专题03 二次函数（8大题型解题攻略精讲精练+中考练场）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

专题03 二次函数 目录 热点题型归纳 题型01 二次函数的定义 1 题型02 二次函数的图像与性质 4 题型03 二次函数图像与系数的关系 14 题型04 二次函数的对称性 24 题型05 待定系数法求二次函数解析式 30 题型06 二次函数的平移 38 题型07 二次函数的实际应用 45 题型08 二次函数综合题 54 中考练场 74 1.考查分值：14-18分。 2.考查题型：常以填空、解答题（压轴）形式出现。 3.能力要求：理解二次函数图象上的点的坐标满足其函数解析式。会用代入法求出给定横坐标(或纵坐标)的点的纵坐标(或横坐标)，并且能够根据点的坐标特征研究二次函数图象的性质，如对称轴、顶点坐标等相关内容。 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次的数关系，通过建立二次函数模型解决诸如利润最大、面积最值等实际问题。能从实际问题情境中抽象出二次函数模型并且利用二次函数的性质对问题进行求解，解释结果的实际意义。 题型01 二次函数的定义 【提分秘籍】 一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。 【典例分析】 例1．（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，根据形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，不符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 例2．（2025·上海虹口·一模）已知是二次函数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 故答案为：． 例3．（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解． 【详解】解：原正方形面积为（平方厘米）， 边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米， 则， 故答案为：． 【变式演练】 1．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，y关于x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 形如：，则是的二次函数，根据定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：不是的二次函数，故A错误； 不是的二次函数，故B错误； ，即是的二次函数，故C正确； ，当时，不是的二次函数，故D错误； 故选：C． 2．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象，根据题意，抛物线的开口向下，可得，求出，即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．（2025·上海黄浦·一模）某抛物线的最高点在y轴上，且与x轴有两个交点，这个抛物线的表达式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，掌握二次函数图象的顶点坐标公式，是解题的关键. 根据抛物线的最高点在y轴上，可知，，抛物线与x轴有两个交点，可知，据此写出答案即可. 【详解】解：∵抛物线的最高点在y轴上， ∴，，， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴这条抛物线的表达式可以是：. 故答案是：（答案不唯一） 题型02 二次函数的图像与性质 【提分秘籍】 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 注意： 二次函数图象的画法(1)依据解析式列表、描点、连线画出二次函数图象;(2)利用配方法找出函数图象顶点;利用因式分解法或公式法找出图象与x轴的交点;利用一般式中的c值找出图象与y轴的交点,画出简易的函数图象. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，当x=时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，当x=时 时y有最大值. 增 减 性 a>0 在对称轴x=的左边y随x的增大而减小，在对称轴x=的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴x=的左边y随x的增大而增大，在对称轴x=的右边y随x的增大而减小. 【典例分析】 例1．（2025·上海闵行·一模）二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，在中，顶点坐标为．据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，从而得出答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：D． 例2．（2025·上海崇明·一模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点是它的最高点得到抛物线开口向下，则，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的顶点是它的最高点， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴， 故选：D 例3．（2025·上海虹口·一模）已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，因为抛物线，则函数的开口方向向上，对称轴是，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，即可作答． 【详解】解：∵抛物线， ∴函数的开口方向向上，对称轴是，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵、和都在抛物线上，且， ∴， 故选：A． 例4．（2025·上海普陀·一模）下列二次函数的图像中，以直线为对称轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的图像与性质，二次函数的顶点式解析式为，它的对称轴为．本题根据二次函数的顶点式解析式分别求出各项的对称轴即可． 【详解】解：A  、二次函数的对称轴是轴，故A选项不符合题意； B、二次函数的对称轴是轴，故B选项不符合题意； C、二次函数的对称轴是轴，故C选项不符合题意； D、二次函数的对称轴是轴，故D选项符合题意 故选：D． 例5．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 例6．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象，根据题意，抛物线的开口向下，可得，求出，即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得：． 故答案为：． 例7．（2025·上海闵行·一模）抛物线在对称轴的左侧部分是下降的，那么 0．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线在对称轴左侧的部分是下降的可得出抛物线开口向上，进而即可得出，此题得解． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴． 故答案为：． 例8．（2025·上海虹口·一模）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据抛物线有最高点，得到解析式的二次项系数小于，从而得到结果． 【详解】解：抛物线有最高点 抛物线图像的开口向下 故答案为：． 例9．（2025·上海静安·一模）二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线． (1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与轴的另一个交点坐标为 ． (2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的对称性是解题关键． （1）①根据二次函数的对称轴可得，由此即可得； ②根据二次函数的对称性求解即可得； （2）根据（1）可设二次函数的解析式为，将点代入求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式的顶点式求解即可得． 【详解】（1）解：①∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵二次函数的图像与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线， ∴图像与轴的另一个交点坐标为，即为， 故答案为：． （2）解：∵二次函数的图像与轴的两个交点坐标是和， ∴可设二次函数的解析式为， ∵这个函数图像经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴它的顶点坐标为． 【变式演练】 1．（2025·上海嘉定·一模）抛物线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题二次函数图象上的点的特征，根据图象上的点的横纵坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，故函数图象不经过点； B、当时，，故函数图象经过点； C、当时，，故函数图象不经过点； D、当时，，故函数图象不经过点； 故选B 2．（2025·上海金山·一模）已知二次函数的图象是开口向上的抛物线，抛物线的对称轴在轴右侧．当抛物线与轴两交点的距离为9时，若、、、这四个函数值中有且只有一个值不大于0，那么在这四个函数值中，值不大于0是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线与轴两交点的距离为9，结合二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在轴右侧，且抛物线与轴两交点的距离为9， ∴在对称轴的左侧随着的增大而减小，在对称轴的右侧随着的增大而增大，抛物线与轴两交点到对称轴的距离为， 若，则，不符合题意，故 若，则：抛物线与轴的一个交点范围为， ∴抛物线与轴的另一个交点的范围为：，则：，不符合题意；故 当时，则抛物线与轴的一个交点范围为， ∴抛物线与轴的另一个交点的范围为：，则：，不符合题意； 故只能是； 故选D． 3．（2025·上海杨浦·一模）下列二次函数中，如果函数图像的顶点在轴上，那么这个函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解答本题的关键． 分别写出各个二次函数的顶点坐标，然后判断其位置即可解答． 【详解】解：A、，顶点坐标为，不在轴上，故A选项不符合题意； B、，顶点坐标为，不在轴上，故B选项不符合题意； C、，顶点坐标为，在轴上，故C选项不符合题意； D、，顶点坐标为，在轴上，故D选项符合题意； 故选：D． 4．（2025·上海普陀·一模）已知抛物线的开口向上，那么此抛物线的顶点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数顶点坐标的表达式是解题的关键． 根据二次函数的顶点坐标为，代数分析即可． 【详解】解：∵的开口向上 ∴， ∵函数的顶点坐标为：， ∴， ∴顶点在第四象限； 故答案为：四． 5．（2025·上海青浦·一模）二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 【答案】上升 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口向上，对称轴为轴， ∴在对称轴右侧随的增大而增大，也就是右侧部分是上升的， 故答案为：上升． 6．（2025·上海金山·一模）已知，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查求函数值，把代入函数解析式，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：7． 7．（2025·上海崇明·一模）已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点满足其解析式． 先根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出自变量为和时的函数值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 题型03 二次函数图像与系数的关系 【提分秘籍】 关系 符号 图象特征 a决定抛物线的开口方向 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小． a<0 开口向下 a、b共同决定抛物线对称轴的位置 b=0 对称轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c=0 抛物线经过原点 c>0 抛物线与y轴交于正半轴 c<0 抛物线与y轴交于负半轴 由b²-4ac 确 定抛物线与x轴交点的个数 b²-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点 b²-4ac=0 抛物线与x轴有一个交点 b²-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点 注意：当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c.若a+b+c>0,即当x=1时y>0;若a-b+c<0,即当x=-1 时,y<0. 【典例分析】 例1．（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 例2．（2025·上海徐汇·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 拋物线只经过两个象限， ， ， 故选：A． 例3．（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为 ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 【答案】①②③④ 【分析】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最小值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将，代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，， 对称轴为，故，即，则，故①正确； 由图象可知当时，函数取最小值， 将，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为， 设函数解析式为：， 故化简得：， 将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确； 变形为：， 要使方程无实数根，则， 将，，代入得：， 因为，则，则， 综上所述，故③正确； 因为，， 所以 ， 因为， 所以，即，故④正确； 故答案为：①②③④． 例4．（2024·上海嘉定·模拟预测）[问题背景]解方程：； [解决方法]建立函数， (1)求：该函数与坐标轴的交点及其顶点坐标 (2)设，则可以通过将抛物线______得到该函数，由图像可知，当问题方程有4个不同根的时候，所有根的和为______ (3)求解[问题背景] 【答案】(1)，，，顶点坐标 (2)x轴下部分沿x轴翻折，1 (3)当时，方程无实数根；当时或时，方程有2个实数根；当，方程有3个实数根，当时，方程有4个实数根． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，根据二次函数的图像和性质求解即可． （1）把二次函数化成顶点式，可求出顶点坐标，令，可求出函数与y轴的交点坐标，令，可求出函数与x轴的交点坐标． （2）画出函数图像可求解． （3）根据函数图像可求解． 【详解】（1）解：， ∴该函数的顶点坐标为：， 令，则， ∴该函数与y轴的交点坐标为：， 令，则， 即， 解得：，， ∴该函数与x轴的交点坐标为：，． （2）∵，则可以通过将抛物线 x轴下部分沿x轴翻折得到该函数，如下图： 由图像可知，当问题方程有4个不同根的时候，由二次函数的对称性质以及对称轴可知，4个不同根的和为1． （3）由（2）可知，顶点坐标变成， 令，根据函数与x坐标轴的交点，，以及定点坐标结合函数图像可知： 当时，方程无实数根； 当时或时，方程有2个实数根； 当，方程有3个实数根． 当时，方程有4个实数根． 【变式演练】 1．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解：由函数图象，可得 函数开口向下，则，故A错误； 顶点在y轴右侧，则，故B正确； 图象与y轴交点在y轴正半轴，则，故C错误； 当时，，则，故D错误； 故选：B． 2．（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线的图像如图所示，那么下列各式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．根据对称轴和函数图像判断a、b、c的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a的大小，由抛物线与y轴的交点判断c的大小，根据对称轴与x轴交点情况、抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A. ∵抛物线开口向下， ∴， ∴A成立，不符合题意； B. ∵抛物线的对称轴，，， ∴， ∴B不成立，符合题意； C. ∵抛物线交y轴正半轴， ∴， ∴C成立，不符合题意； D. ∵抛物线过， ∴， ∴D成立，不符合题意． 故选：B． 3．（2024·上海·模拟预测）抛物线的部分图像如图所示，顶点坐标，则以下结论：①；②；③若m为任意实数，；④一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由图像可知，，对称轴为直线，，则，进而可判断①的正误；由关于对称轴对称的点坐标为，由图像可知，，可得，进而可判断②的正误；由，可判断③的正误；由，可知的解，即为交点的横坐标，当时，，如图，可知，有两个不同的交点，即有两个不相等的实数根，进而可判断④的正误． 【详解】解：由图像可知，，， ∵其顶点坐标为， ∴对称轴为，， ∴，则， ∴，故①正确； 由对称轴可知关于对称轴对称的点坐标为， 由图像可知，， ∴，故②错误； ∵，， ∴为任意实数时，，故③正确； ∵， ∴的解，即为交点的横坐标， 当时，， ∵，图像向右下方倾斜，如图， ∴，有两个不同的交点， 即有两个不相等的实数根，故④正确； 故正确的有①③④，共3个， 故选：C． 4．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．由该抛物线开口向下，可知，即可判断选项A；由该抛物线对称轴为，结合，可得，即可判断选项B；由图像可知，当时，可有，即可判断选项C；由图像可知，当时，可有，即可判断选项D． 【详解】解：A.该抛物线开口向下，所以，故该选项正确，不符合题意； B. 该抛物线对称轴为，又因为，所以，故该选项正确，不符合题意； C. 由图像可知，当时，可有，故该选项正确，不符合题意； D. 由图像可知，当时，可有，故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 题型04 二次函数的对称性 【提分秘籍】 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 【典例分析】 例1．（2023·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称的性质求解． 【详解】解：∵的对称轴为直线， 关于的对称点为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 例2．（23-24九年级上·上海长宁·期末）二次函数图像上部分点的坐标满足下表：那么 ． 0 1 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．利用表中数据确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求解． 【详解】解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线， 所以和时的函数值相等， 即当时，y的值为． 故答案为：． 例3．（2025·上海嘉定·一模）已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 【答案】 【分析】本题考查根据抛物线的对称性求对称轴，找到表格中函数值相同的两个自变量的值，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：当和时，函数值相等， 即：点和关于对称轴对称， ∴对称轴为直线； 故答案为：． 例4．（2025·上海闵行·一模）已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，A，B两点关于对称轴对称，即可得出A，B两点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵和关于对称轴对称， ∴， ∴ 故答案为：． 例5．（2025·上海青浦·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数的性质、两点距离公式、勾股定理逆定理等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由表格找出值相等的两个点，再根据对称关系求出对称轴和顶点坐标，进而在观察开口方向； （2）利用两点距离公式求出、、的长度，再根据勾股定理逆定理证明即可． 【详解】（1）解：由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为， 根据表格可知，顶点坐标为， ∵顶点纵坐标比两侧数值小， ∴开口向上， ∴抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）证明：∵抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 即为直角三角形． 【变式演练】 1．（2023·上海松江·一模）若抛物线经过点 和点，则这条抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称性求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点 和点， ∴A、B为抛物线与x轴的交点，即A、B关于对称轴对称， ∴这条抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，会根据抛物线的对称性得到对称轴是解答的关键． 2．（2023·上海·一模）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： x … 0 … y … m … 那么m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性解答即可． 【详解】解：∵、时的函数值都是，相等， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵和关于直线对称， ∴， 故答案为：． 3．（2025·上海奉贤·一模）二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】根据得抛物线的对称轴为直线，，抛物线变形为，把代入得；把代入，得到，解答即可． 本题考查了抛物线的对称轴的意义，图象于点的关系，对称点坐标与对称轴的关系，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是抛物线图象上的点， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴抛物线变形为， 把代入得； 把代入，得， ∴． 故答案为：． 4．（2023·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式； (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题． （2）根据二次函数图象的对称性求得的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，，，． ，． 这个抛物线的表达式为． （2）由（1）得，． 该抛物线的对称轴是直线． 点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，点的横坐标为， 的横坐标是4． 当时，． ． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键． 题型05 待定系数法求二次函数解析式 【提分秘籍】 1.二次函数常见表达式 名称 解析式 适用范围 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 已知抛物线与x 轴两交点坐标 注意:抛物线与x轴交点的横坐标就是方ax²+bx+c=0的解 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 2.对未给定二次函数解析式,根据所给点坐标选择适当的表达方式 (1)顶点在原点,可设为y=ax² (2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设为y=ax²+c; (3)顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)²; (4)抛物线过原点,可设为y=ax²+bx. 【典例分析】 例1．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先求出反比例函数解析式为，然后再求出反比例函数图象上的三倍点，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ， ∵经过点， ∴， ∴反比例函数为， 设三倍点坐标为，代入反比例函数得 ， 解得：或， 则三倍点为或， 把，，代入二次函数得： 解得， ∴二次函数解析式为：． 例2．（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，已知：抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线上，求的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求角的正弦值，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，勾股定理逆定理，推出为直角三角形 ，利用正弦的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点和 解得：， 抛物线的表达式为； （2）点在抛物线上                                                                     、、 ，，                     ， 为直角三角形 ，                               在直角三角形中，． 例3．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线（）上的两点． (1) ； (2)如果该抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的右侧），且，四边形的面积是25，求这个抛物线的表达式 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式． （1）结合抛物线的对称性可得． （2）根据题意合抛物线的对称性可得，，由已知条件可得，，，进而根据四边形的面积是25得到，求得，即，，再利用待定系数法求二次函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， 且抛物线上的点，关于对称轴对称， ∴． 故答案为：2． （2）解：由（1）得，抛物线的解析式为，对称轴为直线， ∵该抛物线与x轴交于点C、D， ∴点C，D关于直线对称， ∵， ∴，． ∵，， ∴，，． ∵ ∴， 解得， ∴，． ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴该抛物线的表达式为． 【变式演练】 1．（2025·上海松江·一模）已知抛物线经过点，那么该抛物线的开口方向是 ． 【答案】向上 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口方向的确定方法是解题的关键． 根据题意，把点代入计算，得到解析式，根据二次项系数的正负确定图象开口即可． 【详解】解：抛物线经过点， ∴， 解得，， ∴该抛物线的开口方向向上， 故答案为：向上 ． 2．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线在轴右侧的部分是下降的，且经过，请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数在对称轴两侧的增减性相反是解题的关键．根据抛物线在轴右侧的部分是下降的，确定其开口方向和对称轴所在位置，然后根据经过的点的坐标确定解析式即可． 【详解】解：抛物线在轴右侧的部分是下降的， 抛物线开口向下，且对称轴为轴或在轴的左侧， 设抛物线的解析式可以为， 抛物线经过， 抛物线的解析式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】根据关于y轴对称的图象的特点即可得到结论． 本题考查了轴对称，关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变成相反数，熟练掌握对称的特点是解题的关键． 【详解】解：设抛物线上一个点坐标为，其关于y轴的对称点为， 则，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 4．（2025·上海普陀·一模）已知二次函数的图像经过原点，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元一次方程．因为二次函数的图像经过原点，把代入二次函数的解析式，可得关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值即可． 【详解】解：二次函数的图像经过原点， ， 解得：， 故答案为： ． 5．（2025·上海宝山·一模）一个二次函数的图象经过点，则称t的值是这个函数的“零点”．例如：二次函数，无论a取何值和点，所以3和是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点”，那么这个二次函数的解析式可以是 ．（写出一个符合要求的函数解析式即可） 【答案】，答案不唯一 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据“零点”的定义可知二次函数的图象经过一个点，据此写出一个函数的解析式即可． 【详解】解：∵一个二次函数有且只有一个“零点”， ∴这个二次函数的解析式可以是，答案不唯一． 故答案为：，答案不唯一． 6．（2025·上海松江·一模）已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，勾股定理逆定理得到，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线过 ， 得 抛物线的表达式为：． （2）∵点， ， ， ∵，， ，，， ， ， ． 题型06 二次函数的平移 【提分秘籍】 方法一: (1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k); (2) 保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处, 方法二: (1) 将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或y=ax²+bx+c-m); (3) (2)将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或y=a(x-m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下: 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 总结：抛物线的平移规律左加右减自变量，上加下减常数项” 【典例分析】 例1．（2025·上海松江·一模）将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，新的抛物线的解析式为：； 故答案为：． 例2．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据“上加下减，左加右减”的原则求得新抛物线的解析式为，即可得出，解得，从而求顶点的横坐标为2． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线的解析式为， ∵所得到的新抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点的横坐标为2． 故答案为：2． 例3．（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 【答案】(1)，直线 (2)1或3 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点B坐标代入解析式求出m值，再写出抛物线解析式顶点式，据此写出对称轴即可； （2）先求出平移后的解析式，根据抛物线图象上点的坐标特征求出n值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得或1． 例4．（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据（1），再结合“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，得解得； 与的函数关系式为． （2）解：由（1）得，； 所以，新抛物线的表达式为； 即． 【变式演练】 1．（2025·上海崇明·一模）如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据抛物线的平移规律：“左加右减”的法则即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是，即， 故答案为：． 2．（2025·上海嘉定·一模）将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位，得到：， ∴新抛物线的顶点坐标是； 故答案为：． 3．（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中、、是常数，且），以原点为中心，旋转得抛物线，则称是的“中心对称抛物线”．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．将抛物线的“中心对称抛物线”向右也平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．当线段是线段、的比例中项时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的变换，比例的性质，根据题意，求出四点的坐标，进而求出，，的长，根据比例中项的定义，得到，列出方程进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴当时，解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标为：， ∴当抛物线向左平移个单位长度后，新的抛物线与轴的交点坐标为：，即：， 抛物线的“中心对称抛物线”与轴的交点坐标为：， ∵向右也平移个单位长度， ∴平移后的抛物线与轴的交点坐标为：， ∴，，， ∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：. 4．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先利用配方法求出顶点的坐标，再令求出的值，即可得到点的坐标； （2）设平移后抛物线的解析式为，求出的值，即可得到点的坐标，得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 顶点坐标为 令，则， ； （2）解：设平移后得解析式 把代入得, ， 当时，, 另一个交点， , ， ， 在中，, ． 5．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线（）经过点、点、点． (1)求此抛物线的表达式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 【答案】(1) (2)向左平移4个单位，再向上平移3个单位 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式； （2）先将原抛物线化为顶点式，求得顶点坐标，然后根据平移的特点，即可写出平移的方法． 【详解】（1）解：抛物线经过点、点、点． ， 解得， 即该抛物线的解析式为； （2）解：， 抛物线的顶点为， 的顶点移动到点的位置， 抛物线应向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 故答案为：向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 题型07 二次函数的实际应用 【提分秘籍】 1.利用二次函数解决面积最值：利用图形面积公式构造关于x的二次函数,利用二次函数图象的顶点坐标求出最值，注意解题时必须结合自变量的取值范围和函数的增减性确定最值 2.