专题07 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京专用）

专题07 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型 目录 1 模型1.双内角角平分线模型 1 模型2.一内角一外角双角平分线模型 4 模型3.双外角角平分线模型 7 模型4.高线与角平分线分线模型 15 18 模型1.双内角角平分线模型 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，与的平分线交于点P，若，则 ． 例2．模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 模型2.一内角一外角双角平分线模型 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，点是的外角内部一点，满足，．若，则的度数是 ． 例2．（23-24七年级下·吉林四平·期末）【教材呈现】 对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 解：∵平分（已知）， ∴， 同理可得________． ∵（ ）， ∴（等式的性质）________． 【问题推广】 ° （1）如图1，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数； （2）如图2，在中，的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作于点，若，则________． 模型3.双外角角平分线模型 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别是的平分线，分别是的角平分线． (1)若，则________， ________； (2)当变化时，的值是否变化？请说明理由． 例2．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作的外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段交于点，试探索，之间的数量关系． 例3．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）他阅读下面的材料，并解决问题 (1)在中，，图1，是两内角平分线的夹角：图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4，和的三等分线相交于点，则 ． (2)如图5所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，度，求的度数． 模型4.高线与角平分线分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在中，，，是的角平分线．    （1）如图1，若是的高，则的度数为 ． （2）如图2，若是的角平分线，G是延长线上一点，过点G作于点H，则的度数为 ． 例2．已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 一、单选题 1．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在三角形中，，平分，平分，其角平分线相交于，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知的两条角平分线相交于点是外角的平分线，的延长线与交于点，连接，若，有下列结论：①；②；③；④点到直线，直线，直线的距离相等．上述结论正确得是（   ） A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 5．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 6．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是高，是角平分线，点在的延长线上，过点作，交于，下列四个结论：①；②；③；④． 其中正确的结论是 （填写序号）． 8．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ． 三、解答题 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）在中，是角平分线，．    (1)如图①，是高，，，求的度数； (2)如图②，点E在上，，垂足为F，试探究与，的数量关系，并说明理由． 10．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在中，、为的角平分线，、交于点F． (1)如图1，若， ① 求的度数； ② 求证：； (2)若图2，若，且，请直接写出的比值． 11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 12．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．在中，与的平分线相交于点． 【问题研究】 （1）①如图1，若，，则_____________． ②猜测与之间的数量关系，并证明． 【问题延伸】 （2）如图2，作的外角，的平分线相交于点，则与之间的数量关系为_____________． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，相交于点，在中，当与两锐角存在3倍的数量关系时，求的度数． 13．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； 14．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）【探究发现】 （1）如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）如图3，相交于点，，、的角平分线交于点，，，则 ． 15．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型 目录 1 模型1.双内角角平分线模型 1 模型2.一内角一外角双角平分线模型 4 模型3.双外角角平分线模型 7 模型4.高线与角平分线分线模型 15 18 模型1.双内角角平分线模型 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，与的平分线交于点P，若，则 ． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键．由题意得到，再结合角平分线的定义，得出，最后利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：，， ， 与的平分线交于点P， ，， ， 故答案为：． 例2．模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系． 【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°； （2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC， ∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°； （3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键． 模型2.一内角一外角双角平分线模型 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，点是的外角内部一点，满足，．若，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．设，，根据，，得，，根据外角的性质列式解答即可． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴①，②， ∵， ∴由①②得 解得． 故答案为：． 例2．（23-24七年级下·吉林四平·期末）【教材呈现】 对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 解：∵平分（已知）， ∴， 同理可得________． ∵（ ）， ∴（等式的性质）________． 【问题推广】 ° （1）如图1，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数； （2）如图2，在中，的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作于点，若，则________． 【答案】25，三角形内角和定理，115；（1），（2）49 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】教材呈现：根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； 问题推广：（1）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （2）先根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出， 得出，根据，得出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：教材呈现：∵平分（已知）， ∴， 同理可得， ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 问题推广：（1）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （2）平分，平分， ，， ，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 模型3.双外角角平分线模型 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别是的平分线，分别是的角平分线． (1)若，则________， ________； (2)当变化时，的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)， (2)不变，见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，邻补角等知识．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，邻补角是解题的关键． （1）由题意得，，则，，，，； （2）同理（1），，则，，，则，，由，作答即可． 【详解】（1）解：∵分别是的平分线，分别是的角平分线，∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：当变化时，的值不变，理由如下； 同理（1）， ，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当变化时，的值不变． 例2．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作的外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段交于点，试探索，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的角的计算，三角形的内角和定理，外角定理等知识． （1）先求出，进而求出，即可求出； （2）先求出，进而求出，即可求出； （3）延长至点，利用外角平分线和内角平分线性质即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：，， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； （3）解：如图③，延长至点， ，为的外角的角平分线， 是的外角的角平分线， ， 平分， ， ， ， 即， ， 即． 例3．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）他阅读下面的材料，并解决问题 (1)在中，，图1，是两内角平分线的夹角：图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4，和的三等分线相交于点，则 ． (2)如图5所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，度，求的度数． 【答案】(1)；；；或 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）如图1，由角平分线的定义得出，，再结合三角形的内角和定理得出，计算即可得解；如图2，由角平分线的定义得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；如图3，由角平分线的定义得出，，由邻补角结合三角形内角和定理求出，从而得出，再由三角形内角和定理计算即可得解；分两种情况：当，时，当，时，结合三角形内角和定理，分别计算即可得解； （2）由题意得出，，，，由三角形外角的定义及性质得出，从而得出，再由三角形内角和定理得出，即可得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：如图1： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； 如图2： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； 如图3， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵和的三等分线相交于点， ∴当，时， ， ∴； 当，时， ， ∴； 故和的三等分线相交于点，则或； （2）解：∵的三等分线、和的平分线相交于点和点， ∴，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义、邻补角等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 模型4.高线与角平分线分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在中，，，是的角平分线．    （1）如图1，若是的高，则的度数为 ． （2）如图2，若是的角平分线，G是延长线上一点，过点G作于点H，则的度数为 ． 【答案】 /10度 /30度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理和外角的性质，角平分线的定义，高线的定义，求出是解本题的关键． （1）首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线概念得到，然后由三角形外角的性质得到，进而求解即可； （2）首先由角平分线的概念得到，然后由三角形外角的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴ ∴； （2）∵是的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：；． 例2．已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义可知，然后由“直角三角形两锐角互余”可得，进而可得，即可获得答案；（2）结合（1）可得结论； （3）结合，易得，再证明，由“两直线平行，同位角相等”可得，即可获得答案； （4）证明，由“两直线平行，内错角相等”可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵在中，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴， 当时，； （2）由（1）可知，，∴当时，∴； （3）∵，而，∴， ∵，，∴，∴； （4）的度数大小不发生改变．理由如下： ∵，，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 一、单选题 1．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在三角形中，，平分，平分，其角平分线相交于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解决本题的关键．利用三角形的内角和定理先求出与的和，再根据角平分线的性质求出，最后再利用三角形的内角和求出． 【详解】解：， ． ，分别是和的平分线， ． ， ． 故选C． 2．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据三角形中线求长度、角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义可判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的性质可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 过点E作于点G，于点H， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是中线， ∴与不一定相等，故D错误，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线定义、三角形外角的应用等知识点，熟知三角形的外角性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义有、得，根据外角的性质进而完成解答． 【详解】解：平分，平分的外角， ∴、， ， ∴， ∵， ． 故选：C． 4．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知的两条角平分线相交于点是外角的平分线，的延长线与交于点，连接，若，有下列结论：①；②；③；④点到直线，直线，直线的距离相等．上述结论正确得是（   ） A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握相关知识点是解题关键．根据平角和角平分线的定义，可判断①结论；根据三角形内角和定理和角平分线的定义，可判断②结论；根据角平分线的定义和平行线的性质，得出，可判断③结论；根据角平分线的性质定理，可判断④结论． 【详解】解：、分别平分、， ，， ， ， ，①结论正确； 、分别平分、， ，， ， ，②结论错误； 分别平分， ， ， ， ， ，③结论正确； 、分别平分、， 点G到直线的距离等于点G到直线的距离，点G到直线的距离等于点G到直线的距离， 点到直线，直线，直线的距离相等，④结论正确； 即结论正确得是①③④， 故选：C 二、填空题 5．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 【答案】/64度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】延长，过点作于点，作于点，作于点，根据角平分线的判定可知是的平分线，再利用角平分线的定义可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练运用角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ∵的外角的平分线与内角平分线交于点， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了图形的变化类，三角形的外角性质和角平分线定义等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出①，②，由②得，求出③，由①和③得出，求出，同理得出，，再根据求出的规律得出答案即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ①，②， 由②得：， ③， 由①和③得：， ， ， 同理， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是高，是角平分线，点在的延长线上，过点作，交于，下列四个结论：①；②；③；④． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练应用三角形内角和定理，三角形的外角性质．根据三角形内角和定理和角平分线的性质，三角形外角的性质逐项推理证明即可． 【详解】解：如图，设与相交于点N，与相交于点G， ，， ， ， ； 故①符合题意； 平分， ， ， ， 故②符合题意； 是的角平分线， ， ，， ， ， ， 故③不符合题意； ， ， ， ， ， 由①得，， ， 故④符合题意； 综上所述：正确的有①②④． 故答案为：①②④． 8．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ． 【答案】①②③ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查角平分线的性质以及三角形外角性质知识点，本题运用了数形结合的数学思维．解题关键在于对角平分线的性质以及三角形外角性质知识点熟练掌握． 根据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，再结合平角概念得，则运用三角形外角性质得，因为，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点，所以点在的角平分线上；结合三角形外角性质以及角平分线的性质得，根据角平分线线的性质定理，结合即可判断． 【详解】解：为外角的角平分线，平分， ，， 又是的外角， ， 故①正确； ，分别平分，， ∴， 则， ∴， 故②是正确的． 连接，如图所示： ，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点， ∴点在的角平分线上， 故③是正确的． ∵， 平分， ∴ 平分， ∴ ∴ 故④是错误的， ∵，分别平分，， ∴点到的距离点到的距离点到的距离， ∴， 故⑤是错误的， 故答案为：①②③． 三、解答题 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）在中，是角平分线，．    (1)如图①，是高，，，求的度数； (2)如图②，点E在上，，垂足为F，试探究与，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据三角形的内角和定理、角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵在中，是角平分线， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 在中，， ∵在中，是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 10．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在中，、为的角平分线，、交于点F． (1)如图1，若， ① 求的度数； ② 求证：； (2)若图2，若，且，请直接写出的比值． 【答案】(1)①；②见详解 (2) 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、与角平分线有关的三角形内角和问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查角平分线的性质、三角形内角和、等积法及全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和、等积法及全等三角形的性质与判定、勾股定理是解题的关键； （1）①根据角平分线的定义可知，然后根据三角形内角和可进行求解；②在上截取，然后证明，进而问题可求证； （2）在上截取，同理可得，，，过点F作，过点D作于点T，然后根据角平分线的性质及等积法可进行求解． 【详解】（1）①解：∵、为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②证明：在上截取，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在上截取， 同理（1）可得，，， ∴， 过点F作，过点D作于点T， ∵平分， ∴，， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 同理可得， 设，则有， 由勾股定理得：， 解得：， ∴，即， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义等，解题的关键是掌握三角形内角和定理，即任意一个三角形的三个内角和为180度． （1）根据三角形内角和定理求出和，再利用角平分线的定义和角的和差关系求解； （2）根据三角形内角和定理先求，再求，然后利用三角形外角的性质求解即可； （3）先根据对顶角相等得出，再利用直角三角形两锐角互余求解． 【详解】（1）解：∵，，， ，， 平分， ， ； （2）解：因为，， 所以． 因为AD平分， 所以， 所以， 所以， 所以． （3）解：的度数为定值．理由如下： 由（2）可知， 所以， 所以． 12．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．在中，与的平分线相交于点． 【问题研究】 （1）①如图1，若，，则_____________． ②猜测与之间的数量关系，并证明． 【问题延伸】 （2）如图2，作的外角，的平分线相交于点，则与之间的数量关系为_____________． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，相交于点，在中，当与两锐角存在3倍的数量关系时，求的度数． 【答案】（1）①；②猜想，证明见解析；（2）；（3）或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义； （1）①根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算；②根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （2）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （3）根据已知条件求出的度数，然后由（2）求出的，利用三角形内角和求出，再分2种情况讨论，求出的度数． 【详解】解：（1）①解：分别是和的角平分线，，， ， ， ， 故答案为：； ②猜想，证明如下： ∵， ∴ 分别是和的角平分线， ， ， ； （2）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ， 由（1）得， ∴， ； （3）是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 由（2）知， 当， ， ， ； 当， ， 解得：， 综上可知：的度数为或． 13．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； 【答案】习题回顾：见解析；变式思考：相等，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、对顶角相等 【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 习题回顾：根据角平分线性质可得，根据对顶角相等可得，结合是边上的高， ，即可证明； 变式思考：根据角平分线性质可得，根据对顶角相等可得，再结合是边上的高， ，即可证明． 【详解】习题回顾： 证明：平分， ， 是高， ， ， . ， ； 变式思考：相等，理由如下： 平分， ， ， ， 是高， ， ， ， ． 14．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）【探究发现】 （1）如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）如图3，相交于点，，、的角平分线交于点，，，则 ． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1），证明如下： 点是内角和外角的角平分线的交点， ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （2），证明如下： ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （3）由（1）的结论得：，， 即，， ， ，， ． 故答案为：． 15．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：，，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论； （2）同（1）列两式相加可得结论； （3）根据（1）和（2）可得结论； （4）首先延长交于点，由三角形的外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图3， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图4，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）如图5，延长交于点， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$