热点01 数与式（11大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点•重点•难点】专练（广东专用）

热点01 数与式 中考数学中数与式部分主要考向分为四类： 一、实数与特殊角的三角函数值（每年2~4道，9~16分） 二、整式与因式分解（每年2~4道，7~10分） 三、分式（每年1~3题，3~13分） 四、二次根式（每年1~3题，3~12分） 在数学中考中，数与式部分主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及其运算；而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察占了大多数，但是试题难度设置的并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别计算类简单解答题的形式出现；但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。 考向一：实数及其运算 【题型1 实数内的基本概念】 实数内的基本概念包括：数轴、相反数、绝对值、倒数、有理数、无理数、科学记数法； 做这种概念类题目时记牢以下4点：①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；②必须读对题意，问的是什么就想对应的考点；③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选项；④做到数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论。 1．（2025·广东深圳·三模）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：的相反数是， 故选：． 2．（2024·广东东莞·一模）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据一个负数的绝对值是它的相反数作答即可． 【详解】解：的绝对值是； 故选：A． 3．（2025·广东佛山·一模）刘徽在《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”若将珠江的水位下降4米记作“米”，则“米”表示珠江的水位（   ） A．下降3米 B．上升4米 C．上升3米 D．下降4米 【答案】C 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题考查了具有相反意义的量，理解相反数的意义是解题的关键．根据具有相反意义的量求解即可． 【详解】解：∵珠江的水位下降4米记作“米”， ∴米表示上升3米，故C正确． 故选：C． 4．（2024·广东广州·一模）如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ．    【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用二次根式的性质化简、化简绝对值 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值；根据数轴可得，进而根据绝对值的意义，二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴， 故答案为：． 5．（2024·广东惠州·模拟预测）某仓库运进小麦6吨，记为 吨，那么仓库运出小麦8吨应记为 吨． 【答案】 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数．根据互为相反意义的量，确定运出的符号是解决本题的关键．根据正负数的意义，直接写出答案即可． 【详解】解：仓库运进小麦6吨，记为吨，那么仓库运出小麦8吨应记为吨， 故答案为：． 6．（2023·广东·模拟预测）在数轴上，如果a点在数轴原点的右侧，那么a是一个 （填“正”或“负”）数． 【答案】正 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】此题考查了数轴，弄清数轴的特点是解本题的关键．根据数轴上点的位置特征判断即可． 【详解】解：数轴上，如果表示数a的点在原点的右侧，那么a是正数， 故答案为：正． 【题型2 实数的比较大小】 实数比较大小的常见方法：①法则法：正数＞0＞负数；②数轴法：数轴上的数，右边的总比左边的大；③绝对值法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；④平方法：两个正数比较大小，谁的平方大，谁本身就大，两个负数比较大小，谁的平方大，谁本身反而小； 注意：个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较 1．（2024·广东·模拟预测）比较大小： .（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算、求一个数的平方根 【分析】本题考查实数的大小比较，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．先比较与的大小，再根据两个负数的大小比较法则解题即可． 【详解】解：， ∵， 故答案为：． 2．（2024·广东惠州·一模）设n为正整数，若，则n的值为 ． 【答案】2 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵n为正整数，且， ∴， 故答案为：2． 3．比较大小：4 （填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查实数的大小比较，比较容易，由可得，从而即可得解． 【详解】解：∵, ∴， 故答案为：． 4．比较大小： 4（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】被开方数越大，则这个实数越大，据此即可作答． 【详解】∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，属于基础题，细心计算是解答本题的关键． 【题型3 实数的运算】 实数的运算是实数内各种概念法则运算的结合，一般以简答题为主，个别会出填空题，这也就决定了实数的运算需要我们注意的三个方面： ①实数的运算必须熟悉的几个法则：零指数幂运算、负指数幂运算、绝对值的化简、根式的化简计算、特殊角的三角函数值计算等； ②实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的； ③实数的运算，先确定化简的正负，再进行合并计算。 1．（2024·广东东莞·模拟预测）计算： 【答案】1 【知识点】实数的混合运算、零指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算零指数幂，绝对值和算术平方根，再计算加减即可． 【详解】解：原式， 故答案为：1． 2．（2024·广东东莞·一模）计算： ． 【答案】2 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂和零指数幂，先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算立方根，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（2025·广东阳江·模拟预测）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、化简绝对值 【分析】本题考查实数的混合运算，根据零指数幂、有理数的乘方，以及化简绝对值，求解即可． 【详解】解： 4．（2025·广东·模拟预测）计算：． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、特殊三角形的三角函数、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整指数幂以及二次根式的化简即可解答本题. 【详解】原式 ． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：． 【答案】 【知识点】零指数幂、实数的混合运算、化简绝对值 【分析】本题考查了实数的混合运算，绝对值的计算，零指数幂的计算，根据绝对值的意义，零指数幂的运算，先计算各项，再计算即可． 【详解】解： ． 6．（2024·广东·模拟预测）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数，负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键； 根据零指数，负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行化简即可求解． 【详解】解： 7．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 考向二：整式与因式分解 【题型4 代数式求值】 代数式求值类问题解题步骤：①根据已知条件转化含字母的整体部分的值；②转化待求式，得上一步整体表达式的倍数的表达式；③将整体部分的值代入计算。 1．（2024·广东深圳·模拟预测）设a与b互为相反数，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】相反数的应用、已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题考查了相反数的性质，因式分解的应用，代数式求值，灵活运用所学知识是关键． 根据互为相反数的和为0，可得；将其整体代入求值即可． 【详解】解：∵a与b互为相反数， ∴． ∴． 故答案为：0． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知 ，，求的值为 ． 【答案】6 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】此题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握提公因式法分解因式是解本题的关键． 将分银因式化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：6． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）直线 经过点，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入一次函数解析式中，求出的值，即可求出结果． 【详解】解：将点代入， 得到：， 即：， 两边乘2得：， ∴． 故答案为：． 4．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 【答案】11 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键． 由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：11． 5．（2024·广东惠州·模拟预测）如果关于x 的一元二次方程的一个解是，则 ． 【答案】2023 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立． 把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个解是， ， 即， ． 【题型5 整式的计算与化简求值】 完全拿下这部分分数，首先需要我们完全熟悉整式中的所有计算公式，特别是完全平方公式与平方差公式，变形也得掌握；其次要掌握整式的混合运算的顺序；最后，整式的化简求值，必须先化简，再带入数据求值。 1、常见必会计算公式：①am•an＝a m+n（m，n是正整数） ②（am）n＝amn（m，n是正整数） ③（ab）n＝anbn（n是正整数） ④am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ⑤（a±b）2＝a2±2ab+b2⑥（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 2、完全平方公式的常见变形： 3、其他技巧：整式的化简计算，其实就是去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以两个法则的注意事项也是整式化简的注意事项。 1．（2023·广东湛江·模拟预测）先化简再求值：，其中，． 【答案】，34 【知识点】整式的加减中的化简求值、计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握单项式乘多项式法则、完全平方公式等是解本题的关键．原式去括号合并得到最简结果，再把，的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 2．（2024·广东惠州·三模）先化简再求值：，其中． 【答案】，0 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式等知识．熟练掌握整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式是解题的关键． 利用完全平方公式，平方差公式计算，然后合并同类项可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 将代入得，原式． 3．（2024·广东东莞·二模）化简求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据完全平方公式、多项式除以单项式去括号，再合并同类项即可化简，代入计算即可得出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（2024·广东湛江·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解； ， 当时，原式． 5．（2024·广东广州·二模）已知 (1)化简T； (2)若a满足，求T的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的运算，代数式求值： （1）根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则，进行计算，再合并同类项即可； （2）根据，求出的值，代入（1）中的结果，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， ∵， ∴当时，． 6．（2024·广东·模拟预测）已知 (1)化简P； (2)若某圆锥的底面半径为a，母线长为b，且侧面积为，求P 的值． 【答案】(1) (2)4 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、求圆锥侧面积 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，圆锥侧面积公式， （1）根据完全平方公式和平方差公式展开计算合并即可； （2）根据圆锥侧面积公式即可求出，即可得出答案． 【详解】（1） ； （2）根据题意，得 ， 解得， ∴． 【题型6 整式的规律探究问题】 1．规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 2．规律型：图形的变化类 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 1．（2024·广东清远·模拟预测）如图，将连续的偶数2，4，6，8，…．．排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，思考：若将十字框上下左右移动，则框内五个数之和可能是（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2030 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了规律型中数字的变化，根据十字框中5个数的特点找出十字框中的五个数的和是中间数的5倍是解题的关键． 设中间的数为x，则五个数的和，根据选项判断即可得出结论； 【详解】解：由题意可知：若中间数为，另外四个数分别为、、、， ∴十字框中五个数的和是． ∵为偶数， ，，，， 故选：D． 2．（2024·广东汕头·一模）观察一组数：它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 观察已知一组数发现：分子为从1开始的连续奇数，分母为连续正整数的平方加上1，写出第个数即可． 【详解】解：根据题意得： 这一组数的第个数是， 故答案为：． 3．（2024·广东惠州·模拟预测）谢尔宾斯基三角形是一种具有非凡美学和分形特性的数学图形，它在几何、数学和计算机图形学等领域都有广泛应用．如图1叫做谢尔宾斯基地毯，是这样制作出来的：把一个正三角形分为全等的4小正三角形，挖去中间的一个小三角形：对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法……如2图是谢尔宾斯基三角形的一部分，已知，则为 ． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题重视与国家大政方针及中华优良传统文化相结合，比如关于经济生活、文化与数学建模、数据分析结合起来，源于教材，科技、生态等问题且综合考查学生的几何直观、抽象能力和运算能力．本题涉及等边三角形的性质、勾股定理，根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， 根据题意，，，，， 在中，， 在中，， 故答案为：． 4．（2024·广东·三模）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数＋烷”来表示，当碳原子数为时，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构式如图所示，依此规律，己烷的化学式为 ． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现分子结构式中“C”的个数，“H”的个数的变化规律． 根据题目中的图形，可以发现分子结构式中“C”的个数，“H”的个数的变化规律，即可得出己烷的化学式． 【详解】解：由题图可得， 第一个甲烷分子结构式中“C”的个数是1，“H”的个数是； 第二个乙烷分子结构式中“C”的个数是2，“H”的个数是； 第三个丙烷分子结构式中“C”的个数是3，“H”的个数是； …， 第n个分子结构式中“C”的个数是n，“H”的个数是； ∴第6个己烷分子结构式中“C”的个数是6，“H”的个数是， ∴己烷的化学式为． 故答案为：． 【题型7 因式分解】 1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式 分解因式的一般方法：1. 提公共因式法2. 运用公式法3.十字相乘法 分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)十字相乘法可对二次三项式试一试； (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 1．（2025·广东深圳·一模）因式分解： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（2025·广东深圳·三模）因式分解：_______． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了提公因式法及公式法因式分解，先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2024·广东·模拟预测）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则，根据提公因式法和平方差公式进行因式分解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（2024·广东揭阳·三模）分解因式：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式与公式法综合因式分解，先提取公因式再根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 5．（2024·广东清远·模拟预测）已知，代数式，． (1)因式分解A； (2)化简分式． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】提公因式法分解因式、分式化简求值 【分析】此题考查了因式分解和分式的化简，熟练掌握提公因式法和分式的基本性质是解题的关键． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）把分子和分母因式分解后约分即可． 【详解】（1）解： （2）                                   ． 6．（2024·广东广州·二模）已知多项式①，②，③． (1)把这三个多项式因式分解； (2)请选择下列其中一个等式（A或B），求与的关系． A．；B．； 【答案】(1)①．②，③ (2)见详解 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）分别根据提公因式法和公式法进行因式分解即可； （2）由题意列得对应的等式，然后变形后进行因式分解，再结合等式成立进行判断即可． 【详解】（1）解：①． ②， ③； （2）， ， 即． 因式分解得：， 或 解得：或； ， 即 因式分解得：， 或 解得：或． 考向三：分式及其运算 【题型08 分式有意义与分式的值为零】 1.分式的意义 1．（2024·广东东莞·模拟预测）若分式 有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义，分母不等于零，据此来求x的取值范围． 【详解】当分母，即时，分式有意义； 故选：C． 2．（2025·广东·模拟预测）函数中自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件可得，且，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意可得，，且， ∴． 故选：A． 3．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，解题的关键是熟悉分式的概念：形如其中B中含有字母且，这样的式子叫做分式，根据分式的值为0，则分母不为0，分子为0进行计算即可． 【详解】解：∵ 且， 解得且， ∴x的值为 故选：B． 4．（22-23八年级上·福建厦门·阶段练习）若分式的值为零，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为的条件，分式的值为的条件是分子为且分母不为． 先根据分式的值为的条件，列出关于的不等式组，求出的值即可． 【详解】解：∵分式的值为， ， 解得， 故选：C． 5．（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为0的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为0可得，求出a，b的值，再把a，b的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， 解得：， 当时，分式的值为0， 即， 解得：， ∴， 故选：D． 【题型09 分式的计算与化简求值】 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 1．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【知识点】分式化简求值、分母有理化 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【知识点】分式化简求值、分母有理化 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 当 时， 3．（2025·广东深圳·一模）先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】， 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的化简求值，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出只能为0，代入计算即可得解． 【详解】解：原式 因为，， 所以，， 所以只能为0， 当时，原式． 4．（2024·广东广州·一模）已知．化简；若点是抛物线上的一点，求的值． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性质是解题的关键．先计算括号内的加法，再计算除法即可化简A；再把点代入得到，则，整体代入化简的A中计算即可． 【详解】解： ； ∵点是抛物线上的一点， ∴ ∴ ∴． 5．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值： 其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解： 原式 …… 乙同学 ¹ 解： 原式 …… (1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②，③ (2)， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值； （1）根据分式的基本性质，以及乘法分配律，即可解答； （2）若选择甲同学的解法，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法，利用乘法分配律进行计算，即可解答，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②；③； （2）若选择甲同学的解法， 原式 ； 若选择乙同学的解法， 原式 ； 当时，原式． 6．（2024·广东广州·模拟预测）已知，其中． (1)化简并选择其中符合条件的一个整数作为的值代入求出的值； (2)请绘制在平面直角坐标系中的图像，并直接判断是否经过第二象限． 【答案】(1)，当时， (2)画图见详解；是 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、根据一次函数解析式判断其经过的象限、画一次函数图象 【分析】本题考查了分式的化简求值，画一次函数的图象以及一次函数的性质，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法和一次函数的性质． （1）根据分式加减法和乘法化简，再根据分式有意义和选值代入求解即可； （2）画出一次函数图象，根据图象判断即可 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，； （2）解：令，则，令，则，令，则，令，则， 令，则，故图象经过和， ∵且， ∴点不在图象上， 故的图象如图： 根据图象可得，的图象经过第二象限． 考向四：二次根式 【题型10 二次根式有意义的条件】 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 3.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 4.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 1．（2024·广东惠州·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集、求自变量的取值范围 【分析】本题考查当函数是二次根式时自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数，再列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：， 故选 A． 2．（2024·广东广州·二模）代数式有意义的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式及分式有意义的条件，可得不等式，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得，， 故选：C． 3．（2024·广东清远·二模）要使代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 4．（2024·广东阳江·二模）若要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的知识点为二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据二次根式被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出m的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且． 故选：B． 5．（2024·广东广州·二模）若代数式有意义，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据分式的分母不为0，被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选C． 【题型11 二次根式的运算】 1．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 2．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 1．（2024·广东韶关·模拟预测）计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题二次根式的加减，先利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可． 【详解】解： ． 2．（2023·广东深圳·三模）计算： 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、实数的混合运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】根据平方、绝对值、算术平方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式， ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（2023·广东阳江·一模）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据二次根式加减乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 一、单选题 1．（2023·广东阳江·一模）下列四个实数中，最小的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数大于0，负数小于0，即可得出结论． 【详解】解：， 最小的是， 故选：C． 2．（2025·广东·模拟预测）下列各数：，，3.14．，2.1717717771…（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可． 【详解】解：3.14，是有理数．，，2.1717717771……（自左向右每两个“1”之间依次多一个“1”）是无理数． 故选：C． 3．（2025·广东广州·一模）《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．在一条东西向的跑道上，小虎先向东走了6米，记作“米”，又向西走了9米，此时他的位置可记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】根据题意得：米． 故选：D． 4．（2025·广东深圳·一模）下列式子运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 5．（2025·广东揭阳·一模）2025年1月8日，山东省政府举办“稳步扩内需促开放，赋能经济高质量发展情况”新闻发布会，会议介绍2024年山东筹集落实资金亿元，集中支持汽车、家电等8个领域消费品以旧换新工作，合计带动销售亿元左右，山东汽车报废更新万辆，居全国首位，家电以旧换新万台．将数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万， 故选：B． 6．（2025·广东佛山·一模）若的整数部分为，小数部分为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】二次根式的混合运算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出、的值．根据的范围，求出的范围，从而确定、的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解： 的整数部分为a，小数部分为b， ， 故选：A． 7．（2025·广东广州·一模）若是的一个根，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值， 根据一元二次方程的解的定义得出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 8．（2024·广东汕头·二模）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练计算是解题的关键，先利用二次根式的性质化简，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（2024·广东东莞·一模）式子成立的条件是 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”，列不等式求解即可． 【详解】解：要使有意义，必须， 解得，， 故答案为：． 10．（12-13八年级上·江苏泰州·期中）比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（2024·广东·模拟预测）若恒有式子，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，列出不等式求解即可． 【详解】解：， ， 解得：， 故答案为：． 12．（2025·广东广州·一模）已知，则的值等于 ． 【答案】8 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根等，根据几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0．求出x，y，再代入计算并求出算术平方根即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：8． 13．（2025·广东·模拟预测）按如图所示的程序计算，当输入的值为时，输出的值为 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂图表运算方法，准确列出算式是解题的关键．根据运算程序，把代入进行计算即可得解． 【详解】解：当输入时，计算的结果为， 当输入时，计算的结果为， 当输入时，计算的结果为， ∴输出结果为． 故答案为：． 14．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 ．（写出一个答案即可） 【答案】2（答案不唯一） 【知识点】算术平方根的实际应用、无理数的大小估算 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算．利用算术平方根的性质求得，，再根据无理数的估算结合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴正方形的边长，即， ∴正方形的边长可以是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 三、解答题 15．（2025·广东深圳·一模）计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、特殊角三角函数值的混合运算、化简绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了含特殊角的三角形函数的混合运算，先化简乘方，立方根，正切值，绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 16．（2024·广东肇庆·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的基本性质和减法法则． 根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ． 当时，原式． 17．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、零指数幂、负整数指数幂、利用二次根式的性质化简 【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． 18．（2024·广东深圳·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）2 【知识点】分式加减乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和分式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解（1）的关键，能正确根据分式的运算法则进行计算是解（2）的关键，注意运算顺序． （1）先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行计算，再算加减即可； （2）先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ＝ ． 19．（2024·广东·模拟预测）（1）计算：． （2）先化简，再求值：从，0，1，2 中选一个合适的数，代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【知识点】分式化简求值、特殊三角形的三角函数、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值，负整数指数幂和零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值，代值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵分式有意义， ∴， ∴且且， ∴当时，原式． 20．（2024·广东·模拟预测）下面是某同学化简分式 的运算过程． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 上面的运算过程中第 步出现错误，请你写出正确的解答过程． 【答案】二，解答过程见解析 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键． 逐一检查每一步，发现错误，根据分式混合运算的法则计算即可． 【详解】第二步出现错误，原因是分子相减时未变号， ． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点01 数与式 中考数学中数与式部分主要考向分为四类： 一、实数与特殊角的三角函数值（每年2~4道，9~16分） 二、整式与因式分解（每年2~4道，7~10分） 三、分式（每年1~3题，3~13分） 四、二次根式（每年1~3题，3~12分） 在数学中考中，数与式部分主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及其运算；而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察占了大多数，但是试题难度设置的并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别计算类简单解答题的形式出现；但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。 考向一：实数及其运算 【题型1 实数内的基本概念】 实数内的基本概念包括：数轴、相反数、绝对值、倒数、有理数、无理数、科学记数法； 做这种概念类题目时记牢以下4点：①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；②必须读对题意，问的是什么就想对应的考点；③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选项；④做到数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论。 1．（2025·广东深圳·三模）的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东东莞·一模）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东佛山·一模）刘徽在《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”若将珠江的水位下降4米记作“米”，则“米”表示珠江的水位（   ） A．下降3米 B．上升4米 C．上升3米 D．下降4米 4．（2024·广东广州·一模）如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ．    5．（2024·广东惠州·模拟预测）某仓库运进小麦6吨，记为 吨，那么仓库运出小麦8吨应记为 吨． 6．（2023·广东·模拟预测）在数轴上，如果a点在数轴原点的右侧，那么a是一个 （填“正”或“负”）数． 【题型2 实数的比较大小】 实数比较大小的常见方法：①法则法：正数＞0＞负数；②数轴法：数轴上的数，右边的总比左边的大；③绝对值法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；④平方法：两个正数比较大小，谁的平方大，谁本身就大，两个负数比较大小，谁的平方大，谁本身反而小； 注意：个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较 1．（2024·广东·模拟预测）比较大小： .（填“”“”或“”） 2．（2024·广东惠州·一模）设n为正整数，若，则n的值为 ． 3．比较大小：4 （填“＞”，“＜”或“＝”）． 4．比较大小： 4（填“”、“”或“”）． 【题型3 实数的运算】 实数的运算是实数内各种概念法则运算的结合，一般以简答题为主，个别会出填空题，这也就决定了实数的运算需要我们注意的三个方面： ①实数的运算必须熟悉的几个法则：零指数幂运算、负指数幂运算、绝对值的化简、根式的化简计算、特殊角的三角函数值计算等； ②实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的； ③实数的运算，先确定化简的正负，再进行合并计算。 1．（2024·广东东莞·模拟预测）计算： 2．（2024·广东东莞·一模）计算： ． 3．（2025·广东阳江·模拟预测）计算：． 4．（2025·广东·模拟预测）计算：． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：． 6．（2024·广东·模拟预测）计算：． 7．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：． 考向二：整式与因式分解 【题型4 代数式求值】 代数式求值类问题解题步骤：①根据已知条件转化含字母的整体部分的值；②转化待求式，得上一步整体表达式的倍数的表达式；③将整体部分的值代入计算。 1．（2024·广东深圳·模拟预测）设a与b互为相反数，则的值为 ． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知 ，，求的值为 ． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）直线 经过点，则的值为 ． 4．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 5．（2024·广东惠州·模拟预测）如果关于x 的一元二次方程的一个解是，则 ． 【题型5 整式的计算与化简求值】 完全拿下这部分分数，首先需要我们完全熟悉整式中的所有计算公式，特别是完全平方公式与平方差公式，变形也得掌握；其次要掌握整式的混合运算的顺序；最后，整式的化简求值，必须先化简，再带入数据求值。 1、常见必会计算公式：①am•an＝a m+n（m，n是正整数） ②（am）n＝amn（m，n是正整数） ③（ab）n＝anbn（n是正整数） ④am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ⑤（a±b）2＝a2±2ab+b2⑥（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 2、完全平方公式的常见变形： 3、其他技巧：整式的化简计算，其实就是去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以两个法则的注意事项也是整式化简的注意事项。 1．（2023·广东湛江·模拟预测）先化简再求值：，其中，． 2．（2024·广东惠州·三模）先化简再求值：，其中． 3．（2024·广东东莞·二模）化简求值：，其中． 4．（2024·广东湛江·二模）先化简，再求值：，其中． 5．（2024·广东广州·二模）已知 (1)化简T； (2)若a满足，求T的值． 6．（2024·广东·模拟预测）已知 (1)化简P； (2)若某圆锥的底面半径为a，母线长为b，且侧面积为，求P 的值． 【题型6 整式的规律探究问题】 1．规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 2．规律型：图形的变化类 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 1．（2024·广东清远·模拟预测）如图，将连续的偶数2，4，6，8，…．．排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，思考：若将十字框上下左右移动，则框内五个数之和可能是（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2030 2．（2024·广东汕头·一模）观察一组数：它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是 ． 3．（2024·广东惠州·模拟预测）谢尔宾斯基三角形是一种具有非凡美学和分形特性的数学图形，它在几何、数学和计算机图形学等领域都有广泛应用．如图1叫做谢尔宾斯基地毯，是这样制作出来的：把一个正三角形分为全等的4小正三角形，挖去中间的一个小三角形：对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法……如2图是谢尔宾斯基三角形的一部分，已知，则为 ． 4．（2024·广东·三模）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数＋烷”来表示，当碳原子数为时，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构式如图所示，依此规律，己烷的化学式为 ． 【题型7 因式分解】 1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式 分解因式的一般方法：1. 提公共因式法2. 运用公式法3.十字相乘法 分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)十字相乘法可对二次三项式试一试； (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 1．（2025·广东深圳·一模）因式分解： 2．（2025·广东深圳·三模）因式分解：_______． 3．（2024·广东·模拟预测）在实数范围内因式分解： ． 4．（2024·广东揭阳·三模）分解因式：． 5．（2024·广东清远·模拟预测）已知，代数式，． (1)因式分解A； (2)化简分式． 6．（2024·广东广州·二模）已知多项式①，②，③． (1)把这三个多项式因式分解； (2)请选择下列其中一个等式（A或B），求与的关系． A．；B．； 考向三：分式及其运算 【题型08 分式有意义与分式的值为零】 1.分式的意义 1．（2024·广东东莞·模拟预测）若分式 有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·模拟预测）函数中自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 4．（22-23八年级上·福建厦门·阶段练习）若分式的值为零，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【题型09 分式的计算与化简求值】 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 1．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值： ，其中． 2．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 3．（2025·广东深圳·一模）先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 4．（2024·广东广州·一模）已知．化简；若点是抛物线上的一点，求的值． 5．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值： 其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解： 原式 …… 乙同学 ¹ 解： 原式 …… (1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 6．（2024·广东广州·模拟预测）已知，其中． (1)化简并选择其中符合条件的一个整数作为的值代入求出的值； (2)请绘制在平面直角坐标系中的图像，并直接判断是否经过第二象限． 考向四：二次根式 【题型10 二次根式有意义的条件】 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 3.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 4.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 1．（2024·广东惠州·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·二模）代数式有意义的条件是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·广东清远·二模）要使代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东阳江·二模）若要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 5．（2024·广东广州·二模）若代数式有意义，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【题型11 二次根式的运算】 1．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 2．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 1．（2024·广东韶关·模拟预测）计算：． 2．（2023·广东深圳·三模）计算： 3．（2023·广东阳江·一模）计算：． 一、单选题 1．（2023·广东阳江·一模）下列四个实数中，最小的是（   ） A．0 B． C． D． 2．（2025·广东·模拟预测）下列各数：，，3.14．，2.1717717771…（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·广东广州·一模）《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．在一条东西向的跑道上，小虎先向东走了6米，记作“米”，又向西走了9米，此时他的位置可记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2025·广东深圳·一模）下列式子运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东揭阳·一模）2025年1月8日，山东省政府举办“稳步扩内需促开放，赋能经济高质量发展情况”新闻发布会，会议介绍2024年山东筹集落实资金亿元，集中支持汽车、家电等8个领域消费品以旧换新工作，合计带动销售亿元左右，山东汽车报废更新万辆，居全国首位，家电以旧换新万台．将数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东佛山·一模）若的整数部分为，小数部分为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 7．（2025·广东广州·一模）若是的一个根，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 8．（2024·广东汕头·二模）计算： ． 9．（2024·广东东莞·一模）式子成立的条件是 10．（12-13八年级上·江苏泰州·期中）比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 11．（2024·广东·模拟预测）若恒有式子，则实数的取值范围是 ． 12．（2025·广东广州·一模）已知，则的值等于 ． 13．（2025·广东·模拟预测）按如图所示的程序计算，当输入的值为时，输出的值为 ． 14．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 ．（写出一个答案即可） 三、解答题 15．（2025·广东深圳·一模）计算：． 16．（2024·广东肇庆·一模）先化简，再求值：，其中． 17．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：． 18．（2024·广东深圳·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 19．（2024·广东·模拟预测）（1）计算：． （2）先化简，再求值：从，0，1，2 中选一个合适的数，代入求值． 20．（2024·广东·模拟预测）下面是某同学化简分式 的运算过程． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 上面的运算过程中第 步出现错误，请你写出正确的解答过程． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$