精品解析：江苏省扬州市仪征市2024-2025学年九年级上学期1月期末联考数学试题

2024年秋学期期末调研九年级数学试卷 分值：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在白色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，没有实数解的是（ ） A. B. C. D. 3. 去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种梨树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（   ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 在不透明口袋中装有白色和红色小球各一个，除颜色外两小球完全相同，第一次从中任意摸出一个小球，记下颜色后放回摇匀，第二次再从中随机摸出一个小球，两次都摸到白色小球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，是的三等分点，连接并延长交于点．若，，则圆心到弦的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，计24分） 9. 比较大小： _______．（填“＞”“＝”或“＜”） 10. 已知：关于x的方程x2﹣6x+8﹣t＝0有两个实数根x1，x2，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣6，则t＝_____． 11. 如图，四边形中，，，请添加一个条件______，使四边形是矩形． 12. 点A，B为反比例函数y＝图象上两点，其中点A坐标为（1，2），B点坐标为（﹣2，m），则m＝_____． 13. 若实数a，b满足，则的最小值是_____． 14. 开口向上的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若，则a的值是 ____________________． 15. 已知抛物线与轴交点坐标分别为，．若，则的取值范围是______． 16. 如图，在中，，D是上一点，，，则的长为_______． 三、解答题（共11题，计102分） 17. 解方程： （1）2x2﹣5x+1＝0； （2）x（2x﹣5）＝4x﹣10 18. 某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图： 根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加知识竞赛的学生共有______人，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，______，______，C等级对应的圆心角为______度； （3）小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率． 19. 某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，七（1），七（2）班各选取5名选手参赛，两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分） 七（1）班：5，9，7，10，9 七（2）班：8，8，7，8，9 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）求七（2）班5名同学比赛成绩的平均数和方差； （2）已知七（1）班5名同学的比赛成绩平均数为8分，方差为，请根据数据进行分析，你认为哪个班能成为获胜班级，为什么？ （3）若七（1）班又有一名学生参赛，成绩是8分，则七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的平均数相比会_______，方差相比会_______（填“变大”、“变小”或“不变”） 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 21. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：） 22. 如图，内接于，是直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 23. 某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 24. 如图，在中，，平分交于点D，点B为边上一点，以为直径的圆恰好经过点D． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 25. 小明新买了一盏亮度可调节台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值； （3）若该台灯工作最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 26. 已知：如图，过正方形的顶点A，B，且与边相切于点E．点F是与的交点，连接，点G是延长线上一点，连接，且 （1）求证：是的切线； （2）如果正方形边长为2，求长． 27. 借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光…… 已知，点D，E在上，，点P在上，连接，作的外接圆． （1）当时， （Ⅰ）如图①，若是的直径，则的半径为 ； （Ⅱ）如图②，若，求的半径． （2）当时，如图③，若与AB相切于点P，用直尺和圆规作出点P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （3）设，对于每一个m的值，的半径随着点P的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的m的取值范围（可用含m的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期期末调研九年级数学试卷 分值：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在白色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题侧重考查几何概率，根据平行四边形的性质可得：平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形；设出图中两个小三角形面积分别为，根据平行线的性质可得；接下来根据概率的计算公式可求白色部分的面积占平行四边形面积的比，即可求飞镖落在白色区域的概率． 【详解】解：根据平行线的性质可得， 根据平行四边形的性质可得：平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形，则白色部分的面积占， 所以飞镖落在阴影区域的概率为：； 故选：B． 2. 下列方程中，没有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程，根据题意逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，解得：，故A选项不正确，不符合题意； B. 方程两边同时乘以，得，， 解得：或， 经检验，是原方程的增根，原方程的解为， 故B选项不正确，不符合题意； C. ，方程有实数解，故C选项不正确，不符合题意； D. ， ∴ 又∵ ∴原方程无实数解， 故选：D． 3. 去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（   ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查利用平均数、方差作决策，先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定． 【详解】解：因为甲组、乙组的平均数丙组比丁组大， 而乙组的方差比甲组的小， 所以乙组的产量既高又稳定， 故选B． 4. 已知半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵⊙O半径为4，点P在⊙O外， ∴OP＞4， 故选：D． 【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 5. 在不透明口袋中装有白色和红色小球各一个，除颜色外两小球完全相同，第一次从中任意摸出一个小球，记下颜色后放回摇匀，第二次再从中随机摸出一个小球，两次都摸到白色小球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画出树状图，从而可得两次摸出小球的所有等可能的结果，再找出两次都摸到白色小球的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，两次摸出小球的所有等可能的结果共有4种，其中，两次都摸到白色小球的结果只有1种， 则两次都摸到白色小球的概率是， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键． 6. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵抛物线向右平移1个单位长度，∴平移后解析式为：，∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：．故选C． 考点：二次函数图象与几何变换． 7. 如图，是的弦，是的三等分点，连接并延长交于点．若，，则圆心到弦的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程组等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过圆心作于，得到和，在这两个三角形中用勾股定理计算可以求出的值，也就是圆心到弦的距离． 【详解】解：如图：过作于，连接， 根据垂径定理得：， 设，则，，， 在中，， 在中，， 又，，代入中，解方程组得：，， 所以圆心到弦的距离是， 故选：C． 8. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着， ， ， ． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，计24分） 9. 比较大小： _______．（填“＞”“＝”或“＜”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握实数大小的比较，根据题意，则，，可得，即，则，根据正数大于零大于负数，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10. 已知：关于x的方程x2﹣6x+8﹣t＝0有两个实数根x1，x2，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣6，则t＝_____． 【答案】6. 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】由根与系数的关系可知：x1+x2＝6，x1x2＝8﹣t， ∵（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣6， ∴x1x2﹣2（x1+x2）+10＝0， ∴8﹣t﹣2×6+10＝0， 解得：t＝6， 故答案为6. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 11. 如图，四边形中，，，请添加一个条件______，使四边形是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据矩形的判定进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解题的关键． 12. 点A，B为反比例函数y＝图象上两点，其中点A坐标为（1，2），B点坐标为（﹣2，m），则m＝_____． 【答案】﹣1． 【解析】 【分析】根据待定系数法求得反比例函数的解析式，把B点坐标为（﹣2，m）代入即可得到结论． 【详解】把点A坐标为（1，2）代入y＝ 中得，2＝ ， ∴k＝2， ∴反比例函数解析式为y＝， 把B点坐标为（﹣2，m）代入y＝得，m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查反比例函数的解析式，注意反比例函数解析式与坐标关系是解题关键。 13. 若实数a，b满足，则的最小值是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．先求出，，代入可得，再令，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 将代入得：， 令， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为， 即的最小值是1， 故答案为：1． 14. 开口向上的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若，则a的值是 ____________________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，求出的坐标，设，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：当时，， 不妨设，设， ∵抛物线的开口向上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 已知抛物线与轴的交点坐标分别为，．若，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元一次不等式组，由题意得，则，然后代入，最后解不等式组即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点坐标分别为，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：且． 16. 如图，在中，，D是上一点，，，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【详解】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，得出，再结合相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知，， ， ， ， ∴， 则， ， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题（共11题，计102分） 17. 解方程： （1）2x2﹣5x+1＝0； （2）x（2x﹣5）＝4x﹣10 【答案】（1）x1＝，x2＝；（2）x1＝2，x2＝2.5． 【解析】 【详解】（1）利用公式法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1， ∴△＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0， 则x＝， 即x1＝，x2＝； （2）∵x（2x﹣5）＝4x﹣10， ∴x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， 则（x﹣2）（2x﹣5）＝0， ∴x﹣2＝0或2x﹣5＝0， 解得x1＝2，x2＝2.5． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图： 根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加知识竞赛的学生共有______人，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，______，______，C等级对应的圆心角为______度； （3）小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率． 【答案】（1）40，图见解析 （2）10，40，144 （3）表见解析，小明被选中参加区知识竞赛的概率为 【解析】 【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据D等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数，然后乘以B等级所占的百分比即可得出B等级的人数，然后补全统计图即可； （2）用A等级的频数除以总人数即可得出m的值；用度乘以C等级所占的比例即可； （3）用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可． 【小问1详解】 人，人， 故答案为：40，补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 ，， ． 故答案为10，40，144； 【小问3详解】 设除小明以外的三个人记作、、，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下： 一 二 小明 小明 ，小明 ，小明 ，小明 小明， ， ， 小明， ， ， 小明， ， ， 共有12种等可能出现的情况，其中小明被选中的有6种， 所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为． 19. 某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，七（1），七（2）班各选取5名选手参赛，两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分） 七（1）班：5，9，7，10，9 七（2）班：8，8，7，8，9 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）求七（2）班5名同学比赛成绩的平均数和方差； （2）已知七（1）班5名同学的比赛成绩平均数为8分，方差为，请根据数据进行分析，你认为哪个班能成为获胜班级，为什么？ （3）若七（1）班又有一名学生参赛，成绩是8分，则七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的平均数相比会_______，方差相比会_______（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】（1）平均数为8，方差： （2）七（2）班能成为获胜班级，理由见解析 （3）不变，变小． 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，解题的关键在于熟练掌握平均数和方差的公式． （1）根据平均数公式（数据之和除以数据的个数）和方差公式（先求出平均数与各个数据之差，将其平方，平方数之和除以数据个数）即可求出答案． （2）根据方差越小越稳定即可判断出哪个班级能获胜． （3）分别求出七（1）班5名同学和6名同学的平均数和方差，将其比较即可求出答案． 【小问1详解】 解：七（2）班5名同学比赛成绩的平均数为： ． 方差：①平均：平均数为8 ②求差：0，0，，0，1 ③平方：0，0，1，0，1 ④再平均： 故答案为：平均数为8，方差：． 【小问2详解】 解：七（1）班5名同学比赛成绩的平均数为， 七（2）班5名同学比赛成绩的平均数为：8 两个班级的平均数都要是8， 七（2）班的比赛成绩的方差小于七（1）班方差， 七（2）班的成绩更稳定， 我认为七（2）班能成为获胜班级． 故答案为：七（2）班能成为获胜班级． 【小问3详解】 解：七（1）班又有一名学生参赛，成绩是8分， 七（1）班这6名选手成绩的平均数为：． 七（1）班5名同学比赛成绩的平均数为8， 七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的平均数相比不变． 七（1）班5名同学的比赛成绩方差为， 七（1）班这6名选手方差：①平均：平均数为8 ②求差：，1，，2，1，0 ③平方：9，1，1，4，1，0 ④再平均：， 七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的方差相比会变小． 故答案为：不变，变小． 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 21. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】每节拉杆的长度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键． 在图1中，过点A作于，设每节拉杆的长度为，由，得，在图2中，过点A作于点， 由，得，得，解方程即可得． 【详解】解：如图1，过点A作于，设每节拉杆的长度为， 在中，， ， ， 如图2，过点A作于点， 在中，， ， ， 由题意得，， 解得， 答：每节拉杆的长度约为． 22. 如图，内接于，是直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）直线是的切线，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，根据角平分线的定义和同圆的半径相等，平行线的性质可得，根据切线的判定定理可得结论； （2）如图，设的半径为，则，根据勾股定理列方程可得的值，证明，列比例式，根据勾股定理列方程，依据，列比例式可得结论． 【小问1详解】 解：直线是的切线．理由如下： 如图，连接、， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 中，， ∵，，， ∴，即：， 解得：， ∴的半径为， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵，，， ∴，即， ∴． 即的长为． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识点．掌握切线的判定定理是解决（1）的关键，证明，确定和的关系是解决（2）的关键． 23. 某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【答案】（1）10%；（2）是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据题意直接计算可得出答案． 【详解】解：（1）设平均每次降价的百分率是x， 根据题意得，200(1﹣x)2＝162， 解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%． （2）200(1﹣5%)(1﹣15%)＝161.5＜162 ∴售货员的方案对顾客更优惠． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 24. 如图，在中，，平分交于点D，点B为边上一点，以为直径的圆恰好经过点D． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1）直线与相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，则，由角平分线可得，则，，进而结论得证； （2）由题意知，，，由勾股定理得，，证明，则，即，可求，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：直线与相切，理由如下； 如图，连接， ∵， ∴， ∵平分交于点D， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：由题意知，，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了角平分线，等边对等角，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，等边对等角，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值； （3）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 【答案】（1） （2）0.15A （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将代入解析式，求出I的值即可； （3）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，根据增减性即可得出结果． 【小问1详解】 解：设，由图象可知， 当时，， ， ； 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 解：当，， 当，， 该台灯的电阻的取值范围为． 26. 已知：如图，过正方形的顶点A，B，且与边相切于点E．点F是与的交点，连接，点G是延长线上一点，连接，且 （1）求证：是的切线； （2）如果正方形边长为2，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定、正方形的性质、垂径定理、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是第一问通过角度关系证明直线与直径垂直判定切线，第二问构造辅助线利用勾股定理求半径，再通过相似三角形对应边成比例计算线段长度． （1）由正方形性质得，确定为直径；利用圆周角定理和已知角度关系推出，从而证明是切线； （2）连接，过O作，结合切线性质和矩形性质转化线段关系，设半径为r，用勾股定理列方程求出r，进而得、长度；通过证明，利用相似比求出的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴是的直径； ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的切线， ∴， 过O作于H， 则四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光…… 已知，点D，E在上，，点P在上，连接，作的外接圆． （1）当时， （Ⅰ）如图①，若是的直径，则的半径为 ； （Ⅱ）如图②，若，求的半径． （2）当时，如图③，若与AB相切于点P，用直尺和圆规作出点P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （3）设，对于每一个m的值，的半径随着点P的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的m的取值范围（可用含m的式子表示）． 【答案】（1）（I）；（II） （2）见解析 （3）当，的半径最小值为5；当，的半径最小值为 【解析】 【分析】（1）（I）根据题意求得，由勾股定理求得，即可解答; （Ⅱ）过点O、P作的垂线，垂足分别为G、F，过点O作，垂足为H，连接，根据题意求出，设，则，由勾股定理得，求出即可解答； （2）证明是等腰直角三角形，作出顶角顶点P即可 （3）以为直径的圆与相切时，，当时，；当时，设，则，，利用勾股定理即可解答. 【小问1详解】 解：（Ⅰ）∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， 由勾股定理得， ∵是的直径， ∴的半径， 故答案为：． （Ⅱ）如图，过点O、P作的垂线，垂足分别为G、F，过点O作，垂足为H，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． 设，则， 在和中，由勾股定理得，， ∴， 即， 解得， ∴， 即． 【小问2详解】 解：如图，作的垂直平分线交于点P，则点P即为所求； 【小问3详解】 解：以为直径的圆与相切时，， 1°当时，； 2°当时， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 综上，当时，；当的半径最小值为． 【点睛】本题主要考查勾股定理，垂直平分线，矩形的判定与性质，切线的性质，外接圆的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $