精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2025届高三下学期第一次月考（2月）数学试题

平罗中学2024-2025学年度第二学期第一次月考试题 高三数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算法则可求得，进而可得在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为，所以， 所以在复平面内对应的点位于第三象限． 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解二次不等式化简集合，利用对数函数性质化简集合，从而利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为， ， 所以. 故选：D. 3. 已知角α的终边上有一点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可求得的值，再利用诱导公式，即可求得答案. 【详解】由题意知角α的终边上有一点，则， 故，则， 故选：A 4. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数在上不单调，A不满足要求； 对于B选项，函数在上单调递增，B满足要求； 对于C选项，函数在上单调递减，C不满足要求； 对于D选项，函数在上单调递减，D不满足要求. 故选：B. 5. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可. 【详解】当时，，所以或， 当时，直线：，直线：，两直线不重合， 当时，直线：，即， 直线：，两直线不重合， 所以当或时，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 6. 已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品， 则，，， 由全概率公式可得. 所以，任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为. 故选：B. 7. 二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】先利用二项式的展开式的通项公式求出有理项的项数，再利用插空法求解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为： ， 令，得，所以展开式中的有理项有项， 把展开式中的项重新排列，先把项无理项全排列， 再把项有理项插入形成的个空中，所以有理项互不相邻的排法种数为种. 故选：D. 8. 已知三棱锥的侧棱长相等，且所有顶点都在球的球面上，其中，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三棱锥的所有顶点都在球的球面上，结合余弦定理可得的长，从而得，于是可得截球所得的圆的半径，由此能求出球的半径，从而能求出球的表面积． 【详解】如图，三棱锥的所有顶点都在球的球面上， ， 由余弦定理得， ，则， 截球所得的圆的圆心为的中点，半径， 由于三棱锥的侧棱长相等，所以共线，且， . 设球的半径为，由得：. 球的表面积． 故选：A． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得分，选错的得0分.） 9. 数列的前n项和为，已知，则（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据求出通项公式，进而得到，单调递减，A错误；B选项，由通项公式直接求解即可；C选项，解不等式即可；D选项，根据二次函数的开口方向和对称轴可得D正确. 【详解】A选项，当时，， 又，所以， 因为， 则是递减数列，故A错误； B选项，由可得，故B正确； C选项，令，解得，故C正确； D选项，因为的对称轴为，开口向下， 又，所以当或4时，取得最大值，故D正确. 故选：BCD. 10. 下图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出，再结合正弦型函数图象与性质逐项分析判断. 【详解】对于A，观察图象，，的最小正周期，解得， 由，得，，而，则，， 所以，故A正确； 对于B，将图象向右平移后得到函数，故B错误； 对于C，当时，， 而正弦函数在上单调递增， 因此在区间上单调递增，故C正确． 对于D，因为，取，满足条件， 此时，故D错误． 故选：AC. 11. 在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积不大于 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点、的坐标，即得；对于C，当抛物线在点处的切线与直线垂直，且抛物线在点处的切线与直线垂直时，最大，可判断C；对于D，求出抛物线在点处的切线，并求出切线与轴的交点的坐标，可知半个花瓣的面积小于的面积，可判断D. 【详解】对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为, 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为， 即，故A错误； 对于B，根据A项分析，由可解得，或，即， 代入可得， 由图象的对称性，可得、，故，即B正确； 对于C， 设直线与抛物线相切，联立可得， 由可得，且方程即为， 解得，，此时，切点坐标为， 设直线与抛物线相切，联立可得， 由可得，此时方程即为， 解得，，此时，切点坐标， 两切点连线的斜率为，即切点的连线与直线平行或重合， 故当、时，取最大值， 且其最大值为，C对； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 对函数求导得，则抛物线在点处的切线斜率为， 所以，抛物线在点处的切线方程为，即， 该切线交轴于点， 所以，半个花瓣的面积必小于， 故原图中的阴影部分面积必小于，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查曲线与方程的联系的应用问题，属于难题. 解题思路是，理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为_______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据或的值来求得离心率. 【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为， 若，则， 若，则. 故答案为：或 13. 已知数列满足，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】逐项求出值，然后得到数列周期，进而得出. 【详解】，，则求得，，，， 因此数列的周期为4，则. 故答案为： 14. 已知，函数.若曲线与直线交于两点，设的横坐标分别为，写出与的一个关系式：__________；分别过点作轴的垂线段，垂足分别为，则四边形的面积为__________. 【答案】 ①. （或此式的合理变形也可以）； ②. 4 【解析】 【分析】空1：由题意结合函数与图象性质可得到，进而两式相减变形整理即可得解； 空2：将空1所得的解变形为代入可得，再结合即可求解. 详解】不妨设，则由函数与图象性质可知， 所以，两式相减得， 所以即， 因为，所以， 所以，代入得，即， 又，所以. 故答案为：（或此式的合理变形也可以）；4. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是抓住函数与图象性质得到，进而两式相减变形整理即可依次求得解. 四、解答题（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对求导，得到，对进行讨论，判断的单调性． 【小问1详解】 当时，，则，所以，，， 故当时，函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，，的减区间为，无增区间； 当时，令，， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 16. 如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. （1）若，求的长； （2）用表示的长度； （3）求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理直接计算即可； （2）在中，直接利用正弦定理可得出关于的表达式； （3）利用三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围. 【小问1详解】 由，且是边长为的正三角形， 则，且， 所以在中，由余弦定理得， 所以. 【小问2详解】 由，则，则， 在中，由正弦定理有， 得， 小问3详解】 由三角形的面积公式得 ， 又，且，则，所以， 所以，则， 故的取值范围为. 17. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T. （1）求点T的轨迹W的方程； （2）已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义可知点T的轨迹为椭圆，然后求得，即可得到标准方程； （2）根据题意，设直线，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可得到的纵坐标，然后代入斜率公式计算，即可证明. 【小问1详解】 由题意：点T在线段BF的垂直平分线上，则，可得. 由椭圆定义可得，点T的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且椭圆长轴长为，焦距为，， 所以点T的轨迹W的方程为 【小问2详解】 由（1）知，，设直线，，， 联立消去x，整理得，则 ， 根据题意可设，，则由， 可得，同理可得， 所以直线FM与直线FN的斜率之积， . 所以直线FM与直线FN的斜率之积为定值. 18. 如图，在五棱锥中，已知底面，，，，，. （1）证明：平面； （2）求侧面与侧面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积可得，由线面垂直的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求二面角的余弦值. 【小问1详解】 由得， 即，即，所以， 由底面，底面得， 而，、平面，，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知、、两两垂直， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、， 因为，， 因为 得点， 而， 所以点，对于侧面，有， 设侧面的法向量为，则， 取，可得侧面的一个法向量， 对于侧面，，， 设平面的法向量为，则， 取侧面的一个法向量， 所以， 故侧面与侧面夹角的余弦值为. 19. 今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一到周六销售优惠券情况. 星期t 1 2 3 4 5 6 销售量y（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：，，. （1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值. 参考公式：，. 【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为，证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到y关于t的经验回归方程. （2）由题意得，其中，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解. （3）分n为偶数和奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解，准确推理，运算，即可得证. 【小问1详解】 由题意，，， 则， ， 所以y关于t的经验回归方程为. 【小问2详解】 由题意，可知，， 当时，，即， 又， 所以当时，数列为各项都为1的常数列， 即， 所以，，又， 所以数列为首项为公比为的等比数列， 所以，即 【小问3详解】 由（2）知，， 当为偶数时，，且随的增大而减小， 因此的最大值为； 当为奇数时，，且随的增大而增大， 因此的最小值为， 综上所述，的最大值为，最小值为. 【点睛】知识方法点睛：与新定义有关问题的求解策略： 通过给出一个新定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的. 遇到新定义的问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平罗中学2024-2025学年度第二学期第一次月考试题 高三数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知角α的终边上有一点，则=（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6. 已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 已知三棱锥的侧棱长相等，且所有顶点都在球的球面上，其中，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得分，选错的得0分.） 9. 数列的前n项和为，已知，则（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 10. 下图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 若，则 11. 在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积不大于 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为_______. 13 已知数列满足，若，则______. 14. 已知，函数.若曲线与直线交于两点，设横坐标分别为，写出与的一个关系式：__________；分别过点作轴的垂线段，垂足分别为，则四边形的面积为__________. 四、解答题（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性. 16. 如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. （1）若，求的长； （2）用表示的长度； （3）求的面积的取值范围. 17. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T. （1）求点T轨迹W的方程； （2）已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数. 18. 如图，在五棱锥中，已知底面，，，，，. （1）证明：平面； （2）求侧面与侧面夹角的余弦值. 19. 今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一到周六销售优惠券情况. 星期t 1 2 3 4 5 6 销售量y（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：，，. （1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值. 参考公式：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$