精品解析：内蒙古自治区通辽市奈曼旗2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年第一学期末质量抽样监测 数学（九年级） 注意事项： 1.本试卷共6页，23小题，满分100，考试时间90分钟． 2.本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上做答，答在本试卷上的答案无效． 3.考试结束后，将本试卷与答题卡分别封装一并上交． 一、选择题（本题包括10道小题，1－5题每小题2分，6－10每小题3分，共25分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的字母用2B铅笔涂黑） 1. 以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念判断． 【详解】解：选项A、B、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 2. “光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意∶已知O的半径为r，如果圆心O到直线的距离是d，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交． 【详解】解：把餐盘看成圆形的半径，餐盘的圆心到筷子看成直线l的距离为d． ∴， ∴直线和圆相交， 故选∶B． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】求出∆=3，据此判断． 【详解】解：∵∆=， ∴方程没有实数根， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式求根的情况，正确掌握利用判别式求方程的根的三种情况是解题的关键． 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是奇数 B. 13个人中至少有两个人出生月份相同 C. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D. 冬天的某一天一定会下雪 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件是指在一定条件下，一定会发生的事件，掌握相关结论即可． 【详解】解：任意买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，不符合题意； 因为一年有十二个月，所以13个人中至少有两个人出生月份相同，符合题意； 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意； 冬天的某一天一定会下雪是随机事件，不符合题意； 故选：B ． 5. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可． 【详解】解：若将轴向上平移2个单位长度， 相当于将函数图像向下平移2个单位长度， 将轴向左平移3个单位长度， 相当于将函数图像向右平移3个单位长度， 则平移以后的函数解析式为： 化简得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键． 6. 如图，在中，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵不一定为的中点， ∴不一定成立，故D符合题意； 故选D 7. 某厂家2023年3～7月生产的机器数量如图所示，设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为x，则依据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为，根据题意得 ． 故选：D． 8. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种想得到了圆周率的近似值为．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得n的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得n的估计值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆的综合、等边三角形的判定及性质、含角的直角三角形的特征，连接、，作于，利用正多边形的性质得，再根据等边三角形的判定及性质得，，进而可得，再利用割补法求得正六边形的面积，进而可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：连接、，作于，如图： 六边形是正六边形， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， n的估计值为， 故选A． 9. 如图，将绕点顺时针旋转到处，此时点刚好落在边上，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与直角三角形的性质，解题的关键是首先利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到，然后利用已知条件可以求出，然后利用直角三角形的性质求出，最后利用旋转性质即可求出． 【详解】解：将绕点顺时针旋转到处，， ，，， ， ， ， ， ． 故选：A． 10. 如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤， 故选C． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键． 二、填空题（本题包括6道小题，11－13题每小题2分，14－16每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上） 11. 如图，小明准备用旋转知识设计一个风车，已知点A的坐标是，为了补全风车，他需要找到A点关于原点O的对称点，则点的坐标是______． 【答案】（3，﹣2） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可． 【详解】解：∵A点关于原点O的对称点A′，A（﹣3，2）， ∴A′（3，﹣2）， 故答案为（3，﹣2）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，中心对称等知识，解题的关键是利用中心对称的性质，属于中考常考题型． 12. 小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外和各区域边缘）： 投石子的总次数 50次 150次 300次 600次 石子落在空白区域内的次数 14次 85次 199次 400次 石子落在空白区域内的频率 依此估计空白部分的面积可能是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要是利用频率估计概率、概率的应用等知识点，掌握当实验次数越多时，某事件的频率越接近于该事件的概率是解题的关键． 根据投在空白区域内的频率得到概率的大小，由此计算空白区域的面积即可． 【详解】解：由表格可知： 当投石子的次数越来越多时，石子落在空白区域的频率越接近，即空白区域的面积占总面积的， ∴空白部分的面积=． 故选答案为4． 13. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间______s，最高______m． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先把二次函数的解析式的一般式化为顶点式，再根据二次函数的图象与性质，分析即可得到答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴当时，小球飞行高度达到最高，最高为． 故答案为：， 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式． 14. 关于x的一元二次方程x2﹣10x＋m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为__． 