广东省广州市外国语学校2024-2025学年高三下学期3月模拟测数学试题

州外国语学校 2025 高三模拟 试卷 (参考答案) 一、单 题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C D B B A A 二、多 题 题号 9 10 11 答案 ACD ABC AC 三、填 题 12. 2 2 ；13. -x 3+2x2(答案不唯一，m∈ 32 , 7 3  可) ；14. 7 ； 3 3 , 1 2   . 四、解答题 15.解:(1)因为 ccosB+ 2acosA+ bcosC= 0， 由正 定理 ，sinCcosB+ 2sinAcosA+ sinBcosC= 0， 所以 2sinAcosA+ sin B+C = 0，所以 2sinAcosA+ sinA= 0， 因为 sinA≠ 0，所以 cosA=- 12 ，因为A∈ 0,π ，所以A= 2π 3 .⋯⋯⋯⋯⋯ 6 (2)方法一：设∠ABD= α，∠ADB= β， ： △ABD中，ADsinα = AB sinβ ，①， △ACD中， AD sin π-α  = AC sin π3 -β  ，② ① ② ：sinβ= sin β- π3 ，所以 β= 30°，所以AD= 4sinα，所以AD的最大值 4 ⋯⋯⋯⋯ 13 解法二： ΔABC中，由 定理 ，a= c2+b2-2cbcosA= 2 3， 因为∠BAC+∠BDC= 2π3 + π 3 = π，所以四边 ABDC存 一个外 O， 所以 O的直 为 2R= a sinA = 2 3 sin 2π3 = 2 3 3 2 = 4 因为AD≤ 2R，即AD≤ 4， AD为 O直 时取等号，故AD的最大值为 4.⋯⋯⋯⋯⋯ 13 16.解:(1)证 ：∵PA⊥ 面ABCD，BD⊂ 面ABCD，∴PA⊥BD． 取AC的中点O，连 OB,OD， ∴AC⊥OB，AC⊥OD，∴点O,B,D共线，从而 AC⊥BD， 又PA∩AC=A，∴BD⊥ 面PAC， ∵BD⊂ 面PBD，∴ 面PAC⊥ 面PBD.⋯⋯⋯⋯⋯ 6 (2)解：取CP中点E，连 OE， OE⎳PA， ∴EO⊥ 面ABCD，∴OC,OD,OE两两 直． 以O为原点如图建 间直角 标系Oxyz， B 0,-1,0 ,C 1,0,0 ,D 0, 3,0 ,P -1,0,2 ,M 12 ,0 1 2  ∴BD  = 0, 3+1,0 ,BP  = -1,1,2 ,BM  = 12 ,1, 1 2  设 面PBD的法 量为n= x,y,z ， ·1· 由 n⋅BD  = 3+1 y=0 n⋅BP  =-x+y+2z=0  ， y=0 x=2z  ，令 z= 1， n = 2,0,1 ． 设直线MB与 面PBD所成角为 θ， sinθ= cos<BM  ,n> = |BM  ⋅n| |BM  ||n| = 1+ 12 3 2 × 5 = 3010 ， ∴直线MB与 面PBD所成角的正 值为 3010 ．⋯⋯⋯ 15 17.解：(1) 每次祈愿 取五 角 的概率记为 p0，X的所有可能取值为 1，2，3，⋯，90． 从而P(X= 1) = p0，P(X= 2) = (1- p0)p0，P(X= 3) = (1- p0)2p0，⋯， P(X= 89) = (1- p0)88p0，P(X= 90) = (1- p0)89． 所以P(X= k) = (1-p0)k-1p0, 1≤k≤89 (1-p0)89, k=90  ,k∈N *． ⋯⋯⋯⋯ 5 (2)X的数学期望 E(X) = 1×P(X= 1) + 2×P(X= 2) + 3×P(X= 3) +⋅⋅⋅+90×P(X= 90) = 1× p0+ 2× (1- p0)p0+ 3× (1- p0)2p0+⋅⋅⋅+90× (1- p0)89， 所以 (1- p0)E(X) = 1× (1- p0)p0+ 2× (1- p0)2p0+ 3× (1- p0)3p0+⋅⋅⋅+90× (1- p0)90， p0E(X) = p0+ (1- p0)p0+ (1- p0)2p0+⋅⋅⋅+ (1- p0)88p0+ 90× (1- p0)89- 89× (1- p0)89p0 -90× (1- p0)90， E(X) = 1+ (1- p0) + (1- p0)2+⋅⋅⋅+ (1- p0)88+ 90×(1-p0)89 p0 - 89× (1- p0)89- 90×(1-p0)90 p0 = 1+ (1- p0) + (1- p0)2+⋅⋅⋅+ (1- p0)88+ 90×(1-p0)89 p0 [1- (1- p0)]- 89× (1- p0)89 = 1+ (1- p0) + (1- p0)2+⋅⋅⋅+ (1- p0)88+ (1- p0)89= 1-(1-p0)90 p0 ， 因为 p0= 0.006， 所以E(X) = 1-(1-p0) 90 p0 = 1-0.994 90 0.006 ≈ 1-0.582 0.006 ≈ 69.67= 68⋯⋯⋯⋯ 15 18.解：(1)f x =- a(x+1)2 ,g x =- b 2x2 . 题意有：f 1 = g 1 ⇒ a2 = 1+b 2 ,f  1 = g 1 ⇒- a4 =- b 2 ， 联 解 a= 2,b= 1. ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 (2)由 (1)知，f x = 2x+1 ,g x = x+1 2x . 所以函数 h x = f x  g x  = 4x (x+1)2 ,(x≠-1且 x≠ 0)， 所以 h x = 4 1-x2  (x+1)4 ， 因此函数 h x  -∞,-1  1,+∞ 单 减， -1,0  0,1 单 增， 其大致图 如右，故函数 h x 只有唯一的极大值 h 1 = 1，无极 值. ⋯⋯⋯⋯⋯ 8 (3) x> 1时，不等 2x+1 < mlnx x-1 < x+1 2x 恒成 等价于不等 ·2· 2 x-1  x+1 <mlnx< 1 2 x- 1 x 恒成 ， 然有m> 0.令F x =mlnx- 2 x-1  x+1 ,x> 1， F x > 0恒成 . 而F  x = mx - 4 (x+1)2 = m(x+1) 2-4x x(x+1)2 . m≥ 1时，F  x ≥ (x+1)2-4x x(x+1)2 = (x-1) 2 x(x+1)2 > 0， 所以F x  1,+∞ 上单 增，所以， x> 1时，F x >F 1 = 0，符 题意； 0<m< 1时，记 p x =m(x+ 1)2- 4x=mx2+ 2m-4 x+m， 抛物线 y= p x 的 口 上，对称轴为 x= 2m - 1> 1， 又 p 2m -1 < p 1 = 4m- 4< 0，所以， x∈ 1, 2 m -1 时，p x < 0， 从而F  x = p x  x(x+1)2 < 0，所以F x  1, 2m -1 上单 减， 故 x∈ 1, 2m -1 时，F x <F 1 = 0，不符 题意.所以m≥ 1. 再令G x =mlnx- 12 x- 1 x ,x> 1， G x < 0恒成 . 而G x = mx - x2+1 2x2 = -x 2+2mx-1 2x2 . m= 1时，G x = -(x-1)2 2x2 < 0，所以G x  1,+∞ 上单 减， 所以， x> 1时，G x <G 1 = 0，符 题意. m> 1时，记 q x =-x2+ 2mx- 1， 抛物线 y= q x 的 口 下，对称轴为 x=m> 1， 又 q m > q 1 = 2m- 2> 0，所以， x∈ 1,m 时，q x > 0，从而G x = q x  2x2 > 0， 所以G x  1,m 上单 增，故 x∈ 1,m 时G x >G 1 = 0，不符 题意. 综上可知实数m=1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 17 19.解：(1) ，1 a2 + 1 2b2 = 1，又由 e= 22 ，a= 2b， 解 b= 1,a= 2，故梢 C1方 为 x 2 2 + y 2= 1. 又梢 C1 点M处的 线 l方 为 1 2 x+ 2 2 y= 1， k1=- 1 2 . 又 k2= 22 ，因此 kl ⋅ k2=- 1 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 (2) (i)设Cn: x 2 a2n + y 2 b2n = 1， Pn an+1 2 , bn+1 2 ， 代入Cn的椭 方 ： a2n+1 a2n + b 2 n+1 b2n = 4. 又直线An+1Bn+1的斜率 kn=- bn+1 an+1 ，而 kOPn= bn+1 an+1 . 由 (1)可知 kn ⋅ kOPn=- b2n a2n ，可知 b2n+1 a2n+1 = b 2 n a2n . 因此 a2n+1 a2n = b 2 n+1 b2n ，即 a2n+1 a2n = 2，可 a2n+1= 2a2n， ·3· 又 a21= 2，因此 a2n= a21 ⋅ 2n-1= 2n. 理可知：b2n+1= 2b2n，即 b2n= b21 ⋅ 2n-1= 2n-1. 故Cn: x 2 2n + y 2 2n-1 = 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 (ii)①若直线 l的斜率不为 0时， 设直线 l:x=my+ 1，与椭 Ck联 可知， x=my+1 x2+2y2=2k  ， 可 m2+2 y2+ 2my+ 1- 2k= 0，即 y1k+ y2k= -2m m2+2 ,y1ky2k= 1-2k m2+2 . 因此 QkRk = 1+m2 y1k-y2k = 1+m2 4m2-4 m2+2  1-2k  m2+2 = 1+m2 2 m 22k+2k+1-2 m2+2 . 从而 QkRk  2 Qk+1Rk+1  2 = 2km2+2k+1-2 2k+1m2+2k+2-2 = 12 - 1 2k+1m2+2k+2-2 ≥ 12 - 1 2k+2-2 = 12 - 1 2k+1+2k+1-2 > 12 - 1 2k+1 . Q1R1  2 Q2R2  2 + Q2R2  2 Q3R3  2 +⋯+ QnRn  2 Qn+1Rn+1  2 > n 2 - 1 4 + 1 8 + 1 16 +⋯+ 1 2n+1  = n2 - 1 4 1- 1 2n  1- 12 = n-12 + 1 2n+1 . ②若直线 l的斜率为 0， QkRk  2 Qk+1Rk+1  2 = 2ak  2 2ak+1  2 = 1 2 ， 故 Q1R1  2 Q2R2  2 + Q2R2  2 Q3R3  2 +⋯+ Q2Rn  2 Qn+1Rn+1  2 = n 2 > n-1 2 + 1 2n+1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 17 ·4· 保密⋆启用前 州外国语学 2025 高三模拟 试卷 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题 卡的相应位置填涂考生号。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上 要求作答无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。 一、单项 择题： 题共 8 题，每 题 5 ，共 40 ． 每 题给出的四个 项中，只 一项 符 题目要 求的。 1.已知集 A={x|0< x< 2}，B= x 1x-1 >0 ， A∪B= A. {x ∣ 0< x< 2} B. {x ∣ 1< x< 2} C. x∣x>0  D. x∣x>1  2.已知双曲线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a> 0,b> 0)的一 渐近线的 斜角 π3 ， 该双曲线的离心 A. 2 33 B. 3 C. 2 D. 4 3. △ABC中，“A>B”“sinA> sinB”的 A. 充 不必要 件 B. 必要不充 件 C. 充要 件 D. 充 必要 件 4.已知 a= 1,2 ，c= m,-1 ，若a⊥ a-c ， 实数m= A. - 2 B. 3 C. 4 D. 7 5.某 篮球运 进行投篮练习.如 他 一球投进 一球投进的 为 34 ；如 他 一球投不进 一球投进的 为 1 4 .已知他第 1球投进的 为 3 4 ，求他第 2球投进的 A. 34 B. 5 8 C. 7 16 D. 9 16 6.已知函数 f x = sinωx+ acosωx ω>0 的 正 为 π，且函数 f x+ π3 为奇函数， 当 x∈ 0,2π  时，函数 y= f x - cosx的零点个数为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ·数学试卷 第1页（共4页）· 7.定义实数 a,b运算“⊗”“⊕”如下：a⊗ b= a, a≤b b, a>b  ；a⊕ b= b, a≤b a, a>b  .若m⊗n≥ 2，p⊕ q≤ 2， A. mn≥ 4且 p+ q≤ 4 B. m+n≥ 4且 pq≤ 4 C. mn≤ 4且 p+ q≥ 4 D. m+n≤ 4且 pq≤ 4 8.过点P 1,m m∈R  n 直线与函数 f x = xex的图 相 ，当n取 大 时，m的取 围为 A. - 5 e2 <m< 0 B. - 5 e2 <m< e C. - 1e <m< 0 D. m< e 二、多项 择题： 题共 3 题，每 题 6 ，共 18 ． 每 题给出的 项中， 多项符 题目要求．全部 对的得 6 ，部 对的得部 ， 错的得 0 。 9.下 题正 的 A. 已知 y关于 x的回归方 为 y = 0.3- 0.7x， 点 (3, -4)的残差为-2.2 B. 数 4，6，7，7，8，9，14，11，15，19的 75% 数为 11 C. 已知随 变 X~B(7,0.5),P(X= k) 大， k的取 为 3或 4 D. 对于随 事件A与B，P A > 0，P B > 0，若P A B =P A ， 事件A与B相互独 10.已知点 F 抛物线C :x2= 8y的焦点，直线 l经过点 F交抛物线于A，B两点，与准线交于点D，且B为 AD中点， 下 说法正 的 A. AF  = 2FB  B. 直线 l的斜 k=± 24 C. AB = 9 D. 设原点为O， △OAB的 积为 263 11.已知正方形ABCD中，AB= 2，P ABCD外一点.设直线PB与 ABCD所成角为 α，设三棱 锥P-ABC的 积为V， 下 题正 的 A. 若PA+PC= 2 3， α的 大 π4 B. 若PA+PC= 2 3， V的 大 1 3 C. 若PA2+PD2= 4， V的 大 23 D. 若PA 2+PD2= 4， α的 大 π4 三、填 题： 题共 3 题，每 题 5 ，共 15 。 12. 已知公式 eix= cosx+ isinx，其中 i 虚数单 ， 此公式计算 i ⋅ e- π 4 i的虚部 . 13.已知三次函数 f(x) =-x3+mx2(m> 0),x∈ 1,+∞ ，数 an 满足 an= f(n),n∈N+，给出下 两个 件：①函数 f(x) 减函数；②数 an  减数 ．试写出一个满足 件② 不满足 件①的函数 f(x)的解 式 f(x) = . 14.已知Ω 棱长为 2的正四 ABCD，设Ω的四个顶点 α的距离所 成的集 为M，若M中元 的个数为 k， 称 α为Ω的 k阶等距 ，M为Ω的 k阶等距集.如 α为Ω的 1阶等距 且 1阶等 距集为 {m}， 符 件的 α 个，m的所 可能取 成的集 . ·数学试卷 第2页（共4页）· 四、解答题： 题共 5 题，共 77 。解答 写出文字说 、证 过 或 算步骤。 15. ( 题共 13 ) ΔABC中，角A，B，C的对边 为 a、b、c，且-acosA bcosC与 ccosB的等差中项． (1)求A； (2)如图所示，D为 上一点，与ΔABC 成一个四边形ABDC，且∠BDC= π3 ，若 c= b= 2，求AD 的 大 ． 16. ( 题共 15 ) 如图四棱锥P-ABCD中，PA⊥ ABCD，ΔACD 边长为 2的等边三角形，且AB=BC= 2， PA= 2，点M 棱PC上. (1)求证： PAC⊥ PBD； (2)若CM  = 14 CP  ，求直线MB与 PBD所成角的正弦 . 17. ( 题共 15 ) 某游戏中， 家可 过祈愿池 取新角 新武器．该游戏的角 祈愿池的祈愿规 为： ①每次祈愿 取五 角 的 p0= 0.006； ②若连续 89次祈愿都没 取五 角 ， 么第 90次祈愿必定 过“保 ” 取五 角 ； ③除触发“保 ”外，每次祈愿相互独 ． 设随 变 X表示 该祈愿池中连续祈愿直至 取五 角 为止的祈愿次数． (1)求P(X= k)的解 式； (2)求X的数学 EX． 参考数 ：0.99490≈ 0.592 ·数学试卷 第3页（共4页）· 18. ( 题满 17 ) 已知函数 f x = ax+1 g x = x+b 2x 的图 x= 1处 相 的 线. (1)求实数 a b的 ； (2)求函数 h x = f x  g x  的 ； (3)当 x> 1时，不等式 f x < mlnxx-1 < g x 恒成 ，求实数m. 19. ( 题满 17 ) 已知 C1: x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 经过点M 1, 22 ，其右顶点为A1，上顶点为B1,O为 原点，且 离心 为 2 2 . (1)设C1 点M处的 线 l，其斜 为 k1,OM的斜 为 k2，求 k1 ⋅ k2的 ； (2)过C1 第一 限的点P1 C1的 线， 与 x轴，y轴交于点A2,B2，且P1为线段A2B2的中点， 记以点O为中心，x轴，y轴为对称轴，且过点A2,B2的 为C2， 此 ，，⋯，过 Cn 第一 限 的点Pn Cn的 线， 与 x轴，y轴交于点An+1，Bn+1，且Pn为线段An+1Bn+1的中点，记以点O为 中心，x轴，y轴为对称轴，且过点An+1，Bn+1的 为Cn+1，由此得 一系 C1,C2,C3,⋯ ,Cn,Cn+1. (i)求Cn的方 ； (ii)过点 1,0  直线 l与 Ck 交于Qk,Rk，求证： Q1R1  2 Q2R2  2 + Q2R2  2 Q3R3  2 +⋯+ QnRn  2 Qn+1Rn+1  2 > n-1 2 + 1 2n+1 . (附：若T x0,y0 为 x 2 a2 + y 2 b2 = 1上一点， 点T处的 线方 为：x0x a2 + y0y b2 = 1) ·数学试卷 第4页（共4页）·