第17章 勾股定理（导图+知识梳理+易错点拨+14大考点讲练+优选压轴题专练 共52题）-2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）

2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第17章 勾股定理 （知识梳理+易错点拨+14个重难点考点讲练+压轴题专练 共52题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：勾股定理 2 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 3 知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 3 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：直角边与斜边未明确导致漏解 3 易错知识点02：勾股定理逆定理的误用 4 易错知识点03：直角三角形存在性问题中的分类讨论 4 易错知识点04：三角形形状不明确导致漏解 4 易错知识点05：勾股数的隐含条件忽略 4 易错知识点06：互逆命题的理解错误 4 易错知识点07：实际应用中的建模错误 5 重点难点 考点讲练 5 重点难点考点讲练01：勾股定理 5 重点难点考点讲练02：勾股定理的证明 6 重点难点考点讲练03：勾股定理的逆定理 7 重点难点考点讲练04：勾股数 8 重点难点考点讲练05：勾股定理的应用 9 重点难点考点讲练06：平面展开-最短路径问题 10 重点难点考点讲练07：直角三角形中的锐角平分线模型 12 重点难点考点讲练08：勾股定理之图形折叠模型 13 重点难点考点讲练09：勾股定理之赵爽弦图模型 14 重点难点考点讲练11：勾股定理之大树折断模型 15 重点难点考点讲练12：勾股定理之风吹荷花模型 16 重点难点考点讲练13：勾股定理之蚂蚁行程模型 17 重点难点考点讲练14：勾股定理之垂美四边形模型 18 压轴专练 拔尖冲刺 21 知识点梳理01：勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 　　 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 易错知识点01：直角边与斜边未明确导致漏解 易错表现：看到题目中的数值直接套用勾股数，忽略斜边可能存在的两种情况。 示例： 题目给出直角三角形三边为6、8、x，若未明确直角边和斜边，需分两种讨论： 当8为直角边时，斜边x=10； 当8为斜边时，另一条直角边x=√(8²-6²)=2√7。 解决方法：始终先判断最长边是否为斜边，再分类讨论。 易错知识点02：勾股定理逆定理的误用 易错表现：混淆勾股定理（已知直角三角形求三边关系）与逆定理（已知三边关系判断是否为直角三角形）。 示例： 若三角形三边为2.5、6、6.5，需验证是否满足a²+b²=c²（如2.5²+6²=6.5²），满足则为直角三角形。 注意：勾股数必须是正整数，如3、4、5或5、12、13等，非整数组合需严格验证。 易错知识点03：直角三角形存在性问题中的分类讨论 易错场景：涉及动点或未知角时，未考虑所有可能的直角位置。 示例： 如图，Rt△ABC中，AB=8，BC=6，动点D在AC上运动，当△CBD为直角三角形时： 若∠CDB=90°，需用面积法求BD=4.8，再得CD=3.6； 若∠CBD=90°，则D与A重合，CD=10。 关键：画出所有可能的垂直关系，逐一分析。 易错知识点04：三角形形状不明确导致漏解 易错表现：未考虑三角形可能是锐角或钝角三角形。 示例： 等腰△ABC中，AB=AC=5，面积为10，求BC。需分两种情况： 锐角三角形：高在内部，BC=2√(5²-(10×2/5)²)=2√2； 钝角三角形：高在外部，BC=2√(5²+(10×2/5)²)=2√2。 易错知识点05：勾股数的隐含条件忽略 易错点：认为满足a²+b²=c²的任意数都是勾股数。 纠正：勾股数特指满足该等式的正整数组合（如3、4、5），非整数或负数的组合需明确说明应用场景 易错知识点06：互逆命题的理解错误 易错表现：混淆原命题与逆命题的逻辑关系。 示例： 原命题“若△ABC是直角三角形，则a²+b²=c²”成立，但其逆命题需验证三边是否满足该等式。 注意：逆命题不一定为真，需独立证明。 易错知识点07：实际应用中的建模错误 易错场景：无法将实际问题转化为直角三角形模型。 示例： 求长方体对角线长，需展开为空间直角三角形的斜边（√(长²+宽²+高²)），而非仅用底面直角边计算。 重点难点考点讲练01：勾股定理 【例题精讲】（2024春•隆回县期中）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是　　 A．16 B．25 C．144 D．169 【训练1】（2024春•东城区校级期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为　　 A．6 B． C．5 D． 【训练2】（2024春•新宁县期中）如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为　　． 重点难点考点讲练02：勾股定理的证明 【例题精讲】（2024春•承德期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为，，那么的值是　　 A．20 B．12 C．24 D．25 【训练1】（2024春•惠城区期中）如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为 　　． 【训练2】（2024春•北流市期中）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又， ． 请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 重点难点考点讲练03：勾股定理的逆定理 【例题精讲】（2019秋•泰安期中）已知：如图，是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止，当　　时，是直角三角形． 【训练1】（2024春•博望区校级期中）如图，点是等边内一点，连接，，，，以为边作△，连接，则有以下结论：①是等边三角形；②是直角三角形；③；④．其中一定正确的是 　　．（把所有正确答案的序号都填在横线上） 【训练2】（2022秋•化州市校级期中）如图，已知在中，，，，为边上一个动点，连接，，分别交、于点、，垂足为，点为的中点，若四边形的面积为18，则的最大值为 　　． 重点难点考点讲练04：勾股数 【例题精讲】（2024春•新余期中）下列各组数中，为勾股数的是　　 A．9，40，41 B．5，6，7 C．，2， D．，， 【训练1】（2019春•闽侯县期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数，，通常叫做勾股数．如果三角形最长边，其中一短边，另一短边为，如果，，是勾股数，则　　（用含的代数式表示，其中为正整数） 【训练2】（2022春•怀仁市校级期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、　　、　　． （2）若第一个数用字母为奇数，且表示，那么后两个数用含的代数式分别怎么表示？小明发现每组第二个数有这样的规律，，，于是他很快用含的代数式表示了第二数为，则用含的代数式表示第三个数为 　　． （3）用所学知识证明（2）中用字母表示的三个数是勾股数？ 重点难点考点讲练05：勾股定理的应用 【例题精讲】（2024秋•贵阳期中）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少　　米． A． B．20 C．15 D． 【训练1】（2024春•荆门期中）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 　　尺． 【训练2】（2024秋•兰州期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是　　． A． B． C．6 D． 重点难点考点讲练06：平面展开-最短路径问题 【例题精讲】（2024春•桃源县期中）如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为，，，点和点是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程　　 A． B． C． D． 【训练1】（2024春•新余期中）如图 1 ，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿与蜂蜜相对的点处， 为了吃到蜂蜜， 蚂蚁从外壁处沿着最短路径到达内壁处 ． （1） 如图 2 是杯子的侧面展开图， 请在杯沿上确定一点，使蚂蚁沿路线爬行， 距离最短 ． （2） 结合图， 求出蚂蚁爬行的最短路径长 ． 【训练2】（2024春•河北期中）【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定，两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点，对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 重点难点考点讲练07：直角三角形中的锐角平分线模型 【例题精讲】（2024春•东城区校级期中）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线———运动．设点的运动时间为． （1）　　； （2）①当在上时，的长为 　　（用含的代数式表示），的取值范围是 　　； ②若点在的平分线上，则的值为 　　． 【训练1】（2021春•蒙阴县期中）小宇手里有一张直角三角形纸片，他无意中将直角边折叠了一下，恰好使落在斜边上，且点与点重合，小宇经过测量得知两直角边，，他想用所学知识求出的长，你能帮他吗？ 【训练2】（2022春•新抚区校级期中）如图，中，，，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，求的长． 重点难点考点讲练08：勾股定理之图形折叠模型 【例题精讲】（2024春•潢川县期中）如图，在长方形中，，，点为上一点，将△沿翻折至△，延长交于点，交的延长线于点，且，则的长为 　　． 【训练1】（2024春•武汉期中）如图，在矩形中，为上一点，将矩形的一角沿向上折叠，点的对应点恰好落在边上．若的周长为6，的周长为12，则的长为　　 A．2 B． C． D．1 【训练2】（2024春•新余期中）如图，在直角三角形纸片中，，，，点是边上的点，将沿折叠得到，与直线交于点，当出现以为边的直角三角形时，的长可能是 　．　． 重点难点考点讲练09：勾股定理之赵爽弦图模型 【例题精讲】（2024春•潢川县期中）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为，直角三角形①中较长的直角边长，则直角三角形①的面积是　　 A． B． C． D． 【训练1】（2024春•召陵区期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【训练2】（2022春•巢湖市期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若，则的值是　　 A．12 B．15 C．20 D．30 重点难点考点讲练11：勾股定理之大树折断模型 【例题精讲】（2024春•连江县期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一其中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少尺？ 【训练1】（2023春•罗定市期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面处折断，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，这棵大树在折断前的高度为　　 A． B． C． D． 【训练2】（2024春•忠县期中）如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 　　米． 重点难点考点讲练12：勾股定理之风吹荷花模型 【例题精讲】（2024春•斗门区校级期中）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【训练1】．（2022春•铁锋区期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少尺？请你用所学知识解答这个问题． 【训练2】（2021春•汉阳区期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答） 重点难点考点讲练13：勾股定理之蚂蚁行程模型 【例题精讲】（2024春•黔东南州期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为　　 A． B． C． D． 【训练1】（2024春•东港区校级期中）如图，一只蚂蚁从长为、宽为，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所走的最短路线的长是　　． 【训练2】（2021春•宣化区期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的侧面爬行到点的最短路程大约是　　 A． B． C． D． 重点难点考点讲练14：勾股定理之垂美四边形模型 【例题精讲】（2022春•海珠区校级期中）定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．若，，则 ①求证： ②　　． 【训练1】（2023春•番禺区校级期中）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四边形”的是 　　（填序号）； （2）性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．求证：； （3）解决问题：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．已知，． ①请问四边形是垂美四边形吗？并说明理由； ②求的长． 【训练2】（2023春•渝北区校级期中）【知识感知】（1）如图1，四边形的两条对角线交于点，我们把这种对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．在我们学过的：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，属于垂美四边形的是 　　；（只填序号） 【性质探究】（2）如图1，试探究垂美四边形的四条边，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明； 【性质应用】（3）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（   ） A． B． C． D．7 3．（24-25八年级下·全国·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2024 C．22023 D． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一个圆柱形玻璃杯的高为10cm，底面半径为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ． 6．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交于点，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交于点，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 7．（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在长方形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为 ． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，若点P从点C出发，以每秒的速度沿折线方向运动一周，当P点到达终点C时停止运动，设运动时间为秒（）． (1)若P点在边上且满足，则此时________； (2)若P点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在P点运动的过程中，当为何值时，是等腰三角形，直接写出的值． 10．（24-25八年级上·江苏南京·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第17章 勾股定理 （知识梳理+易错点拨+14个重难点考点讲练+压轴题专练 共52题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：勾股定理 2 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 3 知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 3 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：直角边与斜边未明确导致漏解 3 易错知识点02：勾股定理逆定理的误用 4 易错知识点03：直角三角形存在性问题中的分类讨论 4 易错知识点04：三角形形状不明确导致漏解 4 易错知识点05：勾股数的隐含条件忽略 4 易错知识点06：互逆命题的理解错误 4 易错知识点07：实际应用中的建模错误 5 重点难点 考点讲练 5 重点难点考点讲练01：勾股定理 5 重点难点考点讲练02：勾股定理的证明 7 重点难点考点讲练03：勾股定理的逆定理 10 重点难点考点讲练04：勾股数 13 重点难点考点讲练05：勾股定理的应用 15 重点难点考点讲练06：平面展开-最短路径问题 17 重点难点考点讲练07：直角三角形中的锐角平分线模型 21 重点难点考点讲练08：勾股定理之图形折叠模型 24 重点难点考点讲练09：勾股定理之赵爽弦图模型 28 重点难点考点讲练11：勾股定理之大树折断模型 30 重点难点考点讲练12：勾股定理之风吹荷花模型 32 重点难点考点讲练13：勾股定理之蚂蚁行程模型 34 重点难点考点讲练14：勾股定理之垂美四边形模型 36 压轴专练 拔尖冲刺 42 知识点梳理01：勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 　　 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 易错知识点01：直角边与斜边未明确导致漏解 易错表现：看到题目中的数值直接套用勾股数，忽略斜边可能存在的两种情况。 示例： 题目给出直角三角形三边为6、8、x，若未明确直角边和斜边，需分两种讨论： 当8为直角边时，斜边x=10； 当8为斜边时，另一条直角边x=√(8²-6²)=2√7。 解决方法：始终先判断最长边是否为斜边，再分类讨论。 易错知识点02：勾股定理逆定理的误用 易错表现：混淆勾股定理（已知直角三角形求三边关系）与逆定理（已知三边关系判断是否为直角三角形）。 示例： 若三角形三边为2.5、6、6.5，需验证是否满足a²+b²=c²（如2.5²+6²=6.5²），满足则为直角三角形。 注意：勾股数必须是正整数，如3、4、5或5、12、13等，非整数组合需严格验证。 易错知识点03：直角三角形存在性问题中的分类讨论 易错场景：涉及动点或未知角时，未考虑所有可能的直角位置。 示例： 如图，Rt△ABC中，AB=8，BC=6，动点D在AC上运动，当△CBD为直角三角形时： 若∠CDB=90°，需用面积法求BD=4.8，再得CD=3.6； 若∠CBD=90°，则D与A重合，CD=10。 关键：画出所有可能的垂直关系，逐一分析。 易错知识点04：三角形形状不明确导致漏解 易错表现：未考虑三角形可能是锐角或钝角三角形。 示例： 等腰△ABC中，AB=AC=5，面积为10，求BC。需分两种情况： 锐角三角形：高在内部，BC=2√(5²-(10×2/5)²)=2√2； 钝角三角形：高在外部，BC=2√(5²+(10×2/5)²)=2√2。 易错知识点05：勾股数的隐含条件忽略 易错点：认为满足a²+b²=c²的任意数都是勾股数。 纠正：勾股数特指满足该等式的正整数组合（如3、4、5），非整数或负数的组合需明确说明应用场景 易错知识点06：互逆命题的理解错误 易错表现：混淆原命题与逆命题的逻辑关系。 示例： 原命题“若△ABC是直角三角形，则a²+b²=c²”成立，但其逆命题需验证三边是否满足该等式。 注意：逆命题不一定为真，需独立证明。 易错知识点07：实际应用中的建模错误 易错场景：无法将实际问题转化为直角三角形模型。 示例： 求长方体对角线长，需展开为空间直角三角形的斜边（√(长²+宽²+高²)），而非仅用底面直角边计算。 重点难点考点讲练01：勾股定理 【例题精讲】（2024春•隆回县期中）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是　　 A．16 B．25 C．144 D．169 【思路点拨】根据勾股定理解答即可． 【规范解答】解： 根据勾股定理得出：， ， 阴影部分面积是25， 故选：． 【考点评析】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么解答． 【训练1】（2024春•东城区校级期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为　　 A．6 B． C．5 D． 【思路点拨】由勾股定理得，再由求出，即可解决问题． 【规范解答】解：在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积， 阴影部分的面积， 故选：． 【考点评析】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由勾股定理得出是解题的关键． 【训练2】（2024春•新宁县期中）如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为　　． 【思路点拨】根据题意求出面积标记为的等腰直角三角形的直角边长，得到，同理求出，根据规律解答． 【规范解答】解：△是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， 正方形的边长为1， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， ， ， 则的值为：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了勾股定理，规律型：图形的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键． 重点难点考点讲练02：勾股定理的证明 【例题精讲】（2024春•承德期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为，，那么的值是　　 A．20 B．12 C．24 D．25 【思路点拨】根据正方形的面积的计算方法，勾股定理可得，四个正方形的面积为，可求出的值，将变形后，代入求值即可求解． 【规范解答】解：大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为，， ， 四个全等的三角形的面积为， ， 解得， ， 的值是25， 故选：． 【考点评析】本题主要考查勾股定理的证明，正方形的性质，三角形的面积，掌握勾股定理的计算，正方形，全等三角形面积的关系是解题的关键． 【训练1】（2024春•惠城区期中）如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为 　32　． 【思路点拨】由题意得：，，求出，由勾股定理求出，即可求出阴影的周长． 【规范解答】解：由题意得：，， ， 由勾股定理得：， 阴影的周长． 故答案为：32． 【考点评析】本题考查勾股定理，关键是由勾股定理求出的长． 【训练2】（2024春•北流市期中）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又， ． 请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【思路点拨】连接，过点作，交的延长线于点，先证明四边形是矩形，则，，，进而得，，，，再根据，得，据此即可得出结论． 【规范解答】证明：连接，过点作，交的延长线于点，如图所示： ，， ， △， ， ， 即， ， 四边形是矩形， ，， ， ，，，， ， ， 整理得：． 【考点评析】此题主要考查了勾股定理的证明，准确识图，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 重点难点考点讲练03：勾股定理的逆定理 【例题精讲】（2019秋•泰安期中）已知：如图，是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止，当　1或2　时，是直角三角形． 【思路点拨】本题涉及的是一道有关等边三角形的性质和勾股定理来解答的数形结合试题，根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形，所以就可以表示出与的关系，要分情况进行讨论：①；②．然后在直角三角形中根据，的表达式和的度数进行求解即可． 【规范解答】解：根据题意得，， 中，，， ， 中，，，若是直角三角形，则 或， 当时，， 即，（秒， 当时，， ，（秒． 答：当秒或秒时，是直角三角形． 故答案为：1或2． 【考点评析】本题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法． 【训练1】（2024春•博望区校级期中）如图，点是等边内一点，连接，，，，以为边作△，连接，则有以下结论：①是等边三角形；②是直角三角形；③；④．其中一定正确的是 　①②③　．（把所有正确答案的序号都填在横线上） 【思路点拨】先运用全等得出，，从而，得出是等边三角形，，，再运用勾股定理逆定理得出，由此得解． 【规范解答】解：是等边三角形，则，又△，则，， 是正三角形，①正确； 又， 设，则：，，， 根据勾股定理的逆定理可知：是直角三角形，且，②正确； 又是正三角形， ， ③正确；错误的结论只能是． 故答案为①②③． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质以及等边三角形的知识，解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键． 【训练2】（2022秋•化州市校级期中）如图，已知在中，，，，为边上一个动点，连接，，分别交、于点、，垂足为，点为的中点，若四边形的面积为18，则的最大值为 　　． 【思路点拨】根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，且，由直角三角形斜边上的性质可得，利用四边形的面积可得，进而可判断当取最小值时，有最大值，利用直角三角形的面积可求解的值，即可求解． 【规范解答】解：中，，，， ， 为直角三角形，且， 为的中点， ， 四边形的面积为18，， ， 即， 当取最小值时，有最大值， 故当时，值最小，最小值为， 此时． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，判定当取最小值时，有最大值是解题的关键． 重点难点考点讲练04：勾股数 【例题精讲】（2024春•新余期中）下列各组数中，为勾股数的是　　 A．9，40，41 B．5，6，7 C．，2， D．，， 【思路点拨】根据勾股数的定义逐项判断即可． 【规范解答】解：、，，40，41是勾股数，符合题意； 、，，6，7不是勾股数，不符合题意； 、，不是正整数，，2，不是勾股数，不符合题意； 、，，不是正整数，，，不是勾股数，不符合题意， 故选：． 【考点评析】本题考查了勾股数的定义，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 【训练1】（2019春•闽侯县期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数，，通常叫做勾股数．如果三角形最长边，其中一短边，另一短边为，如果，，是勾股数，则　　（用含的代数式表示，其中为正整数） 【思路点拨】根据勾股定理解答即可． 【规范解答】解：， ， 故答案为： 【考点评析】本题考查了勾股数，根据勾股定理解答是解题的关键． 【训练2】（2022春•怀仁市校级期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、　60　、　　． （2）若第一个数用字母为奇数，且表示，那么后两个数用含的代数式分别怎么表示？小明发现每组第二个数有这样的规律，，，于是他很快用含的代数式表示了第二数为，则用含的代数式表示第三个数为 　　． （3）用所学知识证明（2）中用字母表示的三个数是勾股数？ 【思路点拨】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一； （3）依据勾股定理的逆定理进行证明即可． 【规范解答】解：（1）、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；， ，60，61； 故答案为：60，61； （2）第一个数用字母为奇数，且表示，第二数为； 则用含的代数式表示第三个数为； 故答案为：； （3）， ， ， 又为奇数，且， 由，，三个数组成的数是勾股数． 【考点评析】本题考查的是勾股数之间的关系，属规律型问题，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可． 重点难点考点讲练05：勾股定理的应用 【例题精讲】（2024秋•贵阳期中）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少　　米． A． B．20 C．15 D． 【思路点拨】在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案． 【规范解答】解：展开图： （米， （米， （米， 故选：． 【考点评析】本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【训练1】（2024春•荆门期中）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 　14.5　尺． 【思路点拨】设秋千的绳索长尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【规范解答】解：设秋千的绳索长为尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ， 解得：， 答：绳索长为14.5尺． 故答案为：14.5． 【考点评析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 【训练2】（2024秋•兰州期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是　　． A． B． C．6 D． 【思路点拨】设绳长为，再根据直角三角的勾股定理列方程，解方程即可． 【规范解答】解：设绳长为米， 在△中， 米， ，米， ， 根据题意列方程：， 解得：， 绳索的长是． 故选：． 【考点评析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，掌握勾股定理，运用勾股定理解决问题． 重点难点考点讲练06：平面展开-最短路径问题 【例题精讲】（2024春•桃源县期中）如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为，，，点和点是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意画出台阶的平面展开图，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【规范解答】解：如图所示， 它的每一级的长宽高分别为，，， ， 即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是， 故选：． 【考点评析】本题考查的是平面展开最短路线问题，解答本题的关键要明确：平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 【训练1】（2024春•新余期中）如图 1 ，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿与蜂蜜相对的点处， 为了吃到蜂蜜， 蚂蚁从外壁处沿着最短路径到达内壁处 ． （1） 如图 2 是杯子的侧面展开图， 请在杯沿上确定一点，使蚂蚁沿路线爬行， 距离最短 ． （2） 结合图， 求出蚂蚁爬行的最短路径长 ． 【思路点拨】将杯子侧面展开， 建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求 ． 【规范解答】解： （1） 如图所示， 点即为所求： （2） 过点作垂直于． 在直角△中， 由勾股定理得 答： 蚂蚁爬行的最短距离是． 【考点评析】本题考查了平面展开最短路径问题， 将图形展开， 利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 ． 同时也考查了同学们的创造性思维能力 ． 【训练2】（2024春•河北期中）【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定，两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点，对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【思路点拨】（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图2，设昆虫甲从顶点沿棱向顶点爬行的同时，昆虫乙从顶点按路径，设爬行捕捉到昆虫甲需秒．根据勾股定理列方程即可得到结论．． 【规范解答】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路， ，，， ， 蜘蛛所走的最短路线的长度为； （2）如图2，设昆虫甲从顶点沿棱向顶点爬行的同时，昆虫乙从顶点按路径， 设爬行捕捉到昆虫甲需秒． 如图2，长方体的棱长， ， ，，， ， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 【考点评析】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 重点难点考点讲练07：直角三角形中的锐角平分线模型 【例题精讲】（2024春•东城区校级期中）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线———运动．设点的运动时间为． （1）　8　； （2）①当在上时，的长为 　　（用含的代数式表示），的取值范围是 　　； ②若点在的平分线上，则的值为 　　． 【思路点拨】（1）由勾股定理可得； （2）①根据点的运动路径及速度可表示出，根据在上，可得的取值范围； ②分两种情况讨论． 【规范解答】解：（1）由勾股定理得，， 故答案为：8； （2）①点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线 运动，， 当在上时，， ， ， 故答案为：，； ②当点在 的角平分线上时，如图所示，过点作于， ， ， 平分， ， ，， ， ，则， 设，则， 由勾股定理得，， ， 解得：， ，即， 解得：， 点与点重合时，点在的平分线上， 此时， 故答案为：或． 【考点评析】本题考查了勾股定理，角平分线的定义，关键是注意分类讨论． 【训练1】（2021春•蒙阴县期中）小宇手里有一张直角三角形纸片，他无意中将直角边折叠了一下，恰好使落在斜边上，且点与点重合，小宇经过测量得知两直角边，，他想用所学知识求出的长，你能帮他吗？ 【思路点拨】由于是折叠，所以折叠前后图形形状不变，可得，再利用勾股定理列方程即可求出的长． 【规范解答】解：如图， 是直角三角形，，， ， 设， 由反折而成， ， ，， 在中， ，即， 解得，即． 【考点评析】此题将勾股定理和折叠的性质相结合，既考查了折叠不变性，又考查了全等三角形的性质，是一道好题． 【训练2】（2022春•新抚区校级期中）如图，中，，，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，求的长． 【思路点拨】根据勾股定理得到，由折叠的性质得到，，，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：在中，，，， ， 将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合， ，，， ， 设，则， ， ， 解得， ． 【考点评析】本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 重点难点考点讲练08：勾股定理之图形折叠模型 【例题精讲】（2024春•潢川县期中）如图，在长方形中，，，点为上一点，将△沿翻折至△，延长交于点，交的延长线于点，且，则的长为 　　． 【思路点拨】由折叠可知，，，易通过证明△△，得到，，于是，设，则，，进而可得，，在△中，利用勾股定理建立方程，求解即可． 【规范解答】解：四边形为矩形，，， ，，， 由折叠可知，，，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ，即， 设，则，， ，， 在△中，， ， 解得：， ． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，利用全等三角形的性质得出是解题关键． 【训练1】（2024春•武汉期中）如图，在矩形中，为上一点，将矩形的一角沿向上折叠，点的对应点恰好落在边上．若的周长为6，的周长为12，则的长为　　 A．2 B． C． D．1 【思路点拨】中，利用勾股定理可得，进而得出，求得的长，即可得出的长． 【规范解答】解：由折叠可知，，， 又的周长，的周长， 矩形的周长， ，即， ， 中，， 即， 解得， ， ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了矩形的性质以及折叠变换，解题的方法是设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【训练2】（2024春•新余期中）如图，在直角三角形纸片中，，，，点是边上的点，将沿折叠得到，与直线交于点，当出现以为边的直角三角形时，的长可能是 　3或或．　． 【思路点拨】分，，三种情况，分别作出图形，解直角三角形即可． 【规范解答】解：由折叠性质可得： ，，， 在中， ，，， ①如图，当时， 为直角三角形， ，， ， ， 为等边三角形， ， ； ②如图，当时， 为直角三角形， ； ③当时， 为直角三角形， ， 为等边三角形， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 综上，或或， 故答案为：3或或． 【考点评析】本题考查直角三角形的性质，折叠的性质，折叠性质，解题的关键是分类讨论，将图形作出． 重点难点考点讲练09：勾股定理之赵爽弦图模型 【例题精讲】（2024春•潢川县期中）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为，直角三角形①中较长的直角边长，则直角三角形①的面积是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出． 【规范解答】解：两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方， 直角三角形①中较短的直角边长， 直角三角形①中较长的直角边长， 直角三角形 ①的面积， 故选：． 【考点评析】考查了正方形的面积以及勾股定理的应用．推知“正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方”是解题的难点． 【训练1】（2024春•召陵区期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】易知，，，设，由含30度角的直角三角形性质得，于是，得到，再利用同底等高的三角形面积关系得到，进而阴影部分的面积为． 【规范解答】解：如图， 由题意得，，，， 设， 在中，， ，即， 解得：， ， ， 阴影部分的面积为． 故选：． 【考点评析】本题主要考查含30度角的直角三角形性质、全等三角形的性质、三角形的面积，解题关键是利用全等三角形的对应边相等构建方程，求出的长． 【训练2】（2022春•巢湖市期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若，则的值是　　 A．12 B．15 C．20 D．30 【思路点拨】设每个小直角三角形的面积为，则，，依据，可得，进而得出的值． 【规范解答】解：设每个小直角三角形的面积为，则，， 因为， 所以， 即， 解得． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 重点难点考点讲练11：勾股定理之大树折断模型 【例题精讲】（2024春•连江县期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一其中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少尺？ 【思路点拨】设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程解答即可． 【规范解答】解：设绳索的长为尺，则木柱的长为尺， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 答：绳索长为尺． 【考点评析】本题考查了勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 【训练1】（2023春•罗定市期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面处折断，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，这棵大树在折断前的高度为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出直角三角形的斜边的长度，进而可得出结论． 【规范解答】解：树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形， 原来树的高度为：， 这棵树原来的高度． 即：这棵大树在折断前的高度为． 故选：． 【考点评析】本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键． 【训练2】（2024春•忠县期中）如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 　24　米． 【思路点拨】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是米． 【规范解答】解：因为米，米， 根据勾股定理得米， 于是折断前树的高度是米． 故答案为：24． 【考点评析】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单． 重点难点考点讲练12：勾股定理之风吹荷花模型 【例题精讲】（2024春•斗门区校级期中）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【思路点拨】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得． 【规范解答】解：在中， ， 设秋千的绳索长为，则， 故， 解得：， 答：绳索的长度是． 【考点评析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 【训练1】．（2022春•铁锋区期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少尺？请你用所学知识解答这个问题． 【思路点拨】根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：设水池里水的深度是尺， 由题意得，， 解得：， 答：水池里水的深度是15尺． 【考点评析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． 【训练2】（2021春•汉阳区期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答） 【思路点拨】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【规范解答】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺 在△中，， 解之得， 即芦苇长13尺，水深12尺． 【考点评析】此题主要考查学生对题意的理解，熟悉数形结合的解题思想． 重点难点考点讲练13：勾股定理之蚂蚁行程模型 【例题精讲】（2024春•黔东南州期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答． 【规范解答】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为， 则． 又因为， 所以． 故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的计算，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键． 【训练1】（2024春•东港区校级期中）如图，一只蚂蚁从长为、宽为，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所走的最短路线的长是　15　． 【思路点拨】根据题意，过点和点的平面展开图分三种情况，再根据两点之间线段最短和勾股定理可以分别求得三种情况下的最短路线，然后比较大小，即可得到点到点的最短路线，本题得以解决． 【规范解答】解：由题意可得， 当展开前面和右面时，最短路线长是：； 当展开前面和上面时，最短路线长是：； 当展开左面和上面时，最短路线长是：； ， 一只蚂蚁从长为、宽为，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所走的最短路线的长是， 故答案为：15． 【考点评析】本题考查平面展开最短路径问题，解题的关键是明确两点之间线段最短，利用分类讨论的方法解答． 【训练2】（2021春•宣化区期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的侧面爬行到点的最短路程大约是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意，先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短． 【规范解答】解：将圆柱体展开，连接， 圆柱体的底面周长为，则， 根据两点之间线段最短， ． 而走的距离更短， ，， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了平面展开最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 重点难点考点讲练14：勾股定理之垂美四边形模型 【例题精讲】（2022春•海珠区校级期中）定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．若，，则 ①求证： ②　　． 【思路点拨】概念理解：根据垂直平分线的判定定理证明即可； 性质探究：根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 问题解决：①连接，，由知，结合与即可得证； ②由得出，进而根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【规范解答】解：概念理解：四边形是垂美四边形．理由如下： ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， ，即四边形是垂美四边形； 性质探究：．理由如下： 如图1，已知四边形中，，垂足为， ， ， 由勾股定理得，， ， ； 问题解决：①连接，，如图2所示： ， ，即， 在和中， ， ； ②， ， 又， ，即， 四边形是垂美四边形， 由（2）得，， ，， ，，， ， ； 故答案为：． 【考点评析】此题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【训练1】（2023春•番禺区校级期中）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四边形”的是 　③④　（填序号）； （2）性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．求证：； （3）解决问题：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．已知，． ①请问四边形是垂美四边形吗？并说明理由； ②求的长． 【思路点拨】（1）（1）根据垂美四边形的定义即可判断； （2）根据勾股定理解答即可； （3）①连接、，与交于点，与交于点，证明，进而得，再根据（1）的结论便可求得结果． ②由（2）得出，根据勾股定理可得出答案． 【规范解答】解：（1）菱形、正方形的对角线垂直， 菱形、正方形都是垂美四边形． 故答案为：③④． （2）证明：， ， 由勾股定理，得， ， ； （3）①连接、，与交于点，与交于点，如图2， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， ， 即， 四边形是垂美四边形； ②由（2）得，， ，， ，，， ， ． 【考点评析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【训练2】（2023春•渝北区校级期中）【知识感知】（1）如图1，四边形的两条对角线交于点，我们把这种对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．在我们学过的：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，属于垂美四边形的是 　③④　；（只填序号） 【性质探究】（2）如图1，试探究垂美四边形的四条边，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明； 【性质应用】（3）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 【思路点拨】（1）根据菱形和正方形的性质即可得到答案； （2）先根据勾股定理得到，，，，即可推算出； （3）先根据正方形的性质证明，再证明，得到四边形是垂美四边形，再结合（2）的结论即可求出． 【规范解答】解：（1）菱形和正方形的对角线相互垂直， 故答案为：③④； （2），理由如下， ， ，，，， ，， ； （3）如图所示，设，交于点，，交于点，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是垂美四边形， 根据（2）得， ，， ， 四边形和四边形是正方形， ，， ， ． 【考点评析】本题考查菱形、正方形、全等三角形和勾股定理，能够灵活运用勾股定理是解题的关键． 1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了勾股定理．过点A作于点E，根据勾股定理可得：，进而得出，即可解答． 【规范解答】解：过点A作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴根据勾股定理可得：， 即， ∴， ∵， 根据勾股定理可得：， ∴， 故选：B． 2．（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（   ） A． B． C． D．7 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，三角形的全等的判定和性质，证得是解答本题的关键．作于D，作于E，再证明，因此可得，再结合勾股定理求得，然后再根据勾股定理求出的长即可． 【规范解答】解：如图：作于D，作于E，    ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：． 故选：A． 3．（24-25八年级下·全国·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2024 C．22023 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【规范解答】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：A． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一个圆柱形玻璃杯的高为10cm，底面半径为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理，熟练掌握圆柱的侧面展开，勾股定理，轴对称距离最短问题是解题的关键． 将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即最短，利用勾股定理即可解答． 【规范解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点， ∴为矩形， ∵底面半径半径为， ∴底面周长为， ∴， 根据题意得，， ∴， 连接，则即为最短距离， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ． 【答案】5 【思路点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 设大正方形的边长为c，根据大正方形的面积为13，则再利用勾股定理得，然后根据，的，最后根据，进而求出答案． 【规范解答】解：∵图中四个直角三角形全等，直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，设大正方形的边长为c， ∴， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∵ ∴， ∴，即， 由图可知小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积为：． ∴， 小正方形的面积为5． 故答案为：5． 6．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交于点，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交于点，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了图形规律，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，理解图示，掌握角度，边长的计算方法，找出规律是解题的关键． 根据题意，运用含角的直角三角形，可求出，根据等边三角形的性质可得，从而求出，由此可得，如图所示，过作于点，过作于点，以此类推得到，过作于点，计算方法同理可得，，根据三角形面积的计算可得的面积为，由此代入，计算即可求解． 【规范解答】解：∵，，， ∴在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴等边的边长，， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，, ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴等边的边长， 在中，， ∴，， ∴， 同理，在中，的边长， ∵，，， ∴的边长， 如图所示，过作于点，过作于点，以此类推得到，过作于点， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， 同理，， ∴， 同理，， ∴， ∴的面积为， ∴的面积为：． 故答案为：． 7．（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 【答案】或 【思路点拨】分两种情况讨论：当时，由三线合一可得，由勾股定理可得，由轴对称的性质可得，，进而可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长；当时，作于点，利用邻补角互补可得，由轴对称的性质可得，利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，根据即可求出的长；综上，即可得出答案． 【规范解答】解：分两种情况讨论： 当时， 如图， ， ，， ， ， ， 由轴对称的性质可得：，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ； 当时， 如图，作于点， ， ， ， 由轴对称的性质可得： ， ， ， ， ， ； 综上，的长是或， 故答案为：或． 【考点评析】本题主要考查了三线合一，勾股定理，轴对称的性质，线段的和与差，解一元一次方程，垂线的性质，利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在长方形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为 ． 【答案】 【思路点拨】分类讨论：①当点落在对角线上时和②当点落在对角线上时，分别正确作出辅助线，结合题意求解即可． 【规范解答】解：分类讨论：①当点落在对角线上时，连接，如图， ∵将长方形沿折叠，点的对应点为， ∴，． ∵点E为线段的中点， ∴， ∴，． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点运动的距离为2； ②当点落在对角线上时，作于点H，如图， ∴． ∵在长方形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴， ∴此时点运动的距离为． 综上可知点运动的距离为2或． 故答案为：． 【考点评析】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等知识．熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，若点P从点C出发，以每秒的速度沿折线方向运动一周，当P点到达终点C时停止运动，设运动时间为秒（）． (1)若P点在边上且满足，则此时________； (2)若P点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在P点运动的过程中，当为何值时，是等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或或12或13 【思路点拨】（1）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到t的值． （2）过P作于D，设，则，在中，，列方程求解即可得到t的值． （3）分四种情况：当P在上且时，当P在上且时，过C作于D，当P在上且时，当P在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t的值． 【规范解答】（1）解：如图，设，则， ∵，，， ， 在中，， ， 解得：， , ， 故答案为：； （2）如图，过P作于D， 平分， ∵， ∴（） ∴， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， （3）①如图，当P在上且时， ； ②如图，当P在上且时，过C作于D， ，， 在中，， ， ； ③如图，当P在上且时， ， ； ④如图，当P在上且时， ，而， ， ， 是的中点，即， ； 综上所述，当或或12或13 【考点评析】本题属于三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键． 10．（24-25八年级上·江苏南京·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 【答案】(1)①，；②5 (2)20 (3)①见解析，；② 【思路点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法． （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为1的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可． 【规范解答】（1）解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； （2）解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20． 故答案为：20； （3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当A、B、C、D共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②分别以，为边长作出长方形，则，，上取一点E，使，则，取的中点为F，连接，，，如图， ∴，，，，， ∴， ， ， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为， 故答案为：． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$