精品解析：2025年浙江省宁波市江北区中考一模数学模拟试题

2025年浙江省宁波市江北区中考一模 数学模拟试题 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知下列各数：，，3.14，0，，，6，，其中负数有（ ）个 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．根据正数和负数的定义判断即可． 【详解】解： 3.14，，6，是正数； 0既不是正数也不是负数； ，， 是负数． 故选B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，关键是掌握同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，积的乘方的运算法则． 根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，积的乘方，分别根据相应的运算法则计算即可． 【详解】A、 ，故选项A错误； B、， 故选项B错误； C、 ，故选项C错误； D、，故选项D正确． 故选：D． 3. 如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解主视图是从物体的正面看得到的视图． 根据主视图的定义，分析从主视方向看该组合体所得到的图形． 【详解】解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较窄的矩形． 故选：B． 4. 从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一名同学参加数学抢答竞赛，四名同学数学平时成绩的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 96 93 98 98 方差（） 3.5 3.3 3.3 6.1 根据表中数据，要从这四名同学中选择一名成绩好且发挥稳定的同学去参赛，那么应该选的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，要选择平均数大且方差小的成绩，比较四名同学的平均数与方差，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴丙、丁的成绩更好； ∵， ∴丙的成绩更稳定； ∴应该选的同学是丙． 故选：C． 【点睛】本题考查了运用平均数与方差作决策．解题的关键在于熟练掌握平均数与方差的意义． 5. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的概念可知，设，则，再由勾股定理求出，再根据锐角三角函数的概念求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， 设：，则， ∴由勾股定理得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的概念是解答本题的关键． 6. 如图，四边形与四边形 位似，其位似中心为点 ，且，则四边形与四边形 的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的判定和性质、相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据图形位似的性质可得 ，则可得的值，同理可得两个四边形其余三条对应边的比值，即可解题． 【详解】解： 四边形与四边形 位似， ， ， ， ， ， 同理可得，，，， 四边形 与四边形 相似， 四边形与四边形 的周长比是 ， 故选：B． 7. 如图，等边内接于⊙ ，点E是弧上的一点，且 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出 ，结合圆内接四边形对角互补，得出，根据等边三角形性质以及圆周角性质，得出 ，运用三角形内角性质，列式计算，即可作答． 【详解】解：连接 ， ， ∵ ，， ∴ ， 则， ∵是等边三角形， ∴ ， 则 ， ∵， ∴， ∴， 则， 故选：C． 8. 出口贸易是我国经济发展的重要因素，由于出口贸易持续增长，一企业生产某种商品的数量增加明显.已知今年生产该商品的数量比今年和去年生产的数量总和的一半多11万件，去年的数量比今年和去年生产数量总和的三分之一少2万件.设今年生产该商品的数量为x万件，去年生产该商品的数量为y万件，根据题意可列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“今年生产该商品的数量比今年和去年生产的数量总和的一半多11万件”，“去年的数量比今年和去年生产数量总和的三分之一少2万件”分别列方程即可． 【详解】设今年生产该商品的数量为x万件，去年生产该商品的数量为y万件， 由题意可得：， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，图中各点的坐标均可以求出来，，，只需证明即可证明结论①；先求出直线OB的解析式，然后求直线OB与反比例函数的交点坐标，即可证明结论②；分别求出和，进行比较即可证明结论③；只需证明，即可求证结论④． 【详解】解：∵OABC为矩形，点B的坐标为（4，2）， ∴A点坐标为(4，0)，C点坐标为(0，2)， 根据反比例函数， 当时，，即D点坐标为(1，2)， 当 时，，即F点坐标为(4，)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 故结论①正确； 设直线OB的函数解析式为：， 点B代入则有：， 解得：， 故直线OB的函数解析式为：， 当时，(舍) 即时，， ∴点E的坐标为(2，1)， ∴点E为OB的中点， ∴， 故结论②正确； ∵， ∴， 由②得：， ， ∴， 故结论③正确； 在和中， ， ∴， ∴， 故结论④正确， 综上：①②③④均正确， 故选：A． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，反比例函数与几何综合，结合题意求出图中各点坐标是解决本题的关键． 10. 已知和均是以 为自变量的函数，为实数．当时，函数值分别为和，若存在实数 ，使得．则称和为友好函数，以下和不一定是友好函数的是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给定义，直接令，即可根据一元二次方程根的判别式得出结论． 【详解】解： 当时，函数值分别为和，若存在实数 ，使得，则称和为友好函数， 当有解时，和为友好函数， A．令，则，整理得，，存在实数 ，故A选项不符合题意； B．令，则，整理得，，当时， ，无解，不一定存在实数 ，故B选项符合题意； C．令，则，整理得 ，，存在实数 ，故C选项不符合题意； D．令，则，整理得，，存在实数 ，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 的小数部分是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，解题的关键是确定的范围，进而得到的整数部分，再求出其小数部分． 先确定的取值范围，从而得到的取值范围，找出其整数部分，再用减去整数部分得到小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴小数部分为， 故答案为：． 12. 若，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据平方差公式因式分解，再整体代换即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴ ． 故答案为：． 13. 一个不透明的盒子里，装有除颜色外无其他差别的白珠子 颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在左右，则盒子中黑珠子可能有颗___________． 【答案】 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：设有黑色珠子 颗， 由题意可得，， 解得， 经验验，是方程的解， 故估计盒子中黑珠子大约有个． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白珠子的频率得到相应的等量关系． 14. 如图， 在 中， 于点 ， 则 的面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，勾股定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．易得，勾股定理求出，利用求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：． 15. 如图所示是抛物线 的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③ 的最大值为3；④方程有两个不相等的实根．其中正确的为_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 根据二次函数的图象和性质依次判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与 轴交于正半轴， ∵抛物线的对称轴为直线 ，且过点 ， ∴，抛物线过点 ，即 ． ， ∴①正确，②正确． ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时， 有最大值，其值与有关， ∴③错误． ∵方程的根即是 的图象与的交点， 由图象知， 的图象与的图象有两个交点． ∴④正确． 故答案为：①②④． 16. “三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的，在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，四边形是长方形， 是延长线上一点， 是 上一点，并且，.若，，则长方形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，由，结合内外角关系可得，再根据矩形的性质得到，进而得到，推出矩形是正方形，即可求解． 【详解】解： ，， ， ， ， 四边形是长方形， 是延长线上一点， ， ， ， ， 矩形是正方形，， 正方形的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的性质，正方形的性质，矩形的性质，解题的关键是灵活运用这些知识． 三、解答题（本大题有8小题，共66分） 17. （1）化简： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；1 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，单项式乘以多项式，乘法公式等等： （1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， 当时，原式． 18. 如图，在直角坐标系中，各顶点的横、纵坐标都是整数， （1）作出关于 轴对称的图形； （2）求的面积 【答案】（1） 如图， （2）11.5 【解析】 【分析】本题考查了作图-对称性变换以及坐标与图形， （1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积减去三个三角形的面积计算的面积． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解： 19. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，求出 取值范围即可； （2）由且m为非负整数，得到 或0，代入后求出方程的解，即可得出答案． 【小问1详解】 ∵方程有两个不相等的实数根． 即有两个不相等的实数根． ∴． 解得； 【小问2详解】 ∵且m为非负整数， ∴ 或0． 当 时，原方程为 ． 解得，，它的根都是整数，符合题意； 当 时，原方程为． 解得，， ∴它的根都是不整数，不符合题意；． 综上所述， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出 的值和 的范围是解此题的关键． 20. 某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”． （1）本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ． （2）补全条形统计图． （3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ． （4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ． 【答案】（1）50人，； （2） 补全图形如下： （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得合格人数所占百分比； （2）总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形； （3）用乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案； （4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽查的总人数为（人， “合格”人数的百分比为， 故答案为：50人，； 【小问2详解】 解：不合格的人数为：； 【小问3详解】 解：扇形统计图中“不合格”人数的度数为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 甲 （乙，甲） （丙，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） 由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果， 所以刚好抽中甲乙两人的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图与条形统计图的关联，读懂统计图中的信息、画出树状图或列表是解题的关键． 21. 小嘉骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小嘉妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段 与折线分别表示两人离家的距离 （km）与小嘉的行驶时间（h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题． （1）求 的函数表达式； （2）求点 的坐标； （3）设小嘉和妈妈两人之间的距离为 （km），当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可得出答案； （2）先根据待定系数法得出直线的解析式，与 的函数表达式组成方程解之即可得出答案； （3）分相遇前和相遇后两种情况进行解答即可 【小问1详解】 解：∵ 过原点 设 的函数表达式为， 把代入可得： ∴ ∴ 的函数表达式 【小问2详解】 设线段所在直线的函数表达式为 ， ∵在直线上， ∴，解得： ∴直线的解析式为： ∴解得： ∴点 的坐标为： 【小问3详解】 当小嘉和妈妈相遇前：，解得 当小嘉和妈妈相遇后：，解得 ∴的取值范围为： 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确函数图象中的信息，利用数形结合的思想解答． 22. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交 于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若， ，求菱形的面积． 【答案】（1）证明过程见解答 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据线段的垂直平分线得出，根据矩形的性质得出，求出 ，根据全等三角形的判定定理得出，求出 ，得出四边形为平行四边形，再得出答案即可； （2）根据菱形的性质得出，设，根据勾股定理求出 ，再求出面积即可． 【小问1详解】 证明：∵ 是的垂直平分线， ， ∵四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ， 设， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， ∴菱形的面积． 23. 【定义】 例如，如图1，过点A作交于点B，线段的长度称为点A到的垂直距离，过A作平行于y轴交于点C，的长就是点A到的竖直距离． 【探索】 当与x轴平行时， ， 当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为 时，___________． 【应用】 如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高 ，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距 ，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处， （1） ___________． （2）如图3，现决定在山上种另一棵树 （垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值． 【拓展】 （3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树 （垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出 最高应为多少？ 【答案】探索： 应用：（1） （2） 拓展:（3） 【解析】 【分析】探索:先求得，再运用勾股定理求得证得，利用相似三角形性质即可求得答案； 应用：（1）延长 交 轴于点 ，则利用解直角三角形可得，把 代入即可求得答案； （2）利用待定系数法可得直线 的解析式 设则N(t, 可得，进而可得 ，运用二次函数的性质即可得出答案； 拓展：取 的中点 ，作交 轴于点 ，延长 交圆弧于点 ，过点 作轴交 于点 ，此时 最大，运用垂径定理可得再利用解直角三角形即可求得答案. 