【答案】24或25##25或24 【解析】 【分析】分6为底边和6为腰两种情况分类讨论即可确定m的值． 详解】解：当6为底边时，则x1＝x2， ∴Δ＝100﹣4m＝0， ∴m＝25， ∴方程为x2﹣10x+25＝0， ∴x1＝x2＝5， ∵5+5＞6， ∴5，5，6能构成等腰三角形； 当6为腰时，则设x1＝6， ∴36﹣60+m＝0， ∴m＝24， ∴方程为x2﹣10x+24＝0， ∴x1＝6，x2＝4， ∵6+4＞6， ∴4，6，6能构成等腰三角形； 综上所述：m＝24或25， 故答案为24或25． 【点睛】本题考查了根的判别式，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 15. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条的夹角为，的长为，扇面（阴影部分）的面积为，则竹条的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积．正确表示阴影部分面积是解题的关键．设，则，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：，则， 依题意得，， 解得，， 故答案为：． 16. 如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征；先求得与轴的交点坐标，根据图象求得答案即可． 【详解】解：由题意，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数， 新函数的解析式为． 当时，， 解得或， 根据函数图象可得：当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，共55分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得，． 18. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的： （2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标； （3）求出点C旋转到所经过的路线长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）点C旋转到所经过的路线长为 【解析】 【分析】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，写出点的坐标，勾股定理，熟练掌握以上几何变换的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）先求出半径，再根据弧长公式打算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， ； 【小问3详解】 解：， 点C旋转到所经过的路线长． 19. 春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典・庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）． （1）任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______； （2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据将圆形转盘四等分，即可求解； （2）画出树状图即可求解． 【小问1详解】 解：∵将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D， ∴任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率为： 故答案为： 【小问2详解】 解：画出树状图，如图： 共有种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有种 故甲和乙选到不同活动项目的概率为： 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率的相关知识．掌握相关结论并正确求解是解答的关键． 20. 如图，为的直径，为上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，且平分． （1）求证：为的切线； （2）若，的半径为3，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）AC＝ 【解析】 【分析】（1）连接CO，通过等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠DAC＝∠OCA，再根据内错角相等，两直线平行得出CO∥AD，再利用即可证明,则结论可证； （2）连接BC，由圆周角定理的推论得出∠ACB＝90°，再由角平分线得出∠BAC＝30°，再根据AB=2r=6和特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】（1）证明：连接CO， ∵AO＝CO， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC平分∠DAB， ∴∠OAC＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴CO∥AD， ∴CO⊥CD， ∴DC为⊙O的切线； （2）连接BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB， ∴∠BAC＝∠DAB＝30°， ∵⊙O的半径为3， ∴AB＝6， ∴AC＝AB＝3． 【点睛】本题主要考查切线的判定，圆周角定理的推论，角平分线的定义和解直角三角形，掌握切线的判定方法，圆周角定理的推论和特殊角的三角函数值是解题的关键． 21. 某商品原售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经市场调研发现，每涨价1元，每周少卖10件，已知商品的进价为每件40元，设每件商品涨价元． （1）涨价后，每件商品的售价和销售量分别是多少？（用含的式子表示） （2）每周销售该商品获得的利润能等于6210元吗？如果能，求出商品的售价；如果不能，说明理由． 【答案】（1）每件商品的售价是元，销售量是件； （2）当售价定为元或元时，利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件， （2）每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出方程求解． 【小问1详解】 解：设每件涨价元，依题意得： 每件商品的售价是元，所售件数是件， 【小问2详解】 根据题意得：， 解得：， 此时售价为：元，或元 答：商品的售价为或元时，每周销售该商品获得的利润等于元． 22 请阅读下列材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，是线段同侧两点，且． 求证：四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图②，若点在外，设与交于点，连接， 则（依据） 又，（依据） 所以， 所以， 这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立． 如图③，若点在内， …… 综上所述，作外接圆，点在上，即四点共圆． 任务： （1）上述证明过程中的“依据”“依据”分别指什么？ 依据：______； 依据：______． （2）请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分． （3）如图④，在四边形中，，，，，则的大小为______ 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论； （）若点在内，延长与交于点，连接，利用三角形外角及圆周角定理可知，，进而得，已知不符，所以假设不成立； （）由可得四点共圆，即得，为直径，进而得，得到，再由得到，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：依据：同弧所对的圆周角相等；依据：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 【小问2详解】 解：如图③，若点在内，延长与交于点，连接， 则， 又∵， ∴， ∴， 这与已知条件“”矛盾，故点在圆内不成立； 【小问3详解】 解：∵在四边形中，，点在的同侧， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角性质，点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于C点，直线交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，求四边形面积的最大值；并直接写出M点的坐标． 【答案】（1） （2）四边形面积的最大值为9，此时点M的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算等重要知识点： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，分别过点M作轴于点P，轴于点Q，设点M的坐标为，则，再根据四边形面积，结合二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接，分别过点M作轴于点P，轴于点Q， 设点M坐标为，则， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 当时，，即， ∵， ∴， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大为9，此时点M的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期末质量抽样监测 数学（九年级） 注意事项： 1.本试卷共6页，23小题，满分100，考试时间90分钟． 2.本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上做答，答在本试卷上的答案无效． 3.考试结束后，将本试卷与答题卡分别封装一并上交． 一、选择题（本题包括10道小题，1－5题每小题2分，6－10每小题3分，共25分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的字母用2B铅笔涂黑） 1. 以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是奇数 B. 13个人中至少有两个人出生月份相同 C. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D. 冬天的某一天一定会下雪 5. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 某厂家2023年3～7月生产的机器数量如图所示，设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为x，则依据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种想得到了圆周率的近似值为．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得n的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得n的估计值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点顺时针旋转到处，此时点刚好落在边上，且，若，则的度数为（　　） A B. C. D. 10. 如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题包括6道小题，11－13题每小题2分，14－16每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上） 11. 如图，小明准备用旋转知识设计一个风车，已知点A的坐标是，为了补全风车，他需要找到A点关于原点O的对称点，则点的坐标是______． 12. 小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外和各区域边缘）： 投石子的总次数 50次 150次 300次 600次 石子落在空白区域内的次数 14次 85次 199次 400次 石子落在空白区域内的频率 依此估计空白部分面积可能是__________． 13. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间______s，最高______m． 14. 关于x的一元二次方程x2﹣10x＋m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为__． 15. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条的夹角为，的长为，扇面（阴影部分）的面积为，则竹条的长为________． 16. 如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是________． 三、解答题（本大题共7小题，共55分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的： （2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标； （3）求出点C旋转到所经过的路线长． 19. 春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典・庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）． （1）任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______； （2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率． 20. 如图，为的直径，为上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，且平分． （1）求证：为的切线； （2）若，的半径为3，求线段的长． 21. 某商品原售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经市场调研发现，每涨价1元，每周少卖10件，已知商品的进价为每件40元，设每件商品涨价元． （1）涨价后，每件商品的售价和销售量分别是多少？（用含的式子表示） （2）每周销售该商品获得的利润能等于6210元吗？如果能，求出商品的售价；如果不能，说明理由． 22. 请阅读下列材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，线段同侧两点，且． 求证：四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图②，若点在外，设与交于点，连接， 则（依据） 又，（依据） 所以， 所以， 这与已知条件“”矛盾，故点外不成立． 如图③，若点在内， …… 综上所述，作的外接圆，点在上，即四点共圆． 任务： （1）上述证明过程中的“依据”“依据”分别指什么？ 依据：______； 依据：______． （2）请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分． （3）如图④，在四边形中，，，，，则的大小为______ 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于C点，直线交抛物线于点． （1）求抛物线解析式； （2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，求四边形面积的最大值；并直接写出M点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$