第17章 勾股定理（思维导图+知识梳理+30大考点讲练+优选真题难度分层练 共80题）-2024-2025学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练测

2024-2025学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第17章 勾股定理 （思维导图+知识梳理+30大考点讲练+优选真题难度分层练 共80题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 3 知识梳理精讲 3 知识点梳理01：勾股定理 3 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 3 知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 4 重点知识考点讲练 4 考向一：勾股定理 4 考点讲练01：用勾股定理解三角形 4 考点讲练02：已知两点坐标求两点距离 6 考点讲练03：勾股树（数）问题 7 考点讲练04：以直角三角形三边为边长的图形面积 8 考点讲练05：勾股定理与网格问题 10 考点讲练06：勾股定理与折叠问题 11 考点讲练07：利用勾股定理求两条线段的平方和（差) 12 考点讲练08：利用勾股定理证明线段平方关系 13 考点讲练09：利用勾股定理证明线段平方关系 14 考点讲练10：勾股定理的证明方法 16 考点讲练11：以弦图为背景的计算题 17 考点讲练12：用勾股定理构造图形解决问题 18 考向二：勾股定理的应用 19 考点讲练13：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 19 考点讲练14：求旗杆高度(勾股定理的应用) 20 考点讲练15：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 21 考点讲练16：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 22 考点讲练17：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 23 考点讲练18：解决航海问题(勾股定理的应用) 24 考点讲练19：求河宽(勾股定理的应用) 25 考点讲练20：求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 26 考点讲练21：判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 27 考点讲练22：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 28 考点讲练23：选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 29 考点讲练24：求最短路径(勾股定理的应用) 30 考向三：勾股定理的逆定理 30 考点讲练25：判断三边能否构成直角三角形 30 考点讲练26：图形上与已知两点构成直角三角形的点 33 考点讲练27：在网格中判断直三角形 34 考点讲练28：利用勾股定理的逆定理求解 35 考点讲练29：勾股定理逆定理的实际应用 36 考点讲练30：勾股定理逆定理的拓展问题 37 优选真题难度分层练 39 基础夯实真题练 39 培优拔尖真题练 43 同学你好，本套讲义针对2025新学年课本内容制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选全国各地人教版地区名校真题，模拟题等最新题目，精选常考，易错，压轴类题型。解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 　　 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 考向一：勾股定理 考点讲练01：用勾股定理解三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·期末）如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【变式训练】（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，平分，点是射线上任一点，过点作于点，点在线段上，点在射线上，且． (1)如图，当点与点重合时，猜想此时与有什么数量关系，并说明理由； (2)如图，当点与点不重合时，（）中的猜想还成立吗？为什么？ (3)如图，当时，若，直接写出此时四边形的面积． 考点讲练02：已知两点坐标求两点距离 【典例精讲】（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)若各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘以，请在同一平面直角坐标系中找出对应的点 并依次连接这三个点，从图象可知与的位置关系是 ； (2)请写出：点A关于x轴对称的点的坐标 ；点关于y轴对称的点的坐标 ； (3)若点P在x轴上，到点A的距离为，则点P的坐标为 ． 【变式训练】（23-24九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． (1)将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出； (2)请画出关于y轴对称的； (3)直接写出的长度． 考点讲练03：勾股树（数）问题 【典例精讲】（24-25八年级上·河南商丘·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C． D． 【变式训练】（23-24八年级下·全国·期末）能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格： 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 … … a，b，c (1)试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论． (2)写出当时，b，c的值． 考点讲练04：以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）如图，用个全等直角三角形与个正方形拼成正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，分别表示直角三角形的两条直角边（）、有下列几种说法：；；．其中正确的有 【变式训练】（24-25八年级上·广西河池·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 考点讲练05：勾股定理与网格问题 【典例精讲】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点的三角形叫做格点三角形，只用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留作图痕迹．    (1)点A，B为网格中的格点，作格点，使，； (2)作出（1）中的高，则高的长度为________； (3)在（1）的条件下，点M为线段上的点，，在线段CB上作出点N，使． 【变式训练】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上，P为线段上的一个动点 (1)的长等于_______， (2)当点P在线段上运动，且使取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的，（不要求证明） 考点讲练06：勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（23-24八年级上·广东深圳·期末）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A． B． C．4 D． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，D是边上一动点，连接．将沿着直线翻折．使点B落到点处，得到 (1)如图1，当点在线段的延长线上时，连接，求的长． (2)如图2，当时，求的度数． 考点讲练07：利用勾股定理求两条线段的平方和（差) 【典例精讲】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【变式训练】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 考点讲练08：利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（22-23八年级下·山东菏泽·期中）我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． (1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； (2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； (3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，是的中线，于点于点，且，求证：． 考点讲练09：利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（24-25八年级上·河北承德·期末）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 【变式训练】．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，垂足分别为，，点在上，连接，交于点，，． (1)判断：与的位置关系，并说明理由； (2)连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理． 考点讲练10：勾股定理的证明方法 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州安顺·期末）第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题： (1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； (2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度． 【变式训练】（23-24八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 考点讲练11：以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·单元测试）一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（为以为直径的半圆），则卡车的高度必须低于（　　） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 【变式训练】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ． 考点讲练12：用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是 ． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）观察下面图形，每个小正方形的边长为1． (1)图中阴影正方形的面积是______，边长是______； (2)请用无刻度的直尺和圆规在右图的数轴上作出点，使得点表示的数为（保留作图痕迹，不写作法）． 考向二：勾股定理的应用 考点讲练13：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 考点讲练14：求旗杆高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 ①测得水平距离的长为． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务： (1)如图，在中，，，．求线段的长； (2)如果小明想要风筝沿方向再上升，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【变式训练】（20-21八年级下·江西南昌·期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 考点讲练15：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【变式训练】（23-24八年级下·广西贺州·期中）姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如图：有两只猴子爬到—棵树上的点B处，且，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为． (1)请用含有x的整式表示线段的长为 m； (2)求这棵树高有多少米？ 考点讲练16：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（  ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 考点讲练17：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则a最小为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式训练】（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 考点讲练18：解决航海问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级上·重庆丰都·阶段练习）上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【变式训练】（22-23八年级下·广西钦州·期中）如图，某港口P有甲，乙两艘渔船．两船同时离开港口后，甲船沿北偏东方向以每小时的速度航行，乙船沿南偏东某方向以每小时的速度航行，它们两个小时后分别位于R，Q处，且相距．请求出乙船沿哪个方向航行．    考点讲练19：求河宽(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） (1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） (2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 【变式训练】（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，，，．线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠的造价为130元，问：当水渠的造价最低时，长为多少米？最低造价是多少元？    考点讲练20：求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在一个高为6m、长为10m、宽为2.5m的楼梯表面铺设地毯．若每平方米地毯40元，则铺设地毯至少需要花费 元． 【变式训练】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 考点讲练21：判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【典例精讲】（19-20八年级上·四川遂宁·期末）为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．    (1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由； (2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？ 【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某数学小组三位同学跟着交警叔叔在腾飞大道路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，请你帮助该小组判断此车是否超过了的限制速度？（） 考点讲练22：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，经过村和村（将村看成直线上的点）的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为300米，处与村的距离为400米，且． (1)求两村之间的距离； (2)为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【变式训练】（2024八年级上·全国·专题练习）我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． (1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？ (2)若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 考点讲练23：选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，九龙大道上A，B两点相距，C，D为两商场，于A，于B．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等． (1)求E站应建在离A点多少处？ (2)若某人从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？ 【变式训练】（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，公路上A、B两站相距25km，在公路附近有C、D两所学校，于点A，于点B．已知，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两所学校到E的距离相等，则E应建在距点A多远处？ 考点讲练24：求最短路径(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜（杯壁厚度不计），此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 ． 考向三：勾股定理的逆定理 考点讲练25：判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）综合与探究 【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ∴（______） ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴______． ∴． ∴． ∴______． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，运用转化思想，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】 （3） 如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 【变式训练】（24-25八年级上·山西临汾·期末）阅读与理解 下面是小丽同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格和无刻度直尺作图 正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的线段叫做格点线段．利用正方形网格和无刻度直尺可以做格点线段的中点和垂线．如图，正方形网格是由边长为1的小正方形组成，已知是格点线段，可以用如以下方法构造的中点和垂线． 构造中点：如图1，在网格上取格点，使得，且，连接交的于点．点即为的中点．理由如下： ∵，， 在和中，， （依据1） （依据2）， 即点是的中点． 构造垂线：如图2，在网格上取格点，使得，且，连接即为的垂线．理由如下：… 任务： (1)上述材料中的依据1是指___________，依据2是指___________． (2)请你帮小丽将“构造垂线”中的理由补充完整． (3)如图3，在给定的网格区域内，利用网格和无刻度直尺构造，使得． 考点讲练26：图形上与已知两点构成直角三角形的点 【典例精讲】（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 【变式训练】（20-21八年级下·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 考点讲练27：在网格中判断直三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中，画线段，且使，连结； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______； (3)为______三角形，点A到的距离为______． 【变式训练】（23-24九年级上·四川广元·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点； ①找格点，使且； ②直接写出的度数． (2) 如图2，点、、均在格点上，依照（1）中方法在上作点，使． 考点讲练28：利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）已知：如图，在中，，，的周长为30． (1)证明：是直角三角形； (2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②求线段的长． 【变式训练】（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 考点讲练29：勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·单元测试）（教材母题变式）如图，一艘快艇计划从地航行到距离地16海里的地，它先沿北偏西方向航行12海里到达地接人，再从地航行20海里到达地，此时快艇位于地的 方向上． 【变式训练】（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直于的小路，垂足为．点恰好是的中点，且． (1)求的长； (2)连接，判断的形状并说明理由． 考点讲练30：勾股定理逆定理的拓展问题 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    【变式训练】（20-21八年级上·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 基础夯实真题练 1．（24-25八年级下·江苏无锡·开学考试）由线段、、组成的三角形是直角三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2025八年级下·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（   ） A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．在中，的对边分别是，若，则 C．在中，的对边分别是，若，则 D．如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 3．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（   ）．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈尺） A．3尺 B．4尺 C．4.55尺 D．5尺 4．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，中，，，，是内一点且平分，若的面积为，则的面积为 ． 5．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，，．将边与数轴重合，点，点对应的数分别为，．以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为 ．      6．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，已知，过P作且；再过作且；又过作且；又过作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，，，，……，那么 ． 7．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动． 【解析】 (1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？ (2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉． 8．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，按要求操作并求解． (1)在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为； (2)将点A向下平移3个单位，再关于y轴对称得到点C，写出点C的坐标； (3)在（2）的条件下，已知轴，且，求点P的坐标． 9．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知，是从点D出发的三条线段，且． (1)如图①，若点D在线段上，连接，试判断的形状，并说明理由． (2)如图②，连接，且与相交于点E，若，求的长． 10．（21-22八年级上·山东威海·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 培优拔尖真题练 11．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的积等于（   ） A．12 B． C．24 D．10 12．（24-25八年级下·全国·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2024 C．22023 D． 13．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图：在中，，，，是的角平分线． （1）则 ；（2）若点E是线段上的一个动点，从点B以每秒的速度向A运动， 秒钟后是直角三角形． 15．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是 ． 16．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为 ． 17．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题： (1)【问题情境】如图1，平面内有三个点，，，，，则的长度的最小值为___________，最大值为___________． (2)【深入探究】如图2，在中，，，，以为边作等边（点、点在同侧），以为边向外作等边，连接和，求长． (3)【延伸拓展】如图3，在中，，，以为边向外作等腰直角三角形，，连接．线段的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 18．（23-24八年级下·四川泸州·期中）某单位计划对一块四边形空地进行绿化，如图，在四边形中，，米，米，米，米，若每平方米绿化的费用为90元，请预计绿化的费用． 19．（24-25八年级上·重庆·期末）古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴点在竖直平面内转动，在点正上方固定一个定滑轮，绳子通过定滑轮与杆的另一端相连，且．某人站在点处，拉绳子的手的位置与地面的距离为． (1)若，，求从到定滑轮，再到点拉着的绳长（结果保留根号）； (2)若的长为比长，求桥面的宽． 20．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，，． (1)如图1，连接，，当时，求的面积； (2)如图2，点G在线段上，连接，点N在线段上，连接BN，当时，求线段，，的关系； (3)点G在射线上，连接，点N在线段上，连接，且，连接，取的中点M，连接，若，当最小时，求出的面积． 小明在刚看到这个问题的时候不知道怎么思考，在用几何画板作图时，意外发现当点N在上移动时，点M也沿着一条直线运动，马上建立直角坐标系进行了验证，发现点M的运动轨迹确实是一条直线，请你根据小明的发现求解，并写出主要过程． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第17章 勾股定理 （思维导图+知识梳理+30大考点讲练+优选真题难度分层练 共80题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 3 知识梳理精讲 3 知识点梳理01：勾股定理 3 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 3 知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 4 重点知识考点讲练 4 考向一：勾股定理 4 考点讲练01：用勾股定理解三角形 4 考点讲练02：已知两点坐标求两点距离 9 考点讲练03：勾股树（数）问题 12 考点讲练04：以直角三角形三边为边长的图形面积 15 考点讲练05：勾股定理与网格问题 17 考点讲练06：勾股定理与折叠问题 20 考点讲练07：利用勾股定理求两条线段的平方和（差) 22 考点讲练08：利用勾股定理证明线段平方关系 25 考点讲练09：利用勾股定理证明线段平方关系 28 考点讲练10：勾股定理的证明方法 31 考点讲练11：以弦图为背景的计算题 34 考点讲练12：用勾股定理构造图形解决问题 35 考向二：勾股定理的应用 37 考点讲练13：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 37 考点讲练14：求旗杆高度(勾股定理的应用) 39 考点讲练15：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 41 考点讲练16：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 44 考点讲练17：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 44 考点讲练18：解决航海问题(勾股定理的应用) 47 考点讲练19：求河宽(勾股定理的应用) 50 考点讲练20：求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 52 考点讲练21：判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 53 考点讲练22：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 55 考点讲练23：选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 58 考点讲练24：求最短路径(勾股定理的应用) 60 考向三：勾股定理的逆定理 62 考点讲练25：判断三边能否构成直角三角形 62 考点讲练26：图形上与已知两点构成直角三角形的点 68 考点讲练27：在网格中判断直三角形 71 考点讲练28：利用勾股定理的逆定理求解 74 考点讲练29：勾股定理逆定理的实际应用 77 考点讲练30：勾股定理逆定理的拓展问题 78 优选真题难度分层练 83 基础夯实真题练 83 培优拔尖真题练 94 同学你好，本套讲义针对2025新学年课本内容制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选全国各地人教版地区名校真题，模拟题等最新题目，精选常考，易错，压轴类题型。解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 　　 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 考向一：勾股定理 考点讲练01：用勾股定理解三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·期末）如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】4或 【思路点拨】由为直角三角形，分两种情况进行讨论：①；②．分别依据含角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到的长． 【规范解答】解：分两种情况： 如图，当时，是直角三角形， 在中，，，， ，， 由折叠可得，， ， ， ， ， 如图，当时，是直角三角形， 由题可得，，， ，， ，， 设，则，， 又， ， 解得：， ，， 故答案为：4或． 【考点评析】本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【变式训练】（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，平分，点是射线上任一点，过点作于点，点在线段上，点在射线上，且． (1)如图，当点与点重合时，猜想此时与有什么数量关系，并说明理由； (2)如图，当点与点不重合时，（）中的猜想还成立吗？为什么？ (3)如图，当时，若，直接写出此时四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)． 【思路点拨】（）先由，则有，又，所以，故有，然后根据角平分线的性质即可求解； （）过点作，交于点，同（）证明，再证明，然后根据全等三角形的性质即可求解； （）过点作，交于点，证明，则，故，所以，然后由勾股定理求出，∴，则，再通过即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：成立，理由如下： 过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 考点讲练02：已知两点坐标求两点距离 【典例精讲】（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)若各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘以，请在同一平面直角坐标系中找出对应的点 并依次连接这三个点，从图象可知与的位置关系是 ； (2)请写出：点A关于x轴对称的点的坐标 ；点关于y轴对称的点的坐标 ； (3)若点P在x轴上，到点A的距离为，则点P的坐标为 ． 【答案】(1)关于y轴对称 (2) (3)， 【思路点拨】此题主要考查了作图中的轴对称变换，关键是掌握几何图形都是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也就是要确定一些特殊的对称点，然后再连接即可． （1）首先确定三点横坐标都乘以后的坐标，再确定各点位置，然后连接即可． （2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． （3）点P在x轴上，到点A的距离为，设点由两点间距离公式即可得解． 【规范解答】（1）各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘，即得到关于y轴对称的点的坐标为连接三点，即为所求，观察图象横坐标互为相反数，纵坐标不变可知与关于y轴对称．如图， 故答案为：关于y轴对称 （2）关于x轴对称的点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可知：点A关于x轴对称的点的坐标点关于y轴对称的点的坐标 故答案为： （3）设点， 即， 解得：或 故点或 故答案为：， 【变式训练】（23-24九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． (1)将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出； (2)请画出关于y轴对称的； (3)直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据平移的方式进行作图即可； （2）根据与关于轴对称作图即可； （3）根据题意可得，，然后利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所示； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由题意知，，， ∴， ∴ 【考点评析】本题考查了平移作图，轴对称作图，勾股定理的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 考点讲练03：勾股树（数）问题 【典例精讲】（24-25八年级上·河南商丘·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了勾股定理以及规律型：图形的变化类，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键． 【规范解答】解：由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， 以此类推，“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024， 故选A． 【变式训练】（23-24八年级下·全国·期末）能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格： 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 … … a，b，c (1)试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论． (2)写出当时，b，c的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查勾股数，数字规律探究： （1）观察表格中的数据，得到三个数满足勾股定理，最小的数为奇数，另两个数为连续的正整数，且两个数的和等于最小的数的平方，推出设m为大于1的奇数，将 拆分为两个连续的整数之和，即 ，则m，n，就构成一组简单的勾股数． （2）利用（1）中的结论，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：观察可知：共同点：①各组数均满足； ②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数； ③最小的数的平方等于另两个连续整数的和， 如 由以上共同点我们可得出这样一个结论：设m为大于1的奇数，将 拆分为两个连续的整数之和，即 ，则m，n，就构成一组简单的勾股数． 证明： （m为大于1的奇数）， ∴m，n，是一组勾股数． （2）由（1）中的结论可知，， 当时，， 解得：， 则． 考点讲练04：以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）如图，用个全等直角三角形与个正方形拼成正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，分别表示直角三角形的两条直角边（）、有下列几种说法：；；．其中正确的有 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理、正方形的面积公式、完全平方公式的应用．根据勾股定理可知，根据正方形的面积为，可得，故正确；利用完全平方公式可得：，两边同时开平方可得，故正确；由可知，所以可得正确． 【规范解答】解：如下图所示，设大正方形的边长为， 三角形是直角三角形， ， 根据正方形的面积公式可得：， ， 故正确； 大正方形面积为，小正方形面积为， 个小直角三角形的面积之和是， ， 整理得：， ， 又， ， 故正确； 由可知， ， 故正确． 故答案为： ． 【变式训练】（24-25八年级上·广西河池·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 【答案】(1)；； (2)；； (3)25 【思路点拨】本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键． （1）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （2）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （3）把，代入到（2）中的关系式中计算即可求解． 【规范解答】（1）解：， ， ∴， 故答案为：；；． （2）解：∵从整体看，小正方形的边长为c， ∴． 从组成看，小正方形面积由大正方形面积减去四个直角三角形面积， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴小正方形的面积为25． 考点讲练05：勾股定理与网格问题 【典例精讲】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点的三角形叫做格点三角形，只用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留作图痕迹．    (1)点A，B为网格中的格点，作格点，使，； (2)作出（1）中的高，则高的长度为________； (3)在（1）的条件下，点M为线段上的点，，在线段CB上作出点N，使． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， (3)见解析. 【思路点拨】本题考查了勾股定理与网格问题，割补法求面积，二次根式的运算，对称图形的性质等知识，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）根据勾股定理构造，即可； （2）利用网格构造垂直线段即可作出三角形的高；在利用三角形面积公式求高； （3）由网格的特点得出点M，再作出点关于的对称点，由对称可知，而对顶角相等可得，由此即可得出作图正确． 【规范解答】（1）解：如图，为所求，    由勾股定理得，， （2）如图，为所求， ∵，即：， 解得： （3）如图， ，故点如图所示， 取点关于的对称点，连接交于，即点N为所求，此时. 【变式训练】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上，P为线段上的一个动点 (1)的长等于_______， (2)当点P在线段上运动，且使取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的，（不要求证明） 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作图－应用与设计作图，轴对称——最短距离问题，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）取格点S，T，得点R；取格点E，F，得点Q；连接交于点P即可得到结果． 【规范解答】（1）解：∵每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上， ∴， 故答案为：； （2）解：取格点S，T，得点R；取格点E，F，得点Q，连接交于点P ． 考点讲练06：勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（23-24八年级上·广东深圳·期末）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A． B． C．4 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可． 【规范解答】解：过点作， ∵长方形， ∴， ∵平分， ∴， 由翻折可得， 由勾股定理，得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，D是边上一动点，连接．将沿着直线翻折．使点B落到点处，得到 (1)如图1，当点在线段的延长线上时，连接，求的长． (2)如图2，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理，以及平行线的性质． （1）由由勾股定理求出，由折叠得，求出，然后再用勾股定理求解即可； （2）由平行线的性质得，由周角的定义求出，得出，再由三角形内角和定理即可求出的度数． 【规范解答】（1）解：在中，，，， 由折叠可知，， ， （2）解：，， ， ． 由折叠的性质得． ， ， ， ． 考点讲练07：利用勾股定理求两条线段的平方和（差) 【典例精讲】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 【变式训练】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2 【思路点拨】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【规范解答】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 【考点评析】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 考点讲练08：利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（22-23八年级下·山东菏泽·期中）我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． (1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； (2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； (3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，见解析 【思路点拨】（1）先证，再根据即可证明； （2）先证，再根据即可证明； （3）连接，先证，则可得，，进而可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵与都是等腰三角形， ∴， 又∵ ∴，即， 在和中，， ∴． 故答案为： ， （2）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接，如图所示： ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，是的中线，于点于点，且，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据是的中线，得出，进而根据勾股定理得出，即可求解． 【规范解答】证明：∵于点于点， ∴ ∵是的中线， ∴， 又∵ ∴在中， 即． 考点讲练09：利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（24-25八年级上·河北承德·期末）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 【答案】探索求证：见解析；问题解决：千米；延伸扩展： 【思路点拨】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【规范解答】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 【变式训练】．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，垂足分别为，，点在上，连接，交于点，，． (1)判断：与的位置关系，并说明理由； (2)连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理． 【答案】(1)，理由见解析； (2)见解析． 【思路点拨】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，正确表示出四边形面积的两种方法是解题的关键． （1）根据证明得出，即可推出结论； （2）连接、，由，得出，，，．再根据四边形的面积的两种表示方法得出等式整理即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：，理由如下： ∵，， ， 在和中， ． ， ， ． ． ， ∴． （2）解：如图，连接、， ∵， ，，，． ． ， ． ． 即． 考点讲练10：勾股定理的证明方法 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州安顺·期末）第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题： (1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； (2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题、等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先用两种方法表示出图形的面积，然后整理即可； （2）由勾股定理可得，再运用等面积的方法解答即可． 【规范解答】（1）解：∵外面大正方形的面积，里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ∴，整理，得． （2）解：在中，，， 由勾股定理，得：， 是边上的高， ， ∴． 【变式训练】（23-24八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)27 【思路点拨】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． （1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可； （2），列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可． 【规范解答】（1）解：方法1：； 方法2：； ∵，即， 故； 根据以上信息，可以得到等式：； 故答案为：；；； （2）解：∵， 即， 整理得， 故； （3）解：如图，， ∵，， ∴， 则， ∴， 故阴影部分的面积为27． 考点讲练11：以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·单元测试）一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（为以为直径的半圆），则卡车的高度必须低于（　　） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 【答案】B 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用，根据图形，可得，根据勾股定理求出，则，根据题意，则卡车的外形小于，即可． 【规范解答】解：由图形可得，（米），（米）， ∵， ∴， 解得：（米）， ∵， ∴（米）， ∴卡车的外形不得高于米． 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【规范解答】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是； 故答案为： 考点讲练12：用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了实数与数轴、勾股定理，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点对应的实数为，先求出，再根据勾股定理可得，从而可得，然后利用数轴的性质求解即可得． 【规范解答】解：设点对应的实数为， ∵在数轴上，点，点分别表示实数，2， ∴， ∵，， ∴， 由作图可知，， 又∵在数轴上，点表示实数，点在数轴的正半轴， ∴， ∴， 即点对应的实数为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）观察下面图形，每个小正方形的边长为1． (1)图中阴影正方形的面积是______，边长是______； (2)请用无刻度的直尺和圆规在右图的数轴上作出点，使得点表示的数为（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)13； (2)见解析 【思路点拨】本题考查了算术平方根，割补法求网格中图形面积，勾股定理与无理数，尺规作图等知识；掌握这些知识是关键； （1）用大正方形面积减去四个面积相等的小三角形即可求解；利用算术平方根即可求得正方形的边长； （2）构造两直角边分别为2与3的直角，由勾股定理得斜边，再在数轴上以O为圆心，为半径，在数轴上原点右边截取线段即可． 【规范解答】（1）解：阴影正方形的面积为； 阴影正方形的边长为：； 故答案为：13；； （2）解：如图，点表示的数为． 考向二：勾股定理的应用 考点讲练13：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为 (2) 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 【答案】1.7 【思路点拨】本题考查轴对称的性质以及勾股定理的应用，正确求出的长是关键． 根据勾股定理可得的长，再根据轴对称的性质可得，再用减去可得答案． 【规范解答】解：由题意得：(米)， 梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称， 米， (米)， 即当梯子的顶端沿墙面下滑米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 故答案为：． 考点讲练14：求旗杆高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 ①测得水平距离的长为． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务： (1)如图，在中，，，．求线段的长； (2)如果小明想要风筝沿方向再上升，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【答案】(1) (2)他应该再放出5米线 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）先在中，利用勾股定理可得的长，再根据求解即可得； （2）画出图形（见解析），先利用勾股定理可得的长，再求出的长即可得． 【规范解答】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵小明牵线放风筝的手到地面的距离为， ∴， ∴， 答：线段的长为． （2）解：如图，由题意得：， 由（1）已得：， ∴， 在中，， ∵， ∴， 答：他应该再放出5米线． 【变式训练】（20-21八年级下·江西南昌·期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 【答案】秋千绳索长为尺 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【规范解答】解∶ 设秋千绳索长为尺， 则尺， 在中，，即， 解得：， ∴秋千绳索长为尺． 考点讲练15：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图1所示，过点A作于点E，则，，， 在中，， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升，如图所示，延长至点F，连接，则， ∴， 在中，， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 【变式训练】（23-24八年级下·广西贺州·期中）姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如图：有两只猴子爬到—棵树上的点B处，且，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为． (1)请用含有x的整式表示线段的长为 m； (2)求这棵树高有多少米？ 【答案】(1) (2)这棵树高3.2米 【思路点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系，并根据求的长是解题的关键． （1）根据，计算即可； （2）在中，由勾股定理，列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：由题意知，则在中， 有， ∴， 解得：， ∴． 答：这棵树高有3.2米 考点讲练16：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（  ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【规范解答】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故选：C． 考点讲练17：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则a最小为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，用勾股定理解决问题．根据题意作出图形，根据勾股定理求出的长即可推出结果． 【规范解答】解：由题意可知，当吸管如图所示放置时，露在水杯外面的吸管长度最短， ∵水杯底面直径为，高度为， ∴，， ∴， ∴露在水杯外面的吸管长度， 即a最小为12， 故选：B． 【变式训练】（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【规范解答】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 考点讲练18：解决航海问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级上·重庆丰都·阶段练习）上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】(1)海岛B到海岛C的距离为30海里 (2)上午11时，小船与灯塔C的距离最短 (3)救援队先到 【思路点拨】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）过C作于H，先求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而即可解答； （3）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【规范解答】（1）解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； （2）解：过C作于点H， 又， ∴， ∴（海里）， ∴从B处到H处需要小时， ∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午时； （3）解∶ 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为（小时）， 救援队所用时间为（小时）， ∵， ∴救援队先到． 【变式训练】（22-23八年级下·广西钦州·期中）如图，某港口P有甲，乙两艘渔船．两船同时离开港口后，甲船沿北偏东方向以每小时的速度航行，乙船沿南偏东某方向以每小时的速度航行，它们两个小时后分别位于R，Q处，且相距．请求出乙船沿哪个方向航行．    【答案】乙船航行的方向是南偏东 【思路点拨】本题考查了方位角问题，勾股定理的逆定理；分别求出、、的值，可得，由勾股定理的逆定理得为直角三角形，即可求解； 理解方位角，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意得， ， ， 甲船航行的距离∶ （）， 乙船航行的距离∶ （）， ， ， ， 为直角三角形， ， ， 故乙船航行的方向是南偏东． 考点讲练19：求河宽(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） (1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） (2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 【答案】(1)A、C两地之间距离为1930米 (2)小华先到达C地 【思路点拨】本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知识，构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，过D作于E；分别在，中利用勾股定理求出，即可求得结果； （2）设两人速度为1，由（1）的计算可得的长；由题意得是等腰直角三角形，由（1）的结论及勾股定理求得，即可求得；比较即可谁先到达C地． 【规范解答】（1）解：如图，连接，过D作于E； 由题意得：； 在中，则， ， 由勾股定理得：， 米； 则米； 在中，， 则米，由勾股定理得：米， (米)； （2）解：由（1）的计算知，米， 米； 由题意得分别在东南方向、西南方向，则， ， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 米， 米； ， ，即小华的路程更小， 又∵两人速度相同， 所以小华先到达C地． 【变式训练】（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，，，．线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠的造价为130元，问：当水渠的造价最低时，长为多少米？最低造价是多少元？    【答案】长为米，最低造价是6000元 【思路点拨】根据“垂线段最短”可得，当时，最短，用等面积法求解即可．再乘以单价，即可得出造价． 【规范解答】解：根据题意可得：当时，最短， ∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∵， ∴，即， 解得：， ∴最低造价（元）， 答：长为米，最低造价是6000元． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握“垂线段最短”，勾股定理的内容，会用等面积法求直角三角形斜边上的高． 考点讲练20：求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在一个高为6m、长为10m、宽为2.5m的楼梯表面铺设地毯．若每平方米地毯40元，则铺设地毯至少需要花费 元． 【答案】1400 【变式训练】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【规范解答】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 故选：B．    考点讲练21：判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【典例精讲】（19-20八年级上·四川遂宁·期末）为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．    (1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由； (2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？ 【答案】(1)报亭的人能听到广播宣传，理由见解析 (2)报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短： （1）根据垂线段最短，结合600米米即可得到结论； （2）如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接．利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度即可得到答案． 【规范解答】（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下： ∵600米米， ∴报亭的人能听到广播宣传． （2）解：如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接． 由题意得，米，米，，    由勾股定理得米，米， ∴米． ∵ (分)， ∴报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传． 【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某数学小组三位同学跟着交警叔叔在腾飞大道路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，请你帮助该小组判断此车是否超过了的限制速度？（） 【答案】此车超过的限制速度，理由见解析 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，根据题意知：，，，得，，再根据勾股定理得出，进而求出小车的速度，再和比较即可．从复杂的实际问题中整理出直角三角形进而利用勾股定理求解是解题的关键． 【规范解答】解：此车超过的限制速度． 理由： 由题意知：，，， 在中，， ∴， ∴， ∵从处行驶到处所用的时间为， ∴速度为， ∴此车超过的限制速度． 考点讲练22：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，经过村和村（将村看成直线上的点）的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为300米，处与村的距离为400米，且． (1)求两村之间的距离； (2)为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【答案】(1)500米； (2)公路有危险而需要封锁．需要封锁的路段长度为140米． 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及利用三角形的面积公式求出的长． （1）根据勾股定理可直接求出； （2）利用三角形的面积公式求得米．再根据241米250米可以判断有危险，根据勾股定理求出，进而求出． 【规范解答】（1）解：在中，米，米， ∴（米）． 答：A，B两村之间的距离为500米； （2）公路有危险而需要封锁． 理由如下：如图，过C作于D．以点C为圆心，250米为半径画弧，交于点E，F，连接，， ∵， ∴（米）． 由于240米250米，故有危险， 因此段公路需要封锁． ∴米， ∴（米）， 故米， 则需要封锁的路段长度为140米． 【变式训练】（2024八年级上·全国·专题练习）我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． (1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？ (2)若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【答案】(1)受影响，理由见解析 (2)6小时 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）如图：过A作，垂足为，若，则A城不受影响，否则受影响； （2）点A到直线的长为千米的点有两点，分别设为D、G，则是等腰三角形，由于，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，最后根据速度与距离的关系则可求时间即可． 【规范解答】（1）解：A城会受到这次台风的影响，理由如下： 如图：过A作，垂足为，则， 在中，， ∴， ∵， ∴A城会受台风影响． （2）解：设上点，使千米， 是等腰三角形， ， 是的垂直平分线， ， 在中，千米，千米， ∴（千米）， ∴千米， ∴遭受台风影响的时间是：（小时）． 考点讲练23：选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，九龙大道上A，B两点相距，C，D为两商场，于A，于B．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等． (1)求E站应建在离A点多少处？ (2)若某人从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？ 【答案】(1)E站应建在离A点处 (2)2小时 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得的长是解答的关键． （1）设，则，根据勾股定理得到，进而列方程求解即可； （2）利用勾股定理求得即可求解． 【规范解答】（1）解：设，则， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∵C，D两商场到E站的距离相等， ∴，则， ∴，又，， ∴，解得， ∴E站应建在离A点处； （2）解：在中，， ， 答：某人需要多少小时从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要2小时． 【变式训练】（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，公路上A、B两站相距25km，在公路附近有C、D两所学校，于点A，于点B．已知，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两所学校到E的距离相等，则E应建在距点A多远处？ 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． 先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． 【规范解答】解：∵使得两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处． 考点讲练24：求最短路径(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜（杯壁厚度不计），此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用、轴对称的性质、圆柱的侧面展开图，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为长方形，作点关于的对称点，过点作于点，连接，先求出，的长，再利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【规范解答】解：如图，圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为长方形，作点关于的对称点，过点作于点，连接， 由题意得：，，，， ∴， ∴， 即蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故选：A． 【变式训练】（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 ． 【答案】20 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【规范解答】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20． 考向三：勾股定理的逆定理 考点讲练25：判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）综合与探究 【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ∴（______） ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴______． ∴． ∴． ∴______． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，运用转化思想，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 【答案】（1），，10；（2）．理由见解析；（3）的长度为． 【思路点拨】（1）延长中线至点，使得，连接．证明，利用勾股定理的逆定理求得，再利用勾股定理求解即可； （2）延长，交于点F，证明，推出，再证明即可解决问题； （3）设，过点作交的延长线于点，连接，证明，推出，，再证明，推出，得到，求得，利用勾股定理列式计算即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴； （2）解：．理由如下， 理由：如图中，延长，交于点F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵将沿折叠到， ∴，，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得， ∴的长度为． 【考点评析】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式训练】（24-25八年级上·山西临汾·期末）阅读与理解 下面是小丽同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格和无刻度直尺作图 正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的线段叫做格点线段．利用正方形网格和无刻度直尺可以做格点线段的中点和垂线．如图，正方形网格是由边长为1的小正方形组成，已知是格点线段，可以用如以下方法构造的中点和垂线． 构造中点：如图1，在网格上取格点，使得，且，连接交的于点．点即为的中点．理由如下： ∵，， 在和中，， （依据1） （依据2）， 即点是的中点． 构造垂线：如图2，在网格上取格点，使得，且，连接即为的垂线．理由如下：… 任务： (1)上述材料中的依据1是指___________，依据2是指___________． (2)请你帮小丽将“构造垂线”中的理由补充完整． (3)如图3，在给定的网格区域内，利用网格和无刻度直尺构造，使得． 【答案】(1)角边角 （ASA）；全等三角形的对应边相等 (2)详见解析 (3)图见解析 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）根据全等三角形的判定方法与全等三角形的性质可得答案； （2）令 与 交于点 ，证明 ，可得 ，再进一步可得结论； （3）如图，取格点，连接，，交于点，作射线，则 即为所求； 【规范解答】（1）解：上述材料中的依据1是指角边角 （）， 依据2是指全等三角形的对应边相等 （2）解：令 与 交于点 ， 在 和 中 ， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：如图，取格点，连接，，交于点，作射线，则 即为所求； 理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴. 【考点评析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的画图是解本题的关键. 考点讲练26：图形上与已知两点构成直角三角形的点 【典例精讲】（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可． （1）根据题意作符合要求的直角三角形即可； （2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可． 【规范解答】（1）解：即为所求（答案不唯一）； （2）解：即为所求（答案不唯一）． 【变式训练】（20-21八年级下·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)3cm (2)t=1或 (3)t=或2或 【思路点拨】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可； （2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可； （3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可． 【规范解答】（1）解：∵在△ABC中，，，， ∴BC=； （2）解：由题意可知，分两种情况：①；②， 设BP=3tcm，∠B≠90°： ①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合， ∴BP = BC，即3t=3， ∴； ②当∠PAB=90°时，如下图所示： ∴CP=BP－BC=（3t－3）cm， ∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=， 综上所述：当为直角三角形时，t=1或； （3）解：由题意可知，分三种情况：①；②；③， ①当时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线， ， ； ③当时，如图所示： 设，则， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得， ， ， 综上所述：t=或2或． 【考点评析】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键． 考点讲练27：在网格中判断直三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中，画线段，且使，连结； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______； (3)为______三角形，点A到的距离为______． 【答案】(1)图见详解 (2)，，5 (3)直角， 【思路点拨】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用网格，结合平行线的判定与性质按要求画图即可． （2）利用勾股定理分别计算即可． （3）由勾股定理的逆定理可得，则为直角三角形，然后根据等积法可得点A到的距离． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：由勾股定理可得：，，； 故答案为，，5； （3）解：由（2）可知：， ∴， ∴是直角三角形， ∴点A到的距离为； 故答案为：直角，2 【变式训练】（23-24九年级上·四川广元·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点； ①找格点，使且； ②直接写出的度数． (2)如图2，点、、均在格点上，依照（1）中方法在上作点，使． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 【思路点拨】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等知识． （1）①利用把向上平移1格即可； ②由图形可得是等腰直角三角形，再利用平行线即可求解； （2）构造等腰直角三角形，再利用平移解决问题即可． 【规范解答】（1）解：①如图1中，直线即为所求； ②连接， 由图可得，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2中，即为所求． 考点讲练28：利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）已知：如图，在中，，，的周长为30． (1)证明：是直角三角形； (2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【思路点拨】此题重点考查勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地求出的长，并且推导出是解题的关键． （1）由，，的周长为30，求得，则，所以是直角三角形； （2）①由，得，由于点，得，则，由，得，所以，而，则，所以； ②由，，且，得，则，由，，证明，则，所以． 【规范解答】（1）证明：，，的周长为30， ， ，， ， 是直角三角形． （2）①证明：， ， 于点， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， ． ②解：，，且， ， ， ，， ， ， ， ， ， 线段的长为． 【变式训练】（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 【规范解答】解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 考点讲练29：勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·单元测试）（教材母题变式）如图，一艘快艇计划从地航行到距离地16海里的地，它先沿北偏西方向航行12海里到达地接人，再从地航行20海里到达地，此时快艇位于地的 方向上． 【答案】北偏东 【思路点拨】本题考查勾股定理的逆定理、方位角的表示，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再求出的度数，用方位角表示出来即可． 【规范解答】解：由题意知，，，， ， ， 是直角三角形， ， ， 此时快艇位于地的北偏东方向上． 故答案为：北偏东． 【变式训练】（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直于的小路，垂足为．点恰好是的中点，且． (1)求的长； (2)连接，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质，掌握勾股定理和垂直平分线的性质是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． 【规范解答】（1）解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． 考点讲练30：勾股定理逆定理的拓展问题 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9 【思路点拨】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质． 问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论． 问题再探：如图，过点P作直线于点F交直线a于点E，截取，，连接即可； 问题拓展：过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题． 【规范解答】解：问题初探：（1）； 证明：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；, （2）∵， ， 故答案为：；, （3）证明：∵四边形的面积 ， ∴四边形的面积 ， ∴， 即． 问题再探：解：如图，即为所求；    问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，     ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 故答案为：9． 【变式训练】（20-21八年级上·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【思路点拨】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【规范解答】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【考点评析】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 基础夯实真题练 1．（24-25八年级下·江苏无锡·开学考试）由线段、、组成的三角形是直角三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的逆定理，别计算各选项中较短的两边的平方和是否等于最长边的平方，再根据勾股定理的逆定理可得答案． 【规范解答】解：A、， 、、组成的三角形是直角三角形； B、， 、、组成的三角形不是直角三角形； C、， 、、组成的三角形不是直角三角形； D、， 、、组成的三角形不是直角三角形． 故选：A． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（   ） A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．在中，的对边分别是，若，则 C．在中，的对边分别是，若，则 D．如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是命题的真假判断，熟悉勾股定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理判断即可． 【规范解答】解：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，A错误； 在中，的对边分别是，若，则错误； 在中，的对边分别是，若，则错误； 如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，D正确， 故选：D． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（   ）．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈尺） A．3尺 B．4尺 C．4.55尺 D．5尺 【答案】C 【思路点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可． 【规范解答】解：1丈尺 设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 答：折断处离地面的高度是4.55尺， 故选：C． 4．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，中，，，，是内一点且平分，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作，，利用角平分线的性质求得，利用勾股定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：作，，垂足分别为和， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，，．将边与数轴重合，点，点对应的数分别为，．以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为 ．      【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理，数轴上表示无理数，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意得到，由勾股定理得到，结合数轴的特点即可求解． 【规范解答】解：点，点对应的数分别为，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵点表示的数是， ∴以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为， 故答案为： ． 6．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，已知，过P作且；再过作且；又过作且；又过作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，，，，……，那么 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查勾股定理解直角三角形及数字的规律探索，准确利用勾股定理及三角形面积公式进行计算是解题关键．利用勾股定理解直角三角形，然后利用三角形面积公式计算三角形面积，从而发现规律． 【规范解答】解：由题意可得， 在中，， ∴， 同理可得：， … ， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动． 【解析】 (1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？ (2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉． 【答案】(1)米 (2)株 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出的长即可； （2）先根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，分别求出的面积，计算即可得到答案． 【规范解答】（1）解如图，连接 ， （米） 至少需要米装饰彩带； （2）解：，，， ， 是直角三角形， （平方米）， （平方米）， （株）， 共需要种植株花卉． 8．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，按要求操作并求解． (1)在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为； (2)将点A向下平移3个单位，再关于y轴对称得到点C，写出点C的坐标； (3)在（2）的条件下，已知轴，且，求点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【思路点拨】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）根据点A与点B的坐标建立直角坐标系，即可解答； （2）点A向下平移3个单位，则点A的横坐标不变，纵坐标减去3；接下来结合关于y轴对称的两个点的坐标特征，即可解答； （3）先根据勾股定理求出，然后再根据求出点P的坐标即可． 【规范解答】（1）解：建立平面直角坐标系，如图所示： （2）解：∵点A向下平移3个单位，再关于y轴对称得到点C， ∴点C的坐标为； （3）解：∵， ∴， ∵轴， ∴点P的坐标为或． 9．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知，是从点D出发的三条线段，且． (1)如图①，若点D在线段上，连接，试判断的形状，并说明理由． (2)如图②，连接，且与相交于点E，若，求的长． 【答案】(1)直角三角形，见解析； (2)4 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定定理，勾股定理： （1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，于是得出是直角三角形； （2）根据线段垂直平分线的判定定理得到垂直平分，再根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】（1）解：是直角三角形， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（21-22八年级上·山东威海·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【答案】（1）；；；；（2），理由见解析；（3） 【思路点拨】（1）如图1，延长，使，连接，利用证明，得到，再由三角形三边的关系得到，则，即可求出； （2）延长使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后利用证明，得到，，进而得到，最后根据勾股定理证明即可； （3）延长交的延长线于点F，根据证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：（1）延长，使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）， 证明：如图所示，延长到G，使，连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图所示，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 【考点评析】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质，“倍长中线”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形． 培优拔尖真题练 11．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的积等于（   ） A．12 B． C．24 D．10 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，设两直角边分别为x，y，且，由勾股定理可得，结合小正方形的面积可得，再结合完全平方公式可得答案． 【规范解答】解：设两直角边分别为x，y，且， 根据题意得：，， ∴， ∴，   ∴， 即两直角边的积等于24， 故选C． 12．（24-25八年级下·全国·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2024 C．22023 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【规范解答】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：A． 13．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【思路点拨】本题考查勾股定理，垂直平分线的判定及性质，掌握勾股定理求出线段的长，垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 连接，，，，，，，，结合网格的特点，根据勾股定理求出各线段的长，得到，，根据线段的垂直平分线的判定及性质即可解答． 【规范解答】解：连接，，，，，，，， ∵每个小正方形的边长都为1， ∴，，，， ，，，， ∴，， ∴直线是的垂直平分线， ∴和线段两个端点距离相等的点的轨迹是直线． 故选：C 14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图：在中，，，，是的角平分线． （1）则 ；（2）若点E是线段上的一个动点，从点B以每秒的速度向A运动， 秒钟后是直角三角形． 【答案】 6或 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）过点作于，利用角平分线的性质得，再根据面积法可得答案； （2）分或两种情形，分别画出图形，利用勾股定理可得答案． 【规范解答】（1）如图，过点作于， 在中，由勾股定理得， ， ，，是的角平分线， ， 设， 则， 解得， 即， 故答案为：； （2）如图，当时， 则， ， ， ， 设秒后是直角三角形， 则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 当时，由（1）得， ， ， ， ， 故答案为：6或． 15．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是 ． 【答案】/厘米 【思路点拨】本题考查了轴对称图形的性质，勾股定理求最短路径，理解最短路径的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意，作图，作点关于的对称点，连接，则线段是最短路径，过点作延长线点，图形结合，运用勾股定理即可求解． 【规范解答】解：根据题意，作图如下， ∴，，，作点关于的对称点，连接，则线段是最短路径，过点作延长线点，， ∴，，， ∴， 故答案为： ． 16．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等腰三角形是解题的关键．延长到，使得，连接，过点作交于点，则得出，再证明，求出、的长，最后由勾股定理求出的长与的长即可． 【规范解答】解：延长到，使得，连接，如图所示： ， ， ，， ， 如上图，过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题： (1)【问题情境】如图1，平面内有三个点，，，，，则的长度的最小值为___________，最大值为___________． (2)【深入探究】如图2，在中，，，，以为边作等边（点、点在同侧），以为边向外作等边，连接和，求长． (3)【延伸拓展】如图3，在中，，，以为边向外作等腰直角三角形，，连接．线段的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2，10 (2) (3)线段的长度存在最大值，最大值为 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的性质、三角形的三边关系等知识，构造全等三角形是解答本题的关键． （1）根据、的长度即可求出长度的取值范围，即可得解； （2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明得到，，再利用等腰三角形的三线合一得到，，然后利用勾股定理分别求解即可； （3）过D作，且，连接，，则，要使最大，只需最大即可；证明得到，由，当B、A、E共线时取等号得到的最大值为28，进而可求解． 【规范解答】（1）解：∵，（当C点在线段上和在的延长线上时取等号） ∵，， ∴，即， ∴的长度的最小值为2，最大值为10， 故答案为：2，10； （2）解：如图，设与相交于F， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，又， ∴，， ∴， ∴， 在中，； （3）解：线段的长度存在最大值． 如图，在上方，过D作，且，连接，， ∴，即， 要使的长最大，只需的长最大即可， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，当B、A、E共线时取等号， ∴的长的最大值为28， 则的长的最大值为． 18．（23-24八年级下·四川泸州·期中）某单位计划对一块四边形空地进行绿化，如图，在四边形中，，米，米，米，米，若每平方米绿化的费用为90元，请预计绿化的费用． 【答案】元 【思路点拨】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是证明．先求出米，再证明，则四边形的空地转化为两个三角形，即可求解． 【规范解答】解：连接， ∵，米，米， ∴米 ∵米，米， ∴， ∴， ∴ 所以需费用（元）． 19．（24-25八年级上·重庆·期末）古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴点在竖直平面内转动，在点正上方固定一个定滑轮，绳子通过定滑轮与杆的另一端相连，且．某人站在点处，拉绳子的手的位置与地面的距离为． (1)若，，求从到定滑轮，再到点拉着的绳长（结果保留根号）； (2)若的长为比长，求桥面的宽． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）先在中，求出，然后在中，求出，即可求解绳子长度； （2）先在中，设，，，根据勾股定理求出，然后即可求解桥面的宽； 【规范解答】（1）解：依题意得：是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 绳长为； （2）解：由题意得， 在中，， 设，， ∵， ∴， 即， 解得：， ， ∴； 20．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，，． (1)如图1，连接，，当时，求的面积； (2)如图2，点G在线段上，连接，点N在线段上，连接BN，当时，求线段，，的关系； (3)点G在射线上，连接，点N在线段上，连接，且，连接，取的中点M，连接，若，当最小时，求出的面积． 小明在刚看到这个问题的时候不知道怎么思考，在用几何画板作图时，意外发现当点N在上移动时，点M也沿着一条直线运动，马上建立直角坐标系进行了验证，发现点M的运动轨迹确实是一条直线，请你根据小明的发现求解，并写出主要过程． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【思路点拨】（1）过点作于点，连接，根据等腰直角三角形的性质以及已知条件得出，进而可得，结合已知线段的长度以及勾股定理分别求得，即可求解； （2）延长交于点，连接，证明，得出即，根据是等腰直角三角形，则，得出； （3）根据题意得出在射线上运动，当时，取的最小值；进而证明，再求得，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， ∵在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，延长交于点，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中， ， ∴ ∴， 由（1）可得是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴即， 又∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∴，即； （3）解：依题意在射线上运动， ∴当时，取得最小值； 证明如下：如图所示，取的中点，连接，， 同（2）可得， ∵是的中点，， ∴，， 设，， ∵， ∴，则， ∴； 同理可得， ∴，， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∴； 即在射线上运动； ∴当时，取的最小值； 如图所示，∵， ∴， 即， ∴点M在射线上运动； 过点作于点，过点作于点， 则； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，二次根式的混合运算；熟练掌握以上知识是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$