【详解】探索：∵直线为，如图，设直线与轴分别交于点， 令得 ， ∴ ，即 ， 令 ，得， 解得：， ∴，即 ， ∵ 轴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 应用：（1）如图， 延长 交 轴于点 ，则， ， ，， ， ， ， 把 代入得:， 解得：， 故答案为：； （2）由（1）知, 设直线 的解析式为则 ， 解得：， ， 如图，设 ，则， ， ， ， ∵轴， ， ， ， ， ∴当 时，取得最大值 ， 答：的最大值为 【拓展】如图， 取 的中点 ，作交 轴于点 ，延长 交圆弧于点 ，过点 作轴交 于点 ，此时 最大， ， ， 在 中, ， ， ， 又， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 答： 最高应为 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的应用，二次函数最值求法，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，圆的性质，垂径定理等，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键. 24. 如图，中， ，以为直径的 分别交边， 于点 ，，过点作 的切线交的延长线于点 ． （1）求证： ； （2）若，，求 和 的长． 【答案】（1） 证明： ， ， 是 的切线， ， ， ， ， ， ； （2） ， 【解析】 【分析】（1）由 可得 ，由切线的性质可得 ，从而得到 ， ，推出 ，即可得证； （2）连接 、，由（1）可得 ， ，，即可求出 ，得到 ，由勾股定理可得 ，得到，由圆周角定理可得 ，证明 ，得到，求出，同理可得，，证明 ，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接 、， 由（1）可得 ， ， ， 是 的切线， ， ， ， ， ， ， ， 是 的直径， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 同理可得：，， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙江省宁波市江北区中考一模 数学模拟试题 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知下列各数：，，3.14，0，，，6，，其中负数有（ ）个 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 4. 从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一名同学参加数学抢答竞赛，四名同学数学平时成绩的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 96 93 98 98 方差（） 3.5 3.3 3.3 6.1 根据表中数据，要从这四名同学中选择一名成绩好且发挥稳定的同学去参赛，那么应该选的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形与四边形 位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形 的周长比是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，等边内接于⊙，点E是弧上的一点，且 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 出口贸易是我国经济发展的重要因素，由于出口贸易持续增长，一企业生产某种商品的数量增加明显.已知今年生产该商品的数量比今年和去年生产的数量总和的一半多11万件，去年的数量比今年和去年生产数量总和的三分之一少2万件.设今年生产该商品的数量为x万件，去年生产该商品的数量为y万件，根据题意可列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 已知和均是以为自变量的函数，为实数．当时，函数值分别为和，若存在实数 ，使得．则称和为友好函数，以下和不一定是友好函数的是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 的小数部分是_______． 12. 若，则代数式的值为______． 13. 一个不透明的盒子里，装有除颜色外无其他差别的白珠子颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在左右，则盒子中黑珠子可能有颗___________． 14. 如图， 在 中， 于点 ， 则 的面积为_______. 15. 如图所示是抛物线 的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③ 的最大值为3；④方程有两个不相等的实根．其中正确的为_______． 16. “三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的，在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，四边形是长方形，是延长线上一点， 是 上一点，并且，.若，，则长方形的面积为______． 三、解答题（本大题有8小题，共66分） 17. （1）化简： （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在直角坐标系中，各顶点的横、纵坐标都是整数， （1）作出关于轴对称的图形； （2）求的面积 19. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 20. 某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”． （1）本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ． （2）补全条形统计图． （3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ． （4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ． 21. 小嘉骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小嘉妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段 与折线分别表示两人离家的距离 （km）与小嘉的行驶时间 （h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题． （1）求 的函数表达式； （2）求点 的坐标； （3）设小嘉和妈妈两人之间的距离为 （km），当时，求 的取值范围． 22. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交 于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若， ，求菱形的面积． 23. 【定义】 例如，如图1，过点A作交于点B，线段 的长度称为点A到的垂直距离，过A作 平行于y轴交于点C， 的长就是点A到的竖直距离． 【探索】 当与x轴平行时， ， 当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离 与点到直线的竖直距离 存在一定的数量关系，当直线为 时，___________ ． 【应用】 如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高 ，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距 ，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处， （1） ___________． （2）如图3，现决定在山上种另一棵树 （垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值． 【拓展】 （3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树 （垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出 最高应为多少？ 24. 如图，中， ，以为直径的 分别交边，于点， ，过点 作 的切线交 的延长线于点． （1）求证： ； （2）若，，求和 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $