精品解析： 江苏省扬州市江都区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省扬州市江都区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一组数据5、3、、4的极差是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是极差．极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差． 根据极差的概念计算即可． 【详解】解：数据中最大数据为5，最小数据， 则极差为：． 故选：C． 2. 下列图形中不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似图形，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫作位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．我们把形如的函数叫做二次函数，解决本题的关键是根据二次函数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：是正比例函数，故A选项不符合题意； B选项：是一次函数，故B选项不符合题意； C选项：是二次函数，故C选项符合题意； D选项：是反比例函数，故D选项不符合题意； 故选：C． 4. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴， ∴满足要求的方程为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 5. 如图，四边形内接于，是的直径．若的半径为，，则的长度为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接．根据圆内接四边形的性质以及，求出．根据圆周角定理得出，那么，然后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接． 四边形内接于， ， ， ，． ， ， 的半径为6， 的长度为． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长的计算，圆内接四边形的性质，圆周角定理．求出的度数是解题的关键． 6. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，正确理解题意是解题关键．根据题意画出三角形，表示三边长，利用勾股定理可得方程． 详解】解：如下图， 根据题意，可知，，，， ∴， 由勾股定理可得． 故选：A． 7. 小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. 中位数是 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查方差的计算公式，中位数的定义，由方差公式得这组数据共个数，平均数为，即得，，即可判断；进而由中位数的定义可判断；再计算可判断，综上即可求解，掌握方差的计算公式是解题的关键． 【详解】解：， 这组数据为，，，，，共个数，平均数为， ∴，， ∴， ∴选项正确，不合题意； 数据，，，，的中位数为， ∴选项正确，不合题意； ∵， ∴选项错误，符合题意； 故选：． 8. 机械学家莱洛研究发明的“莱洛三角形”是：分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形(如图)．已知一个“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为，则此“莱洛三角形”的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出等边三角形的边长为，过点作的垂线，求出的面积，再结合扇形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为， 所以， 过点作的垂线，垂足为， 由是等边三角形得， ， ，， 则， 所以， 又因为， 所以“莱洛三角形”的面积为：． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算、勾股定理、等边三角形的性质，解题关键是熟知扇形的面积公式及等边三角形的性质． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 若一组数据、、、、、的众数是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是利用众数求未知数据的值，解题关键是熟练掌握众数的定义． 根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即可得出答案． 【详解】解：这组数据中的众数是，即出现次数最多的数据为， 故． 故答案为：． 10. 若3是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为____． 【答案】-3 【解析】 【分析】把x=3代入方程可得关于c的方程，解这个方程即可求得答案. 【详解】把x＝3代入方程x2﹣2x+c＝0得32﹣2×3+c＝0， 解得c＝﹣3， 故答案为﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键. 11. 在的地图上，量得两地距离为，则两地的实际距离约为______千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例尺，解题关键是熟练掌握比例尺公式． 根据“比例尺图上距离与实际距离的比”，进而得出答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 12. 圆锥底面圆的半径为3，高为4，它的侧面积等于_____（结果保留π）． 【答案】15π 【解析】 【分析】根据圆的面积公式、扇形的面积公式计算即可． 【详解】圆锥的母线长==5,， 圆锥底面圆的面积=9π 圆锥底面圆的周长=2×π×3=6π，即扇形的弧长为6π， ∴圆锥的侧面展开图的面积=×6π×5=15π， 【点睛】本题考查的是扇形的面积，熟练掌握扇形和圆的面积公式是解题的关键. 13. 已知中，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数的关系的应用，解题的关键是掌握：，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为锐角， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 在小提琴设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】设 则 且 再利用，列方程，解方程可得答案. 【详解】解：设 则 且 ， 整理得： 解得： 经检验：不符合题意，舍去，则 故答案为： 【点睛】本题考查的是黄金分割的含义，一元二次方程的解法，分式方程的解法，掌握“黄金分割比的含义”是解本题的关键. 15. 已知a、b是一元二次方程的两个实数根，求的值______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到，将原代数式化为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得到， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，，掌握根与系数关系是解决问题的关键． 16. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为，利用对称性可得另一个交点的坐标为，结合抛物线的开口向下，进而可得不等式的解集． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为， 另一个交点的横坐标为， 即另一个交点的坐标为， 抛物线的开口向下， 不等式的解集是， 故答案为：． 17. 有一个侧面为梯形的容器，高为8cm，内部倒入高为6cm的水．将一根长为18cm的吸管如图放置，若有2cm露出容器外，则吸管在水中部分的长度为________cm． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质等相关知识点，掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的判定得到，再利用相似三角形的对应边成比例即可得到的长． 【详解】解∶过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴设，则， ∵的高为∶， ∴， ∴， ∴解得：， 故答案为：12． 18. 抛物线上有、、、四个点，若、、、四个数中有且只有一个数小于零，则的取值范围为______． 【答案】． 【解析】 【分析】根据所给函数解析式，得出抛物线对称轴为直线，得出和关于抛物线的对称轴对称，进而，所以小于零的数只能是或，再进行分类讨论即可． 【详解】解：由题知， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 和关于抛物线的对称轴对称， 则， 又因为、、、四个数中有且只有一个数小于零， 所以小于零的数只能是或， 当时， ， 解得， 的取值范围是； 当时，， 则抛物线的开口向上， 当时，， 所以此情况不存在． 综上所述：的取值范围是． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟知二次函数的图象与性质． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算或解方程： （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解一元二次方程—因式分解法、实数的运算、化简二次根式、特殊角的三角函数值，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先根据特殊角的三角函数值计算，然后化简二次根式，最后合并即可； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为或后即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： 或 ，． 20. 已知线段a、b、c满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段，线段x是线段a、d的比例中项，求x． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出可以使计算更加简便． （1）设，然后用k表示出，再代入求解得到k，即可得到的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段x的长． 【小问1详解】 解：设， 则，，， 所以， 解得， 所以，，； 【小问2详解】 解：∵线段， ∴． ∵线段x是线段a、d的比例中项， ∴， ∴线段（，故舍去） 21. 如图，是边长为1个单位的小正方形组成的方格，在网格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为和 ．顶点都在格点上，将的三边分别扩大得到（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形． （1）在图中画出点P，并直接写出点P的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转所得； （3）若以（2）中旋转后所得扇形作为圆锥侧面围成一个圆锥，则所得圆锥底面半径为 ． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查网格作图，熟练掌握旋转性质，圆锥弧长计算，底面圆周长计算，位似性质，是解题的关键． （1）对应点连线的交点P即为旋转中心； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可； （3）设底面圆的半径为根据底面圆周长=扇形的弧长，构建方程求解． 【小问1详解】 解：如图，点P即为所求，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：设底面圆的半径为 ， 由题意， ． 故答案为：． 22. 扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览． （1）甲选择景点的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用概率计算公式求解即可； （2）利用树状图或列表的方法，分析甲、乙至少一人选择的基本事件的个数，除以总的基本事件个数即可． 【小问1详解】 解：共有个景点可供选择，且选择每种景点是随机的， 甲选择景点的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下： 由表格可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙至少有一人选择景点共有种等可能的结果， 甲、乙至少有一人选择景点的概率为． 【点睛】本题考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟练掌握相关计算方法是解题的关键． 23. 小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了次测试，两人次测试的成绩如下(单位：分)： 小聪：，，，，，；小明：，，，，，． （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 小明 ， ， ， ； （2）根据这次成绩，如果老师选择小聪代表班级参赛，老师的理由是什么？ （3）若小明再测试次，成绩为分，那么小明的成绩的方差 ．(填“变大”、“变小”或“不变”) 【答案】（1），，，； （2）小聪和小明的平均数都为，但小聪的方差为，小明的方差为，所以小聪的成绩比较稳定，所以老师选择小聪代表班级参赛； （3）变小． 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义计算小明成绩的平均数得的值，再把小明的成绩按从小到大排列，则根据中位数的定义得到的值；根据众数的定义确定的值，然后根据方差公式计算小聪成绩的方差得到的值； （2）根据方差的意义得到小聪的成绩比较稳定，所以老师选择小聪代表班级参赛； （3）由于小明再测试的成绩为分，等于平均数，根据方差公式，分子不变，分母变大，从而得到小明的成绩的方差变小． 【小问1详解】 解：； 小明的成绩按从小到大排列为，，，，，， ， 小聪的成绩中出现了次，出现次数最多， ， 小聪成绩方差， 即； 故答案为：，，，． 【小问2详解】 解：老师的理由为：小聪和小明的平均数都为，但小聪的方差为，小明的方差为， 所以小聪的成绩比较稳定， 所以老师选择小聪代表班级参赛． 【小问3详解】 解：小明再测试次，成绩为分，此成绩等于平均数，根据方差公式，小明的成绩的方差变小． 故答案为：变小． 【点睛】本题考查的知识点是求平均数、求众数、求中位数、求方差、运用方差做决策，解题关键是熟练掌握求方差的方法． 24. 如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，点在边上，且． （1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由； （2）已知，，求的半径． 【答案】（1）直线与相切，见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数，利用参数列方程是解题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质可得，，由余角的性质可求，可得结论； （2）由锐角三角函数可设，，在中，由勾股定理可求，在中，由勾股定理可求，即可求解． 【小问1详解】 解：直线与相切， 理由如下：如图，连接， ，， ，， ， ， ， ， ， 又为半径， 是的切线， 直线与相切； 【小问2详解】 解：， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为． 25. 在平面直角坐标系中，点和都在二次函数，（是常数）的图象上． （1）若，求该二次函数的表达式； （2）若，求b的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由点和都在二次函数（是常数）的图象上，从而，，结合，求出a，b，即可判断得解； （2）依据题意，当时，二次函数为，从而，结合，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，点和都在二次函数（是常数）的图象上， ， 又， ， 二次函数为． 【小问2详解】 由题意，当时，二次函数为， ， 又， ， ． 26. 在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． （1）如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． （2）如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使点为点的“关联点”(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)； （3）在（2）的前提下，在图（2）中继续用无刻度的直尺和圆规在边上方作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得到，求得，得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质作图即可； （3）根据相似三角形的性质作图即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是点的“关联点”． 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 作法提示：①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； 简证：点在以为直径的圆上运动， ， ， 由（1）可得，此时点为点的“关联点”． 【小问3详解】 解：如图， 作法提示：①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧． 简证：在以为直径的圆上运动， ， 根据第一问很容易得出， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质、尺规作图等内容，解题关键是熟练掌握相关知识和正确理解题意． 27. 已知：抛物线与轴交于、两点(点在点左侧)，对称轴为直线，抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上，为抛物线上第二象限内一动点且不与点重合． （1）求该抛物线的关系式； （2）如图，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的横坐标； （3）过点的直线与抛物线交于点，若，直线是否过一定点？若过定点，请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点的横坐标为或； （3）直线过定点． 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，再求出点坐标，设抛物线解析式为顶点式，再代入点，解得，从而可得抛物线解析式； （2）先求出抛物线与 轴交点，，直线的解析式为，直线的解析式为，接下来分两种情况讨论以、、为顶点的三角形与相似，即①和②，再分别求解即可； （3）由，可设直线解析式为，直线解析式为，令直线与抛物线联立可得，由根与系数的关系可得，即，从而可得；同理可得，根据待定系数法可得直线的表达式，再构造一线三垂直模型，如图所示，则，，，，易证，由相似三角形性质推得，把代入中，即，故直线过定点． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上， 当，则，， ，则，， 设抛物线解析式为顶点式， 代入点，可得， 解得， 故该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令， 可解得或， 即，， 由待定系数法可得直线的解析式为，直线的解析式为， ， 可能存在两种情况： ①， ， ，，， ，是等腰直角三角形， 可得，， 作轴于点，如图所示， ，进而可得， 则直线的解析式为， 联立与，整理得， 解得， 又为抛物线上第二象限内点， ； ②， 此时， 则直线的解析式为， 联立和，整理得， 解得（正值舍去）， 则． 综上，点的横坐标为或． 【小问3详解】 解：直线过定点，理由如下： ，设直线解析式为， 直线解析式为， 令直线与抛物线联立可得， 由根与系数的关系可得，即， 从而可得， 令直线与抛物线联立，同理可得，即， 从而可得， 根据待定系数法可得直线的表达式为， 过点作轴，于，于， 如图所示， 则，， ，， ， ， ， ， ， ，即， 整理可得， 把代入中， 即， 令，即，此时， 故直线过定点． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的交点问题、求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、根与系数的关系，解题关键是分类讨论及构造一线三等角模型帮助解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年江苏省扬州市江都区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一组数据5、3、、4的极差是（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 8 2. 下列图形中不是位似图形的是（ ） A B. C. D. 3. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，是的直径．若的半径为，，则的长度为(　　) A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C D. 7. 小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. 中位数是 C. D. 8. 机械学家莱洛研究发明的“莱洛三角形”是：分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形(如图)．已知一个“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为，则此“莱洛三角形”的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 若一组数据、、、、、的众数是，则的值为______． 10. 若3是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为____． 11. 在的地图上，量得两地距离为，则两地的实际距离约为______千米． 12. 圆锥底面圆的半径为3，高为4，它的侧面积等于_____（结果保留π）． 13. 已知中，，，则的值为______． 14. 在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则＝_____． 15. 已知a、b是一元二次方程的两个实数根，求的值______． 16. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是______． 17. 有一个侧面为梯形容器，高为8cm，内部倒入高为6cm的水．将一根长为18cm的吸管如图放置，若有2cm露出容器外，则吸管在水中部分的长度为________cm． 18. 抛物线上有、、、四个点，若、、、四个数中有且只有一个数小于零，则的取值范围为______． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算或解方程： （1）计算： （2）解方程： 20. 已知线段a、b、c满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段，线段x是线段a、d的比例中项，求x． 21. 如图，是边长为1个单位的小正方形组成的方格，在网格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为和 ．顶点都在格点上，将的三边分别扩大得到（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形． （1）在图中画出点P，并直接写出点P的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转所得； （3）若以（2）中旋转后所得扇形作为圆锥侧面围成一个圆锥，则所得圆锥底面半径为 ． 22. 扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览． （1）甲选择景点的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率． 23. 小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了次测试，两人次测试的成绩如下(单位：分)： 小聪：，，，，，；小明：，，，，，． （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 小明 ， ， ， ； （2）根据这次成绩，如果老师选择小聪代表班级参赛，老师的理由是什么？ （3）若小明再测试次，成绩为分，那么小明的成绩的方差 ．(填“变大”、“变小”或“不变”) 24. 如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，点在边上，且． （1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由； （2）已知，，求的半径． 25. 在平面直角坐标系中，点和都在二次函数，（是常数）的图象上． （1）若，求该二次函数的表达式； （2）若，求b取值范围． 26. 在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． （1）如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． （2）如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使点为点的“关联点”(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)； （3）在（2）的前提下，在图（2）中继续用无刻度的直尺和圆规在边上方作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)． 27. 已知：抛物线与轴交于、两点(点在点左侧)，对称轴为直线，抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上，为抛物线上第二象限内一动点且不与点重合． （1）求该抛物线的关系式； （2）如图，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的横坐标； （3）过点的直线与抛物线交于点，若，直线是否过一定点？若过定点，请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$