑2025年春节档电影票房，其中数据111.7亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．D 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据111.7亿用科学记数法表示为． 故选：D． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．B 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；同底数幂的除法，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项，底数相同，指数也相同，合并同类项时，字母及指数不变，系数相加或相减，由此即可求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：B． 5．把一块含有角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示方式放置（直角顶点在直尺的一条边上）．若，则（     ） A． B． C． D． 5．C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，掌握平行线的性质，三角形内角和定理的内容是解题的关键． 根据三角板的性质得到，由直尺得到，则，在中，由三角形内角和定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C ． 6．在一个不透明的盒子中装有红球和白球共50个，这些球除颜色外都相同．现从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀再从中随机摸出一个球…，通过大量重复试验后发现摸出白球的频率逐渐稳定在0.4，则盒子中白球的个数最有可能是（     ） A．10 B．20 C．30 D．40 6．B 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率可估计摸到白球的概率，然后求出这个口袋中白球的个数． 【详解】解：利用频率估计概率可得，摸到白球的概率为0.4， 则这个口袋中白球的个数最有可能是：（个）． 故选：B． 7．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A．  B．  C． D．   7．D 【分析】本题主要考查了解不等式并把解集在数轴上表示，熟练的掌握不等式的性质，会求不等式的解集，是解题的关键．注意：“”在数轴上是空心小圆圈，“”在数轴上是实心小圆点． 根据不等式的性质，求出不等式的解集，进而判定在数轴上表示正确选项即可． 【详解】解：∵ ∴． 在数轴上表示D选项是正确的． 故选：D． 8．若分式的值为0，则（     ） A． B． C． D．或－2 8．C 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键； 根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零得且即可解答． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故选C． 9．二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 9．B 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法并灵活运用是解答的关键．利用用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ①②得：， 把代入①中得：， ∴原方程组的解为， 故选：B． 10．对于反比例函数，下列说法不正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 10．D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，， ∴点在它的图象上，故原选项正确，不符合题意； 、由可知，， 则它的图象在第一、三象限，故原选项正确，不符合题意； 、由可知，， ∴当时，随的增大而减小，故原选项正确，不符合题意； 、当时，，故原选项错误，符合题意； 故选：． 11．某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 第5题图 第12题图 11．D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式是解题的关键． 根据题意列出二次函数解析式即可． 【详解】解：由题意得，与的函数解析式为， 故选：D ． 12．如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①②③④，正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 12．B 【分析】结合所给函数图象，抛物线的开口方向、对称性及二次函数与一元二次方程之间的关系对所给结论进行依次判断即可． 【详解】解：二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点， ，两点关于直线对称， ， ， 结论①正确； 直线是二次函数对称轴， ，即， ， 由函数图象可知，该二次函数开口向上，， ， 结论②错误； 该二次函数与轴有两个交点， ， 由图可知，当时，， 即，， ， ， 即， 结论③正确； ，即， ， ， ，即， ， ， ∴不一定正确， 结论④错误； 综上，正确结论为①③，共个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数图象与性质、二次函数的图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与系数的关系． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 13． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为： 14．学校举办了以“不负青春，强国有我”为主题的演讲比赛．已知某位选手的演讲内容、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分、85分、82分，若依次按照，，的比例确定成绩，则该选手的成绩是 分． 14．86 【分析】本题考查了加权平均数的运用，熟练掌握加权平均数的计算方法．是解题的关键．若n个数的权分别为，则叫做这n个数的加权平均数． 根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可得出答案． 【详解】解：（分）， 故答案为：86． 15．如图，在中，，，点D是上一点，且，，则的长为 15． 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，解一元二次方程．作的外接圆，作的直径，作于点，利用圆周角定理求得，证明四边形是矩形，推出，利用垂径定理结合圆周角定理求得，求得，证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：作的外接圆，作的直径，作于点，连接，，，如图， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得(负值已舍)， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，D为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点的对应点坐标为 ． 第15题图 第16题图 16． 【分析】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，正确找到旋转2025秒后点的位置是解题的关键．根据旋转4秒恰好旋转，说明旋转2025秒后点在x轴下方，且，再求出点的坐标即可． 【详解】解：将正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转，旋转4秒恰好旋转， …1， ∴点在x轴下方，且， 过点D作轴于点E，过点D作轴于点F， ∵点D坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本题满分8分)计算： 17． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先算乘方，再算括号内，再算乘法，最后算加减即可解答． 【详解】解：           ． 18．(本题满分10分)先化简，再求值：，其中，． 18．， 【分析】本题考查的知识点是整式的加减—化简求值，解题关键是熟练掌握合并同类项法则．注意去括号时符号的变化，原式去括号，再合并同类项进行化简，最后将、的值代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， 原式． 19．(本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，． (1)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (2)若点P为的外心，请直接写出点P的坐标 ． 第19题图 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的作图，三角形的外心，掌握旋转的作图方法，以及三角形的外心是三边垂直平分线是交点，是解题的关键． （1）连接并延长，使，再依次连接点即可； （2）找出，垂直平分线的交点，即可解答． 【详解】（1）解：如图1所示：即为所求； （2）解：如图2，点P为的外心， ∵四边形为正方形， ∴为的垂直平分线， ∵，， ∴的垂直平分线为直线， 由图可知，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点， ∴点为外心， ∴点坐标为． 故答案为：． 20．(本题满分10分)以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测式四类专业的毕业生，现随机调查了名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题． (1)______，______； (2)请补全条形统计图，并直接写出这组数据的众数； (3)若该公司新招聘600名毕业生，请你估计总线专业的毕业生的人数． 20．(1)50，10 (2)这组数据的众数为硬件，图见解析 (3)人 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用总线的人数除以其人数占比即可求出m，再用测试的人数除以总人数即可求出n； （2）先求出硬件的人数，再补全统计图即可； （3）用乘以样本中总线的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：由（1）得硬件的人数为（人）， ∴补全统计图如下所示： ∵硬件的人数最多， ∴这组数据的众数为硬件． （3）解：（名）， ∴估计“总线”专业的毕业生有名． 21 . (本题满分10分)如图，在 中， ，以 为直径作 ，交 于点D，交 于点E，过点D作 于F． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， 的半径为5，求 的长． 第21题图 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由是的直径，的半径为5，得，，则，求得，由，即可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， 于点， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：如图，连接， 是的直径，，的半径为5， ，， ， ，， ， ， ， 的长是． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质，根据面积等式求线段的长度等知识，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线是解决此题的关键． 22 . (本题满分12分)某商品的进价为每件30元．当售价为每件50元时，每星期可卖出80件．现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出10件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： (1)若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，请写山y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 22．(1) (2)当降价6元时，每星期的利润最大，为1960元 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找出等量关系和掌握二次函数的性质． （1）根据总利润单件利润数量即可列出函数解析式，根据确保盈利列式求出x的取值范围； （2）根据二次函数的性质进行解答即可得． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∵降价要确保盈利， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴当时，有最大值， 即当降价6元时，每星期的利润最大，为1960元． 23．(本题满分12分)【综合与实践】 【实践背景】在学习几何变换旋转知识的过程中，同学们对于由几何变换引起几何图形的变化有了更深入的了解，并对此产生浓厚的兴趣．兴趣小组同学决定利用手中的三角板进行各种变换操作，通过操作观察分析，发现并提出系列有趣的数学问题． 【实践过程】如图1，是等腰直角三角形，且AC=BC，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转得到CE，连接DE，BE． 【猜想证明】经过观察分析，大家猜想与是全等的关系，请你说明理由．（1）求证：； 【拓展应用】 （2）继续探究，作点C关于DE的对称点F，连接DF，EF（如图2），若． ①求四边形CDFE面积的最小值； ②请在图2中连接BF，当BF=2时，直接写出AD的长度． 第23题图 23．（1）证明见解答过程；（2）① 16 ；② 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得，根据旋转的性质得，进而得，由此可依据“”判定和全等； （2）①过点作于点，连接，先求出，则，证明四边形形是正方形，得四边形面积的为，根据“垂线段最短”得，即当点与点重合时，为最小，此时四边形面积的为最小，由此即可得出答案； ②作的外接圆，过点作交的延长线于，过点作于点，设，则是等腰直角三角形，则，由（1）的结论得，则，进而得点在的外接圆上，，继而得，则是等腰直角三角形，，在 和中，由勾股定理求出，进而可得的长． 【详解】解：（1）证明：∵是等腰直角三角形，且， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中 ， ； （2）①解：过点作于点，连接，如图2所示：    ∵是等腰直角三角形，且， 由勾股定理得：， ∵， ， ∵点关于的对称点为， ∴是的垂直平分线， ， ∵， ， ∴四边形是菱形， 又 ∵， ∴菱形是正方形， ∴四边形面积的为， 根据“垂线段最短”得：， ∴当点与点重合时，为最小，此时四边形面积的为最小， ∴四边形面积的最小值为 16 ； ②作的外接圆，过点作交的延长线于点，过点作于点，如图3所示：    设， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， 由（1）可知：， ， 由（2）①可知：四边形是正方形，为对角线， ， ∴是外接圆的直径， ， ， ∴点在的外接圆上， 根据圆周角定理得：， ， ∴是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 解得：， ． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转变换及其性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识点，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握图形的旋转变换及其性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2025的相反数是（     ） A． B．2025 C． D． 2．保护环境，人人有责．下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，属于中心对称图形的是（     ） A．厨余垃圾 B．可回收物 C．其他垃圾 D．有害垃圾 3．截止目前，电影《哪吒之魔童闹每》以111.7亿元票房领跑2025年春节档电影票房，其中数据111.7亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．把一块含有角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示方式放置（直角顶点在直尺的一条边上）．若，则（     ） A． B． C． D． 6．在一个不透明的盒子中装有红球和白球共50个，这些球除颜色外都相同．现从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀再从中随机摸出一个球…，通过大量重复试验后发现摸出白球的频率逐渐稳定在0.4，则盒子中白球的个数最有可能是（     ） A．10 B．20 C．30 D．40 7．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A．  B．  C． D．   8．若分式的值为0，则（     ） A． B． C． D．或－2 9．二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 10．对于反比例函数，下列说法不正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 11．某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 第5题图 第12题图 12．如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①②③④，正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 14．学校举办了以“不负青春，强国有我”为主题的演讲比赛．已知某位选手的演讲内容、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分、85分、82分，若依次按照，，的比例确定成绩，则该选手的成绩是 分． 15．如图，在中，，，点D是上一点，且，，则的长为 16．如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，D为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点的对应点坐标为 ． 第15题图 第16题图 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本题满分8分)计算： 18．(本题满分10分)先化简，再求值：，其中，． 19．(本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，． (1)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (2)若点P为的外心，请直接写出点P的坐标 ． 第19题图 20．(本题满分10分)以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测式四类专业的毕业生，现随机调查了名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题． (1)______，______； (2)请补全条形统计图，并直接写出这组数据的众数； (3)若该公司新招聘600名毕业生，请你估计总线专业的毕业生的人数． 21 . (本题满分10分)如图，在 中， ，以 为直径作 ，交 于点D，交 于点E，过点D作 于F． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， 的半径为5，求 的长． 第21题图 22 . (本题满分12分)某商品的进价为每件30元．当售价为每件50元时，每星期可卖出80件．现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出10件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： (1)若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，请写山y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 23．(本题满分12分)【综合与实践】 【实践背景】在学习几何变换旋转知识的过程中，同学们对于由几何变换引起几何图形的变化有了更深入的了解，并对此产生浓厚的兴趣．兴趣小组同学决定利用手中的三角板进行各种变换操作，通过操作观察分析，发现并提出系列有趣的数学问题． 【实践过程】如图1，是等腰直角三角形，且AC=BC，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转得到CE，连接DE，BE． 【猜想证明】经过观察分析，大家猜想与是全等的关系，请你说明理由．（1）求证：； 【拓展应用】 （2）继续探究，作点C关于DE的对称点F，连接DF，EF（如图2），若． ①求四边形CDFE面积的最小值； ②请在图2中连接BF，当BF=2时，直接写出AD的长度． 第23题图 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D D B C B D C B D D B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 13． 14．86 15． 16． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）【详解】解： （4分）          （6分） ．（8分） 18．（10分） 【详解】解：， ， ， ，（6分） ，， 原式．（10分） 19．（10分） 【详解】（1）解：如图1所示：即为所求； （2）解：如图2，点P为的外心， ∵四边形为正方形， ∴为的垂直平分线， ∵，， ∴的垂直平分线为直线，（8分） 由图可知，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点， ∴点为外心， ∴点坐标为．（10分） 故答案为：． 20．（10分） 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴，（3分） 故答案为：，； （2）解：由（1）得硬件的人数为（人）， ∴补全统计图如下所示： ∵硬件的人数最多， ∴这组数据的众数为硬件．（3分） （3）解：（名）， ∴估计“总线”专业的毕业生有名．（4分） 21．（10分） 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， 于点， ， 是的半径，且， 是的切线．（5分） （2）解：如图，连接， 是的直径，，的半径为5， ，， ， ，， ， ， ， 的长是．（10分） 22．（12分） 【详解】（1）解：根据题意可得， ∵降价要确保盈利， ∴， 解得：， ∴；（5分） （2）解：∵， ∴当时，有最大值， 即当降价6元时，每星期的利润最大，为1960元．（12分） 23．（12分） 【详解】解：（1）证明：∵是等腰直角三角形，且， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中 ， ；（4分） （2）①解：过点作于点，连接，如图2所示：    ∵是等腰直角三角形，且， 由勾股定理得：， ∵， ， ∵点关于的对称点为， ∴是的垂直平分线， ， ∵， ， ∴四边形是菱形， 又 ∵， ∴菱形是正方形， ∴四边形面积的为， 根据“垂线段最短”得：， ∴当点与点重合时，为最小，此时四边形面积的为最小， ∴四边形面积的最小值为 16 ；（8分） ②作的外接圆，过点作交的延长线于点，过点作于点，如图3所示：    设， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， 由（1）可知：， ， 由（2）①可知：四边形是正方形，为对角线， ， ∴是外接圆的直径， ， ， ∴点在的外接圆上， 根据圆周角定理得：， ， ∴是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 解得：， ．（12分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（10分） 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2025的相反数是（     ） A． B．2025 C． D． 2．保护环境，人人有责．下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，属于中心对称图形的是（     ） A．厨余垃圾 B．可回收物 C．其他垃圾 D．有害垃圾 3．截止目前，电影《哪吒之魔童闹每》以111.7亿元票房领跑2025年春节档电影票房，其中数据111.7亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．把一块含有角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示方式放置（直角顶点在直尺的一条边上）．若，则（     ） A． B． C． D． 6．在一个不透明的盒子中装有红球和白球共50个，这些球除颜色外都相同．现从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀再从中随机摸出一个球…，通过大量重复试验后发现摸出白球的频率逐渐稳定在0.4，则盒子中白球的个数最有可能是（     ） A．10 B．20 C．30 D．40 7．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A．  B．  C． D．   8．若分式的值为0，则（     ） A． B． C． D．或－2 9．二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 10．对于反比例函数，下列说法不正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 11．某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 第5题图 第12题图 12．如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①②③④，正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 14．学校举办了以“不负青春，强国有我”为主题的演讲比赛．已知某位选手的演讲内容、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分、85分、82分，若依次按照，，的比例确定成绩，则该选手的成绩是 分． 15．如图，在中，，，点D是上一点，且，，则的长为 16．如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，D为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点的对应点坐标为 ． 第15题图 第16题图 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本题满分8分)计算： 18．(本题满分10分)先化简，再求值：，其中，． 19．(本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，． (1)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (2)若点P为的外心，请直接写出点P的坐标 ． 第19题图 20．(本题满分10分)以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测式四类专业的毕业生，现随机调查了名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题． (1)______，______； (2)请补全条形统计图，并直接写出这组数据的众数； (3)若该公司新招聘600名毕业生，请你估计总线专业的毕业生的人数． 21 . (本题满分10分)如图，在 中， ，以 为直径作 ，交 于点D，交 于点E，过点D作 于F． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， 的半径为5，求 的长． 第21题图 22 . (本题满分12分)某商品的进价为每件30元．当售价为每件50元时，每星期可卖出80件．现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出10件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： (1)若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，请写山y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 23．(本题满分12分)【综合与实践】 【实践背景】在学习几何变换旋转知识的过程中，同学们对于由几何变换引起几何图形的变化有了更深入的了解，并对此产生浓厚的兴趣．兴趣小组同学决定利用手中的三角板进行各种变换操作，通过操作观察分析，发现并提出系列有趣的数学问题． 【实践过程】如图1，是等腰直角三角形，且AC=BC，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转得到CE，连接DE，BE． 【猜想证明】经过观察分析，大家猜想与是全等的关系，请你说明理由．（1）求证：； 【拓展应用】 （2）继续探究，作点C关于DE的对称点F，连接DF，EF（如图2），若． ①求四边形CDFE面积的最小值； ②请在图2中连接BF，当BF=2时，直接写出AD的长度． 第23题图 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$