第03讲 正比例函数（3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

第03讲 正比例函数 课程标准 学习目标 ①正比例函数的定义 ②正比例函数的图像与性质 ③正比例函数的解析式 1. 掌握正比例函数的定义，能够准确的判断正比例函数以及根据定义求值。 2. 掌握正比例函数的图像与性质，并能够熟练的运用图像与性质解决相应的题目。 3. 掌握待定系数法求正比例函数的解析式。 知识点01 正比例函数的定义 1. 正比例函数的定义： 一般地，形如 的函数叫做正比例函数。其中，叫做 比例系数 。 注意：①自变量系数（比例系数）不能为 0 。 ②自变量次数一定是 1 。 ③正比例函数解析式中，自变量后面为 0 。 【即学即练1】 1．下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（　　） A．圆的面积S与它的半径r B．面积是常数S时，长方形的长y与宽x C．路程是常数s时，行驶的速度v与时间t D．三角形的底边是常数a时，它的面积S与这条边上的高h 【分析】将每个选项的关系式列出来，然后再判断即可． 【解答】解：A．s＝πr2，s是r的二次函数， B．y，y是x的反比例函数， C．v，v是t的反比例函数， D．sah，s是h的正比例函数． 故选：D． 【即学即练2】 2．下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y B．yx C．y＝x+1 D．y＝x2 【分析】根据正比例函数的定义进行解答即可． 【解答】解：A、不符合正比例函数的一般形式，不是正比例函数，故此选项不符合题意； B、符合正比例函数的一般形式，是正比例函数，故此选项符合题意； C、不符合正比例函数的一般形式，不是正比例函数，故此选项不符合题意； D、不符合正比例函数的一般形式，不是正比例函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【即学即练3】 3．若函数y＝（m﹣1）x|m|是正比例函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2 【分析】根据正比例函数的定义，令m﹣1≠0，|m|＝1即可． 【解答】解：由题意得：m﹣1≠0，|m|＝1， 解得：m＝﹣1． 故选：B． 知识点02 正比例函数的图像与性质 1. 正比例函数的图像与性质： 的取值 大致图像 经过象限 随的变化情况 一、三 随的增大而 增大 二、四 随的增大而 减小 正比例函数的图像是必经过 原点 的一条直线。在画正比例函数图像时，还需确定除原点外的另一个点即可。 【即学即练1】 4．正比例函数y＝﹣2x的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据k＝﹣2＜0和正比例函数的性质即可得到答案． 【解答】解：∵k＝﹣2＜0， ∴正比例函数y＝﹣2x的图象经过二、四象限． 故选：C． 【即学即练2】 5．关于函数，下列结论中正确的是（　　） A．函数的图象必经过点（1，3） B．函数的图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有y＞0 【分析】当x＝1时，y；由k＞0，函数的图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当x＜0，时，y＜0． 【解答】解：A、函数的图象必经过点（1，），故A错误； B、∵k＞0，∴函数的图象经过第一、三象限，故B错误； C、∵k＞0，∴y随x的增大而增大，故C正确； D、当x＜0时，y＜0，故D错误； 故选：C． 知识点03 正比例函数解析式 1. 待定系数法求函数解析式 具体步骤： ①设：设 正比例 函数解析式。 ②带：把已知点带入函数解析式中，得到关于未知系数的方程。 ③解方程：解步骤②中得到的方程，得到比例系数的值。 ④反带：将求得的比例系数带入函数解析式即可 【即学即练1】 6．已知正比例函数图象经过点（﹣1，2）， （1）求此正比例函数解析式； （2）点（2，﹣5）是否在此函数图象上？ 【分析】（1）设函数关系式为y＝kx，将点（﹣1，2）代入可得出k的值． （2）将点（2，﹣5）代入，看能否满足函数解析式，继而可作出判断． 【解答】解：（1）设函数关系式为：y＝kx， 则﹣k＝2，即k＝﹣2， 故可得出正比例函数关系式为：y＝﹣2x； （2）将点（2，﹣5）代入，左边＝﹣5，右边＝﹣4，左边≠右边， 故点（2，﹣5）不在此函数图象上． 【即学即练2】 7．已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，且当x＝﹣1时，y＝2；当x＝2时，y＝5，求y与x之间的函数表达式． 【分析】根据正比例函数的定义设y1＝mx，y2＝n（x﹣2），则y＝mx+n（x﹣2），再把两组对应值代入得到关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可． 【解答】解：设y1＝mx，y2＝n（x﹣2），则y＝mx+n（x﹣2）， 根据题意得 解得 所以y与x的函数表达式为yx（x﹣2）＝x+3， 即y＝x+3． 题型01 判断正比例关系与正比例函数解析式 【典例1】下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（　　） A．圆的面积S随半径r的变化而变化 B．用10m长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．正方形的周长C随边长a的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油50L，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 【分析】分别写出各选项的解析式，逐一判断即可． 【解答】解：A．S与r2成正比，故选项A不符合题意； B．y＝5﹣x不是正比例函数关系，故选项B不符合题意； C．是正比例函数关系，故选项C符合题意； D．Q＝50﹣ks（k为常数，即单位路程耗油量），不是正比例函数关系，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列各选项中，两个变量y与x之间的关系是正比例函数关系的是（　　） A．直角三角形中一个锐角的度数y（度）与另一个锐角的度数x（度）之间的关系 B．正方体的表面积y（cm2）与它的棱长x（cm）之间的关系 C．小红阅读一本420页的名著，未读的页数y（页）与已读的页数x（页）之间的关系 D．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系 【分析】分别根据直角三角形的性质、正方体的表面积公式、路程与速度列出y与x的函数关系式，再根据正比例函数的定义逐项判断即可得． 【解答】解：A、y＝90﹣x，不是正比例函数关系，此项不符合题意； B、y＝6x2，不是正比例函数关系，此项不符合题意； C、y＝420﹣x，不是正比例函数关系，此项不符合题意； D、y＝60x，是正比例函数关系，此项符合题意； 故选：D． 【典例2】下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（　　） A． B．y＝2x+1 C．y＝2x D．y＝x2 【分析】根据正比例函数的定义解答即可． 【解答】解：A、y，是反比例函数，不符合题意； B、y＝2x+1，是一次函数，不是正比例函数，不符合题意； C、y＝2x，是正比例函数，符合题意； D、y＝x2，是二次函数，不符合题意． 故选：C． 【变式1】下列式子中，哪个表示y是x的正比例函数（　　） A．y＝﹣0.1x B．y C．y＝2x2 D．y2＝4x 【分析】根据正比例函数的定义（形如y＝kx，其中k≠0，k为常数）解决此题． 【解答】解：A．根据正比例函数的定义，y＝﹣0.1x是正比例函数，故A符合题意． B．根据正比例函数的定义，y是反比例函数，不是正比例函数，故B不符合题意． C．根据正比例函数的定义，y＝2x2是二次函数，不是正比例函数，故C不符合题意． D．根据正比例函数的定义，y2＝4x不是正比例函数，故D不符合题意． 故选：A． 【变式2】下列函数（其中x是自变量）中，不是正比例函数的个数有（　　） ①y＝﹣x；②y+2＝2（x+1）；③y＝k2x（k是常数）；④y2＝x2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】形如y＝kx（k为常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此判断即可． 【解答】解：①y＝﹣x是正比例函数； ②y+2＝2（x+1），整理得y＝2x，是正比例函数； ③y＝k2x（k是常数），当k＝0时，不是函数，当k≠0时，是正比例函数； ④y2＝x2，不是函数； 所以不是正比例函数的个数有2个， 故选：B． 题型02 根据正比例函数的定义求值 【典例1】若函数y＝（m+1）是正比例函数，则m的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【分析】根据正比例函数的定义可得m2＝1且m+1≠0，即可求解． 【解答】解：∵函数y＝（m+1）是正比例函数， ∴m2＝1且m+1≠0， 由m2＝1可得m＝±1， 由m+1≠0可得m≠﹣1， 则m＝1， 故选：C． 【变式1】若函数y＝（m﹣2）x+4﹣m2是关于x的正比例函数，则m的值是（　　） A．±2 B．1 C．2 D．﹣2 【分析】根据正比例函数的定义列式计算． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x+4﹣m2是关于x的正比例函数， ∴4﹣m2＝0，m﹣2≠0， 解得，m＝﹣2， 故选：D． 【变式2】若x，y是变量，且y＝（k﹣2）x|k﹣1|是正比例函数，则k值为　0　． 【分析】根据正比例函数的定义，可得：k﹣2≠0，|k﹣1|＝1，从而求出k值． 【解答】解：∵根据正比例函数的定义，可得：k﹣2≠0，|k﹣1|＝1， ∴k＝0． 【变式3】已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　﹣1　． 【分析】由正比例函数的定义可得m2﹣1＝0，且m﹣1≠0． 【解答】解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【变式4】已知y＝（m﹣3）x+9﹣m2是正比例函数，则m＝　﹣3　． 【分析】根据正比例函数的定义可得m﹣3≠0且9﹣m2＝0，计算求得结果． 【解答】解：由题意得， 解得：m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 题型03 正比例函数的图像与性质 【典例1】下列图象哪个可能是函数y＝﹣8x的图象（　　） A． B． C． D． 【分析】由函数解析式可直接确定其图象经过第二、四象限，即可选择． 【解答】解：∵函数解析式为y＝﹣8x， ∴k＝﹣8，b＝0， ∴该函数图象经过第二、四象限，故选项B符合题意． 故选：B． 【变式1】如果正比例函数y＝（k﹣1）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是　k＜1　． 【分析】根据正比例函数的性质（正比例函数y＝kx（k≠0），当k＜0时，该函数的图象经过第二、四象限）解答． 【解答】解：正比例函数y＝（k﹣1）x的图象经过第二、四象限， ∴k﹣1＜0， 解得，k＜1． 故答案为：k＜1． 【变式2】下列正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小的是（　　） A．y＝0.5x B． C．y＝2x D．y＝﹣2x 【分析】根据正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小进行判断即可． 【解答】解：A、在函数y＝0.5x中， ∵0.5＞0， ∴y随x的增大而增大，不符合题意； B、在正比例函数中， ∵， ∴y随x的增大而增大，不符合题意； C、在正比例函数y＝2x中， ∵2＞0， ∴y随x的增大而增大，不符合题意； D、在正比例函数y＝﹣2x中， ∵﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小，符合题意， 故选：D． 【变式3】如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【分析】在图中画出直线x＝1，得出此直线与三个正比例函数图象的交点，再根据它们的位置关系即可解决问题． 【解答】解：作直线x＝1如图所示， 则点A坐标为（1，b），点B坐标为（1，a），点C坐标为（1，c）， 结合A，B，C三个点的位置可知， c＜a＜b． 故选：B． 【变式4】已知A（x1，y1）和点B（x2，y2）是直线y＝﹣2x上的两个点，如果x1＜x2，那么y1和y2的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法判断 【分析】先根据题意判断出函数的增减性，再由x1＜x2即可得出结论． 【解答】解：∵直线y＝﹣2x中，k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵x1＜x2， ∴y1＞y2． 故选：A． 【变式5】若正比例函数y＝（1﹣2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C． D． 【分析】由当x1＜x2时，y1＜y2，可得出y随x的增大而增大，利用一次函数的性质，可得出1﹣2m＞0，解之可得出m的取值范围． 【解答】解：∵正比例函数y＝（1﹣2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＜y2， ∴y随x的增大而增大， ∴1﹣2m＞0， 解得：m． 故选：C． 题型04 利用待定系数法求正比例函数解析式 【典例1】在正比例关系y＝kx中，x＝2，y＝4，则比例系数k等于（　　） A． B．2 C．6 D．8 【分析】利用待定系数法求解析式即可． 【解答】解：当x＝2，y＝4时，4＝2k， 解得k＝2， 故选：B． 【变式1】若点P（﹣4，2）是正比例函数y＝kx（k≠0）图象上的点，则此正比例函数的表达式为 　yx　． 【分析】直接把点（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0），求出k的数值即可． 【解答】解：把点（﹣4，2）代入y＝kx得 2＝﹣4k， k， ∴正比例函数解析式为yx． 故答案为：yx． 【变式2】已知y与x成正比例，且当x＝﹣3时，y＝15． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（a，﹣7）在这个函数的图象上，求a的值． 【分析】（1）设正比例函数为y＝kx，将x＝﹣3，y＝15代入得，15＝﹣3k，计算求解，然后作答即可； （2）将（a，﹣7）代入y＝﹣5x得，﹣7＝﹣5a，计算求解即可． 【解答】解：（1）设正比例函数为y＝kx， 将x＝﹣3，y＝15代入得，15＝﹣3k， 解得k＝﹣5， ∴y＝﹣5x； （2）将（a，﹣7）代入y＝﹣5x得，﹣7＝﹣5a， 解得， ∴a的值为． 【变式3】已知y1与（x+3）成正比例，y2与x成正比例，y＝y1+y2.当x＝1时，y＝8；当x＝﹣1时，y＝﹣2． （1）求y与x的函数解析式； （2）已知点A（a，5）在（1）所求出函数的图象上，求a的值． 【分析】（1）根据正比例定义可设y1＝a（x+3），y2＝bx，则y＝a（x+3）+bx，再把两组对应值分别代入得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可得到y与x的关系式； （2）把A（a，5）的坐标代入y＝5x+3即可求出a的值． 【解答】解：（1）设y1＝a（x+3），y2＝bx，则y＝a（x+3）+bx， 把x＝1时，y＝8；当x＝﹣1时，y＝﹣2代入得， 解得， ∴y＝x+3+4x＝5x+3， ∴y与x的函数关系式为y＝5x+3； （2）∵A（a，5）在函数y＝5x+3的图象上， ∴5a+3＝5， 解得a． 【变式4】已知y＝y1﹣y2，且y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，且当x＝1时，y＝0；当x＝﹣3时，y＝4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x＝3时，求y的值． 【分析】（1）设y1＝ax，y2＝k（x﹣2），由当x＝1时，y＝0．当x＝3时，y＝4可得关于a、k的两个等式联立方程组即可求出a，k，可得出y的表达式与x的函数关系式； （2）然后把x＝3代入（1）的关系式中，求解即可． 【解答】解：（1）设y1＝k1x，y2＝k2（x﹣2），则y＝k1x﹣k2（x﹣2），依题意，得， 解得， ∴yx（x﹣2）， ∴y是x的一次函数为y＝﹣x+1； （2）把x＝3代入y＝﹣x+1，得y＝﹣2． ∴当x＝3时，y的值为﹣2． 1．下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝2（x﹣1） B． C． D． 【分析】形如y＝kx（k为常数且k≠0）的函数叫做正比例函数，由此判断即可． 【解答】解：A、y＝2（x﹣1）＝2x﹣2，是一次函数，不是正比例函数，故此选项不符合题意； B、是反比例函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项不符合题意； D、是正比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 2．在下列各图象中，表示函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】一条经过原点的直线．由y＝kx（k＞0）的图象经过一、三象限可得答案． 【解答】解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k＞0时，经过一、三象限． ∴正比例函数的大致图象是A． 故选：A． 3．下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（　　） A．圆的周长C随半径r的变化而变化 B．用15m长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．正方形的面积S随边长a的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油50L，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 【分析】分别写出各选项的解析式，逐一判断即可． 【解答】解：A．C＝2πr，C与r成正比，故选项A符合题意； B．不是正比例函数关系，故选项B不符合题意； C．S与a不是正比例函数关系，故选项C不符合题意； D．不是正比例函数关系，故选项D不符合题意． 故选：A． 4．若y＝（m﹣2）x|m﹣1|为正比例函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【分析】形如y＝kx（k为常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此计算即可． 【解答】解：根据题意得，|m﹣1|＝1， 解得m＝0或m＝2， ∵m﹣2≠0， ∴m≠2， ∴m＝0， 故选：A． 5．已知正比例函数y＝（k+2）x（其中k为常数，且k≠﹣2），如果y的值随x的值增大而增大，那么下列k的值中，不可能的是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 【分析】根据正比例函数的定义得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝（k+2）x（其中k为常数，且k≠﹣2）中，y的值随x的值增大而增大， ∴k+2＞0， 解得k＞﹣2， ∵﹣3＜﹣2＜﹣1＜0＜2， ∴k不可能是﹣3． 故选：A． 6．一个正比例函数的图象经过点A（a，2），B（a+1，4），则这个正比例函数的表达式为（　　） A．y＝2x B．y＝﹣2x C． D． 【分析】设此函数的解析式为y＝kx（k≠0），再把点A（a，2），B（a+1，4）代入，求出k的值即可． 【解答】解：设此函数的解析式为y＝kx（k≠0）， ∵正比例函数的图象经过点A（a，2），B（a+1，4）， ∴， 解得k＝2， ∴这个正比例函数的表达式为y＝2x． 故选：A． 7．当x＞0时，y与x之间的函数解析式为y＝2x，当x≤0时，y与x之间的函数解析式为y＝﹣2x，则在同一平面直角坐标系中y与x之间的函数关系图象大致为图中的（　　） A． B． C． D． 【分析】利用正比例函数图象的性质结合自变量的取值范围得出符合题意的图象． 【解答】解：∵当x＞0时，y与x的函数解析式为y＝2x， ∴此时图象则第一象限， ∵当x≤0时，y与x的函数解析式为y＝﹣2x， ∴此时图象则第二象限， 故选：C． 8．已知点（﹣2，y1），（﹣5，y2）都在直线上，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2 【分析】由k0，利用正比例函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合﹣2＞﹣5，即可得出y1＜y2． 【解答】解：∵k0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点（﹣2，y1），（﹣5，y2）都在直线上，且﹣2＞﹣5， ∴y1＜y2． 故选：A． 9．下列说法中正确的有（　　） ①y＝kx是正比例函数； ②如果y＝（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，那么a＝±3； ③如果y与x+2成正比例，那么y是x的正比例函数； ④如果，那么y与x2成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此即可判断． 【解答】解：①当k≠0时，y＝kx是正比例函数，原说法错误，不符合题意； ②如果y＝（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，那么a＝3，原说法错误，不符合题意； ③如果y与x+2成正比例，那么y＝k（x+2）不是x的正比例函数，原说法错误，不符合题意； ④如果，那么y与x2成正比例，说法正确，符合题意； ∴正确的只有1个， 故选：D． 10．如图，在平面直角坐标系中有两条直线：l1：y：y＝﹣x，对点作如下操作．第1步，作点A1关于l1的对称点A2；第2步，作A2关于l2的对称点A3；第3步，再作A3关于l1的对称点A4；第4步，再作A4关于l2的对称点A5…以此类推，问：点A6的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数的性质和轴对称是性质进行作答． 【解答】解：∵点，l1：y：y＝﹣x， ∴OA1＝2， ∴点A1关于l1的对称点A2（0，2）， A2关于l2的对称点A3（﹣2，0）， A3关于l1的对称点A4（1，）， 同理：A5（，1），A6（﹣1，）， 故选：A． 11．下列函数：①y＝﹣3x；②y＝3x﹣1；③；④y＝x2；⑤．其中，y是x的正比例函数的有 　2　个． 【分析】根据正比例函数的定义逐项判断即可． 【解答】解：①y＝﹣3x是正比例函数，符合要求； ②y＝3x﹣1是一次函数，不符合要求； ③是反比例函数，不符合要求， ④y＝x2是二次函数，不符合要求， ⑤是正比例函数，符合要求； 则是正比例函数的有2个， 故答案为：2． 12．若函数y＝﹣xa﹣3+b﹣1是关于x的正比例函数，则a+b的平方根为 　　． 【分析】根据正比例函数的基本形式y＝kx（k为常数），求出a，b的值，再求平方根即可． 【解答】解：∵数y＝﹣xa﹣3+b﹣1是关于x的正比例函数， ∴a﹣3＝1，b﹣1＝0， ∴a＝4，b＝1， ∴a+b的平方根为， 故答案为：． 13．如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么m的值为 　　． 【分析】首先根据正比例函数的定义可得m2﹣1＝1，且m﹣1≠0，解出m的值，再根据图象经过第二、四象限，可得m﹣1＜0，进而确定m． 【解答】解：由题意得：m2﹣1＝1，且m﹣1≠0， 解得：m＝±， ∵图象经过第二、四象限， ∴m﹣1＜0， 解得m＜1， ∴m， 故答案为：． 14．已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4；当x＝1时，y＝2，则y与x之间的函数表达式为 　y＝x+1　． 【分析】根据题意y1与x成正比例，设y1＝mx；y2与x﹣1成正比例，y2＝n（x﹣1）．设列出方程组，把x＝3时y＝4；x＝1时y＝2，代入，求出未知数，写出解析式． 【解答】解：设y1＝mx，y2＝n（x﹣1），则y＝y1+y2＝（m+n）x﹣n，根据题意得： ， 解得：， 则y与x之间的函数关系式是：y＝x+1． 故答案为：y＝x+1． 15．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，其中a，b，c均为常数，则将a，b，c按从小到大排列为 　b＜a＜c　．（用“＜”符号连接） 【分析】根据直线所过象限可得a＜0，b＜0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＜a，进而得到答案． 【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＜0，c＞0， 再根据直线越陡，|k|越大，则b＜a． 则b＜a＜c． 故答案为：b＜a＜c． 16．已知关于x的函数y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2，当m，n为何值时，它是正比例函数． 【分析】一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，要使这个函数为正比例函数，x的次数为一次，系数不为0，常数项为0． 【解答】解：∵y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2是正比例函数， ∴|m|﹣2＝1， ∴|m|＝3， ∴m＝±3； 又∵y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2是正比例函数， ∴m﹣3≠0， ∴m≠3， ∴m只能等于﹣3； ∵n﹣2＝0， ∴n＝2． 17．已知三个函数的解析式分别为，y2＝x，y3＝2x． （1）如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数； （2）仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征． 【分析】（1）根据题意画出三个正比例函数的图象，即可求解； （2）根据正比例函数的性质结合图象写出3条函数的图象特征即可求解． 【解答】解：（1）列表如下， x … 0 1 … y1 … 0 … y2 … 0 1 … y3 … 0 2 … 三个函数的大致图象，如图所示， （2）性质1，三个函数的函数值y都随着x的增大而增大； 性质2，三个函数的图象都经过（0，0）； 性质3，三个函数的图象都经过一、三象限， 18．已知，且y是关于x的正比例函数． （1）求y与x的函数关系式； （2）若x≤2，求函数y的最小值． 【分析】（1）根据正比例函数定义求出k值即可； （2）根据正比例函数性质解答出最小值即可． 【解答】解：（1）∵，且y是关于x的正比例函数， ∴k2﹣3＝1，k≠2， ∴k＝﹣2， ∴y＝﹣4x， （2）∵y＝﹣4x中k＝﹣4＜0，y随x的增大而减小，且x≤2， ∴当x＝2时，函数有最小值，最小值为y＝﹣8． 19．已知y﹣2与3x﹣4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3． （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）若点P（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值； （3）若y的取值范围为﹣1≤y≤1，求x的取值范围． 【分析】（1）根据正比例的定义设y﹣2＝k（3x﹣4），然后把x＝2时，y＝3代入计算求出k值，再整理即可得解； （2）将点（a，﹣3）代入（1）中所求的函数的解析式求a的值； （3）分别代入y＝﹣1和y＝1，分别求出所对应的x的值，即可求得x的取值范围． 【解答】解：（1）设y﹣2＝k（3x﹣4）， 将x＝2、y＝3代入，得：2k＝1，解得k， ∴y﹣2（3x﹣4），即yx； （2）将点P（a，﹣3）代入yx，得：a＝﹣3， 解得：a＝﹣2； （3）当y＝﹣1时，x＝﹣1，解得：x， 当y＝1时，x＝1，解得：x， 故x． 20．已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 （3）在（2）的条件下，是否在正比例函数y＝kx上存在一点M，使得．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得OP＝5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标． （3）设点，当P（5，0）或P（﹣5，0）时，分点M在线段OA上与在线段OA延长线两种情况，由列方程，从而可得点M的坐标． 【解答】解：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3 ∴， 解得，AH＝2， ∴点A的坐标为（3，﹣2）， ∵正比例函数y＝kx经过点A， ∴3k＝﹣2， 解得， ∴正比例函数的解析式是； （2）存在． 设P（t，0）， ∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，﹣2）， ∴， ∴t＝5或t＝﹣5， ∴P点坐标为（5，0）或（﹣5，0）． （3）设，如图， ①点M在OA上时， 当P（5，0）时，OP＝5， 又A（3，﹣2）， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴M点的坐标为； 当点P（﹣5，0）时，OP＝5， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴M点的坐标为； ②点M在OA的延长线上时， 当P（5，0）时，OP＝5， 若时，， ∴， 解得，x＝9， ∴， ∴M点的坐标为（9，﹣6）； 当点P（﹣5，0）时，OP＝5， 若时，同理可得，M点的坐标为（9，﹣6）； 综上，点M的坐标为或（9，﹣6）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 正比例函数 课程标准 学习目标 ①正比例函数的定义 ②正比例函数的图像与性质 ③正比例函数的解析式 1. 掌握正比例函数的定义，能够准确的判断正比例函数以及根据定义求值。 2. 掌握正比例函数的图像与性质，并能够熟练的运用图像与性质解决相应的题目。 3. 掌握待定系数法求正比例函数的解析式。 知识点01 正比例函数的定义 1. 正比例函数的定义： 一般地，形如 的函数叫做正比例函数。其中，叫做 。 注意：①自变量系数（比例系数）不能为 。 ②自变量次数一定是 。 ③正比例函数解析式中，自变量后面为 。 【即学即练1】 1．下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（　　） A．圆的面积S与它的半径r B．面积是常数S时，长方形的长y与宽x C．路程是常数s时，行驶的速度v与时间t D．三角形的底边是常数a时，它的面积S与这条边上的高h 【即学即练2】 2．下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y B．yx C．y＝x+1 D．y＝x2 【即学即练3】 3．若函数y＝（m﹣1）x|m|是正比例函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2 知识点02 正比例函数的图像与性质 1. 正比例函数的图像与性质： 的取值 大致图像 经过象限 随的变化情况 随的增大而 随的增大而 正比例函数的图像是必经过 的一条直线。在画正比例函数图像时，还需确定除原点外的另一个点即可。 【即学即练1】 4．正比例函数y＝﹣2x的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 5．关于函数，下列结论中正确的是（　　） A．函数的图象必经过点（1，3） B．函数的图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有y＞0 知识点03 正比例函数解析式 1. 待定系数法求函数解析式 具体步骤： ①设：设 函数解析式。 ②带：把已知点带入函数解析式中，得到关于未知系数的方程。 ③解方程：解步骤②中得到的方程，得到比例系数的值。 ④反带：将求得的比例系数带入函数解析式即可 【即学即练1】 6．已知正比例函数图象经过点（﹣1，2）， （1）求此正比例函数解析式； （2）点（2，﹣5）是否在此函数图象上？ 【即学即练2】 7．已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，且当x＝﹣1时，y＝2；当x＝2时，y＝5，求y与x之间的函数表达式． 题型01 判断正比例关系与正比例函数解析式 【典例1】下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（　　） A．圆的面积S随半径r的变化而变化 B．用10m长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．正方形的周长C随边长a的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油50L，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 【变式1】下列各选项中，两个变量y与x之间的关系是正比例函数关系的是（　　） A．直角三角形中一个锐角的度数y（度）与另一个锐角的度数x（度）之间的关系 B．正方体的表面积y（cm2）与它的棱长x（cm）之间的关系 C．小红阅读一本420页的名著，未读的页数y（页）与已读的页数x（页）之间的关系 D．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系 【典例2】下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（　　） A． B．y＝2x+1 C．y＝2x D．y＝x2 【变式1】下列式子中，哪个表示y是x的正比例函数（　　） A．y＝﹣0.1x B．y C．y＝2x2 D．y2＝4x 【变式2】下列函数（其中x是自变量）中，不是正比例函数的个数有（　　） ①y＝﹣x；②y+2＝2（x+1）；③y＝k2x（k是常数）；④y2＝x2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 根据正比例函数的定义求值 【典例1】若函数y＝（m+1）是正比例函数，则m的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【变式1】若函数y＝（m﹣2）x+4﹣m2是关于x的正比例函数，则m的值是（　　） A．±2 B．1 C．2 D．﹣2 【变式2】若x，y是变量，且y＝（k﹣2）x|k﹣1|是正比例函数，则k值为　 　． 【变式3】已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　 　． 【变式4】已知y＝（m﹣3）x+9﹣m2是正比例函数，则m＝　 　． 题型03 正比例函数的图像与性质 【典例1】下列图象哪个可能是函数y＝﹣8x的图象（　　） A． B． C． D． 【变式1】如果正比例函数y＝（k﹣1）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是　 　． 【变式2】下列正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小的是（　　） A．y＝0.5x B． C．y＝2x D．y＝﹣2x 【变式3】如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【变式4】已知A（x1，y1）和点B（x2，y2）是直线y＝﹣2x上的两个点，如果x1＜x2，那么y1和y2的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法判断 【变式5】若正比例函数y＝（1﹣2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C． D． 题型04 利用待定系数法求正比例函数解析式 【典例1】在正比例关系y＝kx中，x＝2，y＝4，则比例系数k等于（　　） A． B．2 C．6 D．8 【变式1】若点P（﹣4，2）是正比例函数y＝kx（k≠0）图象上的点，则此正比例函数的表达式为 　 　． 【变式2】已知y与x成正比例，且当x＝﹣3时，y＝15． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（a，﹣7）在这个函数的图象上，求a的值． 【变式3】已知y1与（x+3）成正比例，y2与x成正比例，y＝y1+y2.当x＝1时，y＝8；当x＝﹣1时，y＝﹣2． （1）求y与x的函数解析式； （2）已知点A（a，5）在（1）所求出函数的图象上，求a的值． 【变式4】已知y＝y1﹣y2，且y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，且当x＝1时，y＝0；当x＝﹣3时，y＝4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x＝3时，求y的值． 1．下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝2（x﹣1） B． C． D． 2．在下列各图象中，表示函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（　　） A．圆的周长C随半径r的变化而变化 B．用15m长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．正方形的面积S随边长a的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油50L，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 4．若y＝（m﹣2）x|m﹣1|为正比例函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．0或2 5．已知正比例函数y＝（k+2）x（其中k为常数，且k≠﹣2），如果y的值随x的值增大而增大，那么下列k的值中，不可能的是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 6．一个正比例函数的图象经过点A（a，2），B（a+1，4），则这个正比例函数的表达式为（　　） A．y＝2x B．y＝﹣2x C． D． 7．当x＞0时，y与x之间的函数解析式为y＝2x，当x≤0时，y与x之间的函数解析式为y＝﹣2x，则在同一平面直角坐标系中y与x之间的函数关系图象大致为图中的（　　） A． B． C． D． 8．已知点（﹣2，y1），（﹣5，y2）都在直线上，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2 9．下列说法中正确的有（　　） ①y＝kx是正比例函数； ②如果y＝（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，那么a＝±3； ③如果y与x+2成正比例，那么y是x的正比例函数； ④如果，那么y与x2成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，在平面直角坐标系中有两条直线：l1：y：y＝﹣x，对点作如下操作．第1步，作点A1关于l1的对称点A2；第2步，作A2关于l2的对称点A3；第3步，再作A3关于l1的对称点A4；第4步，再作A4关于l2的对称点A5…以此类推，问：点A6的坐标为（　　） A． B． C． D． 11．对于下列函数：①y＝﹣3x；②y＝3x﹣1；③；④y＝x2；⑤．其中，y是x的正比例函数的有 　 　个． 12．若函数y＝﹣xa﹣3+b﹣1是关于x的正比例函数，则a+b的平方根为 　 ． 13．如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么m的值为 　 ． 14．已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4；当x＝1时，y＝2，则y与x之间的函数表达式为 　 　． 15．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，其中a，b，c均为常数，则将a，b，c按从小到大排列为 　 　．（用“＜”符号连接） 16．已知关于x的函数y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2，当m，n为何值时，它是正比例函数． 17．已知三个函数的解析式分别为，y2＝x，y3＝2x． （1）如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数； （2）仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征． 18．已知，且y是关于x的正比例函数． （1）求y与x的函数关系式； （2）若x≤2，求函数y的最小值． 19．已知y﹣2与3x﹣4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3． （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）若点P（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值； （3）若y的取值范围为﹣1≤y≤1，求x的取值范围． 20．已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 （3）在（2）的条件下，是否在正比例函数y＝kx上存在一点M，使得．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$