精品解析：江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高二下学期期初测试数学试卷

2025高二阶段性测试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（ ） A. 4个 B. 9个 C. 12个 D. 16个 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理计算即可求得结果. 【详解】根据题意可知，若复数表示虚数，则； 第一步，从中任取一个数作为，共有3种选法； 第二步，再从剩余的三个数任取一个作为，共有3中选法， 因此共有种. 故选：B 2. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出函数的平均变化率和瞬时变化率，解方程可得结果. 【详解】易知平均变化率为， 可得，瞬时变化率为， 因此，解得. 故选：A 3. 记为等差数列的前n项和，已知，则（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，结合已知求出公差，进而求得的值. 【详解】等差数列中，，则， 因此公差，所以. 故选：D 4. 若直线与圆相交于A、B两点，且（其中O是原点），则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆心到直线距离以及弦长公式，列方程求得结果. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线距离为，弦长， 依题意，，所以. 故选：C 5. 若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导数，再由导函数在内无变号零点，结合函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解. 【详解】由函数在内无极值，得在内无变号零点， 而函数在上单调递增，则或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 6. 设为曲线的左，右两个焦点，P是曲线与的一个交点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的坐标，由椭圆、双曲线的定义求出，，再由余弦定理求出，即可求出. 【详解】由曲线：的方程得，由椭圆的定义得， 又曲线：的焦点和曲线的焦点相同，不妨设在双曲线右支上， 双曲线的定义得，，， 在中，由余弦定理可得， . 故选：D 7. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为与曲线有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围； 【详解】令，即得，即方程有三个零点， 即直线与曲线有三个不同的交点， 可得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为, 故选：A 8. 抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线上的一点P（异于原点O）作C的切线l，过O作l的平行线交PF（F为C的焦点）于点Q，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由光学性质可知，即，结合由三角不等式可得答案； 【详解】由可得，故焦点, 如图，由光学性质可知：入射光线，反射光线轴，所以， 又，所以，因为轴，， 则有，所以，即， 由三角不等式可得（因在抛物线上且异于原点，等号不可取）， 即；    故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据平行线以及光学性质可得，，故，进而可得，即可利用三角形三边关系求解. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（ ） 参考公式：关于的回归直线方程中， A. B. 由散点图知变量和负相关 C. 相关系数 D. 用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 【答案】AC 【解析】 分析】对于A，根据条件，直接求出，即可求解；对于B和C，根据条件，画出散点图，即可求解；对于D，利用线性回归直线方程过样中心，代入计算，即可求解. 【详解】对于选项A，由题知，，故选项A正确， 对于选项B，由图表可得散点图如下，由散点图知变量和正相关，所以选项B错误， 对于选项C，由选项B知变量和正相关，所以，故选项C正确， 对于选项D，因为样本中心点为，又， 所以不是关于的线性回归直线方程，故选项D错误， 故选：AC. 10. 已知点，点P在上运动，在此过程中，则（ ） A. 的面积最大值为 B. 的取值范围是 C. 存在斜率为的直线 D. 存在四个直角三角形PMN 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，以及两点距离公式，即可根据面积公式求解A，根据数量积的坐标运算求解B，根据相切时的斜率即可求解C，分情况讨论直角顶点，即可结合点到直线的距离以及两圆位置关系求解D. 【详解】因为所以， 所以直线的方程，即， 由，得， 所以圆心，半径为， 对于A：因为圆心到直线的距离为，，    所以的面积最大值为，故A错误； 对于B,设，则， 由，则， ，因此，故B正确， 对于C，当直线与上半圆相切于点时，此时，故，故存在斜率为的直线，C正确， 对于D，①设与直线垂直且过点的直线为， 则，得，即直线为， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆有两个交点，    所以以为直角顶点的直角三角形有2个； ②设与直线垂直且过点的直线为， 则，得，即直线为， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，无公共点，    所以以为直角顶点的直角三角形不存在； ③以为直径的圆为，设圆心为，则，半径为， 所以， 因为， 所以以为直径的圆与圆相交，    所以以为直角顶点的直角三角形有2个； 综上，在运动过程中，能且只能得到4个不同的，故D正确. 故选：BCD 11. 已知数列满足（t为正整数），则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则t所有可能取值的集合为 C. 若，为正整数，则的前项和为 D. 任意都不能构成等差数列 【答案】AD 【解析】 【分析】根据递推公式代入计算可判断A正确，B错误，由可知数列前构成等比数列，利用等比数列前项和公式计算可得C错误，对中的前两项是否为3的倍数进行分类讨论，再由等差数列定义判断即可得D正确. 【详解】对于A，若，可得， 根据递推公式计算可得，即可得A正确， 对于B，由题意（t为正整数）以及递推公式可知均为正整数； 显然当时，可得只能为， 再根据递推公式可得前3项的取值有以下情况： ；；； ；； 所以t所有可能取值的集合为，可得B错误； 对于C，若，为正整数，显然可知数列的前构成等比数列，公比为，； 则可知数列的前项和为，即C错误； 对于D，若都为3的倍数，且能构成等差数列， 因此可得，显然此时， 显然此时不能构成等差数列； 若都不为3的倍数，且能构成等差数列， 则，因此， 解得，与题意矛盾，显然此时不能构成等差数列； 若为3的倍数，不为3的倍数，且能构成等差数列， 则，因此， 解得，与题意矛盾，显然此时不能构成等差数列； 若不为3的倍数，为3的倍数，且能构成等差数列， 则，因此， 解得，与题意矛盾，显然此时不能构成等差数列； 综上可得，任意都不能构成等差数列，即D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：在判断D选项时关键在于对任意中的前两项是否为3的倍数分四类进行讨论，再利用等差中项性质判断即可得出结论. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，求出值，进而求出离心率即可. 【详解】由双曲线的渐近线为，得，即， 所以双曲线离心率. 故答案为： 13. 已知定义在的函数满足，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】令函数，求导函数并根据函数符号与单调性的关系判断得出的单调性，再利用单调性解不等式可得结论. 【详解】构造函数，则， 又，，可得， 因此在上单调递增， 原不等式可化为，即， 可得，因此， 解得. 故答案为：. 14. 棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，点为的重心，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意建立空间直角坐标系，利用正四面体性质求出点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，再利用重心性质以及异面直线夹角的向量求法即可求出结果. 【详解】根据题意，记在底面内的摄影为，则平面， 又平面，故，； 利用正四棱锥性质可得，所以， 又因为，则， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，在平面内过作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 设， 易知， 又点为的重心，可得， 因此， 设直线与直线所成的角为， 则可得 当时，取得最大值. 因此直线与直线所成角的余弦值的最大值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解异面直线夹角的方法： 平移法：作出异面直线夹角平面角求解； 向量法：利用空间向量以及夹角公式计算. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和满足，且． （1）求证：数列为等差数列； （2）记为数列的前n项和，求使成立的n的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质可得，即可利用的关系得，利用等差数列的定义即可求证， （2）利用裂项相消法求解，即可利用二次函数的性质求解最值. 【小问1详解】 由可得为等差数列，且公差为1，首项为1， 故，即， 当时，，故， 当时，也符合， 故， 因此时，，故等差数列，且公差为2， 【小问2详解】 ， 故， 由可得， 故， 由于为开口向上，且对称轴为的二次函数， 故在单调递增，且， 因此使成立的n的最小值为2. 16. 设函数． （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，当时，函数的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）由给定的恒成立的不等式分离参数，构造函数，求出函数的最大值即可. （2）利用导数按分类讨论函数在上的单调性，并求出最小值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，不等式， 令，依题意，恒成立，， 当时，；当时，， 函数在上递增，在上递减，，则， 所以实数a的取值范围是. 【小问2详解】 由函数，求导得，由，得， 当时，，函数在上单调递减， ，解得，无解； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，解得，符合题意， 所以存在实数a，当时，函数的最小值是2，. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，为的中点． （1）求点到平面的距离： （2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，再由空间距离的向量求法计算可得结果； （2）设，利用线面角的向量求法解方程计算可得结果. 【小问1详解】 取的中点为，连接， 因为平面，平面， 所以， 又，的中点为，， 所以，，可得四边形为平行四边形， 又，因此为矩形，可知， 因此两两垂直， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知，因此； 可得， 设平面的一个法向量为； 则，解得，令，可得； 因此法向量可以为， 且，，，为的中点． 易知， 所以点到平面的距离为； 【小问2详解】 假设存在点，设， 易知， 所以， 由（1）可知平面的一个法向量为， 因为直线与平面所成角的正弦值是， 所以， 解得， 即，可得. 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）记椭圆的右焦点为，若点在椭圆上，满足，求直线的斜率． （3）过点的动直线与椭圆有两个交点，在y轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点纵坐标的取值范围为，满足题意. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率并代入点坐标计算可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程并利用韦达定理以及向量共线解方程可得结果； （3）对直线斜率进行分类讨论，联立直线和椭圆方程由韦达定理以及向量数量积的坐标表示，再根据恒成立解不等式可得结果. 【小问1详解】 依题意可知，解得， 因此椭圆的方程为； 【小问2详解】 易知，设直线的方程为，； 联立，整理可得，显然； 因此， 由可得，即， 代入可得，即； 因此，即， 解得， 因此直线的方程为，即其斜率为. 【小问3详解】 如下图： 当过点的动直线斜率存在时， 设直线方程为，，； 联立，整理可得，显然； 因此， 所以 若存在点使得恒成立，可得， 解得， 当过点的动直线斜率不存在时，两个交点分别为椭圆的上下顶点， 显然此时方向相反，满足题意； 综上可得，点的纵坐标的取值范围为，使得恒成立. 19. 数列的前项和为，若存在正整数，且，使得同时成立，则称数列为“数列” （1）若首项为3，公差为的等差数列是“数列”，求的值； （2）已知数列为等比数列，公比为． ①若数列为“数列”，求的最大值； ②若，为偶数，试判断是否存在正整数，使数列为“数列”？如果存在，求出的最小值，如果不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①的最大值为；②不存在正整数，使数列为“数列”；理由见解析； 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前项和公式解方程组可得； （2）①利用等比数列前项和公式解方程组可得，对的取值分类讨论即可得当时，取得最大值为； ②根据“数列”定义可得，对正整数的奇偶性进行分类讨论，构造函数利用导数判断得出单调性即可得出结论. 【小问1详解】 因为等差数列是“数列”，所以， 即可得，由首项为3，解得； 【小问2详解】 ①当公比时，可得； 由数列为“数列”可得， 即，显然此时方程组无解，即； 当时，由可得， 解得； 显然当为偶数时，此时无解， 因此一定为奇数， 当时，可得，当时，可得， 以此类推易知时，可得， 显然随之的增大而减小， 所以时，取得最大值； ②因为数列为“数列”，，所以， 即, 两式作商可得，即， 因为为偶数， 假设为偶数，则可得， 令函数，则， 当时，易知，即， 所以在上单调递增， 因为，所以， 这与矛盾，因此假设不成立； 假设为奇数，则可得， 因为，所以，，即 因此 这与矛盾，因此假设不成立； 综上可得，若，为偶数，不存在正整数，使数列为“数列”. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据“数列”得出的关系式，再对其奇偶性分类讨论，利用同构思想构造函数得出函数单调性可判断方程无解，可得不存在正整数满足题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025高二阶段性测试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（ ） A. 4个 B. 9个 C. 12个 D. 16个 2. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 记为等差数列的前n项和，已知，则（ ） A. 0 B. C. D. 2 4. 若直线与圆相交于A、B两点，且（其中O是原点），则k的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设为曲线左，右两个焦点，P是曲线与的一个交点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线上的一点P（异于原点O）作C的切线l，过O作l的平行线交PF（F为C的焦点）于点Q，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（ ） 参考公式：关于的回归直线方程中， A. B. 由散点图知变量和负相关 C. 相关系数 D. 用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 10. 已知点，点P在上运动，在此过程中，则（ ） A. 的面积最大值为 B. 的取值范围是 C. 存在斜率为的直线 D. 存在四个直角三角形PMN 11. 已知数列满足（t为正整数），则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则t所有可能取值的集合为 C. 若，为正整数，则前项和为 D. 任意都不能构成等差数列 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为__________． 13. 已知定义在的函数满足，则不等式的解集为__________． 14. 棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，点为的重心，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和满足，且． （1）求证：数列为等差数列； （2）记为数列前n项和，求使成立的n的最小值． 16. 设函数． （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，当时，函数的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，为的中点． （1）求点到平面的距离： （2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）记椭圆的右焦点为，若点在椭圆上，满足，求直线的斜率． （3）过点的动直线与椭圆有两个交点，在y轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 19. 数列前项和为，若存在正整数，且，使得同时成立，则称数列为“数列” （1）若首项为3，公差为的等差数列是“数列”，求的值； （2）已知数列为等比数列，公比为． ①若数列为“数列”，求最大值； ②若，为偶数，试判断是否存在正整数，使数列为“数列”？如果存在，求出的最小值，如果不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $