精品解析：吉林省白山市抚松县第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

高二年级下学期开学考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列中数据特征得到通项公式. 【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该含有， 满足， 所以数列的一个通项公式可以为，其余选项不适合， 故选：B. 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线方程求出焦点、准线方程得解. 【详解】由题意知该抛物线的焦点为，准线方程为， 故焦点到准线的距离为2， 故选：B. 3. 已知函数在处的导数，则（ ）． A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意由导数的定义即可得答案． 【详解】根据题意，函数在处的导数为， 而， 故选：D. 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令和的夹角为，根据投影向量的定义直接求解即可. 【详解】令和的夹角为， 则， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C 5. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解. 【详解】在等差数列中，成等差数列， 则， 设，则， 故，解得， 所以. 故选：A. 6. 已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的定义知，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以. 所以，所以（当且仅当时等号成立）. 所以. 即的最小值为1. 故选：A 7. 《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（ ） A. 3天 B. 4天 C. 5天 D. 6天 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，蒲生长长度与莞生长长度都构成了等比数列，利用等比数列的求和公式得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一天的一半， 所以蒲生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 由题意得，即，则， 令，则，，解得，即， 又，，所以需要经过的时间最少为3天. 故选：. 8. 已知直线l：与双曲线C：交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法列式，化简后求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】设，，可得，， 两式相减可得， 点是弦AB的中点，且直线l：， 可得，，， 代入可得有，即， ∴，，故双曲线C的离心率为， 经验证此时直线与双曲线有两个交点. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，成等比数列，则的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等比中项建立等式求解即可． 【详解】根据题意可知：， 所以， 故选：BD． 10. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离是4 B. 若的方程是，则的面积为3 C. 若的中点到直线的距离为3，则 D. 若点在直线上，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据抛物线的定义即可求得；B选项，联立直线与抛物线方程，求出交点即可求得面积；C选项，依据抛物线的定义进行转化即可求得；D选项，设直线方程与抛物线联立，借助韦达定理设而不求求解. 【详解】对于选项A，由题意可知抛物线的焦点为，准线的方程为，所以点到直线的距离是2，故A错误； 对于选项B，由得，解得或， 所以6，又与轴的交点为，所以，所以的面积为，故B正确； 对于选项C，因为的中点到直线的距离为3，所以，即，所以，故C错误； 对于选项D，设：，，， 由得，，，， 因为，所以，故D正确. 故选：BD. 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ） A. B. 该数列的前2024项中能被3整除的有507项 C. 是偶数 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】观察分析“斐波那契数列”的特点和性质，探索其规律，依次判断各选项的准确性. 【详解】对A选项：因为，即， 所以， 又，所以.故A正确； 对B：因为“斐波那契数列”的前若干项依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，它们除以3所得的余数为：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0，…，可以发现余数是以1,1,2,0,2,2,1,0为周期的，在一个周期内有两个能被3整除的数. 又，所以该数列的前2024项中能被3整除的有个.故B不正确； 对C：因为均为奇数，且奇数奇数为偶数，所以为偶数； 因为奇数偶数为奇数，所以为奇数；… 所以“斐波那契数列”中的项是“奇，奇，偶”规律出现的，又，所以 为奇数，故C不正确； 对D：因为 … 因为，所以.故D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：利用递推关系求数列中的项常见思路为： （1）项的序号较小时，逐步递推求出即可； （2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线AB是函数图像的一条割线（如图所示），是函数的导函数，若，，，则关于a，b，c排序正确的是_______． 【答案】a<c<b 【解析】 【分析】利用导数的几何意义及两点斜率公式，结合图象判定即可. 【详解】由图象知在上单调递增， 又过点和点的直线的斜率为， 由导数的几何意义，知为曲线在处的切线方程的斜率， 为曲线在处的切线方程的斜率，如图， 得． 故答案为：a<c<b 13. 设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率关系可得切线斜率为，再由导数的几何意义可得，解不等式可得结果. 【详解】设， 由倾斜角的取值范围为可得切线斜率为， 又由可得， 因此可得，解得， 因此点横坐标的取值范围为. 故答案为： 14. 一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，反射光线所在的直线为l.若曲线上有且仅有两个点到直线l的距离为1，则实数m的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据对称确定直线的方程，再根据直线与圆的位置关系求参数的取值范围. 【详解】由题意知反射光线所在的直线经过点， 设反射光线的所在直线的方程为，点，在直线方程上， ，解得， 反射光线的所在直线的方程为，即. 曲线可化为， 可得其圆心为，半径, 根据点到直线的距离公式可得点到的距离. 因为圆上有且仅有两个点到直线l的距离为1， 所以或. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线方程为,求: （1）点处的切线方程 （2）过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）. （2）或. 【解析】 【分析】（1）求导后算出直线在点A处的斜率,然后结合点斜式求出切线方程 （2）注意到点B不在曲线方程上，设切点坐标为，写出其对应切线方程后，将点代入其中求出切点坐标，从而计算出切线方程. 【小问1详解】 设 ，则 . 又点在曲线上,∴.故所求切线的斜率, 故所求切线的方程为,即. 【小问2详解】 因点不在曲线上, 则设过点B直线与曲线相切时所对应的切点坐标为, 由(1)知,故切线的斜率,则切线方程为. 又∵点在切线上,∴解得或. ∴切点坐标为,. 故所求切线方程为或, 即或. 16. 已知等差数列满足成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差、等比中项可得，，结合题意解方程可得，进而可得公差和通项； （2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解即可. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，则，即， 又因为成等比数列，则， 联立方程，解得或， 且，则，可知公差， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）可得：， 所以. 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 设，连接， 在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以是的中点， 又为的中点，所以. 又平面，平面， 所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线性质以及线面平行判定定理证明可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面， 又，平面，所以，， 又， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为，，，所以， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，令1，得，， 所以平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知数列的前n项和为，，且，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，若表示不超过x的最大整数，求. 【答案】（1） （2）. （3）4 【解析】 【分析】（1）利用以及构造等比数列的方法来求得. （2）利用累乘法来求得. （3）先求得中分别的项，然后利用分组求和法来求得正确答案. 【小问1详解】 由已知可得，当时，，， 两式相减得.又因为，所以，满足上式， 所以.又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. 【小问2详解】 又因为，所以，所以. 又，所以当时，，，，，， 等式两边同时相乘，可得， 所以. 【小问3详解】 设在100项中，来自数列中的有m项.若第100项来自， 则应有，整理可得， 该方程没有正整数解，不满足题意. 若第100项来自于，则应有，整理可得. 当时，有，不满足题意，， 故，所以数列中含有10项数列中的项，含有90项数列中的项， 所以 . 故. 【点睛】易错点睛： 在利用与的关系求时，要注意的条件，并且一定要验证时是否满足所得递推式,构造新数列时要准确计算出新数列的首项和公比. 累乘法中要注意各项的分子分母约分情况，确保化简结果正确，同时不要遗漏的取值范围. 判断新数列中来自原数列的项数时，建立的方程和不等式要准确反映新数列的构成规律，计算项数时要细心，分组求和时要正确运用等差、等比数列求和公式，防止计算错误，求对数的整数部分时要准确计算对数的值. 19. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且. （1）求曲线和曲线的标准方程； （2）过的直线交曲线于两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及抛物线的焦半径即可求解 ，进而可根据 的关系求解， （2）联立直线与抛物线的方程得韦达定理，根据弦长公式求解弦长，进而根据向量共线得面积的关系为，结合对勾函数的性质即可求解最值. 【小问1详解】 椭圆， 又, 椭圆, 抛物线 【小问2详解】 因为直线斜率不为0，设为， 设，联立 整理得，. 所以， 所以， ， 设四边形的面积为， 则， 令，再令， 则在单调递增， 所以时，， 此时取得最小值4，所以. 【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到面积的关系，对于简化计算起到了重要的作用 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下学期开学考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3. 已知函数在处的导数，则（ ）． A. B. 1 C. D. 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 7. 《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（ ） A. 3天 B. 4天 C. 5天 D. 6天 8. 已知直线l：与双曲线C：交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，成等比数列，则的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 10. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离是4 B. 若的方程是，则的面积为3 C. 若的中点到直线的距离为3，则 D. 若点在直线上，则 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ） A. B. 该数列的前2024项中能被3整除的有507项 C. 是偶数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线AB是函数图像的一条割线（如图所示），是函数的导函数，若，，，则关于a，b，c排序正确的是_______． 13. 设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为________. 14. 一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，反射光线所在的直线为l.若曲线上有且仅有两个点到直线l的距离为1，则实数m的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线方程为,求: （1）点处的切线方程 （2）过点且与曲线相切的直线方程. 16. 已知等差数列满足成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知数列的前n项和为，，且，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，若表示不超过x的最大整数，求. 19. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且. （1）求曲线和曲线的标准方程； （2）过的直线交曲线于两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $