第05讲 一次函数（2）（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

第05讲 一次函数（2） 课程标准 学习目标 ①一次函数图像的平移 ②一次函数解析式 ③一次函数的应用 1. 掌握一次函数图像的平移规律，并能够熟练的运用。 2. 掌握待定系数法求函数解析式，并熟练应用其求一次函数解析式。 3. 掌握一次函数的基本性质，并能够熟练的运用一次函数的基本性质解决相关的实际问题。 知识点01 一次函数图像的平移 1. 一次函数的平移变换： ①一次函数的左右平移： 函数在进行左右平移时，平移变换规律为在 上加减平移单位。左加右减。 I：若函数向左平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。 II：若函数向右平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。 ②一次函数的上下平移： 函数在进行上下平移时，平移变换规律为在 上加减平移单位。上加下减。 I：若函数向上平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。 II：若函数向下平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。 【即学即练1】 1．将函数y＝2x+1图象向下平移4个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（　　） A．y＝2x﹣1 B．y＝2x﹣3 C．y＝2x+3 D．y＝2x+5 【即学即练2】 2．将平面直角坐标系分别向下平移3个单位长度，向右平移1个单位长度得到直线y＝﹣2x+2，则平移前的直线解析式为 　 　． 【即学即练3】 3．将直线y＝﹣2x+4平移得到直线y＝﹣2x，则移动方法为（　　） A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位 C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位 【即学即练4】 4．将直线y＝kx﹣2（k≠0）向下平移6个单位后，正好经过点（2，4），则k的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 拓展：一次函数的对称变换： 一、函数关于轴对称： 若函数关于轴对称，函数的自变量 ，函数值变为原来的 。 即关于轴对称的函数解析式为 。 2、 函数关于轴对称： 若函数关于轴对称，函数的函数值 ，自变量变为原来的 。 即关于轴对称的函数解析式为 。 拓展：一次函数的翻折变换： 1、 在函数解析式上添加绝对值符号相当于把函数图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折。 2、 在函数解析式的自变量上加绝对值符号相当于把函数解析式y轴左边的图像去掉，再把右边的部分沿y轴向左翻折，翻折前后的两部分为新的函数图像。 【即学即练1】 5．若将一次函数y＝﹣2x﹣b的图象关于x轴对称，所得的图象经过点（2，1），则b的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5 【即学即练2】 6．将的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，再沿x轴翻折所得函数图象的对应的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 知识点02 待定系数法求一次函数解析式 1. 待定系数法求一次函数解析式： 具体步骤： ①设：设一次函数解析式。 ②找点：找一次函数图像上的点。 ③带入：将找到的点的坐标带入函数解析式中得到方程（或方程组）。 ④解：解③中得到的方程（或方程组），求出的值。 ⑤反带入：将求出的的值带入函数解析式中得到函数解析式。 【即学即练1】 7．已知A，B是一次函数y＝kx+b图象上的两点． （1）若A，B两点的坐标分别是（3，﹣4），（0，2），求这个一次函数的表达式． （2）若A，B两点的坐标分别是（m，n﹣2），（m+1，n），求k的值． 知识点03 一次函数的应用 1. 分段函数： 在一次函数的实际应用中，最常见为分段函数。分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。 关键点：①分段函数各段的函数解析式。 ②各个拐点的实际意义。 ③函数交点的实际意义。 2. 一次函数的综合： （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值。 （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题。 解决一次函数的实际应用题必须弄清楚自变量的取值范围。 【即学即练1】 8．已知甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的距离s（km）与甲货车出发时间t（h）之间的函数关系如图中的折线CD﹣DE﹣EF所示．则下列说法错误的是（　　） A．乙货车的速度为60km/h B．乙到终点时，t＝4 C．点E的坐标为（4，180） D．两车之间距离为100km时，t＝1.4h或3.4h 【即学即练2】 9．冬季来临，羽绒服成为了街头巷尾的主角，羽绒服一般分为鸭绒服和鹅绒服两种，某羽绒服工厂生产了一批鸭绒服和鹅绒服，鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件． （1）求鸭绒服、鹅绒服的单价分别是多少元？ （2）某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，在该工厂购进鸭绒服、鹅绒服共60件进行销售，并将鸭绒服、鹅绒服的售价分别定为每件520元、600元，求服装城应如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少？（假设购进的两种羽绒服全部销售完） 题型01 求平移前后的函数解析式 【典例1】把直线向下平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为 　　 ． 【变式1】将直线y＝﹣3x+2024先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为（　　） A．y＝﹣3x+2037 B．y＝﹣3x+2029 C．y＝﹣3x+2011 D．y＝﹣3x+2021 【变式2】将直线y＝x+4先向上平移2个单位，再向右平移2个单位到的直线l对应的一次函数的表达式为 　． 【变式3】把直线沿y轴向上平移2个单位长度得到直线y＝﹣2x﹣1，则平移前直线的函数解析式为（　　） A．y＝﹣2x+1 B．y＝﹣4x﹣3 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x﹣1 【变式4】在平面直角坐标系中，将一条直线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到直线y＝2x﹣6，则平移前的直线解析式为： ． 题型02 利用函数的平移求值 【典例1】直线y＝kx﹣2沿x轴向右平移3个单位长度经过点（﹣1，4），则k的值是　 　． 【变式1】一次函数y＝﹣2x+1通过平移后得到直线y＝﹣2x+7，则关于平移说法正确的是（　　） A．向左平移3个单位移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向上平移7个单位 D．向下平移6个单位 【变式2】将一次函数y＝﹣5x+3的图象向下平移m个单位长度，使其成为正比例函数，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．5 【变式3】将一次函数y＝﹣3x+b的图象沿y轴向下平移2个单位，得到一次函数y＝﹣3x的图象，则b的值为　 　． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，直线l1对应的函数表达式为y＝2x，将直线l1向上平移得l2，l2与x轴、y轴分别交于点A、点B，若OB＝6，则线段OA的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 题型03 函数的对称的应用 【典例1】一次函数y＝﹣kx+3的图象关于x轴对称后经过（2，﹣1），则k的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【变式1】已知一次函数y＝mx﹣3的图象与一次函数y＝2x+n的图象关于y轴对称，则m+n的值是（　　） A．5 B．﹣1 C．1 D．﹣5 【变式2】平面直角坐标系中有一直线l1：y＝﹣2x+5，先将其向右平移3个单位得到l2，再将l2作关于x轴的对称图形l3，最后将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，则直线l4的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式3】【思考•操作】关于函数y＝3|x|的图象． （1）由“数”想“形”： 根据函数关系式，你可以想象函数y＝3|x|的图象，下列说法正确的是 　 　；（填序号） ①函数图象始终在x轴及其上方； ②函数图象过原点； ③函数图象关于y轴对称； ④当x≥0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小． （2）画图：请在平面直角坐标系中，画出函数y＝3|x|的图象． 列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝3|x| … 　 　 　 　 　 … 描点： 连线： 【探究•思考】 （3）我们曾经研究过：一次函数y＝x﹣2的图象可以由正比例函数y＝x的图象向下平移2个单位长度得到，我们可以借鉴这一经验继续探究： 把函数y＝3|x|的图象向 　 　（填“上”或“下”）平移 　 　个单位长度可以得到函数y＝3|x|+3的图象． 【应用•拓展】 （4）已知点M（﹣1，﹣2），N（2，3），若函数y＝3|x|+b的图象与线段MN有且只有一个交点，请直接写出b的值． 题型04 待定系数法求一次函数解析式 【典例1】已知一次函数的图象过A（2，7），B（﹣1，1）两点． （1）求一次函数表达式； （2）求该函数图象与坐标轴交点的坐标． 【变式1】已知y是x的一次函数，根据如表提供的数据： x 3 ﹣4 y 5 ﹣9 （1）求y关于x的函数表达式； （2）求该函数图象和坐标轴围成的三角形面积． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点B（12，0）和点C（0，12），并与正比例函数的图象交于点A． （1）求直线BC的表达式． （2）求△AOC的面积． 【变式3】已知一次函数y＝（a+1）x+a﹣2（a为常数，a≠﹣1）的图象过点（﹣2，4）． （1）求一次函数的表达式． （2）若点P（m，y1），Q（m+1，y2）都在该函数的图象上． ①当﹣1＜m＜2时，求y1的取值范围． ②请判断y1，y2的大小关系，并说明理由． 题型05 一次函数的应用—图像分析 【典例1】甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法： ①a＝450； ②b＝150； ③甲的速度为8米/秒； ④当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒． 其中不正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车在城市道路上匀速行驶30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上匀速行驶30km到达目的地．已知汽车在城市道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的2倍．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示．以下说法正确的是（　　） ①汽车在乡村道路上行驶时间为1h ②汽车在乡村道路上行驶速度为40km/h ③汽车在高速路上行驶时间为2.5h ④汽车在高速路上行驶速度为85km/h A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式2】一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式3】某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发3分钟．在整个过程中，甲、乙两人之间距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为2700米；③乙行的速度为90米/分钟；④甲走完全程用了39分钟；⑤乙用15分钟追上甲．其中正确的结论是（　　） A．①③⑤ B．①②③ C．①③④ D．②④⑤ 题型04 待定系数法求一方案选择与优化 【典例1】为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某商场购进甲、乙两种装饰物对商场进行布置．已知每件甲种装饰物的价格比每件乙种装饰物的价格贵4元，用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同． （1）求该商场购进甲、乙两种装饰物的单价各是多少元； （2）当商场装饰完工后，发现还剩余甲种装饰物和乙种装饰物共400件，且购入成本不超过3000元．为了降低装饰成本，商场决定将甲种装饰物以每件13元，乙种装饰物以每件8元的价格对外出售．如果将剩余的这400件装饰物全都售完，剩余甲、乙装饰物的数量分别为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？ 【变式1】某水果店准备购进A，B两种水果进行销售，若购进A种水果和B种水果各5千克共需花费140元，购进A种水果3千克和B种水果7千克共雷花费156元． （1）求购进A种水果和B种水果的单价； （2）若该水果店购进了A，B两种水果共100千克，其中A种水果售价为15元/千克，B种水果售价为25元/千克，A种水果运输和仓储过程中质量损失4%．设购进A种水果m千克，A，B两种水果全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式． 【变式2】灵蛇献瑞，已蛇呈祥．新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福与甜蜜．重庆某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”．已知4件坚果礼盒和5件糖果礼盒进价1200元，7件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价1290元． （1）求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？ （2）超市决定用不超过66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500盒，其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，且两种礼盒的进价保持不变．在运输过程中，有5件坚果礼盒外包装破损，3件糖果礼盒外包装破损．销售时每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，外包装破损的产品均按售价的六折出售，若本次购进的两种礼盒全部售出，请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 【变式3】为进一步推动绿色生态文明建设，走可持续发展之路，某工厂在生产过程中同步进行污水处理，有两种处理方案： 方案1：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费； 方案2：积极响应“无废城市”号召，使用专业设备，通过有效方法，对污水进行循环利用．每处理1立方米污水所用原料费2元，并且设备损耗费为每月b元． 若产品的成本价为25元/件，出厂价为50元/件；生产过程中，每生产一件产品，会产生0.5立方米污水，设工厂每月生产x件产品，方案1、方案2的月利润y（元）与x（件）之间的函数关系如图所示．结合图象回答问题： （1）填空：a＝ 　 　，b＝ 　 　； （2）当工厂每月生产300件产品时，此时两种方案的月利润相差多少元？ （3）当两种方案的月利润相差1500元时，求x的值． 1．将正比例函数y＝2x的图象向下平移5个单位后，得到一个一次函数的图象，则关于这个一次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．与y轴的交点坐标点是（0，﹣5） B．经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形的面积为12.5 D．y的值随着x值的增大而减小 2．在平面直角坐标系中，已知点（1，2）与（2，4）在直线l上，则直线l必经过（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（6，3） D．（6，8） 3．将直线y＝﹣x+3向左平移a（a＞0）个单位后，经过点（1，﹣2），则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．百货大楼进了一批花布，出售时要在进价（进货价格） 的基础上加一定的利润，其长度x与售价y如下表，下列用长度x表示售价y的关系式中，正确的是（　　） 长度x/m 1 2 3 4 … 售价y/元 8+0.3 16+0.6 24+0.9 32+1.2 … A．y＝8x+0.3 B．y＝（8+0.3）x C．y＝8+0.3x D．y＝8+0.3+x 5．甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面300（m）处，同时出发去距离甲1200（m）的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为y（m），乙行驶的时间为x（s），y与x之间的关系如图所示，则C点的坐标为（　　） A．（200，160） B．（200，180） C．（240，160） D．（240，180） 6．对于一次函数y＝﹣x+2，结论如下：①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0）：③将函数的图象向下平移2个单位长度可以得到y＝﹣x的图象：④若两点A（1，y1），B（﹣1，y2），在该函数图象上，则y1＜y2．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（1，2），点B在第一象限，将直线y＝﹣2x沿x轴向右平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边AB有交点，则m的取值范围是（　　） A．4≤m≤8 B．0＜m＜4 C．2＜m＜8 D．2≤m≤4 8．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程s（单位：里）关于行走时间t（单位：日）的函数图象如图所示，下列说法：①劣马比良马早出发12日；②点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马；③良马的速度比劣马的速度快80里/日．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．在直角坐标系中，已知点A（m，n），B（p，q），其中m，n，p，q为互不相等的正数．作点A关于y轴的对称点C，点B关于x轴的对称点D．若直线CD经过原点，则下列关系式正确的是（　　） A． B．m+n＝p+q C． D．m﹣n＝p﹣q 10．如图，一次函数yx+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在y轴的正半轴上，若点B关于直线AC的对称点B′恰好落在x轴上，则直线AC所对应的函数表达式为（　　） A．yx B．yx C．yx D．yx 11．将一次函数y＝﹣3x+6向左平移m个单位后得到一个正比例函数，则m的值为 　 　． 12．已知直线y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接PB．当△APB的面积等于4时，直线PB的表达式为 　 　． 13．小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离y（km）与时间x（h）的关系，则小明与小亮交谈的时间为 　 　h． 14．如图，已知等腰直角△ABC的顶点B，C分别在x、y轴上，∠ABC＝90°，点B的坐标是（﹣1，0），C的坐标是（0，3），则直线AC的函数关系式为 　 ． 15．在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数y＝|x+2|﹣3，分析得到了下列四个结论： ①它的图象由直线y＝x+2向下平移3个单位所得． ②y随着x的增大而增大． ③当x＜﹣2时，y随着x的增大而减小． ④函数有最小值﹣3，其中正确结论的序号是 　 　． 16．已知一次函数的图象经过点（1，﹣1），（2，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求一次函数的表达式及△AOB的面积； （2）将一次函数的图象向上平移m（m＞0）个单位后恰好经过（﹣2，﹣3），则m的值为 　4　． 17．放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮再出发．小明在回家途中速度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离y（米）与小亮出发的时间x（分）之间的函数图象． （1）求CD段的函数表达式； （2）当小亮回到家时，小明距离家还有多远？ 18．某科技研发中心有50名工作人员，其中技术员20名、操作员30名．现将这50名工作人员派往A、B两个公司去研发产品，两个公司的月工资情况如下： 技术员（万元/月） 操作员（万元/月） A公司 1.8 1.6 B公司 1.6 1.2 （1）若派往A公司x名技术员，余下的工作人员全部派往B公司，求出这50名工作人员的月工资总额y（万元）与x（名）之间的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）根据研发需要，50名工作人员派往A公司40名，派往B公司10名．请求出月工资总额的最小值． 19．一次函数y＝kx﹣k+2（k为常数，且k≠0）． （1）若点（﹣1，3）在一次函数y＝kx﹣k+2的图象上， ①求k的值； ②设P＝y+x，则当﹣2≤x≤5时，求P的最大值． （2）若当m﹣3≤x≤m时，函数有最大值M，最小值N，且M﹣N＝6，求此时一次函数y的表达式． 20．把一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数y＝x的“V”形图象． （1）请在图2中画出一次函数y＝x+1的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围； （2）在（1）的条件下，若一次函数y＝x+1的“V”形图象与x轴交于点A，与直线yx+3相交于B，C两点，求△ABC的面积； （3）一次函数y＝kx﹣3k+4（k为常数）的“V”形图象经过（﹣1，y1），（3，y2）两点，且y1＞y2，求k的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一次函数（2） 课程标准 学习目标 ①一次函数图像的平移 ②一次函数解析式 ③一次函数的应用 1. 掌握一次函数图像的平移规律，并能够熟练的运用。 2. 掌握待定系数法求函数解析式，并熟练应用其求一次函数解析式。 3. 掌握一次函数的基本性质，并能够熟练的运用一次函数的基本性质解决相关的实际问题。 知识点01 一次函数图像的平移 1. 一次函数的平移变换： ①一次函数的左右平移： 函数在进行左右平移时，平移变换规律为在 自变量 上加减平移单位。左加右减。 I：若函数向左平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。 II：若函数向右平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。 ②一次函数的上下平移： 函数在进行上下平移时，平移变换规律为在 函数解析式 上加减平移单位。上加下减。 I：若函数向上平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。 II：若函数向下平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。 【即学即练1】 1．将函数y＝2x+1图象向下平移4个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（　　） A．y＝2x﹣1 B．y＝2x﹣3 C．y＝2x+3 D．y＝2x+5 【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可． 【解答】解：将函数y＝2x+1的图象向下平移4个单位长度，所得函数图象的表达式是y＝2x+1﹣4＝2x﹣3， 故选：B． 【即学即练2】 2．将平面直角坐标系分别向下平移3个单位长度，向右平移1个单位长度得到直线y＝﹣2x+2，则平移前的直线解析式为 　y＝﹣2x+1　． 【分析】设平移前的直线解析式为y＝﹣2x+b，将平面直角坐标系分别向下平移3个单位长度，向右平移1个单位长度，即把直线向上平移3个单位长度，向左平移1个单位长度，根据“上加下减，左加右减”的原则可得平移后直线解析式为y＝﹣2（x+1）+b+3＝﹣2x+b+1，即得b+1＝2，求出b即可求解． 【解答】解：设平移前的直线解析式为y＝﹣2x+b， 将平面直角坐标系分别向下平移3个单位长度，向右平移1个单位长度，即把直线向上平移3个单位长度，向左平移1个单位长度， ∴平移后直线解析式为y＝﹣2（x+1）+b+3＝﹣2x+b+1， ∴b+1＝2， ∴b＝1， ∴平移前的直线解析式为y＝﹣2x+1， 故答案为：y＝﹣2x+1． 【即学即练3】 3．将直线y＝﹣2x+4平移得到直线y＝﹣2x，则移动方法为（　　） A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位 C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【解答】解：∵y＝﹣2x+4＝﹣2（x﹣2）， ∴将一次函数y＝﹣2x+4的图象向左平移2个单位或者向下平移4个单位，可得到函数y＝﹣2x， 故选：D． 【即学即练4】 4．将直线y＝kx﹣2（k≠0）向下平移6个单位后，正好经过点（2，4），则k的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据平移规律可得，直线y＝kx﹣2向下平移6个单位后得y＝kx﹣8，然后把（2，4）代入即可求出k的值． 【解答】解：直线y＝kx﹣2向下平移6个单位后所得解析式为y＝kx﹣8， ∵平移后的直线经过点（2，4）， ∴4＝2k﹣8， 解得：k＝6， 故选：D． 拓展：一次函数的对称变换： 一、函数关于轴对称： 若函数关于轴对称，函数的自变量 不发生变化 ，函数值变为原来的 相反数 。 即关于轴对称的函数解析式为 。 2、 函数关于轴对称： 若函数关于轴对称，函数的函数值 不发生变化 ，自变量变为原来的 相反数 。 即关于轴对称的函数解析式为 。 拓展：一次函数的翻折变换： 1、 在函数解析式上添加绝对值符号相当于把函数图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折。 2、 在函数解析式的自变量上加绝对值符号相当于把函数解析式y轴左边的图像去掉，再把右边的部分沿y轴向左翻折，翻折前后的两部分为新的函数图像。 【即学即练1】 5．若将一次函数y＝﹣2x﹣b的图象关于x轴对称，所得的图象经过点（2，1），则b的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5 【分析】先写出一次函数y＝﹣2x﹣b的图象关于x轴对称的函数解析式，然后再将点（2，1）代入即可求得b的值． 【解答】解：∵函数解析式为一次函数y＝﹣2x﹣b的图象关于x轴对称 ∴关于x轴对称的函数解析式﹣y＝﹣2x﹣b，即y＝2x+b． ∵所得的图象经过点（2，1）， ∴1＝4+b． 解得b＝﹣3． 故选：A． 【即学即练2】 6．将的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，再沿x轴翻折所得函数图象的对应的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用平移规律得出平移后关系式，再利用关于x轴对称的性质得出答案． 【解答】解：将的图象沿y轴向上平移2个单位长度，所得的函数是yx+2， 将该函数的图象沿x轴翻折后所得的函数关系式﹣y，即yx﹣2， 故选：A． 知识点02 待定系数法求一次函数解析式 1. 待定系数法求一次函数解析式： 具体步骤： ①设：设一次函数解析式。 ②找点：找一次函数图像上的点。 ③带入：将找到的点的坐标带入函数解析式中得到方程（或方程组）。 ④解：解③中得到的方程（或方程组），求出的值。 ⑤反带入：将求出的的值带入函数解析式中得到函数解析式。 【即学即练1】 7．已知A，B是一次函数y＝kx+b图象上的两点． （1）若A，B两点的坐标分别是（3，﹣4），（0，2），求这个一次函数的表达式． （2）若A，B两点的坐标分别是（m，n﹣2），（m+1，n），求k的值． 【分析】（1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）将点A、B坐标代入解析式后，利用加减消元法计算即可得到k值． 【解答】解：（1）∵A，B两点的坐标分别是（3，﹣4），（0，2）且在一次函数y＝kx+b图象上， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+2． （2）∵A，B两点的坐标分别是（m，n﹣2），（m+1，n）且在一次函数y＝kx+b图象上， ∴， 两式相减得：k＝2． 知识点03 一次函数的应用 1. 分段函数： 在一次函数的实际应用中，最常见为分段函数。分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。 关键点：①分段函数各段的函数解析式。 ②各个拐点的实际意义。 ③函数交点的实际意义。 2. 一次函数的综合： （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值。 （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题。 解决一次函数的实际应用题必须弄清楚自变量的取值范围。 【即学即练1】 8．已知甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的距离s（km）与甲货车出发时间t（h）之间的函数关系如图中的折线CD﹣DE﹣EF所示．则下列说法错误的是（　　） A．乙货车的速度为60km/h B．乙到终点时，t＝4 C．点E的坐标为（4，180） D．两车之间距离为100km时，t＝1.4h或3.4h 【分析】A、设乙货车的速度为v km/h，根据两车在D点相遇时所行路程之和A、B两地之间的距离，列关于v的方程并求解即可； B、根据时间＝路程÷速度求出乙到终点时所用时间， C、由路程＝速度×时间求出甲货车在这段时间内行驶的路程，即乙到终点时，甲乙两车之间的距离即可； D、利用待定系数法分别求出线段CD、DE对应的函数关系式，分别令s＝100，列关于t的方程并求解即可． 【解答】解：设乙货车的速度为v km/h，则2.4（40+v）＝240， 解得v＝60， ∴乙货车的速度为60km/h， ∴A正确，不符合题意； 乙到终点时所用时间为240÷60＝4（h）， ∴B正确，不符合题意； 根据②，当乙到达终点时，甲距离A地40×4＝160（km）， ∴当乙到终点时，甲乙相距160km， 点E的坐标为（4，160）， ∴C不正确，符合题意； 设线段CD对应的函数关系式为s＝k1t+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）， 将坐标C（0，240）和D（2.4，0）分别代入s＝k1t+b1， 得， 解得， ∴线段CD对应的函数关系式为s＝﹣100t+240（0≤t≤2.4）， 当s＝100时，得﹣100t+240＝100， 解得t＝1.4； 设线段DE对应的函数关系式为s＝k2t+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）， 将坐标D（2.4，0）和E（4，160）分别代入s＝k2t+b2， 得， 解得， ∴线段DE对应的函数关系式为s＝100t﹣240， 当s＝100时，得100t﹣240＝100， 解得t＝3.4， ∴当t＝1.4h或3.4h时，两车之间距离为100km， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 【即学即练2】 9．冬季来临，羽绒服成为了街头巷尾的主角，羽绒服一般分为鸭绒服和鹅绒服两种，某羽绒服工厂生产了一批鸭绒服和鹅绒服，鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件． （1）求鸭绒服、鹅绒服的单价分别是多少元？ （2）某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，在该工厂购进鸭绒服、鹅绒服共60件进行销售，并将鸭绒服、鹅绒服的售价分别定为每件520元、600元，求服装城应如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少？（假设购进的两种羽绒服全部销售完） 【分析】（1）设鸭绒服的单价为每件x元，根据鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进鸭绒服m件，根据某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，列出不等式求出m的取值范围，设总利润为w，根据题意，列出函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【解答】解：（1）设鸭绒服的单价为每件x元，则：鹅绒服每件（x+50）元， ， ∴x＝﹣200（舍去）或x＝450； 经检验，x＝450是原方程的解， ∴x+50＝500， 答：鸭绒服的单价为每件450元，鹅绒服每件500元； （2）设购进鸭绒服m件， ∴450m+500（60﹣m）≤28500， ∴m≥30； 设总利润为y，则：y＝（520﹣450）m+（600﹣500）（60﹣m）， ∴y＝﹣30m+6000， ∵﹣30＜0， ∴y随着m的增大而减小， ∵m≥30， ∴当m＝30时，y有最大值为：﹣30×30+6000＝5100； 故各30件时，利润最大，为5100元． 题型01 求平移前后的函数解析式 【典例1】把直线向下平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为 　　． 【分析】利用“上加下减”的平移规律求解即可． 【解答】解：由题意知，直线平移后直线的函数表达式为， 故答案为：． 【变式1】将直线y＝﹣3x+2024先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为（　　） A．y＝﹣3x+2037 B．y＝﹣3x+2029 C．y＝﹣3x+2011 D．y＝﹣3x+2021 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【解答】解：将直线y＝﹣3x+2024先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为y＝﹣3（x+3）+2024﹣4，即y＝﹣3x+2011． 故选：C． 【变式2】将直线y＝x+4先向上平移2个单位，再向右平移2个单位到的直线l对应的一次函数的表达式为 　y＝x+4　． 【分析】利用一次函数平移规律左加右减，上加下减进而得出答案． 【解答】解：将一次函数y＝x+4的图象向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到直线：y＝（x﹣2）+4+2，即y＝x+4． 故答案为：y＝x+4． 【变式3】把直线沿y轴向上平移2个单位长度得到直线y＝﹣2x﹣1，则平移前直线的函数解析式为（　　） A．y＝﹣2x+1 B．y＝﹣4x﹣3 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x﹣1 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：把直线沿y轴向上平移2个单位长度得到直线y＝﹣2x﹣1， 则平移前的直线解析式为：y＝﹣2x﹣1﹣2＝﹣2x﹣3． 故选：C． 【变式4】在平面直角坐标系中，将一条直线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到直线y＝2x﹣6，则平移前的直线解析式为：　y＝2x+1　． 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将一条直线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到直线y＝2x﹣6， 则平移前的直线解析式为：y＝2（x+2）﹣6+3＝2x+1． 故答案为：y＝2x+1． 题型02 利用函数的平移求值 【典例1】直线y＝kx﹣2沿x轴向右平移3个单位长度经过点（﹣1，4），则k的值是　　． 【分析】根据“左加右减”的平移法则，得出平移后的直线解析式，再将点（﹣1，4）代入即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将直线y＝kx﹣2沿x轴向右平移3个单位长度后， 所得直线的函数解析式为y＝k（x﹣3）﹣2． 将点（﹣1，4）代入得， ﹣4k﹣2＝4， 解得k． 故答案为：． 【变式1】一次函数y＝﹣2x+1通过平移后得到直线y＝﹣2x+7，则关于平移说法正确的是（　　） A．向左平移3个单位移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向上平移7个单位 D．向下平移6个单位 【分析】根据图象的平移规律，可得答案． 【解答】解：直线y＝﹣2x+1通过向右平移3个单位得到直线y＝﹣2（x﹣3）+1＝﹣2x+7或直线y＝﹣2x+1向上平移6个单位， 故选：B． 【变式2】将一次函数y＝﹣5x+3的图象向下平移m个单位长度，使其成为正比例函数，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．5 【分析】求出平移后的函数为y＝﹣5x+3﹣m，再由题意可得方程3﹣m＝0，求出m的值即可． 【解答】解：将一次函数y＝﹣5x+3的图象向下平移m个单位长度， ∴平移后的函数解析式为y＝﹣5x+3﹣m， ∵平移后为正比例函数， ∴3﹣m＝0， 解得m＝3， 故选：C． 【变式3】将一次函数y＝﹣3x+b的图象沿y轴向下平移2个单位，得到一次函数y＝﹣3x的图象，则b的值为　2　． 【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可． 【解答】解：将一次函数y＝﹣3x+b的图象沿y轴向下平移2个单位，得到y＝﹣3x+b﹣2， ∵得到一次函数y＝﹣3x， ∴b﹣2＝0，即b＝2． 故答案为：2． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，直线l1对应的函数表达式为y＝2x，将直线l1向上平移得l2，l2与x轴、y轴分别交于点A、点B，若OB＝6，则线段OA的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 【分析】根据“上加下减”的平移法则，表示出直线l2的解析式，再由OB长得出点B的坐标，据此求出l2的解析式，再求出点A坐标即可． 【解答】解：由题知， 令直线l2的解析式为y＝2x+b， 则点B坐标为（0，b）． 因为OB＝6， 所以b＝6， 所以直线l2的解析式为y＝2x+6． 令y＝0得， 2x+6＝0， 解得x＝﹣3， 所以点A坐标为（﹣3，0）， 所以OA＝3． 故选：A． 题型03 函数的对称的应用 【典例1】一次函数y＝﹣kx+3的图象关于x轴对称后经过（2，﹣1），则k的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【分析】首先把（2，1）代入y＝﹣kx+3可得关于k的方程，再解即可． 【解答】解：∵（2，﹣1）关于x轴对称点为（2，1）， ∴一次函数y＝﹣kx+3的图象过点P（2，1）， ∴1＝﹣2k+3， 解得：k＝1， 故选：A． 【变式1】已知一次函数y＝mx﹣3的图象与一次函数y＝2x+n的图象关于y轴对称，则m+n的值是（　　） A．5 B．﹣1 C．1 D．﹣5 【分析】根据两个一次函数的图象关于y轴对称，得出它们与y轴的交点相同，进而可求出n的值，再在所得一次函数y＝2x+n的图象上任意取一点，将其关于y轴的对称点坐标代入y＝mx﹣3即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为一次函数y＝mx﹣3的图象与一次函数y＝2x+n的图象关于y轴对称，且一次函数y＝mx﹣3与y轴的交点坐标为（0，﹣3）， 则将（0，﹣3）代入y＝2x+n得，n＝﹣3， 所以一次函数的解析式为y＝2x﹣3． 令x＝1得，y＝﹣1， 则点（1，﹣1）关于y轴的对称点坐标为（﹣1，﹣1）． 将（﹣1，﹣1）代入y＝mx﹣3得， ﹣m﹣3＝﹣1， 解得m＝﹣2， 所以m+n＝﹣2+（﹣3）＝﹣5． 故选：D． 【变式2】平面直角坐标系中有一直线l1：y＝﹣2x+5，先将其向右平移3个单位得到l2，再将l2作关于x轴的对称图形l3，最后将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，则直线l4的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】设直线l1与x轴交于A，直线l2与x轴交于B，与y轴交于C，直线l3与y轴交于D，将△BOD绕直线点D逆时针旋转90°得到△EFD，由y＝﹣2x+5得A（2.5，0），根据将直线l1向右平移3个单位得到l2，可得B（5.5，0），直线l2解析式为y＝﹣2x+11，即可得C（0，11），又将l2作关于x轴的对称图形l3，故D（0，﹣11），因将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，故DF＝OD＝11，EF＝OB＝5.5，可得E（﹣11，﹣5.5），再利用待定系数法即可求解． 【解答】解：设直线l1与x轴交于A，直线l2与x轴交于B，与y轴交于C，直线l3与y轴交于D，将△BOD绕直线点D逆时针旋转90°得到△EFD，如图： 在y＝﹣2x+5中，令y＝0得x＝2.5， ∴A（2.5，0）， ∵将直线l1向右平移3个单位得到l2， ∴B（5.5，0），且直线l1∥l2， ∴直线l2解析式为y＝﹣2x+11， 在y＝﹣2x+11中，令x＝0得y＝11， ∴C（0，11）， ∵将l2作关于x轴的对称图形l3， ∴D（0，﹣11）， ∵将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4， ∴DF＝OD＝11，EF＝OB＝5.5， ∴E到x轴距离为11﹣5.5＝5.5， ∴E（﹣11，﹣5.5）， 设直线l4的解析式为y＝mx﹣11， 将E（﹣11，﹣5.5）代入得：﹣5.5＝﹣11m﹣11， 解得， ∴直线l4的解析式为， 故选：A． 【变式3】【思考•操作】关于函数y＝3|x|的图象． （1）由“数”想“形”： 根据函数关系式，你可以想象函数y＝3|x|的图象，下列说法正确的是 　①②③④　；（填序号） ①函数图象始终在x轴及其上方； ②函数图象过原点； ③函数图象关于y轴对称； ④当x≥0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小． （2）画图：请在平面直角坐标系中，画出函数y＝3|x|的图象． 列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝3|x| … 　6　 　3　 　0　 　3　 　6　 … 描点： 连线： 【探究•思考】 （3）我们曾经研究过：一次函数y＝x﹣2的图象可以由正比例函数y＝x的图象向下平移2个单位长度得到，我们可以借鉴这一经验继续探究： 把函数y＝3|x|的图象向 　上　（填“上”或“下”）平移 　3　个单位长度可以得到函数y＝3|x|+3的图象． 【应用•拓展】 （4）已知点M（﹣1，﹣2），N（2，3），若函数y＝3|x|+b的图象与线段MN有且只有一个交点，请直接写出b的值． 【分析】（1）通过思考判断即可． （2）描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线，根据图象即可求得； （3）借鉴经验即可得到答案； （4）根据图象即可求得． 【解答】解：（1）由“数”想“形”： 根据函数关系式，你可以想象函数y＝3|x|的图象， ①函数图象始终在x轴及其上方； ②函数图象过原点； ③函数图象关于y轴对称； ④当x≥0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小． 故答案为：①②③④； （2）列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝3|x| … 6 3 0 3 6 … 描点，连线，画出函数图象如图所示． （3）我们曾经研究过：一次函数y＝x﹣2的图象可以由正比例函数y＝x的图象向下平移2个单位长度得到，我们可以借鉴这一经验继续探究： 把函数y＝3|x|的图象向上平移3个单位长度可以得到函数y＝3|x|+3的图象． 故答案为：上，3； （4）设直线MN的解析式为y＝mx+n， ∵M（﹣1，﹣2），N（2，3）， ∴， 解得， ∴线段MN的解析式为yx， ∴直线MN与y轴的交点为（0，）， ∴若函数y＝3|x|+b的图象与线段MN有且只有一个交点，则b， 把M（﹣1，﹣2）代入 y＝3|x|+b，解得b＝﹣5， 把N（2，3）代入 y＝3|x|+b，解得b＝﹣3， ∴若函数y＝3|x|+b的图象与线段MN有且只有一个交点，﹣5≤b＜﹣3 综上，若函数y＝3|x|+b的图象与线段MN有且只有一个交点，﹣5≤b＜﹣3或b． 题型04 待定系数法求一次函数解析式 【典例1】已知一次函数的图象过A（2，7），B（﹣1，1）两点． （1）求一次函数表达式； （2）求该函数图象与坐标轴交点的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）利用坐标轴上点的坐标特征求解． 【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把A（2，7），B（﹣1，1）分别代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝2x+3； （2）当y＝0时，2x+3＝0， 解得x， ∴一次函数图象与x轴的交点坐标为（，0）， 当x＝0时，y＝2x+3＝3， ∴一次函数图象与y轴交点坐标为（0，3）． 【变式1】已知y是x的一次函数，根据如表提供的数据： x 3 ﹣4 y 5 ﹣9 （1）求y关于x的函数表达式； （2）求该函数图象和坐标轴围成的三角形面积． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）根据（1）中所求函数解析式，分别求出直线与x轴及y轴的交点坐标，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 令一次函数的解析式为y＝kx+b， 则， 解得， 所以一次函数的表达式为y＝2x﹣1． （2）将x＝0代入y＝2x﹣1得，y＝﹣1， 所以一次函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1）． 将y＝0代入y＝2x﹣1得，x． 所以一次函数图象与x轴的交点坐标为（）， 所以该函数图象和坐标轴围成的三角形面积为：． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点B（12，0）和点C（0，12），并与正比例函数的图象交于点A． （1）求直线BC的表达式． （2）求△AOC的面积． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）求出点A的坐标，再结合点C的坐标即可解决问题． 【解答】解：（1）将点B和点C坐标代入y＝kx+b得， ， 解得， 所以直线BC的表达式为y＝﹣x+12． （2）由﹣x+12得， x＝8， 则﹣x+12＝4， 所以点A的坐标为（8，4）， 所以． 【变式3】已知一次函数y＝（a+1）x+a﹣2（a为常数，a≠﹣1）的图象过点（﹣2，4）． （1）求一次函数的表达式． （2）若点P（m，y1），Q（m+1，y2）都在该函数的图象上． ①当﹣1＜m＜2时，求y1的取值范围． ②请判断y1，y2的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）将点（﹣2，4）坐标代入直线解析式求出a值，还原解析式即可； （2）①根据﹣1＜m＜2确定y1的范围即可； ②根据一次函数的增减性判定即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝（a+1）x+a﹣2（a为常数，a≠﹣1）的图象过点（﹣2，4）． ∴4＝﹣2a﹣2+a﹣2，解得a＝﹣8， ∴一次函数的表达式为：y＝﹣7x﹣10； （2）①由一次函数解析式y＝﹣7x﹣10可知： 当﹣1＜m＜2时，y1的取值范围为：﹣24＜y1＜﹣3． ②因为一次函数k＝﹣7＜0，y随x的增大而减小， 又∵m＜m+1， ∴y1＞y2． 题型05 一次函数的应用—图像分析 【典例1】甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法： ①a＝450； ②b＝150； ③甲的速度为8米/秒； ④当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒． 其中不正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】当x＝100时甲到达B地，根据速度＝路程÷时间求出甲的速度；当x＝60时两人相遇，从而求出乙的速度，由时间＝路程÷速度可以求出b的值，根据甲、乙二人的速度可以求出a的值；分别写出相遇前后y关于x的函数表达式，当y＝50时求出对应x的值即可． 【解答】解：甲的速度是600÷100＝6（米/秒）， ∴③不正确，符合题意； 设乙的速度是v米/秒，则60（6+v）＝600， 解得v＝4， ∴乙的速度是4米/秒， 600÷4＝150（秒）， ∴b＝150， ∴②正确，不符合题意； （100﹣60）×（6+4）＝400， ∴a＝400， ∴①不正确，符合题意； 当0≤x≤60时，y＝600﹣（6+4）x＝﹣10x+600， 当y＝50时，得﹣10x+600＝50， 解得x＝55； 当60＜x≤100时，y＝（6+4）（x﹣60）＝10x﹣600， 当y＝50时，得10x﹣600＝50， 解得x＝65， ∴当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒， ∴④不正确，符合题意． 综上，不正确的结论有3个，分别是①③④． 故选：D． 【变式1】现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车在城市道路上匀速行驶30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上匀速行驶30km到达目的地．已知汽车在城市道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的2倍．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示．以下说法正确的是（　　） ①汽车在乡村道路上行驶时间为1h ②汽车在乡村道路上行驶速度为40km/h ③汽车在高速路上行驶时间为2.5h ④汽车在高速路上行驶速度为85km/h A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【分析】根据图得出前30km的行驶时间为0.5h，即可求出前30km行驶速度，然后再根据题意以及速度、时间、路程之间的关系逐项判断即可． 【解答】解：由图可知，前30km的行驶时间为0.5h， ∴汽车在城市道路上行驶速度是30÷0.5＝60km/h， ∵汽车在城市道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的2倍， ∴汽车在乡村道路上行驶速度为30km/h， ∴汽车在乡村道路上行驶时间为1（h）， 故①正确，②错误； 汽车在高速路上行驶时间为2.5﹣0.5＝2（h）， 故③错误； 汽车在高速路上行驶速度为85（km/h）， 故④正确． 故选：B． 【变式2】一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】根据图象与纵轴的交点可得出A、B两地的距离，而s＝0时，即为甲、乙相遇的时候，同理根据图象的拐点情况解答即可． 【解答】解：由图象可知A村、B村相离10km， 故①正确， 当1.25h时，甲、乙相距为0km，故在此时相遇，说明甲的速度大于乙的速度， 当2h时，甲到达C村， 故②正确； v甲×1.25﹣v乙×1.25＝10， 解得：v甲﹣v乙＝8， 故甲的速度比乙的速度快8km/h， 故③正确； 当1.25≤t≤2时，函数图象经过点（1.25，0）（2，6）， 设一次函数的解析式为s＝kt+b， 代入得：， 解得：， ∴s＝8t﹣10 当s＝4时，得4＝8t﹣10， 解得t＝1.75h 由1.75﹣1.25＝0.5h＝30（min）， 同理当2≤t≤2.5时，设函数解析式为s＝kt+b 将点（2，6）（2.5，0）代入得： ， 解得：， ∴s＝﹣12t+30 当s＝4时，得4＝﹣12t+30， 解得t， 由1.25h＝55min 故相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km， 故④正确． 故选：D． 【变式3】某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发3分钟．在整个过程中，甲、乙两人之间距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为2700米；③乙行的速度为90米/分钟；④甲走完全程用了39分钟；⑤乙用15分钟追上甲．其中正确的结论是（　　） A．①③⑤ B．①②③ C．①③④ D．②④⑤ 【分析】①根据速度＝路程÷时间计算即可； ②甲出发36分钟后距离乙270米（此时乙到达终点），据此计算起点到终点的距离即可； ③根据速度＝路程÷时间计算即可； ④根据时间＝路程÷速度计算即可； ⑤甲3分钟步行的路程除以两者速度差即可． 【解答】解：甲步行的速度为225÷3＝75（米/分钟）， ∴①正确，符合题意； 起点到终点的距离为75×36+270＝2970（米）， ∴②不正确，不符合题意； 乙步行的速度为2970÷（36﹣3）＝90（米/分钟）， ∴③正确，符合题意； 甲走完全程用了2970÷75＝39.6（分钟）， ∴④不正确，不符合题意； 乙用75×3÷（90﹣75）＝15（分钟）追上甲， ∴⑤正确，符合题意． 综上，①③⑤正确． 故选：A． 题型04 待定系数法求一方案选择与优化 【典例1】为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某商场购进甲、乙两种装饰物对商场进行布置．已知每件甲种装饰物的价格比每件乙种装饰物的价格贵4元，用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同． （1）求该商场购进甲、乙两种装饰物的单价各是多少元； （2）当商场装饰完工后，发现还剩余甲种装饰物和乙种装饰物共400件，且购入成本不超过3000元．为了降低装饰成本，商场决定将甲种装饰物以每件13元，乙种装饰物以每件8元的价格对外出售．如果将剩余的这400件装饰物全都售完，剩余甲、乙装饰物的数量分别为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为（x+4）元，根据“用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物（400﹣m）件，商场获得的利润为y元，根据“购入成本不超过3000元”可得出关于m的一元一次不等式，求得m≤150，再根据得到y关于m的一次函数，利用二次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）设每件乙种装饰物的价格为x元， ∴， ∴x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解， ∴x+4＝10． 答：甲的价格为10元，乙的价格为6元； （2）设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物（400﹣m）件，商场获得的利润为y元， ∴10m+6（400﹣m）≤3000， 解得m≤150， 则y＝（13﹣10）m+（8﹣6）（400﹣m）＝m+800， ∵1＞0， ∴y随m的增大而增大， ∴当m＝150时，y有最大值，最大值为150+800＝950， 此时400﹣m＝250， 答：剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元． 【变式1】某水果店准备购进A，B两种水果进行销售，若购进A种水果和B种水果各5千克共需花费140元，购进A种水果3千克和B种水果7千克共雷花费156元． （1）求购进A种水果和B种水果的单价； （2）若该水果店购进了A，B两种水果共100千克，其中A种水果售价为15元/千克，B种水果售价为25元/千克，A种水果运输和仓储过程中质量损失4%．设购进A种水果m千克，A，B两种水果全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式． 【分析】（1）分别设A种水果和B种水果的单价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据“总利润＝购进的A种水果的质量除去损失掉的部分后剩下的A种水果的质量×A种水果售价+B种水果的质量×B种水果售价﹣购进的A种水果的质量×A种水果的进价﹣购进的B种水果的质量×B种水果的进价”计算即可． 【解答】解：（1）设A种水果的单价是a元/千克，B种水果的单价是b元/千克． 根据题意，得， 解得． 答：A种水果的单价是10元/千克，B种水果的单价是18元/千克． （2）根据题意，得w＝15×（1﹣4%）m+25（100﹣m）﹣10m﹣18（100﹣m）＝﹣2.6m+700． 答：w关于m的函数表达式为w＝﹣2.6m+700． 【变式2】灵蛇献瑞，已蛇呈祥．新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福与甜蜜．重庆某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”．已知4件坚果礼盒和5件糖果礼盒进价1200元，7件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价1290元． （1）求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？ （2）超市决定用不超过66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500盒，其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，且两种礼盒的进价保持不变．在运输过程中，有5件坚果礼盒外包装破损，3件糖果礼盒外包装破损．销售时每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，外包装破损的产品均按售价的六折出售，若本次购进的两种礼盒全部售出，请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 【分析】（1）设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进（500﹣a）件，根据题意列出不等式，求出a的取值范围，再设利润为w元，根据题意得出w与a的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元， 根据题意得：， 解得， 答：每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元，120元； （2）设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进（500﹣a）件， 根据题意得：150a+120（500﹣a）≤66600， 解得：a≤220， 又∵a（500﹣a）， 解得：a≥200， ∴200≤a≤220， 设利润为w元，根据题意得： w＝ （175﹣150）（a﹣5）+（175×0.6﹣150）×5+（150﹣120）（500﹣a﹣3）+（150×0.6﹣120）×3＝5a+14640， ∵5＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴当a＝220时，w最大，最大值为5×220+14640＝15740， 答：坚果礼盒购进220件时．可使本次销售获得最大利润，最大利润是15740元． 【变式3】为进一步推动绿色生态文明建设，走可持续发展之路，某工厂在生产过程中同步进行污水处理，有两种处理方案： 方案1：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费； 方案2：积极响应“无废城市”号召，使用专业设备，通过有效方法，对污水进行循环利用．每处理1立方米污水所用原料费2元，并且设备损耗费为每月b元． 若产品的成本价为25元/件，出厂价为50元/件；生产过程中，每生产一件产品，会产生0.5立方米污水，设工厂每月生产x件产品，方案1、方案2的月利润y（元）与x（件）之间的函数关系如图所示．结合图象回答问题： （1）填空：a＝ 　500　，b＝ 　3000　； （2）当工厂每月生产300件产品时，此时两种方案的月利润相差多少元？ （3）当两种方案的月利润相差1500元时，求x的值． 【分析】（1）分别写出方案1、方案2的月利润y（元）与x（件）之间的函数关系式，将坐标（a，9000）分别代入这两个函数，建立关于a和b的二元一次方程组并求解即可； （2）将x＝300分别代入方案1、方案2的函数关系式，求出y1和y2的值并求差即可； （3）将方案1、方案2的函数关系式分别代入|y2﹣y1|＝1500，得到关于x的绝对值方程并求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，方案1的月利润y1（元）与x（件）之间的函数关系为y1＝（50﹣25﹣14×0.5）x＝18x， 方案1的月利润y2（元）与x（件）之间的函数关系为y2＝（50﹣25﹣2×0.5）x﹣b＝24x﹣b， 将坐标（a，9000）分别代入y1＝18x和y2＝24x﹣b， 得， 解得， ∴y2＝24x﹣3000． 故答案为：500，3000； （2）当x＝300时，y1＝18×300＝5400，y2＝24×300﹣3000＝4200， 5400﹣4200＝1200（元）． 答：两种方案的月利润相差1200元； （3）根据题意，得|y2﹣y1|＝1500，即|24x﹣3000﹣18x|＝1500， 解得x＝250或750． 答：x的值为250或750． 1．将正比例函数y＝2x的图象向下平移5个单位后，得到一个一次函数的图象，则关于这个一次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．与y轴的交点坐标点是（0，﹣5） B．经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形的面积为12.5 D．y的值随着x值的增大而减小 【分析】根据平移规律求出新一次函数解析式，再根据一次函数的图象和性质依次判断即可． 【解答】解：将正比例函数y＝2x的图象向下平移5个单位后，得到函数解析式为y＝2x﹣5， 当x＝0时，y＝﹣5，与y轴的交点坐标点是（0，﹣5）， 故A选项符合题意； ∵k＝2＞0，b＝﹣5＜0， ∴函数y＝2x﹣5经过第一、三、四象限， ∴函数值y随自变量x的增大而增大， 故B、D选项不符合题意； ∵y＝0时，x， ∴与x轴的交点坐标点是（，0）， ∴与两坐标轴围成的三角形的面积为， 故C选项不符合题意； 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，已知点（1，2）与（2，4）在直线l上，则直线l必经过（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（6，3） D．（6，8） 【分析】根据点的坐标特征和待定系数法确定一次函数关系式，再进行判断． 【解答】解：设直线的方程为：y＝kx+b， 将点（1，2）与（2，4）代入可得：， 解得：， ∴直线的方程为：y＝2x， 将四个选项代入，可知B符合要求． 故选：B． 3．将直线y＝﹣x+3向左平移a（a＞0）个单位后，经过点（1，﹣2），则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先用含a的式子表示平移后的解析式，再将（1，﹣5）代入计算即可． 【解答】解：将直线y＝﹣x+3向左平移a（a＞0）个单位后，所得直线解析式为y＝﹣（x+a）+3， 把（1，﹣2）代入y＝﹣（x+a）+3得： ﹣2＝﹣（1+a）+3， 解得a＝4， 故选：D． 4．百货大楼进了一批花布，出售时要在进价（进货价格） 的基础上加一定的利润，其长度x与售价y如下表，下列用长度x表示售价y的关系式中，正确的是（　　） 长度x/m 1 2 3 4 … 售价y/元 8+0.3 16+0.6 24+0.9 32+1.2 … A．y＝8x+0.3 B．y＝（8+0.3）x C．y＝8+0.3x D．y＝8+0.3+x 【分析】本题通过观察表格内的x与y的关系，可知y的值相对x＝1时是成倍增长的，由此可得出方程． 【解答】解：依题意得：y＝（8+0.3）x； 故选：B． 5．甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面300（m）处，同时出发去距离甲1200（m）的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为y（m），乙行驶的时间为x（s），y与x之间的关系如图所示，则C点的坐标为（　　） A．（200，160） B．（200，180） C．（240，160） D．（240，180） 【分析】根据图象，先求出乙的速度，再求出甲的速度，进而得出答案． 【解答】解：由图象可知，乙的速度为（1200﹣300）÷300 ＝900÷300 ＝3（m/s）， 甲的速度比乙的速度快300÷150＝2（m/s）， 甲的速度为3+2＝5（m/s）， 甲到达目的地的时间为1200÷5＝240（s）， 此时甲乙之间的距离为（240﹣150）×2＝90×2＝180（m）， 则点D的坐标为（240，180）． 故选：D． 6．对于一次函数y＝﹣x+2，结论如下：①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0）：③将函数的图象向下平移2个单位长度可以得到y＝﹣x的图象：④若两点A（1，y1），B（﹣1，y2），在该函数图象上，则y1＜y2．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一次函数解析式可得图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，可判定①；当y＝0时，x＝2，可判定②；根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”可判定③，根据函数增减性可判定④；由此即可求解． 【解答】解：由一次函数y＝﹣x+2可知：图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小， ∴函数的图象不经过第三象限，故①正确； 当y＝0时，x＝2， ∴函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故②正确： 将函数的图象向下平移2个单位长度，即y＝﹣x+2﹣2＝﹣x，故③正确； 由条件可知y2＞y1，即y1＜y2，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（1，2），点B在第一象限，将直线y＝﹣2x沿x轴向右平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边AB有交点，则m的取值范围是（　　） A．4≤m≤8 B．0＜m＜4 C．2＜m＜8 D．2≤m≤4 【分析】平移后的直线解析式为y＝﹣2x+2m．根据平行四边形的性质结合点O、A、C的坐标即可求出点B的坐标，再由平移后的直线与边AB有交点，再求解直线过临界点的解析式，即可得出结论． 【解答】解：∵将直线y＝﹣2x沿x轴向右平移m（m＞0）个单位． ∴平移后的直线解析式为y＝﹣2（x﹣m）＝﹣2x+2m． ∵四边形OABC为平行四边形，且点A（2，0）、C（1，2）、O（0，0）， ∴BC＝OA＝2， ∴点B（3，2）． ∵平移后的直线与边AB有交点， 当直线过A（2，0）， ∴﹣4+2m＝0， 解得：m＝2， 当直线过B（3，2）， ∴﹣6+2m＝2， 解得：m＝4， ∴2≤m≤4． 故选：D． 8．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程s（单位：里）关于行走时间t（单位：日）的函数图象如图所示，下列说法：①劣马比良马早出发12日；②点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马；③良马的速度比劣马的速度快80里/日．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据函数图象进行一一判断即可． 【解答】解：①由图象可知，劣马从第0日出发，良马从第12日出发．劣马比良马早出发12日，该说法正确； ②由图象可知，当t＝32时，两直线有交点，代表劣马出发32日时，良马追上劣马，该说法正确； ③良马行走4800里用了20日，故速度为4800÷20＝240（里/日），劣马行走4800里用了32日，故速度为4800÷32＝150（里/日）．由此可知，良马的速度比劣马的速度快240﹣150＝90 （里/日），该说法错误． 正确的有：①②， 故选：A． 9．在直角坐标系中，已知点A（m，n），B（p，q），其中m，n，p，q为互不相等的正数．作点A关于y轴的对称点C，点B关于x轴的对称点D．若直线CD经过原点，则下列关系式正确的是（　　） A． B．m+n＝p+q C． D．m﹣n＝p﹣q 【分析】由点A，B的坐标，可得出点C，D的坐标，由直线CD经过原点，可设直线CD的解析式为y＝kx（k≠0），代入点C，D的坐标后，即可得出． 【解答】解：∵点A的坐标为（m，n），点B的坐标为（p，q），作点A关于y轴的对称点C，点B关于x轴的对称点D， ∴点C的坐标为（﹣m，n），点D的坐标为（p，﹣q）． ∵直线CD经过原点， ∴设直线CD的解析式为y＝kx（k≠0）， 将C（﹣m，n），D（p，﹣q）代入y＝kx得：， ∴k， ∴． 故选：C． 10．如图，一次函数yx+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在y轴的正半轴上，若点B关于直线AC的对称点B′恰好落在x轴上，则直线AC所对应的函数表达式为（　　） A．yx B．yx C．yx D．yx 【分析】连接CB′，如图，设C（0，t），利用直线AB的解析式确定A（﹣3，0），B（0，4），则利用勾股定理可计算出AB＝5，再利用对称的性质得到B′＝AB＝5，CB＝CB′，则OB′＝2，CB′＝4﹣t，接着利用勾股定理得到t2+22＝（4﹣t）2，解方程求出t得到C（0，），然后利用待定系数法求直线AC的解析式． 【解答】解：连接CB′，如图， 设C（0，t）， 当y＝0时，x+4＝0， 解得x＝﹣3， ∴A（﹣3，0）， 当x＝0时，yx+4＝4， ∴B（0，4）， ∴AB5， ∵点B关于直线AC的对称点B′恰好落在x轴上， ∴AB′＝AB＝5，CB＝CB′， ∴OB′＝5﹣3＝2，CB′＝4﹣t， 在Rt△OCB′中，t2+22＝（4﹣t）2， 解得t， ∴C（0，）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣3，0），C（0，）分别代入得， 解得， ∴直线AC的解析式为yx． 故选：D． 11．将一次函数y＝﹣3x+6向左平移m个单位后得到一个正比例函数，则m的值为 　2　． 【分析】根据平移的规律得到平移后直线的解析式为y＝2（x+3）+m﹣2，然后把原点的坐标代入求值即可． 【解答】解：将一次函数y＝﹣3x+6向左平移m个单位后，得到y＝﹣3（x+m）+6， 把（0，0）代入，得到：0＝﹣3m+6， 解得m＝2． 故答案为：2． 12．已知直线y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接PB．当△APB的面积等于4时，直线PB的表达式为 　　． 【分析】先求得A（2，0），B（0，2），设点P的坐标为（p，0）（p＞0），则AP＝|p﹣2|，再根据△APB的面积等于4求得p＝6，即P（6，0）；然后运用待定系数法求解即可． 【解答】解：由条件可知A（2，0），B（0，2）， 设点P的坐标为（p，0）（p＞0），则AP＝|p﹣2|， ∵△APB的面积等于4， ∴，解得：p＝6或﹣2（不合题意，舍弃）， ∴P（6，0）， 设直线PB的解析式为y＝kx+b， 则， 解得：， ∴直线PB的表达式为． 故答案为：． 13．小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离y（km）与时间x（h）的关系，则小明与小亮交谈的时间为 　0.4　h． 【分析】设当0≤x≤0.5时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法，可求出当0≤x≤0.5时y与x的函数关系式，代入y＝0.8，可求出x的值，再将其代入（3.2﹣2.6﹣x）中，即可求出小明与小亮交谈的时间． 【解答】解：设当0≤x≤0.5时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（0，0），（0.5，2）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝4x（0≤x≤0.5）． 当y＝0.8时，4x＝0.8， 解得：x＝0.2， ∴3.2﹣2.6﹣x＝3.2﹣2.6﹣0.2＝0.4（h）， ∴小明与小亮交谈的时间为0.4h． 故答案为：0.4． 14．如图，已知等腰直角△ABC的顶点B，C分别在x、y轴上，∠ABC＝90°，点B的坐标是（﹣1，0），C的坐标是（0，3），则直线AC的函数关系式为 　yx+3　． 【分析】过A点坐标AD⊥x轴于D点，如图，先证明△ABD≌△BCO得到AD＝OB＝1，BD＝CO＝3，再写出A（﹣4，1），然后利用待定系数法求直线AC的解析式． 【解答】解：过A点坐标AD⊥x轴于D点，如图， ∵B（﹣1，0），C（0，3）， ∴OB＝1，OC＝3， ∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°， ∴AB＝BC， ∵∠ABD+∠OBC＝90°，∠OBC+∠BCO＝90°， ∴∠ABD＝∠BCO， 在△ABD和△BCO中， ， ∴△ABD≌△BCO（AAS）， ∴AD＝OB＝1，BD＝CO＝3， ∴A（﹣4，1）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣4，1），C（0，3）分别代入得， 解得， ∴直线AC的解析式为yx+3． 故答案为：yx+3． 15．在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数y＝|x+2|﹣3，分析得到了下列四个结论： ①它的图象由直线y＝x+2向下平移3个单位所得． ②y随着x的增大而增大． ③当x＜﹣2时，y随着x的增大而减小． ④函数有最小值﹣3，其中正确结论的序号是 　③④　． 【分析】先做函数的图象，再根据图象求解． 【解答】解：函数的图象如图所示： 根据函数的图象得：①②是错误的，③④是正确的， 故答案为：③④． 16．已知一次函数的图象经过点（1，﹣1），（2，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求一次函数的表达式及△AOB的面积； （2）将一次函数的图象向上平移m（m＞0）个单位后恰好经过（﹣2，﹣3），则m的值为 　4　． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，然后分别求出点A和点B坐标，进一步求△AOB的面积即可； （2）将点（﹣2，﹣3）代入平移后的解析式y＝2x﹣3+m，即可求出m的值． 【解答】解：（1）设一次函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， ∵一次函数的图象经过点（1，﹣1），（2，1）， ∴， 解得， ∴一次函数表达式为y＝2x﹣3； 当y＝0时，2x﹣3＝0， 解得x， ∴A（，0）， ∴OA， 当x＝0时，y＝2x﹣3＝﹣3， ∴B（0，﹣3）， ∴OB＝3， ∴△OAB的面积； （2）一次函数的图象平移后的解析式为y＝2x﹣3+m， 将点（﹣2，﹣3）代入，得﹣4﹣3+m＝﹣3， 解得m＝4， 故答案为：4． 17．放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮再出发．小明在回家途中速度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离y（米）与小亮出发的时间x（分）之间的函数图象． （1）求CD段的函数表达式； （2）当小亮回到家时，小明距离家还有多远？ 【分析】（1）设CD段的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将点C（5，300），D（15，3000）代入求解即可； （2）先求出小明离学校的距离y的函数表达式y小明＝80x+1000，将x＝15代入求出与学校的距离，进而可求出小明距离家还有多远． 【解答】解：（1）设CD段的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将点C（5，300），D（15，3000）代入， 得 解得 ∴y＝270x﹣1050； （2）设y小明＝mx+1000（m≠0）， 将（25，3000）代入y小明＝mx+1000（m≠0）， 得25m+1000＝3000， 解得m＝80， ∴y小明＝80x+1000， 当x＝15时，80x+1000＝80×15+1000＝2200， 3000﹣2200＝800（米）， ∴当小亮回到家时，小明距离家还有800米． 18．某科技研发中心有50名工作人员，其中技术员20名、操作员30名．现将这50名工作人员派往A、B两个公司去研发产品，两个公司的月工资情况如下： 技术员（万元/月） 操作员（万元/月） A公司 1.8 1.6 B公司 1.6 1.2 （1）若派往A公司x名技术员，余下的工作人员全部派往B公司，求出这50名工作人员的月工资总额y（万元）与x（名）之间的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）根据研发需要，50名工作人员派往A公司40名，派往B公司10名．请求出月工资总额的最小值． 【分析】（1）分别写出派往B公司的技术员和操作员的人数，根据月工资情况写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围即可； （2）设派往A公司m名技术员，则派往B公司（20﹣m）名技术员，派往A公司（40﹣m）名操作员，派往B公司（m﹣10）名操作员．设月工资总额为W元，根据月工资情况写出W与m之间的函数表达式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m为何值时W值最小，求出其最小值即可． 【解答】解：（1）根据题意，派往B公司（20﹣x）名技术员和30名操作员， 则y＝1.8x+1.6（20﹣x）+1.2×30＝0.2x+68． 答：y与x之间的函数表达式及x的取值范围为y＝0.2x+68（0≤x≤20）． （2）设派往A公司m名技术员，则派往B公司（20﹣m）名技术员，派往A公司（40﹣m）名操作员，派往B公司（m﹣10）名操作员． 设月工资总额为W元，则W＝1.8m+1.6（20﹣m）+1.6（40﹣m）+1.2（m﹣10）＝﹣0.2m+84， ∵﹣0.2＜0， ∴W随m的增大而减小， ∵0≤m≤20， ∴当m＝20时，W值最小，W最小＝﹣0.2×20+84＝80． 答：月工资总额的最小值为80万元． 19．一次函数y＝kx﹣k+2（k为常数，且k≠0）． （1）若点（﹣1，3）在一次函数y＝kx﹣k+2的图象上， ①求k的值； ②设P＝y+x，则当﹣2≤x≤5时，求P的最大值． （2）若当m﹣3≤x≤m时，函数有最大值M，最小值N，且M﹣N＝6，求此时一次函数y的表达式． 【分析】（1）①把已知点的坐标代入y＝kx﹣k+2中即可得到k的值； ②用x表示P得到Px，根据一次函数的性质，x＝5时，P的值最大，然后计算自变量为5所对应的函数值即可； （2）当k＞0时，M＝km﹣k+2，N＝k（m﹣3）﹣k+2，则km﹣k+2﹣[k（m﹣3）﹣k+2]＝6，当k＜0时，N＝km﹣k+2，M＝k（m﹣3）﹣k+2，则k（m﹣3）﹣k+2﹣（km﹣k+2）＝6，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 【解答】解：（1）①把（﹣1，3）代入y＝kx﹣k+2得﹣k﹣k+2＝3， 解得k； ②当k时，yx， ∴P＝x+y＝xxx， ∵y随x的增大而增大， ∴当﹣2≤x≤5时，x＝5时，P的值最大， 当x＝5时，P54， 即P的最大值为4； （2）当k＞0时，M＝km﹣k+2，N＝k（m﹣3）﹣k+2， ∵M﹣N＝6， ∴km﹣k+2﹣[k（m﹣3）﹣k+2]＝6， 解得k＝2， 此时一次函数解析式为y＝2x； 当k＜0时，N＝km﹣k+2，M＝k（m﹣3）﹣k+2， ∵M﹣N＝6， ∴k（m﹣3）﹣k+2﹣（km﹣k+2）＝6， 解得k＝﹣2， 此时一次函数解析式为y＝﹣2x+4； 综上所述，一次函数解析式为y＝2x或y＝﹣2x+4． 20．把一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数y＝x的“V”形图象． （1）请在图2中画出一次函数y＝x+1的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围； （2）在（1）的条件下，若一次函数y＝x+1的“V”形图象与x轴交于点A，与直线yx+3相交于B，C两点，求△ABC的面积； （3）一次函数y＝kx﹣3k+4（k为常数）的“V”形图象经过（﹣1，y1），（3，y2）两点，且y1＞y2，求k的取值范围． 【分析】（1）根据材料中的“V”形图象作答； （2）由直线与直线的交点求法和三角形面积公式作答； （3）对k的取值范围进行分类讨论． 【解答】解：（1） 如图是所求的图象，该“V”形图象的函数表达式y； （2）∵一次函数y＝x+1的“V”形图象与x轴交于点A， ∴A（﹣1，0）， 由， 解得． ∴B（﹣3，2）． 由， 解得， ∴C（0，1）． ∴△ABC的面积2； （3）∵直线y＝kx﹣3k+4（k≠0，且为常数）， ∴当x＝3时，y＝4， ∴经过定点（3，4）， 当y＝0时，x， ∴该图象与x轴交点（，0）， ①当k＞0时， ∵y1＞y2，由图象可知， 解之得k＞2． ∴k＞2， ②当k＜0时，由图象可知，始终有y1＞y2． 综上所述，k＞2或k＜0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$