精品解析：广东省广州市黄广牛剑高级中学2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷

黄广高中2024-2025学年上学期高二年级10月联考 数学试卷 一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 直线关于轴对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在三棱锥中，设，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（ ） A. 极差为10 B. 中位数为7.5 C. 平均数为8.5 D. 标准差为 7. 设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A. B. C. D. 与m的取值有关 8. 已知甲袋中有标号分别为1，2，3，4的四个小球，乙袋中有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与是互斥事件 C. 与是对立事件 D. 与相互独立 二.多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 直线过点，倾斜角为，则其方程为 C. 在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 D. 直线在轴上截距为2 10. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么， B. 如果与互斥，那么， C. 如果与相互独立，那么， D. 如果与相互独立，那么， 11. 已知在棱长为1的正方体中，为正方体内及表面上一点，且，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，对任意，恒成立 B. 当时，与平面所成的最大角的正弦值为 C. 当时，线段上的点与线段上的点的距离最小值为 D. 当时，存在唯一的点，使得平面平面 三.填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，且，则__________． 13. 盒中装有5个大小、质地相同的小球，其中3个白球和2个黑球．两位同学先后轮流不放回摸球，每次摸一球，当摸出第二个黑球时结束游戏，或能判断出第二个黑球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时两位同学摸球的总次数为，则______． 14. 已知，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，则______，的最小值为______ 四.解答题：本小题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：与：的交点为. （1）求过点且平行于直线：的直线方程； （2）求过点且垂直于直线：直线方程； （3）求平行于且与其距离为3的直线方程. 16. 如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且. （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 17. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果? （3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率. 18. 如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． （1）取线段中点，连接，判断直线与平面是否平行并说明理由； （2）求到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. （1）已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； （2）已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； （3）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄广高中2024-2025学年上学期高二年级10月联考 数学试卷 一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式方程可得解. 【详解】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为， 即， 故选：A. 2. 已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案. 【详解】，，故在上的投影向量的模为， 故B点到直线的距离为. 故选：A 3. 直线关于轴对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点设是所求直线上任意一点，然后结合点的对称性与已知条件代入求解即可； 【详解】设是所求直线上任意一点， 则关于轴对称的点为，且在直线上， 代入可得，即. 故选：C. 4. 如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】元件都不正常的概率， 则元件至少有一个正常工作的概率为， 而电路是通路，即元件正常工作，元件至少有一个正常工作同时发生， 所以这个电路是通路的概率. 故选：B 5. 如图，在三棱锥中，设，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，结合空间向量的线性运算即可求解. 【详解】连接， . 故选：C 6. 某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（ ） A. 极差为10 B. 中位数为7.5 C. 平均数为8.5 D. 标准差为 【答案】D 【解析】 【分析】利用极差、中位数、平均数、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果. 【详解】某射击运动员射击6次，命中的环数从小到大排列如下：6，7，7，9，9，10， 对A，极差为，故A错误； 对B，中位数为，故B错误； 对C，平均数为，故C错误； 对D，标准差为，故D正确. 故选：D 7. 设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A. B. C. D. 与m的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解. 【详解】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形， 所以， 故选：A 8. 已知甲袋中有标号分别为1，2，3，4的四个小球，乙袋中有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与是互斥事件 C. 与是对立事件 D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得基本事件总数为， 设， ， ， ， 由题意可得与可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误； 易知与不同时发生，即与为互斥事件， 但不是对立事件，比如当发生时与均不发生，故C错误. 又， 则，， 从而与不相互独立，与相互独立，故A错误，D正确. 故选：D 二.多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 直线过点，倾斜角为，则其方程为 C. 在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 D. 直线在轴上截距为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点斜式方程可以表示斜率存在的所有直线判断A；根据倾斜角为的直线方程表示方法判断B；根据截距式不能表示的直线判断C；根据截距的定义判断D． 【详解】对于A，方程不能表示倾斜角为且过的直线，故A错误； 对于B，直线过点，倾斜角为，则其方程为，故B正确； 对于C，当直线在坐标轴上截距相等且为0时，不能用表示，故C错误； 对于D，令得，所以直线在轴上截距为，故D错误； 故选：ACD． 10. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么， B. 如果与互斥，那么， C. 如果与相互独立，那么， D. 如果与相互独立，那么， 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据互斥事件与相互独立事件的概念及概率公式判断． 【详解】A．若，则，，A正确； B．与互斥，则，是不可能发生的，，B正确； C．与相互独立，则，C错误； D．与相互独立，则与，与也相互独立，，同理，D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题考查互事件与相互独立事件的概率公式．两个概念是不相同的，要注意区别．概率公式也不相同，如互斥时，，相互独立时，． 11. 已知在棱长为1的正方体中，为正方体内及表面上一点，且，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，对任意，恒成立 B. 当时，与平面所成的最大角的正弦值为 C. 当时，线段上的点与线段上的点的距离最小值为 D. 当时，存在唯一的点，使得平面平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】确定点在平面上（含边界），结合线面垂直的性质定理，判断A；确定P点位置，设平面，确定当时，与平面所成的角最大，结合解三角形判断B；将线段上的点与线段上的点的距离转化为点到平面的距离，结合等体积法求解，判断C；确定点在线段上，进而作出两平面所成二面角的平面角，结合二面角为直角判断D. 【详解】因为，其中，，则点在平面上（含边界）． 对于A，当时，，则点P在连接的中点的线段上运动， 则,平面,故平面,平面, 故，而,平面， 故平面，平面，故，A正确； 对于B，当时，点在线段上，设平面， 由于平面，平面，故， 又，平面， 故平面，平面，故, 同理可证，平面， 故平面，得在平面上的射影为， 当时，与平面所成的角最大， 由于，即， 则，而，故，， 则，即与平面所成的最大角的正弦值为，B错误； 对于C，当时，点在线段上，由于， 即为平行四边形，则，平面，平面， 故平面， 所以线段上的点与线段上的点的距离最小值为点到平面的距离， 由等体积法，得（d为点到平面的距离）， 则，即点到平面的距离为， 即线段上的点与线段上的点的距离最小值为，C正确； 对于D，设的中点为，当时，， 故点在线段上， 由于，平面，平面， 故平面，而P是平面和平面的一个交点， 故平面和平面的交线为过点P和BC平行的直线， 由于平面，故交线也垂直于平面， 设在平面上的射影为M，则为平面与平面所成二面角的平面角， 当平面平面时，为直角，此时M点在以AB为直径的半圆上， 又设N为E点在上的投影，即N为的中点，则M点也在BN上， 显然BN与以AB为直径的半圆相交，满足为直角的点M是唯一的， 则点是唯一的，故D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题综合性强，涉及到的知识点多，解答的关键是要发挥空间想象，明确空间的点线面的位置关系，结合线面以及面面平行或垂直的性质进行解答. 三.填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线的充要条件列式计算即得. 【详解】向量共线，则，解得， 所以. 故答案为：. 13. 盒中装有5个大小、质地相同的小球，其中3个白球和2个黑球．两位同学先后轮流不放回摸球，每次摸一球，当摸出第二个黑球时结束游戏，或能判断出第二个黑球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时两位同学摸球的总次数为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】分析出游戏结束时两位同学摸球的情形，求解即可. 【详解】当时，游戏结束时两位同学摸球的情况为：白黑黑，黑白黑，白白白， 则. 故答案为：. 14. 已知，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，则______，的最小值为______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式能求出；设直线CD的方程为，求得C,D坐标，可求得的最小值，得到答案． 【详解】由题意知，两直线：，：互相平行， 作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，如图所示， 由两平行线间的距离公式可得， 因为，及两直线：，：， 作直线垂直于，，且垂足分别为C、D， 设直线的方程为， 联立方程组，解得，同理求得， 所以， 其中表示点与点和之间的距离之和，当点重合时，取得最小值， 所以的最小值为， 的最小值为． 故答案为，． 【点睛】本题主要考查了两平行线之间的距离公式，以及三条线段和的最小值的求法，其中解答中根据两平行线间的距离公式，以及两点间的距离公式，结合图象求解是解答的关键，着重考查了运算求解能力，及数形结合思想，是中档题． 四.解答题：本小题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：与：的交点为. （1）求过点且平行于直线：的直线方程； （2）求过点且垂直于直线：直线方程； （3）求平行于且与其距离为3的直线方程. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求解两直线的交点的坐标是，根据所求直线与直线： 平行，设所成直线为，代入点的坐标求解的值，确定直线方程； （2）根据所成直线与已知直线：垂直，设所成求直线为，代入点的坐标求解的值，确定直线方程； （3）根据平行关系设直线方程为，根据题意利用两平行线间距离公式运算求解. 【小问1详解】 由 解得，所以点的坐标是， 因为所求直线与平行，所以设所求直线的方程为， 把点的坐标代入得 ，得， 故所求直线的方程为． 【小问2详解】 因为所求直线与垂直，所以设所求直线的方程为， 把点的坐标代入得，得， 故所求直线的方程为． 【小问3详解】 设平行于的直线方程为， 由题意可得，解得或， 所以所求直线方程为或. 16. 如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且. （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为，所以， 又因为，可得为边上的高， 所以因为平面且平面 所以又因为且平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据的面积相等，得到再由平面证得结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面且， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故与平面所成角的正弦值为. 17. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果? （3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率. 【答案】（1）kg （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值. （2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可． （3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，由古典概型求解. 【小问1详解】 由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3， 由，解得． 则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3， 所以，该苹果日销售量的平均值为: . 【小问2详解】 为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数． 依题意，日销售量不超过的频率为， 则该店苹果日销售量的分位数在， 所以日销售量的分位数为． 所以，每天应该进苹果． 【小问3详解】 由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知， 抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为， 来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为， 任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得. 18. 如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． （1）取线段中点，连接，判断直线与平面是否平行并说明理由； （2）求到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）平面． 理由如下证明：取中点，连接， 因为为的中点，且，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距离的向量公式即可求解； （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，， 因为为等边三角形， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 如图所示， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 所以， 令，则， 又， 故到平面的距离． 【小问3详解】 设，， 所以， 所以，， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 又平面的法向量为， 于是， 化简得，又， 得， 即， 故存在点，此时． 19. 已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. （1）已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； （2）已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； （3）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到，的夹角的最小值； （2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线PR与直线PQ的方程，联立得P的坐标； （3）设出直线，的方程，求出原点到它们的距离，计算，转化变形后结合基本不等式可得取值范围． 【小问1详解】 设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 则 ， 等号成立的条件是，所以的最小值为， 则两直线的夹角的最小值为； 【小问2详解】 设直线的斜率分别为， 则，得或， 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，； 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，，与点C重合，舍去； 故所求为； 【小问3详解】 由题意可设即，即，其中， 故 由于（等号成立的条件是）， 所以，故即， 所以. 【点睛】方法点睛:“新定义"主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说"新题"不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $