热点02 方程与不等式（5大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）

热点02 方程与不等式 方程与不等式是中考数学的必考考点，常见以一元一次方程（二元一次方程组）、一元一次不等式（组）、分式方程、一元二次方程等。一般出现在重庆中考的第6题，第17题和第23题等。以中档题为主，21题应用题难度有降低趋势近几年难度不大适当训练即可，无需专题训练。另外方程的考查还是已掌握基本计算为主，计算又快又好才符合要求。 考向一：列方程 【题型1 列二元一次方程组选择类】 考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 1．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期数学定时训练）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多 11 架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少 2 架．设甲种型号无人机x 架，乙种型号无人机y 架，根据题意可列出的方程 组是（     ） A． B． C． D． 2．（重庆南开(融侨)中学校2022-2023学年九年级下学期3月）某瓷器厂生产一批茶具，每人每天可以生产50个茶壶或75个茶杯；一个茶壶配四个茶杯．现有14名工人，设安排名工人生产茶壶，名工人生产茶杯正好配套，根据题意下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（重庆市第八中学校2023-2024学年度九年级模拟）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（2024年重庆市巴蜀中学校中考二模）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处生态耕种园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．已知购进15捆种菜苗和20捆种菜苗共需450元；购进10捆种菜苗和8捆种菜苗共需220元．设购进一捆种菜苗元，一捆种菜苗元，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．（2024年实验外国语学校九年级下学期4月）九章算术中有这样一个问题“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何？”译文“两匹马和一头牛的总价比一万多，且多出的部分等于半匹马的价钱；同时，一匹马和两头牛的总价比一万少，且少的部分等于半头牛的价钱，问一匹马和一头牛的价钱分别是多少”设一匹马的价格为元，一头牛的价格为元，根据题目描述可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【题型2 列一元二次方程选择类】 考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1．（第八中学2024-2025学年九年级上学期期末）2024年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产品起初的成本为256元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了31元，设每次技术改进产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（育才中学校2024-2025学年九年级上学期第三次月考）新能源汽车节能环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为24万辆，销售量逐年增加且年平均增长率相同，2024年预估销售量为29万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率．设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 3．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期11月）为创建义务教育优质均衡发展示范学校，我校9月份购买图书30000本，11月份又购买图书43200本，设每月购买图书数量的平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（重庆市松树桥中学校2024-2025学年九年级数学上学期数学期中）小影和小冬在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，小冬在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（重庆市朝阳中2024-2025学年九年级上学期半期）学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 考向二：应用题 【题型3 应用题分式方程】 考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找出合适等量关系是解题的关键．特别注意分式方程需要检验，忘记检验会扣分，平时训练需养成检验习惯。 1.（南开中学2024-2025学年九年级下学期开学考试）临近春节，某商店分别用300元，800元购进一批数量相同的福字和对联，每副对联的进价比每张福字的进价高5元． (1)求一张福字和一副对联的进价分别是多少元？ (2)这批福字和对联很快被一抢而空，该商店计划再购进一批福字和对联，此时每张福字的进价上涨了元，购进福字的数量在第一次的基础上减少了张：对联的进价不变，购进对联的数量在第一次的基础上减少了副，总花费1100元，求的值． 2．（大足中学2024-2025学年九年级下学期开学考试）某学校食堂不定期采购某调味加工厂生产的“0添加”有机生态酱油和生态食醋两种食材． (1)该学校花费1720元一次性购买了酱油、食醋共100瓶，已知酱油和食醋的单价分别是18元、16元，求学校购买了酱油和食醋各多少瓶？ (2)由于学校食材的消耗量下降和加工厂调味品的价格波动，现该学校分别花费900元、600元一次性购买酱油和食醋两种调味品，已知购买酱油的数量是食醋数量的倍，每瓶食醋比每瓶酱油的价格少3元，求学校购买食醋多少瓶？ 3．（重庆市第八中学校2024-2025学年九年级下学期开学考试）某班级为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同． (1)求购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？ (2)若该班级计划购买甲、乙两种奖品共60件，且购买的总费用不超过1440元，则甲种奖品最多能购买多少件？ 4．（重庆市巴蜀中学2024-2025学年九年级下学期开学考试）除夕当天，小渝购入了、两款电子泡泡机．购买款花费800元，购买款花费400元，其中款的数量恰好是款的，每个款的价格比每个款的价格低4元． (1)请问款泡泡机的与款泡泡机的单价分别是多少元？ (2)元宵节当天，小渝决定再次购入一批电子泡泡机，其中购买款的数量与第一次相同，购买款的数量比第一次的购入量多个．此时、款两泡泡机均涨价，每个款的价格比第一次的价格高元，每个款的价格比第一次的价格高元，最终第二次购买、两款泡泡机的总费用只比第一次购买、两款泡泡机的总费用多元，求的值． 5.（24-25九年级上·重庆渝北·期末）重庆中央公园片区“提档升级绿化项目”计划种植A，B两种不同品种的特色树苗各1500棵，用于美化城市环境．据预算，两种树苗的购买总价为90万元．已知A种树苗每棵的价格比种树苗每棵的价格贵40元． (1)求两种树苗每棵的价格分别是多少元． (2)现将所买的树苗全部种完，考虑到重庆的地形和气候，种植团队发现种树苗在山地的种植速度是平坝种植速度的两倍，而B种树苗在两种地形的种植速度都是每天150棵．若计划在山地上种植600棵A种树苗，其余在平坝上种植，且种植完所有种树苗所需的总时间比种植完所有种树苗所需的总时间多2天，则在山地上，种植团队每天能种植多少棵种树苗？ 【题型4 应用题一元二次方程】 考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系（2）正确列出一元二次方程．一元二次方程一般有多个解，还需根据题目要求，考虑是否需要舍去部分解。 1．（24-25九年级上·重庆大渡口·期末）某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具售价应定为多少元? 2．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）某水果基地种植了大量的脐橙，10月份是脐橙成熟的高峰期，该月脐橙产量达到了50吨，此后每个月脐橙的产量逐渐减少，到12月份时，脐橙的产量为32吨． (1)求该基地11，12两个月脐橙的平均减少率是多少？ (2)10月份，一水果批发商从该基地以4元的价格购进了脐橙，目前脐橙的市场零售价是5元．如果将这批脐橙放在冷库中冷藏起来，每个星期需要支付400元的冷藏费用，且每个星期脐橙会自然损坏，但是每个星期脐橙的市场零售价会上涨1元，若这批脐橙从冷库中提取出来后能一次性卖完，为了尽快清空库存，求这批脐橙冷藏几个星期后出售可以获得利润6960元？ 3．（24-25九年级上·重庆江北·期末）开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． (1)求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价； (2)商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10％．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？ 4．（四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期1月）为做好消毒工作，某学校购入了一批洗手液与消毒液．购买洗手液花费800元，购买消毒液花费400元，购买的消毒液瓶数恰好是洗手液瓶数的，每瓶消毒液的价格比每瓶洗手液的价格低4元． (1)求一瓶洗手液的价格与一瓶消毒液的价格分别是多少元？ (2)学校决定再次购入一批同样品牌的洗手液与消毒液，购买洗手液的数量与第一次相同，购买消毒液的瓶数比第一次的购入量多瓶，此时洗手液与消毒液双双涨价，每瓶洗手液的价格比第一次的价格高元，每瓶消毒液的价格比第一次的价格高元，最终第二次购买洗手液与消毒液的总费用只比第一次购买洗手液与消毒液的总费用多元，求的值． 5．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）我区某种植基地种植的葡萄颗粒饱满味道甘甜，深得人们喜爱．种植基地2022年开始种植葡萄150亩，到2024年葡萄的种植面积达到亩． (1)求该基地这两年葡萄种植面积的平均年增长率； (2)市场调查发现，当葡萄的售价为14元/千克时，每天能售出300千克，售价每千克降价1元，每天可多售出60千克．为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地葡萄的平均成本价为6元/千克，若每天获利2520元，则售价应为多少元？ 【题型5 应用题一元一次方程、二元一次方程组和不等式（组）】 考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据相等关系和不等式关系建立方程和不等式组． 1.（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期1月）甲、乙两人计划周末到诗橙奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长，乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长，已知高铁的平均速度为顺风车的1.5倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时． (1)求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度； (2)甲、乙商议在各自去奉节的途中拍摄精美照片．由于高铁速度快，乙每小时可拍到的精美照片比甲每小时可拍到的2倍还多4张，最后要使甲、乙拍到的精美照片总和不少于115张，请问甲每小时至少要拍多少张精美照片？ 2．（重庆市第一中学校2024-2025学年九年级上学期数学半期）在“双十一”活动中，某淘宝店家上架300个商品和240个商品进行销售，已知购买2个商品和3个商品共需900元，购买1个商品和2个商品共需550元． (1)求商品和商品的售价分别是多少元？ (2)在商品售出总数量的，商品售出总数量的时，为了尽快回笼资金，店主决定对剩余的商品每个打折销售，对剩余的商品每个降价元销售，很快全部售完，若要保证销售总额不低于87600元，求的最小值． 3．（重庆市第八中学校2024-2025学年上学期九年级开学）近日，无人驾驶网约车“萝卜快跑”已获准在重庆进行服务测试．为了推进项目进行，现需在某站点引入甲、乙两种无人驾驶车．已知购进2辆甲车和1辆乙车共需42万元； 购进1辆甲车和3辆乙车共需51万元 ． (1)求购进1辆甲车和1辆乙车各需多少万元； (2)若该站点购进乙车数比甲车数的2倍少3辆，且购进甲、乙两种车总资金不超过 198万元，求最多可以购进甲车多少辆？ 4．（第八中学校2023-2024学年九年级下学期二模）重庆江滩公园夜景引来众多游客观赏，拍照留念．小渝计划网购A、B两种类型的拍立得相纸前往公园摆摊拍照，已知购进1盒A型号和2盒B型号相纸共需161元，购进2盒A型号和3盒B型号相纸共需264元． (1)求购进A型号相纸和B型号相纸每盒的单价分别是多少元？ (2)若小渝计划购进A，B两种型号的相纸共50盒，每盒均包含10张相纸．并将A，B两种型号的相纸分别以8元/张，10元/张拍照售出，为了保证全部售完后的总利润不低于1890元，最多购进A型号的相纸多少盒？ 5．（第八中学2023-2024学年九年级上学期数学期末模拟）七年级某班计划购买两款笔记本作为期中奖品．若购买3本款的笔记本和1本款的笔记本需用22元；若购买2本款的笔记本和3本款的笔记本需用24元． (1)每本款的笔记本和每本款的笔记本各多少元； (2)该班决定购买以上两款的笔记本共40本，总费用不超过210元，那么该班最多可以购买多少本款的笔记本？ （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．七件甲商品和八件乙商品共重48千克，甲商品比乙商品重，互换其中一件，恰好一样重，设每件甲商品重千克，每件乙商品重千克，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．《孙子算经》中有一道题，大意为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，辆车，可列方程组（　　） A． B． C． D． 3．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．据报道，某人工智能科技公司年的年利润为万元，由于其在技术研发和市场拓展方面的持续投入，该公司的年利润逐年增长，到年的年利润预计将达到万元，设该公司这两年年利润的平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．2024年12月8日，在四川成都举行的国际乒联混合团体世界杯比赛中中国队卫冕冠军．本次比赛一共有支队伍参赛，在第一轮的比赛中组委会把支队伍平均分成4组，每组内以循环赛的形式展开角逐，即组内的x个队相互之间都要安排一场比赛，第一轮一共安排了24场比赛，则x满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少．2022年上学期每天作业平均时长为100分钟，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天作业时长为64分钟．已知2022年下学期和2023年上学期平均每天作业时长的下降率相同，则下降率为 ． 7．某工业园区今年六月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位2500个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 8．某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到1056个红包，设群内共有x个人．根据题意可列方程 ． 9．“双11”期间，某水果店近两天苹果的销售额逐渐增加．第一天苹果的销售额为100元，第三天苹果的销售额为144元．该水果店近两天苹果销售额的天平均增长率为 ． 10．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），每个组共安排场比赛．设每个组邀请个球队参加比赛，则可列方程得为 ． 三、解答题 11．今年春节期间开州区紫水豆干凭借过硬的质量、优质的口碑大火，豆干店的王老板用2500元购进一批紫水豆干，很快售完；王老板又用4400元购进第二批紫水豆干，所购数量是第一批的2倍，由于进货量增加，进价比第一批每千克少了3元． (1)第一批紫水豆干每千克进价多少元？ (2)王老板在销售第二批紫水豆干时，售价在第二批进价的基础上增加了，售出160千克后，为了尽快售完，决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价元进行促销，结果第二批紫水豆干的销售利润为1520元，求的值． 12．“路通百业兴，道顺民心畅”，甲、乙两个工程队负责修建某段道路．已知甲工程队每天比乙工程队多修1千米，如果甲工程队修2千米所用的天数是乙工程队修3千米所用天数的一半． (1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ (2)现计划再修建长度为20千米的公路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为36万元，乙队每天所需费用为45万元，求在总费用不超过180万元的情况下，至少安排甲工程队施工多少天？ 13．某工厂用A，B两种机器人搬运化工原料共，且A种机器人搬运的化工原料总量比B种机器人搬运的化工原料总量的2倍少． (1)A，B两种机器人各搬运化工原料多少千克？ (2)若A种机器人每小时搬运的化工原料是B种机器人的1.5倍，结果A种机器人完成搬运任务的时间比B种机器人多用了2小时，则两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 14．2024年12月8日，东方爱情马拉松在重庆市江津区盛大举行，吸引了来自世界各地的万名马拉松运动员和爱好者积极参与，小李和小杨也在其中．比赛伊始，小李的速度比小杨每分钟慢75米，当小李跑至1000米处时，小杨已抵达1600米处．（全程两人各阶段均保持匀速运动） (1)求小李和小杨最初的速度分别是多少？ (2)两人同向行进，小李跑完1000米后，开始发力，速度提升了．同时，小杨因战术调整，放慢了速度，变速30分钟后两人相遇．求小杨的速度每分钟下降了多少米？ 15．新年将至，某超市为开展新年大促活动准备购进、两种类型的新年大礼包，已知每件型大礼包比每件型大礼包的进价多元，且用元购进的型大礼包数量是用元购进的型大礼包数量的． (1)，两种型号的大礼包进价分别为多少元？ (2)该超市分别以元和元的单价销售、两种型号的大礼包，在型大礼包售出，型大礼包售出一半后，超市决定加大销售力度，对型大礼包每件降价销售，型大礼包在每件加价元后，再按买件型大礼包送件型大礼包进行捆绑销售（即每件捆绑在一起销售，只付件的费用），若两种型号的大礼包全部售完后，该超市的总利润不低于元，求的最大值． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点02 方程与不等式 方程与不等式是中考数学的必考考点，常见以一元一次方程（二元一次方程组）、一元一次不等式（组）、分式方程、一元二次方程等。一般出现在重庆中考的第6题，第17题和第23题等。以中档题为主，21题应用题难度有降低趋势近几年难度不大适当训练即可，无需专题训练。另外方程的考查还是已掌握基本计算为主，计算又快又好才符合要求。 考向一：列方程 【题型1 列二元一次方程组选择类】 考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 1．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期数学定时训练）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多 11 架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少 2 架．设甲种型号无人机x 架，乙种型号无人机y 架，根据题意可列出的方程 组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设甲种型号无人机x 架，乙种型号无人机y 架， ∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多 11 架， ∴ ∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少 2 架 ∴ 联立可得： 故选：B． 2．（重庆南开(融侨)中学校2022-2023学年九年级下学期3月）某瓷器厂生产一批茶具，每人每天可以生产50个茶壶或75个茶杯；一个茶壶配四个茶杯．现有14名工人，设安排名工人生产茶壶，名工人生产茶杯正好配套，根据题意下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，现有14名工人，设安排名工人生产茶壶，名工人生产茶杯正好配套，则；根据每人每天可以生产50个茶壶或75个茶杯；一个茶壶配四个茶杯得出，据此即可作答． 【详解】解：依题意，每人每天可以生产50个茶壶或75个茶杯；一个茶壶配四个茶杯．现有14名工人，设安排名工人生产茶壶，名工人生产茶杯正好配套 ∴ 故选：D 3．（重庆市第八中学校2023-2024学年度九年级模拟）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 4．（2024年重庆市巴蜀中学校中考二模）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处生态耕种园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．已知购进15捆种菜苗和20捆种菜苗共需450元；购进10捆种菜苗和8捆种菜苗共需220元．设购进一捆种菜苗元，一捆种菜苗元，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，找到等量关系并列出方程组即可． 【详解】根据题意得：， 故选：D． 5．（2024年实验外国语学校九年级下学期4月）九章算术中有这样一个问题“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何？”译文“两匹马和一头牛的总价比一万多，且多出的部分等于半匹马的价钱；同时，一匹马和两头牛的总价比一万少，且少的部分等于半头牛的价钱，问一匹马和一头牛的价钱分别是多少”设一匹马的价格为元，一头牛的价格为元，根据题目描述可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每匹马的价格为元，每头牛的价格为元，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设每匹马的价格为元，每头牛的价格为元， 根据题意可得． 故选：A． 【题型2 列一元二次方程选择类】 考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1．（第八中学2024-2025学年九年级上学期期末）2024年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产品起初的成本为256元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了31元，设每次技术改进产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 根据题意得：． 故选：D． 2．（育才中学校2024-2025学年九年级上学期第三次月考）新能源汽车节能环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为24万辆，销售量逐年增加且年平均增长率相同，2024年预估销售量为29万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率．设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意知，2023年销售量为万辆，2024年销售量为万辆， 所以， 故选D． 3．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期11月）为创建义务教育优质均衡发展示范学校，我校9月份购买图书30000本，11月份又购买图书43200本，设每月购买图书数量的平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程即可． 【详解】解：由题意可得， ． 故选：． 4．（重庆市松树桥中学校2024-2025学年九年级数学上学期数学期中）小影和小冬在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，小冬在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1， ∴原方程的两个解满足．　 ∵小冬在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和， ∴原方程的两个解满足． A．的解满足，，不满足原方程解的关系，不符合题意； B．的解满足，，满足原方程解的关系，符合题意； C．的解满足，，不满足原方程解的关系，不符合题意； D．的解满足，，不满足原方程解的关系，不符合题意． 故选B． 5．（重庆市朝阳中2024-2025学年九年级上学期半期）学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：主干为1，枝干为，x个枝干又长出个小分支， 根据题意有：， 故选：C． 考向二：应用题 【题型3 应用题分式方程】 考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找出合适等量关系是解题的关键．特别注意分式方程需要检验，忘记检验会扣分，平时训练需养成检验习惯。 1.（南开中学2024-2025学年九年级下学期开学考试）临近春节，某商店分别用300元，800元购进一批数量相同的福字和对联，每副对联的进价比每张福字的进价高5元． (1)求一张福字和一副对联的进价分别是多少元？ (2)这批福字和对联很快被一抢而空，该商店计划再购进一批福字和对联，此时每张福字的进价上涨了元，购进福字的数量在第一次的基础上减少了张：对联的进价不变，购进对联的数量在第一次的基础上减少了副，总花费1100元，求的值． 【答案】(1)一张福字进价为元，一副对联的进价为元； (2)的值为2． 【详解】（1）解：设一张福字进价为元，一副对联的进价为元， 解得， 经检验是方程的解且符合题意， ∴ 答：一张福字进价为元，一副对联的进价为元； （2）第一次购进福字（张）， 第一次购进对联（副）， 根据题意可得， 解得（不合题意，舍去） 答：的值为2． 2．（大足中学2024-2025学年九年级下学期开学考试）某学校食堂不定期采购某调味加工厂生产的“0添加”有机生态酱油和生态食醋两种食材． (1)该学校花费1720元一次性购买了酱油、食醋共100瓶，已知酱油和食醋的单价分别是18元、16元，求学校购买了酱油和食醋各多少瓶？ (2)由于学校食材的消耗量下降和加工厂调味品的价格波动，现该学校分别花费900元、600元一次性购买酱油和食醋两种调味品，已知购买酱油的数量是食醋数量的倍，每瓶食醋比每瓶酱油的价格少3元，求学校购买食醋多少瓶？ 【答案】(1)学校购买了酱油60瓶，食醋40瓶 (2)学校购买食醋40瓶 【详解】（1）解：设学校购买了酱油x瓶，食醋y瓶， 由题意得： 解得：， 答：学校购买了酱油60瓶，食醋40瓶． （2）解：设学校购买食醋m瓶，则购买酱油瓶， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：学校购买食醋40瓶． 3．（重庆市第八中学校2024-2025学年九年级下学期开学考试）某班级为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同． (1)求购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？ (2)若该班级计划购买甲、乙两种奖品共60件，且购买的总费用不超过1440元，则甲种奖品最多能购买多少件？ 【答案】(1)购买1件甲种奖品需35元，1件乙种奖品需20元 (2)甲种奖品最多能购买16件 【详解】（1）解：假设购买一件乙种奖品需元，则由题意得： ， 解得：． 经检验：是原方程的解且符合题意； ∴ ， 即一件甲种奖品需元，一件乙种奖品需元． 答：购买件甲种奖品需元，件乙种奖品需元． （2）解：设甲种奖品最多能购买件， 由题意得： ， 解得：． 答：甲种奖品最多能购买件． 4．（重庆市巴蜀中学2024-2025学年九年级下学期开学考试）除夕当天，小渝购入了、两款电子泡泡机．购买款花费800元，购买款花费400元，其中款的数量恰好是款的，每个款的价格比每个款的价格低4元． (1)请问款泡泡机的与款泡泡机的单价分别是多少元？ (2)元宵节当天，小渝决定再次购入一批电子泡泡机，其中购买款的数量与第一次相同，购买款的数量比第一次的购入量多个．此时、款两泡泡机均涨价，每个款的价格比第一次的价格高元，每个款的价格比第一次的价格高元，最终第二次购买、两款泡泡机的总费用只比第一次购买、两款泡泡机的总费用多元，求的值． 【答案】(1)A款泡泡机的单价是元，B款泡泡机的单价是元； (2)的值为． 【详解】（1）解：设A款泡泡机的单价是x元，则B款泡泡机的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解， ∴（元）． 答：A款泡泡机的单价是元，B款泡泡机的单价是元； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：不符合题意，舍去），． 答：的值为． 5.（24-25九年级上·重庆渝北·期末）重庆中央公园片区“提档升级绿化项目”计划种植A，B两种不同品种的特色树苗各1500棵，用于美化城市环境．据预算，两种树苗的购买总价为90万元．已知A种树苗每棵的价格比种树苗每棵的价格贵40元． (1)求两种树苗每棵的价格分别是多少元． (2)现将所买的树苗全部种完，考虑到重庆的地形和气候，种植团队发现种树苗在山地的种植速度是平坝种植速度的两倍，而B种树苗在两种地形的种植速度都是每天150棵．若计划在山地上种植600棵A种树苗，其余在平坝上种植，且种植完所有种树苗所需的总时间比种植完所有种树苗所需的总时间多2天，则在山地上，种植团队每天能种植多少棵种树苗？ 【答案】(1)A种树苗每棵的价格为元，种树苗每棵的价格为元 (2)在山地上，种植团队每天能种植棵种树苗 【详解】（1）解：设种树苗每棵的价格为元，则A种树苗每棵的价格为元， 根据题意可得：， 整理得，， 解得， 则元， 答：A种树苗每棵的价格为元，种树苗每棵的价格为元． （2）解：设在山地上，种植团队每天能种植棵种树苗， 根据题意得：， 整理得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， 答：在山地上，种植团队每天能种植棵种树苗． 【题型4 应用题一元二次方程】 考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系（2）正确列出一元二次方程．一元二次方程一般有多个解，还需根据题目要求，考虑是否需要舍去部分解。 1．（24-25九年级上·重庆大渡口·期末）某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具售价应定为多少元? 【答案】(1) (2)2元 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． （2）解：设这种台灯每个降价y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：该这种台灯应降价2元． 2．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）某水果基地种植了大量的脐橙，10月份是脐橙成熟的高峰期，该月脐橙产量达到了50吨，此后每个月脐橙的产量逐渐减少，到12月份时，脐橙的产量为32吨． (1)求该基地11，12两个月脐橙的平均减少率是多少？ (2)10月份，一水果批发商从该基地以4元的价格购进了脐橙，目前脐橙的市场零售价是5元．如果将这批脐橙放在冷库中冷藏起来，每个星期需要支付400元的冷藏费用，且每个星期脐橙会自然损坏，但是每个星期脐橙的市场零售价会上涨1元，若这批脐橙从冷库中提取出来后能一次性卖完，为了尽快清空库存，求这批脐橙冷藏几个星期后出售可以获得利润6960元？ 【答案】(1) (2)4个 【详解】（1）解：设该基地11，12两个月脐橙的平均减少率是x，由题意可得∶ ． 解得：，（舍去）． 答：该基地11月，12月平均月减少率为． （2）解：设存放a个星期后出售，由题意可得： ． 解方程，得，（舍去）． 答：存放4个星期后出售能获得6960元的利润． 3．（24-25九年级上·重庆江北·期末）开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． (1)求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价； (2)商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10％．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？ 【答案】(1)商家购进每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元； (2)每个套尺的售价为11元． 【详解】（1）解：设商家购进每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的进价是元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ∴． 答：商家购进每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元． （2）解：设每个圆规的售价为m元， 由题意得：， 整理得：，解得：或， ∵降价幅度不超过， ∴，解得：， ∴． 答：每个套尺的售价为11元． 4．（四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期1月）为做好消毒工作，某学校购入了一批洗手液与消毒液．购买洗手液花费800元，购买消毒液花费400元，购买的消毒液瓶数恰好是洗手液瓶数的，每瓶消毒液的价格比每瓶洗手液的价格低4元． (1)求一瓶洗手液的价格与一瓶消毒液的价格分别是多少元？ (2)学校决定再次购入一批同样品牌的洗手液与消毒液，购买洗手液的数量与第一次相同，购买消毒液的瓶数比第一次的购入量多瓶，此时洗手液与消毒液双双涨价，每瓶洗手液的价格比第一次的价格高元，每瓶消毒液的价格比第一次的价格高元，最终第二次购买洗手液与消毒液的总费用只比第一次购买洗手液与消毒液的总费用多元，求的值． 【答案】(1)一瓶洗手液的价格为20元，一瓶消毒液的价格是16元 (2)的值为12 【详解】（1）解：设一瓶洗手液的价格为元，则一瓶消毒液的价格是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程得解， ∴一瓶消毒液的价格是元， ∴一瓶洗手液的价格为20元，则一瓶消毒液的价格是16元． （2）解：根据题意得：第二次购买洗手液的数量为瓶，第二次购买消毒液的数量为瓶， 每瓶洗手液的价格为元，每瓶消毒液的价格为元， 根据题意可列等式：， 解得，（不符合题意舍去）， ∴的值为12． 5．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）我区某种植基地种植的葡萄颗粒饱满味道甘甜，深得人们喜爱．种植基地2022年开始种植葡萄150亩，到2024年葡萄的种植面积达到亩． (1)求该基地这两年葡萄种植面积的平均年增长率； (2)市场调查发现，当葡萄的售价为14元/千克时，每天能售出300千克，售价每千克降价1元，每天可多售出60千克．为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地葡萄的平均成本价为6元/千克，若每天获利2520元，则售价应为多少元？ 【答案】(1)该基地这两年葡萄种植面积的平均增长率为 (2)售价应为12元 【详解】（1）解：设该基地这两年葡萄种植面积的平均年增长率x， 根据题意，得， 解得：或（舍去）， ， 答：该基地这两年葡萄种植面积的平均增长率为； （2）解：设售价应降低y元，则每天可售出千克， ∵当葡萄的售价为14元/千克时，每天能售出300千克，售价每降价1元，每天可多售出60千克， ， 整理，得：，解得：或， ∵要尽量减少库存， ∴（元）， 答：售价应为12元． 【题型5 应用题一元一次方程、二元一次方程组和不等式（组）】 考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据相等关系和不等式关系建立方程和不等式组． 1.（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期1月）甲、乙两人计划周末到诗橙奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长，乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长，已知高铁的平均速度为顺风车的1.5倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时． (1)求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度； (2)甲、乙商议在各自去奉节的途中拍摄精美照片．由于高铁速度快，乙每小时可拍到的精美照片比甲每小时可拍到的2倍还多4张，最后要使甲、乙拍到的精美照片总和不少于115张，请问甲每小时至少要拍多少张精美照片？ 【答案】(1)甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时 (2)甲每小时至少要拍7张精美照片 【详解】（1）解：设乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时，则甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，根据题意得， ， 解得，， 经检验，则原方程的根， ∴（千米/时）， 答：甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时； （2）解：（时），（时）， 设甲每小时至少要拍张精美照片，则乙每小时拍张精美照片，根据题意得， ， 解得，， 答：甲每小时至少要拍7张精美照片． 2．（重庆市第一中学校2024-2025学年九年级上学期数学半期）在“双十一”活动中，某淘宝店家上架300个商品和240个商品进行销售，已知购买2个商品和3个商品共需900元，购买1个商品和2个商品共需550元． (1)求商品和商品的售价分别是多少元？ (2)在商品售出总数量的，商品售出总数量的时，为了尽快回笼资金，店主决定对剩余的商品每个打折销售，对剩余的商品每个降价元销售，很快全部售完，若要保证销售总额不低于87600元，求的最小值． 【答案】(1)商品的售价是150元，商品的售价是200元 (2)8 【详解】（1）解：设商品的售价是元，商品的售价是元     解得         答：商品的售价是150元，商品的售价是200元． （2）由题意可得：     解得：      答：的最小值是8． 3．（重庆市第八中学校2024-2025学年上学期九年级开学）近日，无人驾驶网约车“萝卜快跑”已获准在重庆进行服务测试．为了推进项目进行，现需在某站点引入甲、乙两种无人驾驶车．已知购进2辆甲车和1辆乙车共需42万元； 购进1辆甲车和3辆乙车共需51万元 ． (1)求购进1辆甲车和1辆乙车各需多少万元； (2)若该站点购进乙车数比甲车数的2倍少3辆，且购进甲、乙两种车总资金不超过 198万元，求最多可以购进甲车多少辆？ 【答案】(1)购进1辆甲车需要15万元，购进1辆乙车需要12万元 (2)最多可以购进甲车6辆． 【详解】（1）解：设购进1辆甲车需要x万元，购进1辆乙车需要y万元， 由题意得，， 解得， 答：购进1辆甲车需要15万元，购进1辆乙车需要12万元； （2）解：设购进甲车m辆，则购进乙车辆， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为6， 答：最多可以购进甲车6辆． 4．（第八中学校2023-2024学年九年级下学期二模）重庆江滩公园夜景引来众多游客观赏，拍照留念．小渝计划网购A、B两种类型的拍立得相纸前往公园摆摊拍照，已知购进1盒A型号和2盒B型号相纸共需161元，购进2盒A型号和3盒B型号相纸共需264元． (1)求购进A型号相纸和B型号相纸每盒的单价分别是多少元？ (2)若小渝计划购进A，B两种型号的相纸共50盒，每盒均包含10张相纸．并将A，B两种型号的相纸分别以8元/张，10元/张拍照售出，为了保证全部售完后的总利润不低于1890元，最多购进A型号的相纸多少盒？ 【答案】(1)购进A型号相纸每盒的单价是元，购进B型号相纸每盒的单价是元 (2)最多购进A型号的相纸30盒 【详解】（1）设购进A型号相纸每盒的单价是元，购进B型号相纸每盒的单价是元，根据题意，得 解得： 答：购进A型号相纸每盒的单价是元，购进B型号相纸每盒的单价是元． （2）设购进A型号的相纸盒，则购进B型号相纸盒，根据题意，得 解得： 答：最多购进A型号的相纸30盒． 5．（第八中学2023-2024学年九年级上学期数学期末模拟）七年级某班计划购买两款笔记本作为期中奖品．若购买3本款的笔记本和1本款的笔记本需用22元；若购买2本款的笔记本和3本款的笔记本需用24元． (1)每本款的笔记本和每本款的笔记本各多少元； (2)该班决定购买以上两款的笔记本共40本，总费用不超过210元，那么该班最多可以购买多少本款的笔记本？ 【答案】(1)每本款的笔记本为6元，每本款的笔记本为4元 (2)25本 【详解】（1）解：设每本款的笔记本为元，每本款的笔记本为元， 由题意得：， 解得：， 答：每本款的笔记本为6元，每本款的笔记本为4元； （2）解：设该班购买本款的笔记本，则购买本款的笔记本， 由题意得：， 解得：， 答：该班最多可以购买25本款的笔记本． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．七件甲商品和八件乙商品共重48千克，甲商品比乙商品重，互换其中一件，恰好一样重，设每件甲商品重千克，每件乙商品重千克，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设每件甲商品重千克，每件乙商品重千克，根据七件甲商品和八件乙商品共重48千克可得方程，根据互换其中一件，恰好一样重可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 2．《孙子算经》中有一道题，大意为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，辆车，可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； 设共有人，辆车，根据“每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”即可得到关于、二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设共有人，辆车， 根据每4人共乘一车，最终剩余1辆车，可列等式， 根据每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，可列等式， 故选：C； 3．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组即可． 【详解】解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组得： ， 故选：A． 4．据报道，某人工智能科技公司年的年利润为万元，由于其在技术研发和市场拓展方面的持续投入，该公司的年利润逐年增长，到年的年利润预计将达到万元，设该公司这两年年利润的平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该公司这两年年利润的平均增长率为，由题意得，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该公司这两年年利润的平均增长率为， 由题意得：， 故选：A． 5．2024年12月8日，在四川成都举行的国际乒联混合团体世界杯比赛中中国队卫冕冠军．本次比赛一共有支队伍参赛，在第一轮的比赛中组委会把支队伍平均分成4组，每组内以循环赛的形式展开角逐，即组内的x个队相互之间都要安排一场比赛，第一轮一共安排了24场比赛，则x满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键． 根据题意，每组有支队伍，每支队伍都要与其余的支队伍进行比赛，组内的x个队相互之间都要安排一场比赛，由此列式即可求解． 【详解】解：第一轮的比赛中组委会把支队伍平均分成4组， ∴每组有支队伍， ∴每支队伍都要与其余的支队伍进行比赛， ∵组内的x个队相互之间都要安排一场比赛， ∴， 故选：B ． 二、填空题 6．在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少．2022年上学期每天作业平均时长为100分钟，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天作业时长为64分钟．已知2022年下学期和2023年上学期平均每天作业时长的下降率相同，则下降率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据2022年上学期每天作业平均时长为分钟，经过两学期降低后到了平均每天作业时长为64分钟，即可得出关于一元二次方程，即可得出． 【详解】解∶ 依题意得：， 解得，（舍去） ∴下降率为为 故答案为：． 7．某工业园区今年六月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位2500个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得， ， 故答案为：． 8．某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到1056个红包，设群内共有x个人．根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】设该群一共有x人，则每人收到个红包，根据群内所有人共收到1056个红包，即可得出关于x的一元二次方程． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到个红包， 依题意，得：， 故答案为：． 9．“双11”期间，某水果店近两天苹果的销售额逐渐增加．第一天苹果的销售额为100元，第三天苹果的销售额为144元．该水果店近两天苹果销售额的天平均增长率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键．根据题意列出一元二次方程解方程即可． 【详解】解：设该快递店揽件的日平均增长率为x， 由题意得，， 解得：（舍去）， 故该水果店近两天苹果销售额的天平均增长率为． 故答案为：． 10．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），每个组共安排场比赛．设每个组邀请个球队参加比赛，则可列方程得为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，利用每组安排比赛的场数每组邀请球队数（每组邀请球队数），即可列出关于的一元二次方程，进而得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 三、解答题 11．今年春节期间开州区紫水豆干凭借过硬的质量、优质的口碑大火，豆干店的王老板用2500元购进一批紫水豆干，很快售完；王老板又用4400元购进第二批紫水豆干，所购数量是第一批的2倍，由于进货量增加，进价比第一批每千克少了3元． (1)第一批紫水豆干每千克进价多少元？ (2)王老板在销售第二批紫水豆干时，售价在第二批进价的基础上增加了，售出160千克后，为了尽快售完，决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价元进行促销，结果第二批紫水豆干的销售利润为1520元，求的值． 【答案】(1)25元 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设第一批紫水豆干每千克进价元，根据用2500元购进一批紫水豆干，用4400元购进第二批紫水豆干，所购数量是第一批的2倍，进价比第一批每千克少了3元，然后列式，即可作答． （2）因为售价在第二批进价的基础上增加了，售出160千克后，第二批进价的基础上每千克降价元进行促销，第二批紫水豆干的销售利润为1520元，进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设第一批紫水豆干每千克进价元， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， 答：第一批紫水豆干每千克25元； （2）解：（元），（千克） 依题意，， 解得． 12．“路通百业兴，道顺民心畅”，甲、乙两个工程队负责修建某段道路．已知甲工程队每天比乙工程队多修1千米，如果甲工程队修2千米所用的天数是乙工程队修3千米所用天数的一半． (1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ (2)现计划再修建长度为20千米的公路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为36万元，乙队每天所需费用为45万元，求在总费用不超过180万元的情况下，至少安排甲工程队施工多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天修，乙工程队每天修 (2)天 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设乙工程队每天修，则甲工程队每天修，根据题意列出分式方程计算并检验即可； （2）设安排甲工程队施工天，则乙施工天，根据题意列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天修，则甲工程队每天修， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队每天修，乙工程队每天修； （2）解：设安排甲工程队施工天，则乙施工天， 由题意得：， 解得， 的最小值为， 答：至少安排甲工程队施工天． 13．某工厂用A，B两种机器人搬运化工原料共，且A种机器人搬运的化工原料总量比B种机器人搬运的化工原料总量的2倍少． (1)A，B两种机器人各搬运化工原料多少千克？ (2)若A种机器人每小时搬运的化工原料是B种机器人的1.5倍，结果A种机器人完成搬运任务的时间比B种机器人多用了2小时，则两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】(1)A，B两种机器人分别搬运900千克和500千克化工原料 (2)A，B两种机器人每小时分别搬运75千克和50千克化工原料 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用． （1）设B种机器人需搬运x千克化工原料，根据用A，B两种机器人搬运化工原料共列方程求解即可； （2）设B种机器人每小时搬运m千克化工原料，根据A种机器人完成搬运任务的时间比B种机器人多用了2小时列方程求解即可． 【详解】（1）解：设B种机器人需搬运x千克化工原料，则A种机器人需搬运千克化工原料； 由题意得：， 解得：， ∴． 答：A，B两种机器人分别搬运900千克和500千克化工原料． （2）解：设B种机器人每小时搬运m千克化工原料，则A种机器人每小时搬运千克； 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． ∴． 答：A，B两种机器人每小时分别搬运75千克和50千克化工原料． 14．2024年12月8日，东方爱情马拉松在重庆市江津区盛大举行，吸引了来自世界各地的万名马拉松运动员和爱好者积极参与，小李和小杨也在其中．比赛伊始，小李的速度比小杨每分钟慢75米，当小李跑至1000米处时，小杨已抵达1600米处．（全程两人各阶段均保持匀速运动） (1)求小李和小杨最初的速度分别是多少？ (2)两人同向行进，小李跑完1000米后，开始发力，速度提升了．同时，小杨因战术调整，放慢了速度，变速30分钟后两人相遇．求小杨的速度每分钟下降了多少米？ 【答案】(1)小李最初的速度是125米/分钟，小杨最初的速度是200米/分钟 (2)小杨的速度每分钟下降了45米 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设小李最初的速度是x米/分钟，则小杨最初的速度是米/分钟，利用时间=路程÷速度，结合“当小李跑至1000米处时，小杨已抵达1600米处”，列出关于x的分式方程求解即可； （2）设小杨的速度每分钟下降了y米，利用路程=速度×时间，结合变速30分钟后小李比小杨多跑米，列出关于y的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设小李最初的速度是x米/分钟，则小杨最初的速度是米/分钟， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（米/分钟）． 答：小李最初的速度是125米/分钟，小杨最初的速度是200米/分钟； （2）解：设小杨的速度每分钟下降了y米， 根据题意得：， 解得：． 答：小杨的速度每分钟下降了45米． 15．新年将至，某超市为开展新年大促活动准备购进、两种类型的新年大礼包，已知每件型大礼包比每件型大礼包的进价多元，且用元购进的型大礼包数量是用元购进的型大礼包数量的． (1)，两种型号的大礼包进价分别为多少元？ (2)该超市分别以元和元的单价销售、两种型号的大礼包，在型大礼包售出，型大礼包售出一半后，超市决定加大销售力度，对型大礼包每件降价销售，型大礼包在每件加价元后，再按买件型大礼包送件型大礼包进行捆绑销售（即每件捆绑在一起销售，只付件的费用），若两种型号的大礼包全部售完后，该超市的总利润不低于元，求的最大值． 【答案】(1)型大礼包的进价为元，型大礼包的进价为元 (2) 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用， （1）设型大礼包的进价为元，则型大礼包的进价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设型大礼包购进件，型大礼包购进件，根据题意求出与的值，再列出不等式，解不等式即可求解； 正确理解题意并列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设型大礼包的进价为元，则型大礼包的进价为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， ∴型大礼包的进价为元，型大礼包的进价为元； （2）设型大礼包购进件，型大礼包购进件， 由（1）知：型大礼包的进价为元，型大礼包的进价为元， ∴，， ∴，，， 依题意，得：， 解得：， ∴的最大值为． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$