专题08 等腰（直角）三角形中分类讨论思想的模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京专用）

专题08 等腰（直角）三角形中分类讨论思想的模型 目录 1 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型 1 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 4 模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 12 模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 14 22 模型1.等腰三角形中的分类讨论思想模型之对角（边）与高的分类讨论模型 1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．（24-25九年级上·山东·期末）若等腰内接于，，，则底角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】画出相应图形，分为锐角三角形和钝角三角形2种情况解答即可．本题考查的是三角形外接圆和外心，三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补． 【详解】解：（1）圆心在外部， 在优弧上任选一点，连接，． ∵，，； ，； （2）圆心在内部．∵，∴， ，．综上所述，底角的度数为或，故选：C． 例2．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】如图1，三角形是锐角三角时，，顶角； 如图，三角形是钝角时，，顶角， 综上所述，顶角等于或．故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 例3．（2024八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为，，，则等腰三角形的周长为（   ） A．10 B．7或10 C．7或4 D．10或7或4 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、一元一次方程的应用、三角形三边关系，根据等腰三角形的定义，分三种情况，分别得出一元一次方程，解方程结合三角形三边关系判断即可得解． 【详解】解：①当为底边长时，腰长为，， ∵三角形为等腰三角形，，解得，∴，，∵，∴构不成三角形； ②当为底边长时，腰长为，，∵三角形为等腰三角形，，解得， ∴，，符合三角形三边关系，等腰三角形的周长为； ③当为底边长时，腰长为，，∵三角形为等腰三角形，，解得， ∴，，符合三角形三边关系，等腰三角形的周长为． 综上，等腰三角形的周长为7或10，故选：B． 例4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的定义（至少有两边等长或相等的三角形）、二元一次方程组的几何应用、三角形的三边关系定理；依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．如图（见解析），分①；②两种情况，再分别根据等腰三角形的定义建立二元一次方程组，解方程组可得等腰三角形的三边长，然后利用三角形的三边关系定理进行检验即可得． 【详解】解：如图，是等腰三角形，是腰上的中线， 设，则，由题意，分以下两种情况： ①当时，则，解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去； ②当时，则，解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理， 因此，这个等腰三角形的底边长为．故答案为：． 模型2.等腰三角形中的分类讨论思想模型之对边的分类讨论模型 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．（2024·江西南昌·二模）如图，在中，，，，点在射线上，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质求解、三角函数综合 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数．当为等腰三角形时，有以下三种情况：①当时，过点A作于F，先求出，在中利用锐角三角函数可求出，则，进而得的度数；②当时，又有两种情况：（ⅰ）当点E在线段上时，过点D作交延长线于G，先求出，在中利用锐角三角函数可求出，，则，进而得的度数；（ⅱ）当点E在的延长线上时，过点D作于M，先分别求出，，进而得，由此可得的度数；③当时，过点E作于H，根据等腰三角形性质得，根据平行线间的距离得，则，由此得，进而可得的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，过点A作于F，如图1所示： 在中，， ∴， 即平行线间的距离为， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，又有两种情况： （ⅰ）当点E在线段上时，过点D作交延长线于G，如图2所示： 由①可知：平行线间的距离为，即， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （ⅱ）当点E在的延长线上时，过点D作于M，如图3所示： 则， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，过点E作于H，如图4所示： ∵， ∴， 由①可知， ∴， ∴（此时点E与点C重合）， ∴． 综上所述：的度数为：或或． 故答案为：或或． 例2．（2024·江西九江·模拟预测）如图所示，在中，，，将绕点C逆时针旋转得．若交于点F，当 时，为等腰三角形． 【答案】或 【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，根据旋转的性质可得：，根据等边对等角可知：，再表示出，根据三角形外角的性质可表示出，然后分①，②，③三种情况讨论求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴ 根据三角形的外角性质可得： ， 是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，则， ，此时无解； ②当时，则，，解得：； ③当时，则，，解得：； 综上所述，旋转角度数为或， 故答案为：或． 例3．（2024·江西抚州·模拟预测）如图，中，，，，点为边上的动点，当是等腰三解形时，的长为 ． 【答案】，或 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形综合，涉及等腰三角形性质、勾股定理及解方程等知识，由是等腰三解形，分三种情况：，作出图形，构造直角三角形，解直角三角形即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：是等腰三解形， 分三种情况：： ①当时，是等腰三解形； ②当时， ， 点的位置如图所示： 过点作于点，如图所示： 是等腰三角形，， 由等腰三角形三线合一性质得到是的中线，即， 设，则， 在中，，即； 在中，，即； ，即，解得， ； 当时，如图所示： 由②中，可知是等腰直角三角形，即， 当时，，则，即是等腰直角三角形， ，则，解得； 综上所述，的长为，或， 故答案为：，或． 例4．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ． 【答案】6或或 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．根据勾股定理得到，①当时，②当时，③当时，根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】解：， 是的直径， ， ， ①当时， ， ②当时， ③当时， ， 综上所述，若为等腰三角形，线段的长度为6或或， 故答案为：6或或． 模型3.直角三角形中的分类讨论思想模型之斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（    ） A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，合理分类讨论斜边的长是解题的关键．分类讨论斜边的情况，根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：当和为直角边时，则斜边，中线， 当斜边为时，中线，∴斜边的长为或，故选：A． 例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分情况讨论：①当时，②当时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∵是的角平分线，， ∴，∴中，； 如图，当时，同理可得， ∵，∴， ∴， 综上所述：的度数为或．故答案为：或． 【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 例3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，，点D是的中点，点E是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点F，若为直角三角形，则的长为 ．    【答案】1或 【分析】本题考查翻折变换、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，分，两种情形分别画出图形，结合三角函数及勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：如图，当时． 在中，∵，，∴，， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，，∴，   ，  ， 如图，当时，作交的延长线于H．设， ∵，，∴，∴， ∵，∴，在中，，，， 在中，∵，∴，解得， 综上所述，满足条件的的值为1或，故答案为：1或． 模型4.直角三角形中的分类讨论思想模型之直角三角形分类讨论模型 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解． 例1．（2024·江西南昌·模拟预测）在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是 ． 【答案】或或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分和两种情况画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵， ∴， （）当时， ①作于，如图所示，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴此时点和点重合， ∴此时； ②当时，如图，； （）当时，如图，， ∴； 综上，的长度是或或， 故答案为：或或． 【点睛】 例2．（2024·江西吉安·三模）如图，在中，，，，为上一点，，为边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6或7 【知识点】三角函数综合、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】分，，三种情况计算即可． 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，正确分类，灵活应用相似和三角函数是解题的关键． 【详解】∵在中，，，， ∴，， 过点A作于点M， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴，． ①如图1，当时， 则， ∴， ∴． 在中， ， ∴， ∴， ∴ ②如图2，当时，分别过点，作的垂线，垂足分别为，， ∴， ∴，，． 设，则． ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴； ③如图3，当时， 在中，， ∴， ∴． 综上所述，当为直角三角形时，的长为3或6或7． 例3．（2023·江西·中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．    【答案】或或 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求角度、根据旋转的性质求解 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，      当点在的延长线上时，如图所示，则    当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 例4．（2024·江西景德镇·二模）在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为 ． 【答案】或或 【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角、全等的性质和SSS综合（SSS）、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，分三种情形讨论①当时，②当时，③当时，分别利用全等三角形的性质计算即可．解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：在中，∵，，点O是的中点， ∴， ∴，，， ①如图，当时， 在和中，， ∴， ∴， ∴． ②如图，当时， 同理可证 ∴， ∴． ③如图中，当时， 同理可证， ∴， ∴， 故答案为：或或． 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）等腰三角形的周长为14，其一边长为4．那么它们的底边长为（　　） A．5 B．4 C．8 D．4或6 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的定义，分4为底边和腰长两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当4为底边时：腰长为，，能构成三角形，满足题意； 当为腰长时，底边长为，，能构成三角形，满足题意； 综上：底边长为4或6； 故选D． 2．（24-25八年级上·四川凉山·期末）中，，，点在线段上，若为直角三角形时，的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等边和三角形内角和定理求出的度数，再分和两种情况，画出对应的图形讨论求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 如图1所示，当时，则； 如图2所示，当时，则； 综上所述，的度数为或， 故选：D． 3．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）在中，，，在直线或射线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的定义、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题以及垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．分情况画图判定即可． 【详解】解：①作线段的垂直平分线，交于点P，交直线于一点，此时，共2个点符合条件；如图， ②是以A为圆心，以长为半径作圆，交直线于两点（B和另一个点），交射线于一点，此时，共2个点符合条件；如图， ③以B为圆心，以长为半径作圆，交直线于两点，交射线于一点，共3个点，如图， ∵，，， ∴是等边三角形， ∴作线段的垂直平分线交直线的点，以A为圆心，长为半径作圆交直线的点，以及以B为圆心，长为半径作圆交直线与右侧的点，这三个点是同一个点． ∴符合条件的一共有：个点， 故选：C． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的定义．分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故选：D． 5．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）在日常生活中，我们经常会接触到等腰三角形的相关元素，如许多桌子、椅子的腿部设计以及桥梁的支撑结构、塔楼的框架结构．这些设计不仅考虑到了稳固性，还融入了美学和人性化的设计理念，一个等腰三角形结构中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 分为顶角或底角两种情况讨论即可解答． 【详解】解：当为顶角时，顶角为； 当为底角时，顶角为； 所以这个等腰三角形的顶角的度数为或， 故选：C． 二、填空题 6．（河南省郑州市高新区区2024-2025学年九年级下学期第一次质量检测数学试题）在矩形中，边，边，点E在上，且，点F为的中点，当是以为腰的等腰三角形时，的长度为 ． 【答案】8或18 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质和判定和勾股定理，解题的关键是分类讨论思想的应用和矩形的性质理解． 分两种情况：若，若，解答即可． 【详解】解：在矩形中，， 若，过点F作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 若，如图， ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的长度为8或18． 故答案为：8或18 7．（24-25八年级下·全国·期末）如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】4或 【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】由为直角三角形，分两种情况进行讨论：①；②．分别依据含角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到的长． 【详解】解：分两种情况： 如图，当时，是直角三角形， 在中，，，， ，， 由折叠可得，， ， ， ， ， 如图，当时，是直角三角形， 由题可得，，， ，， ，， 设，则，， 又， ， 解得：， ，， 故答案为：4或． 【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，点是的中点，，点是射线上的一个动点，则当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】分四种情况：①当点在的下方，且时，②当点在下方，且时，③当点在上方，且时，当点在上方，且时，根据等边三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得． 【详解】解：①如图，当点在的下方，且时， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②如图，当点在下方，且时， ， ， ， ， ； ③如图，当点在上方，且时， ， ， ， ； 如图，当点在上方，且时， ∵为的中点，， ∴， ∵， 是等边三角形， ； 综上，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、等边三角形的判定与性质，正确分四种情况讨论是解题关键． 9．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，，垂足分别为点B，C，，．点P为射线上一动点，连结，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或或 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质的应用，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．过D作于M，根据勾股定理求出，分为两种情况：或，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图： 过D作于M， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得： ， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分为两种情况： ①时，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或7， 或7； ②时， 在中，由勾股定理得：， ； 故答案为：或或． 10．（24-25八年级上·江西宜春·期末）如图，如图，中，，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，沿三角形的边运动．已知点M的速度为，点N的速度为．设点M，N运动后停止运动，则其中运动 时，为直角三角形时． 【答案】3或或15 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题是三角形的综合问题，主要考查了等边三角形的性质和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．当点N在上，在上运动时，此时，再分别就和列方程求解，当时，都在上，此时A，M，N不能构成三角形；当点N位于中点处时，再进一步求解即可． 【详解】解：当， ∴的运动路程为，的运动路程为， 当点N在上，在上运动时，此时， 如图，若， ∴， ， ∴， ，即， 解得：； 如图，若， ， ∴， ∴，即， 解得：； 当时，都在上，此时A，M，N不能构成三角形； 若点，N在上运动，如图， 当点N位于中点处时， ∵是等边三角形， ∴此时，即是直角三角形， 此时，解得：， 此时， 综上，当运动秒时，可得到直角三角形． 故答案为：3或或15 三、解答题 11．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，，．点P是线段上的一个动点（不包括端点），过点P作的垂线交线段于点Q，连接． (1)求证：． (2)当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)或6 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、直角三角形的两个锐角互余、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由两对应角相等（，），证明． （2）当为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论． ①当点P在线段上时，如图1所示．由三角形相似（）关系计算的长；②当点P在线段的延长线上时，如图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段的中点，从而可以求出． 本题考查相似三角形的性质和判定，直角三角形两个锐角互余，勾股定理，等腰三角形的性质；解题的关键是根据定理进行证明． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵过点作的垂线交线段（如图1）或线段的延长线（如图2）于点， ∴ ， 在与中， ； （2）解：在中，，， 由勾股定理得：， ∵为钝角， ∴当为等腰三角形时，只可能是， ①当点P在线段上时，如题图1所示， 由（1）可知，， ∴，即， 解得： ∴ ②当点P在线段的延长线上时，如题图2所示， ∵， ∴ ∵，， ∴． ∴． ∴，点B为线段中点． ∴ 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或6． 12．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中；，点从点出发，以的速度沿线段向终点运动，同时点从点出发，以的速度，沿射线方向运动．设运动时间为（秒）．    (1)连接，当时，求的值； (2)当点运动到点的右侧时，连接交于点，当是等腰三角形时，求的值； (3)直接写出当为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、全等三角形的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，直角三角形，等腰三角形等知识； （1）利用全等三角形的性质得到，再根据计算即可； （2）分情况讨论，若时，若，若时，根据等边三角形的角度关系得到，再结合直角三角形性质得到，表示出，将计算即可； （3）分情况讨论，当，当， 结合直角三角形性质得到计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴为等边三角形 ∴ ∴ ∵是等腰三角形 若 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 若，，不成立 若，，不成立 ∴ （3）解：由（2）知， 当， 当，如下图    ∵ ∴不可能为直角， 综上：或． 13．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，，． (1)点在上，①如图1，当时， ； ②如图2，当点在的平分线上时，求的长； (2)如图3，点在上，若为等腰三角形，直接写出的长． 【答案】(1)①；②的长为25 (2)的长为20或25或14 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）①根据勾股定理求出，根据等腰三角形的判定得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可； ②过点作于，设，则，根据角平分线的性质得出，证明，得出，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， 设，则， 在Rt中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即的长为； ②如图1，过点作于，设，则， 点在的平分线上，且，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 的长为25． （2）解：若为等腰三角形，有三种情况： 当时，如图2， ； 当时，如图3， ， ，， ， ， ， ． 当时，如图4， 过点作于点， ， ， ， 解得：， 在中，由勾股定理得： ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 14．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 　 　“准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知是“准等边三角形”，其中．求的度数． 【解决问题】 （3）如图，在中，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长． 【答案】（1）不是；（2）的度数为或；（3）的长为或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、公式法解一元二次方程、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“准等边三角形”即可求解； （2）分两种情况求解，或，分别求解即可； （3）是“准等边三角形”，分两种情况，或，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为，， 不满足任意两个内角的差为， ∴顶角为的等腰三角形不是“准等边三角形”； 故答案为：不是； （2）∵是“准等边三角形”，，， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴，即 ∴， ∴； 综上所述：的度数为或； （3）∵，，， ∴，， ∵是“准等边三角形”， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当时， 过点D作，垂足为E，    ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上所述： 的长为或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题． 15．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）阅读材料：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段将这个三角形分割成两个小的等腰三角形；那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”： (1)在中，，，是中线，则_______（填“是”或“不是”）的两分线； (2)如图，在中，，平分，．求证：是的两分线； (3)图中①、②均是可两分三角形，请利用量角器和直尺画出①、②的两分线，并标出分成的等腰三角形顶角的度数； (4)已知是可两分三角形，且，为钝角，请直接写出所有可能的度数． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)见解析 (4)符合条件的的度数为或或． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质． （1）根据直角三角形斜边中线的性质即可得解； （2）根据等腰三角形的性质作图求出各角度即可证明； （3）根据“两分线”的定义画出图形即可； （4）根据题意分情况讨论作图即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，，是中线， ∴， ∴与都是等腰三角形， ∴是的两分线； 故答案为：是； （2）证明：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴与都是等腰三角形， ∴是的两分线； （3）解：“两分线”如图所示， （4）解：如图中，当是“两分线”时，如果， 则； 如果，， 则； 如果，， 则（不合题意舍去）；    如图中，当是“两分线”时，，，则，   符合条件的的度数为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 等腰（直角）三角形中分类讨论思想的模型 目录 1 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型 1 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 4 模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 12 模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 14 22 模型1.等腰三角形中的分类讨论思想模型之对角（边）与高的分类讨论模型 1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．（24-25九年级上·山东·期末）若等腰内接于，，，则底角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 例2．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A． B．或 C．或 D． 例3．（2024八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为，，，则等腰三角形的周长为（   ） A．10 B．7或10 C．7或4 D．10或7或4 例4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 模型2.等腰三角形中的分类讨论思想模型之对边的分类讨论模型 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．（2024·江西南昌·二模）如图，在中，，，，点在射线上，当为等腰三角形时，的度数为 ． 例2．（2024·江西九江·模拟预测）如图所示，在中，，，将绕点C逆时针旋转得．若交于点F，当 时，为等腰三角形． 例3．（2024·江西抚州·模拟预测）如图，中，，，，点为边上的动点，当是等腰三解形时，的长为 ． 例4．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ． 模型3.直角三角形中的分类讨论思想模型之斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（    ） A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或 例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 例3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，，点D是的中点，点E是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点F，若为直角三角形，则的长为 ．    模型4.直角三角形中的分类讨论思想模型之直角三角形分类讨论模型 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解． 例1．（2024·江西南昌·模拟预测）在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是 ． 例2．（2024·江西吉安·三模）如图，在中，，，，为上一点，，为边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 例3．（2023·江西·中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．    例4．（2024·江西景德镇·二模）在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为 ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）等腰三角形的周长为14，其一边长为4．那么它们的底边长为（　　） A．5 B．4 C．8 D．4或6 2．（24-25八年级上·四川凉山·期末）中，，，点在线段上，若为直角三角形时，的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）在中，，，在直线或射线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 4．（2025八年级下·全国·专题练习）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 5．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）在日常生活中，我们经常会接触到等腰三角形的相关元素，如许多桌子、椅子的腿部设计以及桥梁的支撑结构、塔楼的框架结构．这些设计不仅考虑到了稳固性，还融入了美学和人性化的设计理念，一个等腰三角形结构中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 6．（河南省郑州市高新区区2024-2025学年九年级下学期第一次质量检测数学试题）在矩形中，边，边，点E在上，且，点F为的中点，当是以为腰的等腰三角形时，的长度为 ． 7．（24-25八年级下·全国·期末）如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为 ． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，点是的中点，，点是射线上的一个动点，则当为直角三角形时，的长为 ． 9．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，，垂足分别为点B，C，，．点P为射线上一动点，连结，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·江西宜春·期末）如图，如图，中，，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，沿三角形的边运动．已知点M的速度为，点N的速度为．设点M，N运动后停止运动，则其中运动 时，为直角三角形时． 三、解答题 11．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，，．点P是线段上的一个动点（不包括端点），过点P作的垂线交线段于点Q，连接． (1)求证：． (2)当为等腰三角形时，求的长． 12．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中；，点从点出发，以的速度沿线段向终点运动，同时点从点出发，以的速度，沿射线方向运动．设运动时间为（秒）．    (1)连接，当时，求的值； (2)当点运动到点的右侧时，连接交于点，当是等腰三角形时，求的值； (3)直接写出当为何值时，是直角三角形？ 13．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，，． (1)点在上，①如图1，当时， ； ②如图2，当点在的平分线上时，求的长； (2)如图3，点在上，若为等腰三角形，直接写出的长． 14．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 　 　“准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知是“准等边三角形”，其中．求的度数． 【解决问题】 （3）如图，在中，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长． 15．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）阅读材料：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段将这个三角形分割成两个小的等腰三角形；那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”： (1)在中，，，是中线，则_______（填“是”或“不是”）的两分线； (2)如图，在中，，平分，．求证：是的两分线； (3)图中①、②均是可两分三角形，请利用量角器和直尺画出①、②的两分线，并标出分成的等腰三角形顶角的度数； (4)已知是可两分三角形，且，为钝角，请直接写出所有可能的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$