第01讲 平均数（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

第01讲 平均数 课程标准 学习目标 ①算术平均数 ②加权平均数 1. 掌握算术平均数的算法，能够熟练的计算基础数据以及变形数据的算术平均数。 掌握加权平均数的算法，能够熟练的计算各种形式加权的数据的加权平均数。 知识点01 算术平均数 1. 算术平均数的定义与算法： 一般地，对于个数据，我们把 叫做这组数据的算术平均数。简称平均数。用 来表示，读作“拔”，记做 。 【即学即练1】 1．已知一组数据2，1，9，7，6，则这组数据的平均数是　5　． 【分析】根据平均数的计算公式代值求解即可得到答案． 【解答】解：一组数据2，1，9，7，6的平均数是， 故答案为：5． 【即学即练2】 2．一组数据：3，4，x，4，5的平均数是4，则x的值是 　4　． 【分析】根据算术平均数的计算公式进行计算即可． 【解答】解：根据题意得： （3+4+x+4+5）÷5＝4， 解得：x＝4． 故答案为：4． 2. 平均数的拓展： 如果一组数据的算术平均数是，那么数据的算术平均数是 。数据的算术平均数是 。数据，...，的算术平均数是 。 【即学即练1】 3．已知两组数据x1，x2，……，xn和y1，y2，……，yn的平均数分别为5和﹣2，则x1+2y1，x2+2y2，……，xn+2yn的平均数为 　1　． 【分析】根据两组数据x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别为5和﹣2，可以计算出x1+2y1，x2+2y2，……，xn+2yn的平均数． 【解答】解：∵两组数据x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别为5和﹣2， ∴x1+x2+……+xn＝5n，y1+y2+……+yn＝﹣2n， ∴x1+2y1，x2+2y2，…，xn+2yn的平均数为：（x1+2y1+x2+2y2+…+xn+2yn） [（x1+x2+…+xn）+2（y1+y2+…+yn）] [5n+2×（﹣2n）] （5n﹣4n） n ＝1． 故答案为：1． 知识点02 加权平均数 1. 加权平均数的定义与算法： 对于个数据，他们的权重分别是，则用 表示这组数据的加权平均数。 2. 在求个数的平均数时，如果出现次，出现次，...出现次（其中），那么这个数的平均数= 也叫做这个数的加权平均数。其中是这个数的权重。 权重一般用比、百分数以及出现的次数来表示。 【即学即练1】 4．学校举办了以“不负青春，强国有我”为主题的演讲比赛．已知某位选手的演讲内容、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分、85分、82分，若依次按照35%，40%，25%的比例确定成绩，则该选手的成绩是 　86　分． 【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可得出答案． 【解答】解：根据题意可知，该选手的成绩为： ＝86（分）． 故答案为：86． 【即学即练2】 5．小丽参加“强国有我”主题演讲比赛，其形象、内容、表达三项的成绩分别是85分、90分、80分，若将三项得分依次按2：5：3的比例确定最终成绩，则小丽的最终比赛成绩为　86　分． 【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【解答】解：小丽的最终比赛成绩为86（分）． 故答案为：86． 题型01 计算算术平均数 【典例1】一组数据7、8、9、13、13的平均数是（　　） A．12 B．10 C．9 D．7 【分析】根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数进行计算即可． 【解答】解：（7+8+9+13+13）÷5 ＝50÷5 ＝10， ∴一组数据7、8、9、13、13的平均数是10． 故选：B． 【变式1】数据﹣2，0，1，﹣2，﹣2的平均数是 　﹣1　． 【分析】将题目中的数据相加，然后除以5，即可得到这组数据的平均数． 【解答】解：（﹣2+0+1﹣2﹣2）÷5 ＝（﹣5）÷5 ＝﹣1， ∴数据﹣2，0，1，﹣2，﹣2的平均数是﹣1， 故答案为：﹣1． 【变式2】从某地某一个月中随机抽取5天的中午，记录这5天12时的气温（单位：℃），结果如下：22，32，25，13，18，可估计该地这一个月中午12时的平均气温为 　22℃　． 【分析】求出5天中午12时的平均气温，即可估计该地这一个月中午12时的平均气温． 【解答】解：∵， ∴可估计该地这一个月中午12时的平均气温为22℃， 故答案为：22℃． 【变式3】射击比赛中，某选手的10次射击成绩如表所示： 成绩/环 10 9 8 7 6 次数 3 4 1 0 2 则该选手的平均成绩是 　8.6　环． 【分析】根据平均数的定义列式计算即可． 【解答】解：该选手的平均成绩是（10×3+9×4+8+6×2）＝8.6（环）， 故答案为：8.6． 题型02 计算加权平均数 【典例1】某校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为90分，复赛成绩为80分．若总成绩按初赛成绩占30%，复赛成绩占70%来计算，则小颖同学的总成绩为（　　） A．83分 B．80分 C．75分 D．70分 【分析】根据加权平均数计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【解答】解：小颖同学的总成绩为90×30%+80×70%＝83（分）． 故选：A． 【变式1】某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，80分，80分，若依次按照30%，45%，25%的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（　　） A．86分 B．85分 C．84分 D．83分 【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【解答】解：根据题意得： 90×30%+80×45%+80×25%＝83（分）， 故选：D． 【变式2】“双减”政策落地，各地学校为了提升学生核心素养，把学生的综合评价分为学习、体育和艺术三部分，学习成绩、体育成绩与艺术成绩按5：3：2计入综合评价．若珊珊学习成绩为90分，体育成绩为80分，艺术成绩为70分，则他的综合评价得分为（　　） A．84 B．85 C．82 D．83 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可． 【解答】解：根据题意，他的综合评价得分为83（分）． 故选：D． 【变式3】某校举办“身边的温暖故事”主题演讲比赛，其中前三名选手的成绩统计如表． 选手 评分项目 故事内容（单位：分） 情感表达（单位：分） 演讲技巧（单位：分） 小琪 100 85 90 小清 79 100 100 小明 95 90 90 若故事内容、情感表达、演讲技巧按4：3：3的加权平均分决定冠军、亚军、季军，则冠军、亚军、季军分别是（　　） A．小清、小明、小琪 B．小清、小琪、小明 C．小琪、小明、小清 D．小琪、小清、小明 【分析】根据加权平均数的定义分别计算出三人的平均成绩，再比较大小即可得出答案． 【解答】解：小琪的平均成绩为92.5（分）， 小清的平均成绩为91.6（分）， 小明的平均成绩为92（分）， 92.5＞92＞91.6， 所以冠军、亚军、季军分别是小琪、小明、小清． 故选：C． 题型03 根据已知数据的平均数求新数据的平均数 【典例1】已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是2024，则另一组数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的平均数是　2025　． 【分析】由x1，x2，x3，x4的平均数是2024得x1+x2+x3+x4＝8096，再根据平均数的计算公式计算数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的平均数即可． 【解答】解：∵x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的平均数＝（x1+1+x2+1+x3+1+x4+1）÷4 ＝（x1+x2+x3+x4+4）÷4 ＝（8096+4）÷4 ＝2025， 故答案为：2025． 【变式1】一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是5，则4x1﹣3，4x2﹣3，4x3﹣3，4x4﹣3，4x5﹣3的平均数是　17　． 【分析】根据平均数的变形即可得到结果． 【解答】解：一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是5， 则4x1﹣3，4x2﹣3，4x3﹣3，4x4﹣3，4x5﹣3的平均数是： [4（x1+x2+x3+x4+x5）﹣15] ＝17， 故答案为：17． 【变式2】已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则另一组数据5x1﹣5，5x2﹣5，5x3﹣5，5x4﹣5的平均数是 　20　． 【分析】根据x1，x2，x3，x4的平均数为5得到4个数据的关系，把这组数据做相同的变化，数据的倍数，后面的加数影响平均数． 【解答】解：∵一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数为5， ∴数据5x1﹣5，5x2﹣5，5x3﹣5，5x4﹣5的平均数为：55＝5×5﹣5＝20， 故答案为：20． 【变式3】x1，x2，…，x5的平均数为m；x6，x7…，x20的平均数为n，则 x1，x2，…，x20的平均数为（　　） A．m+n B． C． D． 【分析】利用平均数的定义直接求解． 【解答】解：∵x1，x2，…，x5的平均数为m；x6，x7…，x20的平均数为n， ∴x1，x2，…，x5的和为5m；x6，x7…，x20的和为15n， ∴x1，x2，…，x20的平均数为． 故选：D． 题型04 求数据中的未知数据 【典例1】样本数据2、a、3、4的平均数是3，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平均数的公式计算出a的值即可． 【解答】解：∵数据2、a、3、4的平均数是3， ∴a＝3×4﹣（2+3+4） ＝12﹣9 ＝3． 故选：C． 【变式1】某班五个合作学习小组的人数分别如下：5，5，x，6，8，已知这组数据的平均数是6，则x的值是（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．7 【分析】直接根据数据的平均数是6求解即可． 【解答】解：∵数据的平均数是6， ∴， 解得x＝6， 故选：C． 【变式2】某校举办小合唱比赛，六个参赛小组人数如下：5，6，5，7，x，8．已知这组数据的平均数为6，则数x为（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．7 【分析】根据平均数的定义求出这组数据的x即可． 【解答】解：（5+6+5+7+x+8）＝6． 解得：x＝5． 故选：A． 【变式3】一组数据7，10，13，x，5的平均数为y，则y关于x的函数解析式为（　　） A． B．y＝x+35 C． D． 【分析】根据平均数的概念求解即可得解． 【解答】解：∵一组数据7，10，13，x，5的平均数为y， ∴， 故选：D． 1．某校团委开展以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，所有评委的平均分为最后得分．下表是九年级（1）班的亮分情况： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 8.9 8.7 8.6 9.0 8.8 则九年级（1）班的得分为（　　） A．8.6 B．8.7 C．8.8 D．8.9 【分析】根据平均数公式计算即可． 【解答】解：由九年级（1）班的亮分情况表得，所有评委的亮分情况：8.9，8.7，8.6，9.0，8.8， 九年级（1）班的得分为：8.8， 故选：C． 2．嘉嘉在计算五个数的平均数时，只计算了前四个数的平均数，这四个数的平均数比正确结果小1．若第五个数为6，则正确的平均数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】设正确的平均数为x，根据四个数的平均数比正确结果小1得到前四个数的和为4（x﹣1），再根据平均数的正确求法列方程，然后解方程即可． 【解答】解：设正确的平均数为x， 由题意可得：， 解得x＝2， 故选：B． 3．某招聘考试要进行笔试和面试，其中笔试占60%，面试占40%．孔明笔试成绩90分，面试成绩80分，那么孔明的最后成绩是（　　） A．90分 B．88分 C．86分 D．80分 【分析】利用加权平均数计算方法计算即可． 【解答】解：由题意得： 86（分）， 故选：C． 4．已知五个数据：2，2，x，5，8的平均数是4，现增加了一个数据后的平均数仍不变，则增加的这个数据是（　　） A．0 B．2 C．4 D．5 【分析】先根据算术平均数的定义求出x的值，再设增加数据为m，由增加了一个数据后的平均数仍不变列出关于m的方程，解之即可得出答案． 【解答】解：由题意知，4， 解得x＝3， 所以原数据为2、2、3、5、8， 设增加数据为m， 则4， 解得m＝4， 故选：C． 5．现有甲、乙两组数据，数据甲：1，2，3，4．数据乙：2021，2022，2023，2024．若数据甲的平均数为m，乙的平均数为n，则m与n之间的关系为（　　） A．m＝n B．m＝n﹣2020 C．m＝n﹣2021 D．m＝n﹣2022 【分析】根据平均数的定义解答即可． 【解答】解：m2.5， n2022.5， ∴n﹣m＝2022.5﹣2.5＝2020， ∴m＝n﹣2020． 故选：B． 6．在一次考试中，某题（满分10分）的得分情况如下： 得分 0 2 4 6 8 10 百分率 5% 10% 25% 30% 15% 15% 则该题的平均得分（　　） A．5.5分 B．5.7分 C．5.9分 D．6.1分 【分析】根据加权平均数的算法即可求解． 【解答】解：由题意得： 0×5%+2×10%+4×25%+6×30%+8×15%+10×15%＝5.7（分）， 答：该题的平均得分为5.7分． 故选：B． 7．某校招聘一名教师，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试、面试，他们的各项成绩如下表所示．根据要求，学校将笔试、面试成绩按6：4的比例确定各人的最后得分，然后录用得分最高的候选人．最终被录用的是（　　） 项目 测试成绩 甲 乙 丙 丁 笔试 80 70 75 90 面试 80 90 85 70 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】分别计算甲、乙、丙、丁四名候选人的加权平均数，然后做出判断即可． 【解答】解：甲的成绩：（80×6+80×4）＝80（分）， 乙的成绩：（70×6+90×4）＝78， 丙的成绩：（75×6+85×4）＝79， 丁的成绩：（90×6+70×4）＝82， 丁得分最高，故最终被录用的是丁． 故选：D． 8．在一次数学考试中，六年一班的23名男生的平均分为a，22名女生的平均分为b，则这个班全体同学的平均分为（　　） A． B． C． D． 【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数． 【解答】解：这个班全体同学的平均分为：． 故选：C． 9．已知数据x1，x2，…xn的平均数是2，则3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的平均数为（　　） A．2 B．0 C．6 D．4 【分析】根据数据x1，x2，…xn的平均数是2，可以计算出3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的平均数． 【解答】解：∵x1，x2，…xn的平均数是2， ∴x1+x2+…+xn＝2n， ∴（3x1﹣2+3x2﹣2+…+3xn﹣2） [3（x1+x2+…+xn）﹣2n] （x1+x2+…+xn）﹣2 2n﹣2 ＝6﹣2 ＝4， 故选：D． 10．已知数据a1，a2，a3，a4的平均数为x1；a5，a6，a7，a8，a9，a10的平均数为x2；x1与x2的平均数为x；a1，a2，a3，⋯，a8，a9，a10的平均数为y．那么x与y的大小关系是（　　） A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．不能确定 【分析】根据算术平均数的定义解答即可． 【解答】解：．由算术平均数的定义可知，a1+a2+a3+a4＝4x1，a5+a6+a7+a8+a9+a10＝6x2， ∵x， ∵（a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10）＝y， 令x﹣y， 若x1＞x2，则0． ∴．x﹣y＞0， ∴x＞y， 若x1＝x2，则0， ∴x＝y， 若x1＜x2，则0． ∴．x﹣y＜0， ∴x＜y， 由于x1，x2的大小无法确定， 则x和y的大小也无法确定， 故选：D． 11．某测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场的一款智能手机进行测评，各项得分如下表： 测试项目 操作系统 硬件规格 屏幕尺寸 屏幕尺寸 项目成绩/分 8 8 6 4 最后将操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、屏幕尺寸这四项成绩按3：3：2：2的比例计算综合成绩，则该手机的综合成绩为　6.8　分． 【分析】利用加权平均数按照比例计算，即可求得选手甲的平均分． 【解答】解：． 故答案为：6.8． 12．某学校餐厅有10元、12元、15元三种盒饭供学生选择．某天盒饭的销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是　11.3　元． 【分析】本题考查加权平均数平均数，根据加权平均数的计算公式作答即可． 【解答】解：∵10元的盒饭销售量占比为10%，12元的盒饭销售量占比为40%， ∴15元的盒饭销售量的百分比为：1﹣50%﹣40%＝10%， ∴平均数为：15×10%+12×40%+10×50%＝11.3元． 故答案为：11.3． 13．某中学评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“德育”四个方面考核打分，各项满分均为100，所占比例如表： 项目 学习 卫生 纪律 德育 所占比例 30% 25% 25% 20% 七年级2008班这四项得分依次为80，86，84，90，则该班四项综合得分为 　84.5　分． 【分析】根据题意和加权平均数的计算方法，可以计算出该班四项综合得分． 【解答】解：由题意可得， 80×30%+86×25%+84×25%+90×20% ＝24+21.5+21+18 ＝84.5（分）， 即该班四项综合得分为84．（5分）， 故答案为：84.5． 14．若a、b、c的平均数为15，则a+3、b+4、c+5的平均数为　19　． 【分析】先根据a、b、c的平均数为15，得出a+b+c＝45，再结合a+3、b+4、c+5的平均数，据此即可作答． 【解答】解：∵a、b、c的平均数为15， ∴， ∴a+b+c＝45， 则a+3、b+4、c+5的平均数为． 故答案为：19． 15．对于一个三位正整数m，其各个数位上的数字互不相等，若m的百位数字与个位数字的平均数等于十位数字，则称m为“平均数”．例如：753，因为，所以753是“平均数”；又如469，因为，所以469不是“平均数”，则“平均数”m的最大值是　987　；若“平均数”m的各个数位上的数字之和能被7整除，则满足条件的m的最小值是　579　． 【分析】根据“平均数”的定义可知，若“平均数”m取得最大值，则百位数字是9，十位数字是8，则个位数字是7；再根据“平均数”m的各个数位上的数字之和能被7整除，即可得到满足条件的m的最小值． 【解答】解：由题意可得，“平均数”m的最大值是987； 设三位数m的十位数字为a，则百位数字和个位数字之和为2a， ∵“平均数”m的各个数位上的数字之和能被7整除， ∴a+2a＝3a能被7整除， ∴a最小是7， ∴满足条件的m的最小值是579． 故答案为：987，579． 16．体育课上，小明记录了本小组同学1min跳绳的成绩，数据（单位：个）如下：184，170，195，162，180，169，178，166，189． （1）请计算该小组学生1min跳绳的平均成绩； （2）人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么b＝0.8（220﹣a）．小明今年14岁，他在跳绳时10s心跳的次数为26次，他有危险吗？请说明理由． 【分析】（1）根据平均数的计算方法求解即可； （2）根据题意得出b≈164，然后结合题意求解即可． 【解答】解：（1）（184+170+195+162+180+169+178+166+189）÷8＝177， （2）无危险． 理由如下：当a＝14时， b＝0.8×（220﹣14）＝176﹣11.2≈164（次）， 26×（60÷10）＝156， 156＜164 ∴他没有危险． 17．今年“十一”黄金周，江苏某风景区在七天假期中每天旅客人数变化情况如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示人数比前一天少），已知9月30日的游客人数为5万人． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 +1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣1.3 +0.5 ﹣0.8 （1）今年10月4日的游客人数为 　5.7　万人； （2）七天内游客人数最多的一天比最少的一天多 　2.7　万人； （3）若每万人带来的经济收入约为200万元，则黄金周该景区旅游每天平均收入约为多少万元？ 【分析】（1）根据题意列得算式，计算即可得到结果； （2）分别求出每天的人数，找出旅客人数最多的与最少的，相减计算即可得到结果； （3）根据表格得出1日到7日每天的人数，相加后再乘以200即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：5+（1.8﹣0.6+0.2﹣0.7）＝5+0.7＝5.7（万人）， 即出10月4日的游客人数为5.7万人； 故答案为：5.7； （2）根据表格得： 1日：5+1.8＝6.8（万人）， 2日：6.8﹣0.6＝6.2（万人）， 3日：6.2+0.2＝6.4（万人）， 4日：6.4﹣0.7＝5.7（万人）， 5日：5.7﹣1.3＝4.4（万人）， 6日：4.4+0.5＝4.9（万人）， 7日：4.9﹣0.8＝4.1（万人）， 则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多：6.8﹣4.1＝2.7 （万人）， 故答案为：2.7； （3）（6.8+6.2+6.4+5.7+4.4+4.9+4.1）×200÷7 ＝38.5×200÷7 ＝1100（万元）， 答：黄金周该景区旅游每天平均收入约为1100万元． 18．为了增强学生的防溺水安全意识，某校举办了“防溺水安全主题系列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动．八（1）班陈老师从全班学生中经过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名学生代表八（1）班参加比赛．如表是班上两名同学参加各项活动的测试成绩（单位：分）： 选手 主题活动项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 89 99 85 乙 84 96 90 （1）如果根据三项测试的平均成绩确定人选，那么谁将被选中？ （2）如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按1：3：4的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？ （3）如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按20%，50%，30%的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？ 【分析】（1）根据平均数的计算方法进行解答即可； （2）根据加权平均数的计算方法进行解答即可； （3）根据按 20%，50%，30%的比例计算出两人的成绩，再进行比较即可． 【解答】解：（1）甲的平均成绩为 ， 乙的平均成绩为， 因此甲将被选中． （2）根据题意，两人的测试成绩如下： 甲的测试成绩为， 乙的测试成绩为， 因此乙将被选中． （3）根据题意，两人的测试成绩如下： 甲的测试成线为89×20%+99×50%+85×30%＝92.8（分） 乙的测试成线为84×20%+96×50%+90×30%＝91.8（分） 因此甲将被选中． 19．为了解某校八年级学生寒假期间每天的睡眠时长（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，得到如下统计图． （1）m＝ 　16　，a＝ 　50　； （2）求这组学生每天睡眠时长的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生1500人，估计该校八年级学生寒假期间每天睡眠时长不足8h的人数约为多少？ 【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出m%，然后根据睡眠时长为10h的人数，即可计算出a的值； （2）根据扇形统计图中的数据，可以计算出这组学生每天睡眠时长的平均数； （3）根据扇形统计图中的数据，可以估计该校八年级学生寒假期间每天睡眠时长不足8h的人数约为多少． 【解答】解：（1）m%＝1﹣6%﹣14%﹣34%﹣30%＝16%， a＝8÷6%＝50， 故答案为：16；50； （2）6×6%+7×14%+8×34%+9×30%+10×16% ＝0.36+0.98+2.72+2.7+1.6 ＝8.36（h）， 答：这组学生每天睡眠时长的平均数为8.36h； （3）1500×（6%+14%） ＝1500×20% ＝300（人）， 答：估计该校八年级学生寒假期间每天睡眠时长不足8h的人数约为300人． 20．某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分． 例如：A节目演出后各个评委所给分数如表： 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 评分/分 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9.7 7.9 6.7 8.5 9.4 评分方案如下： 方案一：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为． 方案二：为了既突出专业评审的权威性又尊重大众评审的喜爱度，先计算1至4号评委所给分数的平均数，5至10号评委所给分数的平均数，再根据比赛的需求设置相应的权重（f1表示专业评委的权重，f2表示大众评委的权重，且f1+f2＝1）．如当f1＝0.7时，则f2＝1﹣0.7＝0.3． 该节目的得分为． （1）当按照“方案二”中f1＝0.6评分时，求A节目的得分； （2）关于评分方案，下列说法正确的有 　②③　． ①当f1＝0.5时，A节目按照“方案二”和“方案一”评分结果相同； ②当f1＞0.5时，说明“方案二”评分更注重节目的专业性； ③当f1＝0.3时，A节目按照“方案二”评分的结果比“方案一”高． 【分析】（1）利用公式计算即可； （2）分别根据加权平均数公式及权重进行分析即可得到答案． 【解答】解：（1）当f1＝0.6时，由题意知，f2＝1﹣f1＝0.4，， ，， ∴该节目得分：， ∴f1＝0.6时，A节目的得分为7.86； （2）①f1＝0.5时，f1（1﹣f1）0.5×7.5+0.5×8.4＝7.95， 8.04≠7.95，故①错误； ②f1＞0.5时，说明方案二评的更注重节目的专业性，故②正确； ③f1＝0.3，0.3×7.5+0.7×8.4＝8.13， ∵8.13＞8.04，8.13＞8.00， ∴③正确． 故答案为：②③． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平均数 课程标准 学习目标 ①算术平均数 ②加权平均数 1. 掌握算术平均数的算法，能够熟练的计算基础数据以及变形数据的算术平均数。 掌握加权平均数的算法，能够熟练的计算各种形式加权的数据的加权平均数。 知识点01 算术平均数 1. 算术平均数的定义与算法： 一般地，对于个数据，我们把 叫做这组数据的算术平均数。简称平均数。用 来表示，读作“拔”，记做 。 【即学即练1】 1．已知一组数据2，1，9，7，6，则这组数据的平均数是　 　． 【即学即练2】 2．一组数据：3，4，x，4，5的平均数是4，则x的值是 　 　． 2. 平均数的拓展： 如果一组数据的算术平均数是，那么数据的算术平均数是 。数据的算术平均数是 。数据，...，的算术平均数是 。 【即学即练1】 3．已知两组数据x1，x2，……，xn和y1，y2，……，yn的平均数分别为5和﹣2，则x1+2y1，x2+2y2，……，xn+2yn的平均数为 　 　． 知识点02 加权平均数 1. 加权平均数的定义与算法： 对于个数据，他们的权重分别是，则用 表示这组数据的加权平均数。 2. 在求个数的平均数时，如果出现次，出现次，...出现次（其中），那么这个数的平均数= 也叫做这个数的加权平均数。其中是这个数的权重。 权重一般用比、百分数以及出现的次数来表示。 【即学即练1】 4．学校举办了以“不负青春，强国有我”为主题的演讲比赛．已知某位选手的演讲内容、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分、85分、82分，若依次按照35%，40%，25%的比例确定成绩，则该选手的成绩是 　 　分． 【即学即练2】 5．小丽参加“强国有我”主题演讲比赛，其形象、内容、表达三项的成绩分别是85分、90分、80分，若将三项得分依次按2：5：3的比例确定最终成绩，则小丽的最终比赛成绩为　 　分． 题型01 计算算术平均数 【典例1】一组数据7、8、9、13、13的平均数是（　　） A．12 B．10 C．9 D．7 【变式1】数据﹣2，0，1，﹣2，﹣2的平均数是 　 　． 【变式2】从某地某一个月中随机抽取5天的中午，记录这5天12时的气温（单位：℃），结果如下：22，32，25，13，18，可估计该地这一个月中午12时的平均气温为 　 　． 【变式3】射击比赛中，某选手的10次射击成绩如表所示： 成绩/环 10 9 8 7 6 次数 3 4 1 0 2 则该选手的平均成绩是 　 　环． 题型02 计算加权平均数 【典例1】某校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为90分，复赛成绩为80分．若总成绩按初赛成绩占30%，复赛成绩占70%来计算，则小颖同学的总成绩为（　　） A．83分 B．80分 C．75分 D．70分 【变式1】某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，80分，80分，若依次按照30%，45%，25%的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（　　） A．86分 B．85分 C．84分 D．83分 【变式2】“双减”政策落地，各地学校为了提升学生核心素养，把学生的综合评价分为学习、体育和艺术三部分，学习成绩、体育成绩与艺术成绩按5：3：2计入综合评价．若珊珊学习成绩为90分，体育成绩为80分，艺术成绩为70分，则他的综合评价得分为（　　） A．84 B．85 C．82 D．83 【变式3】某校举办“身边的温暖故事”主题演讲比赛，其中前三名选手的成绩统计如表． 选手 评分项目 故事内容（单位：分） 情感表达（单位：分） 演讲技巧（单位：分） 小琪 100 85 90 小清 79 100 100 小明 95 90 90 若故事内容、情感表达、演讲技巧按4：3：3的加权平均分决定冠军、亚军、季军，则冠军、亚军、季军分别是（　　） A．小清、小明、小琪 B．小清、小琪、小明 C．小琪、小明、小清 D．小琪、小清、小明 题型03 根据已知数据的平均数求新数据的平均数 【典例1】已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是2024，则另一组数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的平均数是　 　． 【变式1】一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是5，则4x1﹣3，4x2﹣3，4x3﹣3，4x4﹣3，4x5﹣3的平均数是　 　． 【变式2】已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则另一组数据5x1﹣5，5x2﹣5，5x3﹣5，5x4﹣5的平均数是 　． 【变式3】x1，x2，…，x5的平均数为m；x6，x7…，x20的平均数为n，则 x1，x2，…，x20的平均数为（　　） A．m+n B． C． D． 题型04 求数据中的未知数据 【典例1】样本数据2、a、3、4的平均数是3，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】某班五个合作学习小组的人数分别如下：5，5，x，6，8，已知这组数据的平均数是6，则x的值是（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．7 【变式2】某校举办小合唱比赛，六个参赛小组人数如下：5，6，5，7，x，8．已知这组数据的平均数为6，则数x为（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．7 【变式3】一组数据7，10，13，x，5的平均数为y，则y关于x的函数解析式为（　　） A． B．y＝x+35 C． D． 1．某校团委开展以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，所有评委的平均分为最后得分．下表是九年级（1）班的亮分情况： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 8.9 8.7 8.6 9.0 8.8 则九年级（1）班的得分为（　　） A．8.6 B．8.7 C．8.8 D．8.9 2．嘉嘉在计算五个数的平均数时，只计算了前四个数的平均数，这四个数的平均数比正确结果小1．若第五个数为6，则正确的平均数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．某招聘考试要进行笔试和面试，其中笔试占60%，面试占40%．孔明笔试成绩90分，面试成绩80分，那么孔明的最后成绩是（　　） A．90分 B．88分 C．86分 D．80分 4．已知五个数据：2，2，x，5，8的平均数是4，现增加了一个数据后的平均数仍不变，则增加的这个数据是（　　） A．0 B．2 C．4 D．5 5．现有甲、乙两组数据，数据甲：1，2，3，4．数据乙：2021，2022，2023，2024．若数据甲的平均数为m，乙的平均数为n，则m与n之间的关系为（　　） A．m＝n B．m＝n﹣2020 C．m＝n﹣2021 D．m＝n﹣2022 6．在一次考试中，某题（满分10分）的得分情况如下： 得分 0 2 4 6 8 10 百分率 5% 10% 25% 30% 15% 15% 则该题的平均得分（　　） A．5.5分 B．5.7分 C．5.9分 D．6.1分 7．某校招聘一名教师，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试、面试，他们的各项成绩如下表所示．根据要求，学校将笔试、面试成绩按6：4的比例确定各人的最后得分，然后录用得分最高的候选人．最终被录用的是（　　） 项目 测试成绩 甲 乙 丙 丁 笔试 80 70 75 90 面试 80 90 85 70 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．在一次数学考试中，六年一班的23名男生的平均分为a，22名女生的平均分为b，则这个班全体同学的平均分为（　　） A． B． C． D． 9．已知数据x1，x2，…xn的平均数是2，则3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的平均数为（　　） A．2 B．0 C．6 D．4 10．已知数据a1，a2，a3，a4的平均数为x1；a5，a6，a7，a8，a9，a10的平均数为x2；x1与x2的平均数为x；a1，a2，a3，⋯，a8，a9，a10的平均数为y．那么x与y的大小关系是（　　） A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．不能确定 11．某测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场的一款智能手机进行测评，各项得分如下表： 测试项目 操作系统 硬件规格 屏幕尺寸 屏幕尺寸 项目成绩/分 8 8 6 4 最后将操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、屏幕尺寸这四项成绩按3：3：2：2的比例计算综合成绩，则该手机的综合成绩为　 　分． 12．某学校餐厅有10元、12元、15元三种盒饭供学生选择．某天盒饭的销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是　 　元． 13．某中学评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“德育”四个方面考核打分，各项满分均为100，所占比例如表： 项目 学习 卫生 纪律 德育 所占比例 30% 25% 25% 20% 七年级2008班这四项得分依次为80，86，84，90，则该班四项综合得分为 　 　分． 14．若a、b、c的平均数为15，则a+3、b+4、c+5的平均数为　 　． 15．对于一个三位正整数m，其各个数位上的数字互不相等，若m的百位数字与个位数字的平均数等于十位数字，则称m为“平均数”．例如：753，因为，所以753是“平均数”；又如469，因为，所以469不是“平均数”，则“平均数”m的最大值是　 　；若“平均数”m的各个数位上的数字之和能被7整除，则满足条件的m的最小值是　 　． 16．体育课上，小明记录了本小组同学1min跳绳的成绩，数据（单位：个）如下：184，170，195，162，180，169，178，166，189． （1）请计算该小组学生1min跳绳的平均成绩； （2）人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么b＝0.8（220﹣a）．小明今年14岁，他在跳绳时10s心跳的次数为26次，他有危险吗？请说明理由． 17．今年“十一”黄金周，江苏某风景区在七天假期中每天旅客人数变化情况如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示人数比前一天少），已知9月30日的游客人数为5万人． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 +1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣1.3 +0.5 ﹣0.8 （1）今年10月4日的游客人数为 　 　万人； （2）七天内游客人数最多的一天比最少的一天多 　万人； （3）若每万人带来的经济收入约为200万元，则黄金周该景区旅游每天平均收入约为多少万元？ 18．为了增强学生的防溺水安全意识，某校举办了“防溺水安全主题系列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动．八（1）班陈老师从全班学生中经过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名学生代表八（1）班参加比赛．如表是班上两名同学参加各项活动的测试成绩（单位：分）： 选手 主题活动项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 89 99 85 乙 84 96 90 （1）如果根据三项测试的平均成绩确定人选，那么谁将被选中？ （2）如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按1：3：4的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？ （3）如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按20%，50%，30%的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？ 19．为了解某校八年级学生寒假期间每天的睡眠时长（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，得到如下统计图． （1）m＝ 　 　，a＝ 　 　； （2）求这组学生每天睡眠时长的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生1500人，估计该校八年级学生寒假期间每天睡眠时长不足8h的人数约为多少？ 20．某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分． 例如：A节目演出后各个评委所给分数如表： 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 评分/分 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9.7 7.9 6.7 8.5 9.4 评分方案如下： 方案一：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为． 方案二：为了既突出专业评审的权威性又尊重大众评审的喜爱度，先计算1至4号评委所给分数的平均数，5至10号评委所给分数的平均数，再根据比赛的需求设置相应的权重（f1表示专业评委的权重，f2表示大众评委的权重，且f1+f2＝1）．如当f1＝0.7时，则f2＝1﹣0.7＝0.3． 该节目的得分为． （1）当按照“方案二”中f1＝0.6评分时，求A节目的得分； （2）关于评分方案，下列说法正确的有 　． ①当f1＝0.5时，A节目按照“方案二”和“方案一”评分结果相同； ②当f1＞0.5时，说明“方案二”评分更注重节目的专业性； ③当f1＝0.3时，A节目按照“方案二”评分的结果比“方案一”高． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$