精品解析：山东省淄博市周村区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

山东省淄博市周村区2024-2025学年八年级上学期1月 期末考试数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C D. 2. 下列各分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 3. 计算，结果正确是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 4. 如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是（　　） A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形 5. 已知四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA=OB=OC=OD，那么这个四边形是（ ） A. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 B. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 C. 既是中心对称图形，又是轴对称图形 D. 既不是中心对称图形，又不是轴对称图形 6. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示： 月用水量（吨） 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的（） A. 方差是1 B. 平均数是 C. 中位数是5 D. 众数是5 7. 已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 9. 如图，在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，已知，，则的长为（ ） A B. C. D. 10. 如图，是正方形的一点，且，已知下列哪条线段的长就可以求的面积（ ） A. B. C. D. 二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分） 11. 使分式有意义的的取值范围是________． 12. 在平行四边形中，若，则的度数为________． 13. 如图，在中，是上的一点，分别是的中点，若，则的长是___________． 14. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D＝70°，则∠ECF的度数是_________． 15. 如图，在中，，点在边上，点在边上，且，点，分别是，的中点，连接，则线段的长为_______． 三、解答题．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤（共90分） 16. 分解因式： （1） （2） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，的顶点坐标分别为． （1）画出关于点成中心对称的； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的． 20. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F． （1）求证：AE＝BC； （2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长． 21. 如图，在中，，的平分线分别交于点E，F，，相交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，矩形顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，点D为对角线的中点，点P是边上一动点，直线交边于点E． （1）求证：四边形平行四边形； （2）若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标； （3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 23. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接． （1）计算的度数； （2）如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省淄博市周村区2024-2025学年八年级上学期1月 期末考试数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据拼成的四个图形是否存在中心对称点，即可判断图形是否为中心对称图形． 【详解】解：依照中心对称图形的特征：若图形存在中心对称点，沿中心对称点旋转180°后可与原图形重合． 选项A图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意； 选项B图形有中心对称点，故是中心对称图形，符合题意； 选项C图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意； 选项D图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形的性质特征，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2. 下列各分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查最简分式定义，化简分式，掌握方法将分式的化简是解题的关键． 分式的分子和分母没有公因式的分式即为最简分式，根据定义解答． 【详解】A、=，故该项不最简分式； B、，故该项不是最简分式； C、=，故该项不是最简分式； D、分子分母没有公因式，故该项是最简分式； 故选：D． 3. 计算，结果正确的是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减法，熟练掌握分式通分的方法是解答本题的关键，注意结果要化为最简． 根据同分母分式的加减法法则：分母不变，分子相加减，据此计算即可求出答案． 【详解】解： 故选：B． 4. 如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是（　　） A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式直接计算即可． 【详解】依题意设多边形的边数为，则， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，牢记多边形的内角和公式是解题的关键． 5. 已知四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA=OB=OC=OD，那么这个四边形是（ ） A. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 B. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 C. 既是中心对称图形，又是轴对称图形 D. 既不是中心对称图形，又不是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件OA=OB=OC=OD，可知四边形ABCD的对角线相等且互相平分，得出四边形ABCD是矩形，然后根据矩形的对称性，得出结果． 详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD的对角线相交于点O且OA=OB=OC=OD， ∴OA=OC，OB=OD；AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定及矩形的对称性．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 6. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示： 月用水量（吨） 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的（） A. 方差是1 B. 平均数是 C. 中位数是5 D. 众数是5 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法分别进行计算即可． 【详解】解∶这组数据的方差为，因此选项A不符合题意； 这组数据的平均数为吨，因此选项B不符合题意； 将这20户的用水量从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为吨，因此选项C不符合题意； 这组数据出现次数最多的是5吨，共出现8次，所以用水量的众数是5吨，因此选项D符合题意； 故选∶D． 【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是正确解答的前提． 7. 已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，，再根据和为整数，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 则，， ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或， 故选：D． 8. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形性质，中位线的性质，由相关定理确定线段间的数量关系是解题的关键． 由菱形性质，结合勾股定理求得，根据中位线定理求． 【详解】解：由菱形知， ∴，，， ∴， ∵点M为的中点，O为的中点， ∴； 故选：A． 9. 如图，在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的边角关系以及翻折轴对称的性质．根据翻折的性质和勾股定理可求出，进而求出，在中由勾股定理可求出． 【详解】解：由翻折的性质可知，，， 在中，，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即． 故选B． 10. 如图，是正方形的一点，且，已知下列哪条线段的长就可以求的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质．关键是构造相似三角形． 作过于于的面积等于与乘积的一半．要求的面积只有或中的一个量，不能求出面积的值，必须求出与乘积，逐项分析可得．是斜边上的高，证明，得出，根据，得出的面积的一半，可得正确选项． 【详解】解：作于于． ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 的面积等于． 当已知的长，是动点，的长是个变量，不能求出的面积，选项A错误． 当已知的长，在以为圆心，为半径的圆上，随的位置变化，的长是变的，的长不知道，不能求出的面积，选项B错误． 是斜边上的高， ∴，， ， ， ∴的面积．选项C正确． 由选项C可知，同理可得：．当知道的长，可以确定的面积，但不能得出的面积，选项D错误． 故选：C． 二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分） 11. 使分式有意义的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 12. 在平行四边形中，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形中，得到，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：65． 13. 如图，在中，是上的一点，分别是的中点，若，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质； 连结，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得． 【详解】解：如图，连结， ∵，是的中点， ∴， 又∵在中，是的中点，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D＝70°，则∠ECF的度数是_________． 【答案】35° 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得∠ECB=∠ECF，CB=CF，根据菱形的性质可得CB=CD，∠B=∠D=70°，∠BCD=180°-∠D=110°，求出等腰三角形DCF的顶角∠DCF，即可求出∠ECF的度数 【详解】解：在菱形ABCD中，CB=CD，∠B=∠D=70°，∠BCD=180°-∠D=110°， 根据折叠可得：∠ECB=∠ECF，CB=CF， ∴CF=CD ∴∠DCF=180°-70°-70°=40°， ∴∠ECF=（∠BCD-∠DCF）=35°. 故答案为35°. 【点睛】本题考查图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 15. 如图，在中，，点在边上，点在边上，且，点，分别是，的中点，连接，则线段的长为_______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形的中位线以及全等三角形的判定和性质，利用中线+平行构造全等三角形转化线段和角是解题关键． 根据利用中线+平行构造，得，，由勾股定理求出，再利用是中位线三角形的中位线可得． 【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵，，即是中位线， ∴， 故答案为：． 三、解答题．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤（共90分） 16. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式，掌握提公因式法和公式法分解因式的方法步骤及注意点是解答的关键． （1）先提公因式x，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先整理，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，熟记分式的加减、乘除的法则是解决此题的关键． （1）先化为同分母分式减法，再计算化简即可； （2）将分式的分子和分母因式分解，根据分式的除法法则，计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，熟记解方程步骤，去分母，去括号，移项合并，系数化１，即可求解． （1）方程两边同时乘去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解． （2）方程两边同时乘去分母，移项合并，把系数化为1，即可求出解． 【小问1详解】 解： 去分母得： 去括号得： 移项合并解得： 经检验，是原方程的解 所以； 【小问2详解】 去分母得： 去括号得： 移项合并得： 解得： 经检验，是原方程的解 所以． 19. 如图，的顶点坐标分别为． （1）画出关于点成中心对称的； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作中心对称图形，旋转作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）作出点A、B、C关于点O的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）作出点A、B绕点C顺时针旋转的对应点、，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形． 20. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F． （1）求证：AE＝BC； （2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长． 【答案】（1）见解析；（2）1 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得AD＝BC，再通过证明△ABE≌△DFA（AAS），可得AE＝AD，即可得证AE＝BC． （2）根据△ABE≌△DFA，可得BE＝AF＝4，AE＝BC，再根据勾股定理求出BC的长度，最后根据EC＝BC﹣BE求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAF， ∵DF⊥AE， ∴∠AFD＝90°＝∠B， ∵DF＝DC， ∴AB＝DF， 在△ABE和△DFA中，， ∴△ABE≌△DFA（AAS）， ∴AE＝AD， ∴AE＝BC； （2）解：由（1）得：△ABE≌△DFA， ∴BE＝AF＝4，AE＝BC， ∵∠B＝90°， ∴AE＝＝＝5， ∴BC＝5， ∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1． 【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、矩形的性质是解题的关键． 21. 如图，在中，，的平分线分别交于点E，F，，相交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由角平分线的定义可得，，进而可得，则可得，从而可得． （2）过点作，交的延长线于点．由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，．进而可得，再证 四边形是平行四边形，则可得，，进而可得 ，再证，由勾股定理可得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点． ∵四边形是平行四边形，且， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，点D为对角线的中点，点P是边上一动点，直线交边于点E． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标； （3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先证，推出，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）先求出，根据可得，进而可证，再求出的长即可； （3）分为对角线时、为对角线时、为对角线时三种情况，利用顶点坐标关系列式求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， 点D为对角线中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：矩形中点B的坐标为， ，， ， 由（1）知， ， ， ， ， ，点D为对角线的中点， ， 中边上的高为3， ， ， 点P的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）知， ． 以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形时，设， 分三种情况： 当为对角线时，， ， ，， ，， ，， ； 当为对角线时，， ， 解得，（舍）， ， ，， ，， ，， ； 当为对角线时，， ， 解得， ， ，， ，， ，， ； 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，第三问有一定难度，注意分情况讨论是解题的关键． 23. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接． （1）计算的度数； （2）如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用等腰直角三角形的性质得出结论； （2）连接，先证明，得出，取的中点M，连接，证明，从而得出结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形 ； 【小问2详解】 ． 理由：如图，取的中点，连接，， 是等腰直角三角形，， 是的中点， ， 同理，在中，， ， ，， ， ， ， ； ∵， 为的中位线， ，， ， 在中，， 为等腰三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $