精品解析：广东省深圳市龙华区实验学校2024-2025学年九年级下学期2月月考数学试卷

2024-2025学年九年级2月学情调研 （数学） 说明： 1．答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上 2．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效 3．全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分 第一部分 选择题 一、单选题（本部分共8小题，每小题3分，每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的．） 1. 简简单单的七巧板能拼出千变万化的图形．殊不知七巧板作为中国传统玩具在国外也甚为流传，被称为“唐图”．下面四幅七巧板拼图的形状是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 4. 如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 函数图象与轴的交点坐标是 D. 当时，的值随的值的增大而减小 7. 国产动画电影《舒克贝塔·五角飞碟》于2024元旦档上映．电影的点映及预售总票房破400万，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达4000万．设票房收入的增长率为x，则方程可列为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （ ） A. B. C. 或 D. 或 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则________． 10. 已知是关于x的方程的解，则m值为_______． 11. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知，则_________． 12. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 13. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于_____． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题8分，第16题6分，第17题9分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14. 计算：． 15. 数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”． （1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是__________； （2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率． 16. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的角平分线； （2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等． 17. 根据背景素材，探索解决问题． 素材1 电动车是重要的出行工具之一．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． 素材2 若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长百分率为a，依题意列方程为：________． 任务2 若该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为________（用含x的代数式表示） 任务3 当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润． 18. 如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． （1）求证：； （2）求的度数． 19. 二次函数的图象交x轴于原点O及点A． 【感知特例】 （1）当时，如图1，抛物线上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为、、、、，如表： … A（________，________） … … … ①补全表格； ②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为． 【形成概念】 我们发现形如（1）中的图像上的点和拋物线L上的点关于点A中心对称，则称是L的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线L的“孔像抛物线”． 【探究问题】 （2）①当时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为________； ②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是________（填“”或“”或“”或“”，其中）； ③若二次函数及它的“孔像拋物线”与直线有且只有三个交点，求m的值． 20. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级2月学情调研 （数学） 说明： 1．答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上 2．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效 3．全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分 第一部分 选择题 一、单选题（本部分共8小题，每小题3分，每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的．） 1. 简简单单的七巧板能拼出千变万化的图形．殊不知七巧板作为中国传统玩具在国外也甚为流传，被称为“唐图”．下面四幅七巧板拼图的形状是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A，C中的图形是轴对称图形，选项B中的图形是中心对称图形，选项D中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 故选：B． 2. 如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 3. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有：（个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在0.2左右， ∴该颜色的球出现的概率为0.2， ∴该种球的颜色最有可能是蓝球， 故选：C． 4. 如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 5. 如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， 半径互相垂直， ， 所对的圆心角为， 所对的圆周角， 又， ， 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 函数图象与轴的交点坐标是 D. 当时，的值随的值的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，从抛物线的顶点式可知抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最高（最低）点坐标，增减性等．已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断． 【详解】解：∵二次函数中， ∴二次函数的图象开口向下，故A选项错误，不符合题意； ∴对称轴是直线，顶点坐标是，故B选项错误，不符合题意； ∴函数有最高点，当时，的值随的值的增大而减小，故D选项正确，符合题意； 令中的解得：，故函数图象与轴的交点坐标是，故C选项错误，不符合题意； 故选：D． 7. 国产动画电影《舒克贝塔·五角飞碟》于2024元旦档上映．电影的点映及预售总票房破400万，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达4000万．设票房收入的增长率为x，则方程可列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据每天票房按相同的增长率增长，可以列出方程，本题得以解决． 【详解】解：设票房收入的增长率为x， 则第二天的票房收入为， 第三天的票房收入为， 由题可知． 故选：D． 8. 如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方时的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：直线关于原点对称的直线的解析式为即， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴直线与双曲线交于点，两点， 观察图象可知， 当或时，直线在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解为是或， 故选：． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，，再代入所求分式，是解答本题的关键． 根据，设，，且，将，，代入所求分式中，即可求解． 【详解】∵， ∴设，，且， ∴， 故答案为：． 10. 已知是关于x的方程的解，则m值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握方程解的定义．将代入原方程即可求解． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出，再根据△AOD∽△COB得出，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可 【详解】解：作AE⊥BC，CF⊥BD ∵ ∴△ABD和△BCD等高，高均为AE ∴ ∵AD∥BC ∴△AOD∽△COB ∴ ∵△BOC和△DOC等高，高均为CF ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的面积的特点是解题的关键 12. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据题意得出，，根据平行线的性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知：，，，，，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为： 13. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于_____． 【答案】． 【解析】 【分析】据折叠可得是正方形，，，，可求出三角形的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证∽，三边占比为3：4：5，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长． 【详解】过点作，，垂足为、， 由折叠得：是正方形，， ，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，设，则，由勾股定理得， ， 解得：， ∵，， ∴∽， ∴， 设，则，， ∴，， 解得：， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题8分，第16题6分，第17题9分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键． 15. 数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”． （1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是__________； （2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式解答即可． （2）利用画树状图法解答即可． 本题考查了简单的概率公式，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的有2种， ∴小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率是． 16. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的角平分线； （2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等． 【答案】（1） 射线即为所作； （2） 直线即为所作． 【解析】 【分析】（1）连接，，与交于点，作射线即可； （2）取格点，过点和点作直线即可． 【小问1详解】 解：如图1，连接、，与交于点，设小正方形的边长为1个单位， ∵线段和是矩形的两条对角线且交于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴平分， 【小问2详解】 如图2，连接、、、，直线经过点和点，设小正方形的边长为1个单位， ∴，， ，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵，，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，，且， 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了等腰三角形三线合一的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 17. 根据背景素材，探索解决问题． 素材1 电动车是重要的出行工具之一．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． 素材2 若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长百分率为a，依题意列方程为：________． 任务2 若该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为________（用含x的代数式表示） 任务3 当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：当x为65时，销售总利润达到最大，最大总利润为12250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程、得到二次函数关系式是解题的关键 任务1：设增长率为a ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量,即可得出关于a的一元二次方程； 任务2：根据售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个列代数式； 任务3：利用二次函数的最值求解即可 【详解】解：任务1：设增长百分率为a，依题意列方程为：； 故答案为：； 任务2：该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为； 故答案为：； 任务3：设总利润为w元，销售量为y个 ∴ ， ∴当时，元， ∴当x为65时，销售总利润达到最大，最大总利润为12250元． 18. 如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： 19. 二次函数的图象交x轴于原点O及点A． 【感知特例】 （1）当时，如图1，抛物线上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为、、、、，如表： … A（________，________） … … … ①补全表格； ②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为． 【形成概念】 我们发现形如（1）中的图像上的点和拋物线L上的点关于点A中心对称，则称是L的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线L的“孔像抛物线”． 【探究问题】 （2）①当时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为________； ②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是________（填“”或“”或“”或“”，其中）； ③若二次函数及它的“孔像拋物线”与直线有且只有三个交点，求m的值． 【答案】（1）①； ②图象如图1所示． （2）①；②；③ 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． （1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可； （2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象的顶点为 ，再根据题意即可求解． 【详解】解：（1）①∵点与点关于点A中心对称， ∴点的坐标为，即， 补全表格如下： … … … … ②略 （2）①当时，抛物线为，对称轴为， 它的“孔像抛物线”的解析式为，对称轴为． 画出草图如图2所示： ∴抛物线L与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小． 则x的取值范围为． ②画出草如图3所示． 由图象知，这条抛物线的解析式只能是．故答案为． ③，设顶点为， 过点作轴于点，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点， 由题意，可知．得， ∴． ∵抛物线及“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点， ∴或． 解得或0． 当时，与只有一个交点，不合题意，舍去． ∴． 20. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】 问题背景：证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：证明：如图所示，取的中点，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展： 【解析】 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】问题背景：略 问题探究：略 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵，由（2） ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $