精品解析：安徽省黄山市屯溪第一中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题

屯溪一中2023-2024学年度第二学期期中测试 高一数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由共轭复数的定义求出，再根据复数的几何意义求解. 【详解】由题，，对应的点在第一象限， 则，可得，又为整数，所以． 故选：B． 2. 在中，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的定义运算即可得解. 【详解】因为，，， 所以 故选：D． 3. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析题意，利用三角形内角和定理求A，再用正弦定理求边长即可. 【详解】易知，由正弦定理得， 化简得. 故选：B 4. 如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线性质分别设，，结合条件依次表示出，，对应解出，即可求解. 【详解】设，， 则， 而与不共线，∴，解得，∴. 故选：A. 5. 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（ ） A. 27 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，分别是上、下底面中心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点，求出棱台的斜高，从而求出其侧面积. 【详解】如图，，分别是上、下底面中心，则 cm， 连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点， 在中，， ， 所以， 所以． 故选：B 6. 下图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作，垂足为点，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用面积公式求出原的高，进而求出，然后在直角三角形中求解即可 【详解】由题可知，在中，， 因为的面积为16，， 所以，，， 因为， 轴于点， 所以， 故选：A. 7. 长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，在中，利用正弦定理求解. 【详解】设，则，且， 在中，， ∴，即， 解得． 故选：B． 8. 如图，已知在圆的内接四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合圆内接四边形的对角互补，即可求出长度. 【详解】 连接，由题意四边形为圆的内接四边形可知, 则在三角形中由余弦定理得：， 在三角形中由余弦定理得：， 因为，所以，即，解得. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. 复数的虚部等于 B. C. D. 若是实数，是纯虚数，则 【答案】CD 【解析】 【分析】先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，复数， 对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误； 对于B项：，故B错误； 对于C项：，故C正确； 对于D项：因为纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确． 故选：CD. 10. 已知的内角的对边分别为，若，则（ ） A. 的外接圆的面积为 B. 的周长为 C. 是直角三角形 D. 的内切圆的半径为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，根据条件，利用正弦定理，可求得外接圆半径为，进而求出外接圆的面积，即可判断出选项A的正误；根据条件，利用余弦定理，可求得，，进而可判断出选项B和C的正误，选项D，设内切圆半径为，利用，求出，即可判断出选项D的正误，从而求出结果. 【详解】对于选项A，因为，由正弦定理可得，即，得到， 所以的外接圆的面积为，故选项A正确， 对于选项B，由余弦定理， 得到，整理得到，解得，所以， 故的周长为，所以选项B正确， 对于选项C，因，，，所以，故选项C正确， 对于选项D，设内切圆半径为，由，得到，解得，所以选项D错误， 故选：ABC. 11. 定义平面向量的一种运算，其中是与的夹角，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据的定义，结合向量数量积、模长和夹角的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】，其中是与的夹角， 对A：若，则，， 则，故A正确； 对B：若，则，故与的夹角为90°， 则，故B错误； 对C：若，则，故C正确； 对D：若，，则，， ,，，， 则，，故D错误． 故选：AC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 向量在向量上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为． 故答案为：. 13. 设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理可知，即，所以， 因为有两个解，即有两解，又，则， 由正弦函数的性质，可得且， 所以，即，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（1弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设且，则可推出___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据与，利用余弦定理求出，，设出AG=m，DG=n，利用勾股定理求出m与n的值，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出与的值，进而求出的值. 【详解】设，，则，，因为和是等边三角形，故，由余弦定理得：，解得：，故，，过点D作DG⊥AB于点G，设AG=m，DG=n，则BG=2-m，由勾股定理得： ，解得： 如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB的直线为y轴建立直角坐标系， 则，，，，则 ，，，由得：，即，解得：，则 故答案： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可. 【小问1详解】 因为向量，且， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得. 【小问3详解】 因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 16. 已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． （1）求复数； （2）求复数； （3）若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 【答案】（1） （2） （3），，另一根为 【解析】 【分析】（1）化简复数，再根据共轭复数概念求解； （2）根据复数的除法的运算求解； （3）将代入方程运算求出，代回方程求解. 【小问1详解】 ， 所以复数的共轭复数为． 【小问2详解】 因为， 所以 所以. 【小问3详解】 若是关于的方程的一个根，则， 即， 所以 解得：，， 则，即， 所以方程另一根为． 17. 在平面四边形中，，，. （1）若的面积为，求； （2）若，，求. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】(1)利用已知条件与面积公式即可得到结果； (2) 设，则，结合正弦定理即可得到. 【详解】（1）在中，因为，，， 所以，解得：. 在中，由余弦定理得： 所以 （2）设，则 如图， 在中，因为，所以 在中，， 由正弦定理，得，即 所以 所以，即 所以，即 【点睛】解三角形的基本策略 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 18. 在锐角中，，，为角，，所对边，且． （1）求角； （2）求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）化边为角，利用三角恒等变换化简后，根据正切函数求值域即可得解. 【小问1详解】 由正弦边角关系， 即， 所以， 即， 可得，由可得， 由知． 【小问2详解】 由（1）知，，． 由正弦定理知，， 可得，， 故周长为 ． 由是锐角三角形知，，，即，． 又，故，， ， 故，， 所以， 故周长的取值范围是． 19. 如图示，是以为直径的圆的下半圆弧上的一动点（异于、两点），、分别为、在过点的直线上的射影（、在直线的上方），记，，向量∥直线． （1）若，求面积的最大值及取得最大值时的值； （2）若，用表示向量、在向量方向上的投影之和的绝对值，试问、满足什么条件时，有最大值？ （3）若，，，求的值． 【答案】（1）时，； （2）时，的最大值等于2 （3）4 【解析】 【分析】（1）先由直径所对的圆周角为直角得到三角形的形状，再利用三角函数的定义和面积公式进行求解； （2）利用平面向量的数量积的几何意义进行化简可得，再求最值即可； （3）先由直角三角形中的三角函数定义求得相关边长，再由三角恒等变换进行求解. 【小问1详解】 由为直径得圆周角， ， ， 所以当，即时，． 【小问2详解】 由与相似得，又， 所以， 所以当时，的最大值等于2 【小问3详解】 由相似三角形得，由直角三角形得， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 屯溪一中2023-2024学年度第二学期期中测试 高一数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 在中，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 3. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A 1 B. 2 C. D. 4. 如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（ ） A. 27 B. C D. 6. 下图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作，垂足为点，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 7. 长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知在圆的内接四边形中，，则（ ） A B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. 复数的虚部等于 B. C. D. 若是实数，是纯虚数，则 10. 已知的内角的对边分别为，若，则（ ） A. 的外接圆的面积为 B. 的周长为 C. 是直角三角形 D. 的内切圆的半径为 11. 定义平面向量的一种运算，其中是与的夹角，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 向量在向量上的投影向量的坐标为________． 13. 设角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是______. 14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（1弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设且，则可推出___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 16. 已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． （1）求复数； （2）求复数； （3）若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 17. 在平面四边形中，，，. （1）若的面积为，求； （2）若，，求. 18. 在锐角中，，，为角，，所对边，且． （1）求角； （2）求周长的取值范围． 19. 如图示，是以为直径的圆的下半圆弧上的一动点（异于、两点），、分别为、在过点的直线上的射影（、在直线的上方），记，，向量∥直线． （1）若，求面积的最大值及取得最大值时的值； （2）若，用表示向量、在向量方向上投影之和的绝对值，试问、满足什么条件时，有最大值？ （3）若，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$