专题04矩形压轴题（6大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（浙教版）

专题04 矩形压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、矩形的性质与判定综合 2 类型二、矩形之等面积问题 6 类型三、矩形中利用角线相等求最值 10 类型四、矩形之中点压轴题 14 类型五、矩形折叠问题 16 类型六、矩形动点及综合压轴题 27 压轴能力测评 36 1、 矩形的性质 （1）角：四个角都是直角； （2）对角线：对角线相等且互相平分； （3）；四个三角形是全等的等腰三角形； （4）直角三角形斜中线等于斜边一半；有直角求长度可以用勾股； （5）折叠问题，对应的角相等，对应边相等，注意平行线间会出现等腰三角形，折痕和对应点的连垂直平分，求长度多考虑勾股定理。 矩形特有的条件：直角和对角线相等。 二．矩形的判定 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形； （2）有三个角是直角； （3）对角线相等的平行四边形． 类型一、矩形的性质与判定综合 例1．如图，矩形中，．平分交于点，是上一动点，连结，于点，若，且，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】：解：如图，连接、， ，，是的垂直平分线， ， 平分，， 四边形是矩形，，，， ，，， ， 在和中， ，，， ，，， ，是等腰直角三角形，， ，是等腰直角三角形，， 设，，，， 由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得， ，解得，， ， 选：． 变式1-1．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上．连接，，，若平分，四边形是平行四边形，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：解：过点作于，的延长线于的延长线交于，连接，如图所示： 设，四边形为矩形，，，，，， 四边形为平行四边形，， ，， 平分，，，， ，，， 即为线段的垂直平分线， ， 在和中， ，，， ，四边形为菱形， ，， 在中，由勾股定理得：，即， 得：，解得：，， 选：． 变式1-2．如图，在长方形中，，对角线，平分交于点，是线段上的点，连接，过点作交的延长线于点，当为等腰三角形时，　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】：B 【解析】：解：四边形是矩形，，，， ，， ，，，， 过作于，， 平分交于点，， 是等腰直角三角形，， ，， 为等腰三角形，， ，，， ，， ， ， 选：． 例2．如图，已知四边形是矩形，对角线，交于点，延长至点，使得，连结交于点．当时，有以下两个结论：①若，则，②若，则．则下列判断正确的是　　 A．①②均错误 B．①②均正确 C．①错误②正确 D．①正确②错误 【答案】：B 【解析】：解：①四边形是矩形，，， ，为等腰直角三角形，， ，，根据等腰三角形三线合一， ，若，设，则， ，， ， ，，， ，，， ，解得，即，故结论①正确； 若，则．设，则 ， ，， 在中，， 解得，， 故结论②正确；综上所述，结论①②正确． 选：． 变式2-1．如图，矩形中，，，，分别是边，的中点，于，的延长线交于．下列结论：①；②；③．其中结论正确的有　　 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】：D 【解析】：解：连接，由矩形中，，，，分别是边，的中点，于，得，故①对；由，， 四边形是平行四边形，，， ，垂直平分， ，， ，即，故②对； ，，，，， ，， ，故③对． 选：． 类型二、矩形之面积问题 例3．如图，已知长方形，连接，是上的一点，连接，，，，，分别表示，，，的面积，则下列等式不正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】：B 【解析】：解：根据题意得：和的高相等，和的面积相等， ，，故正确，不符合题意；同理， ，故错误，符合题意；，， ，，， ，故、正确，不符合题意； 选：． 变式3-1．如图，点是矩形内任意一点，连接，，，，记，，，，则下列结论正确的是　　 ①； ②若，，则； ③； ④，则在对角线上． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】：D 【解析】：解：过点作于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，，， ，，， ，， ， ，故①正确； ，，， ．，， ， ， ， ， ，故②正确； ，，，，， ，， ，， ， ，，， ，故③正确； ，，， ，， 点在对角线上，故④正确， 选：． 变式3-2．如图，在矩形中，是矩形内一点，设，，，的面积分别表示，，，，要求出的值，只需知道　　 A． B． C． D． 【答案】：B 【解析】：解：如图所示：连接，分别过点作交于点，交于点，延长交于点，延长交于点， ，， 四边形是矩形，， 四边形、、和都是矩形， ，，，，，， 的面积，的面积，的面积，的面积， ， ， ，， 要求出的值，只需知道， 选：． 例4．如图，在矩形中，点在的延长线上，与交于点，点是的中点，若要知道△的面积，则需要知道　　 A．的长 B．矩形的面积 C．梯形的面积 D．的度数 【答案】：B 【解析】：解：连接，四边形是矩形，，， ， 是中点，，，， ， 要知道△的面积，则需要知道矩形的面积． 选：． 变式4-1．如图，平行四边形的四个顶点分别在矩形的四条边上，，分别交，于点，，过点作，分别交，于点，，要求得平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积即可　　 A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 【答案】：C 【解析】：解：如图所示，连接，， 由题可得，，，， 又，，，， 又，， ，， 即， 要求得平行四边形的面积，只需知道四边形的面积即可． 选：． 变式4-2．如图，点是矩形内一点，连结，，，，，知道下列哪个选项的值就能要求的面积　　 A．与面积之差 B．与面积之差 C．与面积之差 D．与面积之差 【答案】：C 【解析】：解：过作于，延长交于， 四边形是矩形，，，， 的面积，的面积， 的面积的面积矩形的面积， 的面积矩形的面积， 的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积． 选：． 类型三、矩形中最值问题 例5．如图，在中，，，，为边上一动点不与，重合），于，于，为中点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】：解：如图，连接，在中，，，， ， 于，于，， 四边形是矩形，，与互相平分， 为中点，为的中点，， 当时，， 此时有最小值为， ，，， ， 选：． 变式5-1． 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是　　 A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】：C 【解析】：解：如图，连接，，，， 又，四边形是矩形，， 当时，取得最小值， 此时，，， ，，，， ，， 的最小值是4.8， 选：． 变式5-2． 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为　　 A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3 【答案】：C 【解析】：解：如图，连接， ，，，， ，，， 四边形是矩形，， 是的中点，， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，，， 即最短时，，的最小值， 选：． 例6．如图，在矩形中，，，点为中点，、为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：解：过点作，过点作交于，于，作点关于的对称点，当、、三点共线时，四边形的周长最小， 由对称性可知，，四边形为平行四边形，， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小值为， ，，为边的中点，，，， ，，，， ， 在△中，， 四边形周长的最小值为， 选：． 变式6-1．如图，长方形中，，点、分别为线段、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当　　时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 　　． 【答案】：3；; 【解析】：解：当与点 合时， 如图：由于对称：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：； ，则； 如图：取中点，， 由题意知，无论如何变动，经过点， 连接、、， 在△中， 四边形关于对称得到四边形， ，故只有当、、 三点共线时、长度最大， 此时， 过点作，，， 在 中，，，， 在中，，，， 答案：3；． 变式6-2．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连 接，，则的最小值为　　 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】：D 【解析】：解：如图，连接， 在矩形中，，， ，， ，，四边形是平行四边形， ，， 则，则的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ，是的垂直平分线，，， 连接，则， ，， ． 的最小值为13． 选：． 类型四、矩形中关于中点压轴题 例7．如图，在矩形中，为中点，作，交对角线于点，连结．取中点，取中点，连结．若，，则的长度为　　 A． B． C． D． 【答案】：B 【解析】：解：四边形是矩形，，，为中点， ，，，，， ，四边形是平行四边形，， ，四边形是矩形， ，，，， 在和中， ，和，，， 连结，取的中点，连结、，， ，， 、分别是、的中点，，，，， ，，， ， ， 选：． 变式7-1．如图，在矩形中，，在边上截取一点，使得，连结，点是的中点，连结，已知，则线段的长为 　　． 【答案】：; 【解析】：解：如图，连接并延长交的延长线于点， 四边形是矩形，，，， ， 点是的中点，， 在和中， ，，，，， ，， 即，是等腰直角三角形， ，即是的中点，， ，， 在中，由勾股定理得， 即，， 答案：． 变式7-2．如图，在矩形中，，，，过点作垂直交于点，连接，若直线恰好经过的中点，则　　． 【答案】：4； 【解析】：解：方法一：如图，延长交延长线于点，交于点， 四边形是矩形，，， ，， 四边形是平行四边形，， 经过中点，， 在△和△中， ，△△，， ，，， ，，，即， ． 答案：4． 类型五、矩形折叠问题 例8．如图，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长是　　 A．4 B．3 C．4或8 D．3或6 【答案】：D 【解析】：解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部时，如答图1所示．连接， 在中，，，， 沿折叠，使点落在点处，， 当为直角三角形时，只能得到， 点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，如图， ，，， 设，则，， 在中，，， 解得，； ②当点落在边上时，如答图2所示． 此时四边形为正方形， ． 综上所述，的长为3或6． 选：． 变式8-1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，长方形中，，，若点为射线上的一点，将△沿折叠，点落在平面内一点处（如图． （1）若点落在线段上，求点的坐标． （2）当△的面积为50时，求△的面积． （3）当△是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】：（1）点的坐标是 ; （2）的面积为16或144 ; （3）点的坐标为或或; 【解析】：解：（1）四边形是长方形，，， ，，，， 由折叠的性质得：，， 当点落在线段上时，如图1所示： ， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， 点的坐标是； （2）点为射线上的一点，将△沿折叠，点落在平面内一点处 有以下两种情况： ①当点在线段上时，过点作于点，的延长线交于点，如图2所示： ， 四边形是矩形， ，，， △的面积为50， ，， ，， 在△中，，， 由勾股定理得：， ， ； ②当点在线段的延长线上时， 过点作交的延长线于点，的延长线交轴于点，如图3所示： 同理得：，， ， 在△中，，， 由勾股定理得：， ， △， 综上所述：当△的面积为50时，求△的面积为16或144； （3）设点的坐标为，则， 在△中，由勾股定理得：， 当△是以为腰的等腰三角形时，有以下两种情况： ①当在线段上时，又有以下两种情况： （ⅰ）当时，过点作于点，的延长线交于点，如图4所示： 则，， △是等腰三角形，， 在△中，由勾股定理得：， ， ， 在△中，由勾股定理得：， 在△中，由勾股定理得：， ，解得：， 点的坐标为； （ⅱ）当时，过点作于点，的延长线交于点，过点作于点，的延长线交于点，如图5所示： ， 在△中，由勾股定理得：， ，， 在△中，由勾股定理得：， 在△中，由勾股定理得：， ，解得：， 点的坐标为； ②当点在的延长线上时，此时点在长方形的外部， 过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，如图6所示： ， △为钝角三角形， 当△是以为腰的等腰三角形时，只有一种情况， ，△是等腰三角形， ， 在△中，由勾股定理得：， ，， 在△中，由勾股定理得：， 在△中，由勾股定理得：， ，解得：， 点的坐标为， 综上所述：当△是以为腰的等腰三角形时，点的坐标为或或． 变式8-2． 矩形中，为边上异于、的一个动点，将沿折叠，点的对应点为． （1）如图1，若设，则　　（用含的式子表示）；当点恰好是的中点时，则　　度． （2）如图2，交于点，且平分． ①求证：是等腰三角形． ②当，时，求的长． ③若设，，，求证：． 【答案】：（1）；30； ; （2）①见解析 ; ② ；③见解析; 【解析】：（1）解：四边形是矩形，， 由翻折可知：，，， ； 点恰好是的中点，，是的垂直平分线， ，，， ，， 度， 答案：；30； （2）①证明：如图2，延长交于点， 平分，， 由翻折可知：，， ，， ，， 四边形是矩形，，， ，，， 是等腰三角形； ②解：四边形是矩形，，， ，， 设，， ， ， 如图2，过点作于点，得矩形，， ， ，，， ，， 在中，，，， 根据勾股定理得：，， 或（舍去），的长为； ③证明：由①得，， ，由折叠可得， ，，， ，，， ，，，， ，， ． 例 9．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】：D 【解析】：解：四边形是矩形，，， ，，，， 由折叠得，，，，， ，，，，D ， ， 整理得， 或（不符合题意，舍去）， 选：． 变式9-1．如图1，将矩形纸片的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形， ①求证：四边形是矩形； ②若，，求的长； （2）如图2，将平行四边形纸片的四个角向内折叠，也能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，若，，，，求的长． 【答案】：（1）①见解析 ; ② ；（2） ; 【解析】：解：（1）①由折叠可知，，，， ，同理可得，， 四边形是矩形； ②由折叠可知，，，，， 四边形是矩形，，， ，， ，，， ，，， ，； （2）如图2，过点作于，过点作，交的延长线于， ，，， 四边形是矩形，，， ，， ，， 由（1）可知，，， ，，， ， ， ． 变式9-2．如图（1），已知矩形，点，分别是矩形边，上的一点，且，与分别沿，翻折得到与；所在的直线交直线于点，所在的直线交直线于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，且．判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图（2），若点是的中点．试探求与的数量关系，并加以说明． 【答案】：（1）见解析 ; （2）的正方形，理由见解析 ; （3），利用见解析; 【解析】：（1）证明：如图，连接， 四边形是矩形，，，， ，，， 折叠，，， ，， ，，， ，，， ，， ，，四边形是矩形． （2）解：四边形是正方形，理由如下： 如图，延长至交于，过点作垂直于，垂足为． 设，，，，， ．，， ，，， ，， 四边形是矩形， 四边形是正方形． （3）， 如图，取的中点，连结与，连接， 若点是的中点．则点也是的中点， ，，、、三点共线， ，， ，， 是等边三角形，， 由（1）知， ，， 易得四边形是平行四边形， ，， ． 例10．如图，已知矩形的两条边，，点是对角线、的交点，点是边上一个动点，作点关于直线的对称点，当与矩形一条边垂直时，的长是 　 　． 【答案】：5或10． 【解析】：解：点关于直线的对称点， △，，， 四边形是矩形，，， ，，，，，， 当时，，，，， 在中，，， 设，则， 在△中，，解得，，， 当时，，， 点关于直线的对称点， 是的角平分线，，， ，， ，， 答案：5或10． 变式10-1．如图1，在矩形中，，，点从点出发，沿向点运动，作关于直线的对称△（点，的对称点分别为，． （1）如图2，当点在的延长线上时，连结，求的长． （2）如图3，当点与点重合时，连结，、交分别于点、． ①求证：；②求的长． （3）当直线经过点时，求的长． 【答案】：（1） ; （2）① 见解析 ;；②（3）或; 【解析】：（1）解：在矩形中，，，， 、关于直线对称，，．， 在中，， 的长为； （2）①证明：、△关于直线对称， ，，，， ， ，，， ，； ②解：在矩形中， ，， ，，， ，， 设，则， 在△中，， ， 解得，即的长是； （3）解：①当直线在边上时，如图所示： 连接，、△关于直线对称， ，，，， ，， ，， 即，当直线经过点时， 在△中，，， 在△中，， ，， ； ②当直线在边上时，如图所示： 、△关于直线对称， ，，， ，， 当直线经过点时，在△中， ， 在矩形中， ，， ，， 在和中， ，， ； 综上所述，当直线经过点时，的长为或． 类型六、矩形动点以及综合压轴问题 例11．矩形中，，．点，在对角线上，点，分别在边，上． （1）如图1，若，，分别是，的中点．求证：四边形为矩形． （2）如图2，若，，且四边形为矩形，求的值． 【答案】：（1）见解析 ; （2） ; 【解析】：（1）证明：连接，如图1所示： 四边形是矩形，，，， ，， ，分别是，的中点， ，，四边形是平行四边形， 又，四边形是矩形， ， 在和中，，， ，，， ，四边形是平行四边形， 又，， ，四边形为矩形． （2）解：连接，作于，如图2所示： 则四边形是矩形， ，，， 四边形为矩形，， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：，， ． 变式11-1．如图1，在矩形中，点在边上，△与△关于直线对称，点的对称点在边上，过点作，交，于点，． （1）求证：； （2）如图2，连接，求证：四边形是菱形； （3）如图3，在（2）的条件下，作平分，交于点，请写出线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】：（1）见解析 ; （2）见解析 ; （3）; 【解析】：（1）证明：由题意得△△， ，， ，，， ，， 又，， △△，； （2）证明：，， △△，， ，， ，， 又，四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （3）线段，，之间的数量关系为； 证明：连接，如图3所示： 平分，△△， ，，， ，， 即，， ，， ，，， △△， ，， ，， ， ， ，， ， 即， 线段，，之间的数量关系为． 例12． 如图1，为矩形的对角线，的平分线交于点，交的延长线于点．点是线段上的动点，以为对角线作正方形（点，，，按顺时针方向排列）． （1）求证：； （2）已知，． ①如图2，若点落在边上，求的值； ②在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得正方形的某边落在的一边上？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】：（1）见解析 ; （2）① ; ②，，．； 【解析】：（1）证明：四边形是矩形，，， 是的角平分线， ，； （2）①连接交于点，过点作于点，如图所示， 四边形是矩形， ，，， ，． 在中，， ，是等边三角形， ，，则， 是的角平分线，， ， 四边形是正方形， 在中，， ， 四边形是正方形，，， 又，，， ，， ，，， ，，， ，， ； ②在点的运动过程中，存在某一位置，使得正方形的某边落在的一边上， 当落在上时，如图所示，过点作于点， ，，，， ，， 又，，， 在中，， 四边形是正方形，是对角线，， ， ，，， ，， ， 当落在上时，如图所示， 同理可得， ． 当在上时，， 当在上时，． 变式12-1．问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． 数学发现： （1）如图1，当时，　60　，如图2，当时，　　； 初步探究： （2）如图3，当边经过点时，求的长； （3）如图4，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积． 【答案】：（1）60，； （2） ; （3）60; 【解析】： 解：（1）如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点， ，， ，， △是等边三角形，； 如图2，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点， ，， 在△中，根据勾股定理可得： ； 答案：60，； （2）如图3，由旋转的性质可得：，，， 四边形和都是矩形， ，，，，， 在△中，根据勾股定理可得： ，， 在△中，根据勾股定理可得：， 的长为； （3）四边形的面积为60．理由如下： 如图4，连接，由旋转的性质可得：，，， 四边形和都是矩形， ，， 点落在的延长线上，， ， 在△和△中， ，△△， ， ， 四边形的面积为60． 变式12-2．如图1，在矩形中，，点，分别是，的中点，连结，交于点． （1）当且时，如图2，求的面积． （2）若，求此时的值． （3）连结，请问能否为等腰三角形，若能，求出的值，若不能，请说明理由． 【答案】：（1）3 ; （2） ; （3）能为等腰三角形，的值为; 【解析】： （1）解：如图，连接， 在矩形中，，点，分别是，的中点， ，，，， ，，， ，，， ， 当且时，则， ，， ， ； （2）解：如图，过点作于点，和相交，连接， 四边形是矩形，，， 点是中点，平分， 和是对顶角， 直线平分， 直线和相交于点， 点，分别是，的中点， ，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，， ，，， ，， 是等边三角形，， ， ，． ； （3）解：能， 情况一，如图，当时，在（2）辅助线基础下，过点作于点，交于点， ，， 四边形是矩形， ，， ，由（2）得：点是中点，直线和相交于点，，， ，，，，， ，， 点是的中点，，点是的中点， 是的中位线，， ，， ， ， ，， ； 情况二，如图，当时，在（2）辅助线基础下，过点作于点， ，，由（2）得：， ，，， 由情况一得：，， ，， ，； 情况三，当时，如图，连接， 四边形是矩形，，， 点是的中点，， ，， ，， 当时，，， ，，即点是的中点， 点是的中点，是的中位线，，， 点是和相交所得， 和平行的情况不存在， 的情况不存在； 综上所述，能为等腰三角形，的值为． 1．如图，矩形中，，，点，分别为，上的点，，交于点，，记与四边形的面积分别为，，则　　 A． B． C． D． 【答案】：B 【解析】：解：如图，连接， 四边形是矩形，， ，， 设的面积为， ， ， ， 选：． 2．已知如图，矩形中，，点是上除，外任一点，对角线，相交于点，，分别交，于点，且和的面积之和，则四边形的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】：解：已知矩形， 的面积的面积矩形的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积）和的面积之和， 已知矩形，的面积， 四边形的面积的面积的面积的面积）． 选：． 3．如图，点是矩形的对角线上一动点，过点作的垂线，分别交边，于点，，连接，．则下列结论不成立的是　　 A．四边形的面积是定值 B．的值不变 C．的值不变 D． 【答案】：C 【解析】：解：过点作，交的延长线于点， 四边形是矩形，， 四边形是平行四边形， ，， ，即， 四边形的面积是定值，故正确； ，的值不变，故正确； ，， ，故正确； 的值不变不成立， 选：． 4．在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，当△为直角三角形时，的长为　　 A．7 B． C．7或 D．以上答案均不对 【答案】：C 【解析】：解：连接，当时，如图： 把沿折叠，点落在处， ，，， ，，，共线， ，， 在△中，，， 解得；当时，如图： ，， ，四边形是矩形， 把沿折叠，点落在处， ，四边形是正方形， ，； 综上所述，的长为或7； 选：． 5．如图，在中，，，，为边上的一个动点，于点，于点，则最小值为　　． 【答案】： 【解析】：解：如图，连接．，，， ， 又于点，于点．， 四边形是矩形．． 当最小时，也最小，当时，最小， ，， 线段的最小值为，答案：． 6．在矩形中，已知两邻边，，是边上异于和的任意一点，且，，、分别是垂足，那么　　． 【答案】： 【解析】：解：如图，过作于， 则，， ，， ，，， ，． 答案：． 7．在矩形中，点为边的中点，连接，将沿直线翻折，使得点与点重合，的延长线交线段于点，的延长线交线段于点，，若点为线段的中点，则线段的长为 　　；线段的长为 　　． 【答案】：；； 【解析】：解：连接，作于， 在矩形中，，，， 四边形、都是矩形，将沿直线翻折， ，，， 在和中， ，， ，， 在中，， ，， ，，， 设，，， 在中，，即，解得， 答案：；． 8．在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，． （1）用含有的代数式表示的长． （2）若，分别是，中点，求证：四边形是平行四边形． （3）在（2）条件下，直接写出当为何值时，四边形为矩形． 【答案】：（1）或；（2）见解析 ; （3）当为0.5或4.5时，四边形为矩形; 【解析】：（1）解：四边形是矩形，， ， 由题意得：， 相遇前为：； 相遇后为：； 故答案为：或； （2）证明：四边形是矩形， ，，，， ，， 、分别是、的中点，，，， ，， 在与中，， ，，同理：， 四边形是平行四边形； （3）解：如图所示，连接， 由（2）可知四边形是平行四边形 点、分别是矩形的边、的中点，， 当时，四边形是矩形，分两种情况： ①，，解得：． ②，，解得：， 即：当为0.5或4.5时，四边形为矩形． 9．【问题情境】如图，在矩形中，，．点是射线上的一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点为点． 【猜想证明】 （1）当点落在边上时，四边形的形状为 　 　． （2）当平分时，连接，求． 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在点，使点，，三点共线．若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】：（1）正方形 ; （2） ; （3）或．; 【解析】：解：（1）如图 四边形是矩形， ，，此时， 由翻折的性质可知：，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，四边形是菱形， ，四边形是正方形， 答案：正方形； （2）过点作于点，如图2，则， ，平分，， ，，， 设由翻折的性质可知：， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负值已舍去），即， ； （3）存在点，使点，，三点共线．理由如下： ①点在线段上，当、、三点共线时，如图 由翻折的性质可知：， ，， ，， 四边形是矩形，，，， 中，由勾股定理得， ； ②点在线段延长线上，当、、三点共线时，如图 同理可求：， ， 综上：或． 10．如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接． （1）证明：四边形是菱形； （2）点与点重合时，求； （3）求的面积的取值范围． 【答案】：（1）见解析 ; （2） ; （3）; 【解析】：（1）证明：如图1， ，， ，，， ，， ，四边形是平行四边形， ，四边形是菱形； （2）解：点与点重合时，如图2所示： 设，则， 在中，， 即，解得， ，， ，， ； （3）解：当过点时，如图3所示： 此时，最短，四边形的面积最小，则最小为， 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大， 则最大为， ． 11．在矩形中，，，与相交于点，点、分别是边、上的动点，且线段经过点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，将矩形沿折叠，点，分别是点与点的对应点． ①若，求的长度． ②连接，，直接写出△面积的最大值． 【解答】（1）证明：矩形，，为对角线， ，，，， ，； （2）解：①当在上方和在下方两种情况讨论， 如图，当在上方时，作交于点， 矩形，，，由勾股定理可得， ，是等边三角形， ， 由折叠可知，，， 当在下方时，如图，同理可得， 故 时，； ②， 理由：如图，连接，过点作于点，过点作于点， 由折叠可知，，最大时，△的面积最大， 在点、运动过程中，不变，不变， 由图可知，， 由①可知，，△为等边三角形， ，， 当与重合时，， △面积的最大值为：． 12．四边形是矩形，点是射线上一点，连接，． （1）如图1，点在边的延长线上，，若，求的度数； （2）如图2，点在边的延长线上，，若是的中点，连接，，求证：； （3）如图3，点在边上，射线交射线于点，，，，则　2　．（直接写出结果） 【答案】：（1） ; （2）见解析 ; （3）2; 【解析】：解：（1）如图1，连接，与交于点， 四边形是矩形，， ，，， ； （2）如图2，延长交延长线于， ，，， 是的中点，， ，，， ，即， 由（1）知：，， 又，； （3）如图3，取的中点，连接，则， ， 在矩形中，，， ， ， 在中，，， ． 答案：2． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 矩形压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、矩形的性质与判定综合 2 类型二、矩形之等面积问题 3 类型三、矩形中利用角线相等求最值 5 类型四、矩形之中点压轴题 7 类型五、矩形折叠问题 7 类型六、矩形动点及综合压轴题 11 压轴能力测评 14 1、 矩形的性质 （1）角：四个角都是直角； （2）对角线：对角线相等且互相平分； （3）；四个三角形是全等的等腰三角形； （4）直角三角形斜中线等于斜边一半；有直角求长度可以用勾股； （5）折叠问题，对应的角相等，对应边相等，注意平行线间会出现等腰三角形，折痕和对应点的连垂直平分，求长度多考虑勾股定理。 矩形特有的条件：直角和对角线相等。 二．矩形的判定 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形； （2）有三个角是直角； （3）对角线相等的平行四边形． 类型一、矩形的性质与判定综合 例1．如图，矩形中，．平分交于点，是上一动点，连结，于点，若，且，则的长为　　 A． B． C． D． 变式1-1．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上．连接，，，若平分，四边形是平行四边形，则的长为　　 A． B． C． D． 变式1-2．如图，在长方形中，，对角线，平分交于点，是线段上的点，连接，过点作交的延长线于点，当为等腰三角形时，　　 A．4 B．5 C．6 D．7 例2．如图，已知四边形是矩形，对角线，交于点，延长至点，使得，连结交于点．当时，有以下两个结论：①若，则，②若，则．则下列判断正确的是　　 A．①②均错误 B．①②均正确 C．①错误②正确 D．①正确②错误 变式2-1．如图，矩形中，，，，分别是边，的中点，于，的延长线交于．下列结论：①；②；③．其中结论正确的有　　 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 类型二、矩形之面积问题 例3．如图，已知长方形，连接，是上的一点，连接，，，，，分别表示，，，的面积，则下列等式不正确的是　　 A． B． C． D． 变式3-1．如图，点是矩形内任意一点，连接，，，，记，，，，则下列结论正确的是　　 ①； ②若，，则； ③； ④，则在对角线上． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 变式3-2．如图，在矩形中，是矩形内一点，设，，，的面积分别表示，，，，要求出的值，只需知道　　 A． B． C． D． 例4．如图，在矩形中，点在的延长线上，与交于点，点是的中点，若要知道△的面积，则需要知道　　 A．的长 B．矩形的面积 C．梯形的面积 D．的度数 变式4-1．如图，平行四边形的四个顶点分别在矩形的四条边上，，分别交，于点，，过点作，分别交，于点，，要求得平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积即可　　 A． 四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 变式4-2．如图，点是矩形内一点，连结，，，，，知道下列哪个选项的值就能要求的面积　　 A．与面积之差 B．与面积之差 C．与面积之差 D．与面积之差 类型三、矩形中最值问题 例5．如图，在中，，，，为边上一动点不与，重合），于，于，为中点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 变式5-1． 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是　　 A．3 B．4 C．4.8 D．5 变式5-2． 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为　　 A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3 例6．如图，在矩形中，，，点为中点，、为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为　　 A． B． C． D． 变式6-1．如图，长方形中，，点、分别为线段、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当　　时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 　　． 变式6-2．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连 接，，则的最小值为　　 A．10 B．11 C．12 D．13 类型四、矩形中关于中点压轴题 例7． 如图，在矩形中，为中点，作，交对角线于点， 连结．取中点，取中点，连结．若，， 则的长度为　　 A． B． C． D． 变式7-1．如图，在矩形中，，在边上截取一点，使得，连结，点是的中点，连结，已知，则线段的长为 　　． 变式7-2．如图，在矩形中，，，，过点作垂直交于点，连接，若直线恰好经过的中点，则　　． 类型五、矩形折叠问题 例8．如图，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长是　　 A．4 B．3 C．4或8 D．3或6 变式8-1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，长方形中，，，若点为射线上的一点，将△沿折叠，点落在平面内一点处（如图． （1）若点落在线段上，求点的坐标． （2）当△的面积为50时，求△的面积． （3）当△是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标． 变式8-2． 矩形中，为边上异于、的一个动点，将沿折叠，点的对应点为． （1）如图1，若设，则　　（用含的式子表示）；当点恰好是的中点时，则　　度． （2）如图2，交于点，且平分． ①求证：是等腰三角形． ②当，时，求的长． ③若设，，，求证：． 例 9．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为　　 A． B． C． D． 变式9-1．如图1，将矩形纸片的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形， ①求证：四边形是矩形； ②若，，求的长； （2）如图2，将平行四边形纸片的四个角向内折叠，也能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，若，，，，求的长． 变式9-2．如图（1），已知矩形，点，分别是矩形边，上的一点，且，与分别沿，翻折得到与；所在的直线交直线于点，所在的直线交直线于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，且．判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图（2），若点是的中点．试探求与的数量关系，并加以说明． 例10．如图，已知矩形的两条边，，点是对角线、的交点，点是边上一个动点，作点关于直线的对称点，当与矩形一条边垂直时，的长是 　 　． 变式10-1．如图1，在矩形中，，，点从点出发，沿向点运动，作关于直线的对称△（点，的对称点分别为，． （1）如图2，当点在的延长线上时，连结，求的长． （2）如图3，当点与点重合时，连结，、交分别于点、． ①求证：；②求的长． （3）当直线经过点时，求的长． 类型六、矩形动点以及综合压轴问题 例11．矩形中，，．点，在对角线上，点，分别在边，上． （1）如图1，若，，分别是，的中点．求证：四边形为矩形． （2）如图2，若，，且四边形为矩形，求的值． 变式11-1．如图1，在矩形中，点在边上，△与△关于直线对称，点的对称点在边上，过点作，交，于点，． （1）求证：； （2）如图2，连接，求证：四边形是菱形； （3）如图3，在（2）的条件下，作平分，交于点，请写出线段，，之间的数量关系，并证明． 例12． 如图1，为矩形的对角线，的平分线交于点，交的延长线于点．点是线段上的动点，以为对角线作正方形（点，，，按顺时针方向排列）． （1）求证：； （2）已知，． ①如图2，若点落在边上，求的值； ②在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得正方形的某边落在的一边上？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 变式12-1．问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． 数学发现： （1）如图1，当时，　60　，如图2，当时，　　； 初步探究： （2）如图3，当边经过点时，求的长； （3）如图4，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积． 变式12-2．如图1，在矩形中，，点，分别是，的中点，连结，交于点． （1）当且时，如图2，求的面积． （2）若，求此时的值． （3）连结，请问能否为等腰三角形，若能，求出的值，若不能，请说明理由． 1．如图，矩形中，，，点，分别为，上的点，，交于点，，记与四边形的面积分别为，，则　　 A． B． C． D． 2．已知如图，矩形中，，点是上除，外任一点，对角线，相交于点，，分别交，于点，且和的面积之和，则四边形的面积为　　 A． B． C． D． 3．如图，点是矩形的对角线上一动点，过点作的垂线，分别交边，于点，，连接，．则下列结论不成立的是　　 A．四边形的面积是定值 B．的值不变 C．的值不变 D． 4．在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，当△为直角三角形时，的长为　　 A．7 B． C．7或 D．以上答案均不对 5．如图，在中，，，，为边上的一个动点，于点，于点，则最小值为　　． 6．在矩形中，已知两邻边，，是边上异于和的任意一点，且，，、分别是垂足，那么　　． 7．在矩形中，点为边的中点，连接，将沿直线翻折，使得点与点重合，的延长线交线段于点，的延长线交线段于点，，若点为线段的中点，则线段的长为 　　；线段的长为 　　． 8．在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，． （1）用含有的代数式表示的长． （2）若，分别是，中点，求证：四边形是平行四边形． （3）在（2）条件下，直接写出当为何值时，四边形为矩形． 9．【问题情境】如图，在矩形中，，．点是射线上的一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点为点． 【猜想证明】 （1）当点落在边上时，四边形的形状为 　 　． （2）当平分时，连接，求． 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在点，使点，，三点共线．若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 10．如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接． （1）证明：四边形是菱形； （2）点与点重合时，求； （3）求的面积的取值范围． 11．在矩形中，，，与相交于点，点、分别是边、上的动点，且线段经过点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，将矩形沿折叠，点，分别是点与点的对应点． ①若，求的长度． ②连接，，直接写出△面积的最大值． 12．四边形是矩形，点是射线上一点，连接，． （1）如图1，点在边的延长线上，，若，求的度数； （2）如图2，点在边的延长线上，，若是的中点，连接，，求证：； （3）如图3，点在边上，射线交射线于点，，，，则　　．（直接写出结果） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$