抛物线形问题：将实际问题转化为数学问题,建立函数模型,利用二次函数的性质解决问题 3.销售利润问题：根据“利润=(售价-进价)×销量列出函数解析式,利用二次函数的性质求最值 【典例分析】 例1．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． 根据题意得抛物线过点，设抛物线解析式为，代入得，求出，得到抛物线的解析式为，令，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得抛物线过点， 设抛物线解析式为， ， ， 抛物线的解析式为， ， 令， 解得， 碗中汤面的水平宽度为， 故答案为： ． 例2．（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 【答案】 【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 例3．（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与轴交点问题，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数与轴交点求法是解题的关键．先利用顶点结合顶点式得出，再令，即可求解． 【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 例4．（2024·上海·模拟预测）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题为函数图象和实际结合的题型，考查由图象写出函数的能力． （1）设出一次函数的一般表达式，将，代代入即可求出； （2）由销售的利润和销售价格得出函数关系式，由函数性质判断出随销售价格增大利润增大的范围． 【详解】（1）解：设一次函数的一般表达式，将，代入得： ， 解得：，， 故每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式为：． （2）解：每件商品的利润为：， 所以每天的利润为：， ∵， ∴在元时，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加． 【变式演练】 1．（2025·上海松江·一模）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的运用，理解铅球落到地面时运行的水平距离为10米的意义，代入求值是解题的关键． 根据题意把点代入计算得二次函数解析式，再根据二次函数与y轴交点的计算方法即可求解． 【详解】解：铅球落到地面时运行的水平距离为10米时，即，代入计算得， ， 解得，， ∴函数解析式为， 当时，， ∴铅球刚出手时离地面的高度是米， 故答案为： ． 2．（2024·上海杨浦·一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设该抛物线的解析式是，由题意结合图象可知，点在函数图象上，求出解析式，然后把代入即可求解，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【详解】设该抛物线的解析式是， 由题意结合图象可知，点在函数图象上， 代入得：，解得：， ∴该抛物线的解析式是， 则水面上升了米，此时， ∴，解得：， 则此时水面的宽度是米， 故答案为：． 3．（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的图象和性质、正方形的性质．根据题意设点的坐标是，点、恰好在抛物线上，得到，解得，（不合题意，舍去），得到点的坐标是，得到正方形的边长为，即可求出正方形的面积． 【详解】解：∵四边形是正方形，顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上， ∴， ∴可设点的坐标是， ∵点、恰好在抛物线上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点的坐标是， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积是， 故答案为： 4．（2025·上海浦东新·模拟预测）若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．若抛物线与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点．画出图象，数形结合是解题的关键． 由题意知，，顶点坐标为，对称轴是直线．则该抛物线开口向上，点，，必在该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）内．然后作图象，代入点坐标，求值，根据t的值越大，抛物线的开口越小，t的值越小，抛物线的开口越大，确定取值范围即可． 【详解】解：由题意知，， ∴顶点坐标为，对称轴是直线， ∵抛物线与x轴交于点M、N两点， ∴该抛物线开口向上， ∴点，，必在该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）内． ①当该抛物线经过点和时，如图1． 将代入得，， 解得， ∴此时抛物线解析式为． 当时，， 解得，， ∴x轴上的点，，符合题意． ∴当时，恰好有 ，，，、，，，共7个整点符合题意． ∵t的值越大，抛物线的开口越小，t的值越小，抛物线的开口越大， ∴． ②当该抛物线经过点和点时，如图2． 此时x轴上的点 ，，符合题意． 将代入得，， 解得． ∴此时抛物线解析式为． 当时，． ∴符合题意． 当时，得． ∴符合题意． 综上可知：当时，点，，，，，，，，，都符合题意，共有9个整点符合题意， ∴不符合题． ∴． 综上所述，当时，该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·上海金山·期末）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【答案】米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用待定系数法解得抛物线解析式是解题关键．设该抛物线的解析式为，结合题意，将点，代入并求解，即可确定该抛物线解析式，即可获得答案． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度为米． 题型08 二次函数综合题 1.利用二次函数解决动点问题：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 2.利用二次函数解决存在性问题：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 【典例分析】 例1．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． (1)求：抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． (3)当抛物线在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或2 (3)，， 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与几何、解一元二次方程，理解题意，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）当时，求得、，利用待定系数法求得直线的解析式，根据矩形被x轴分成面积相等的两部分，可得点D和点C关于x轴对称，再根据当时，，当时，，进行分类计算即可； （3）求特殊情况m的值，利用图象法判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得． ∴； （2）解：当时，，，， ∴，， 设直线的解析式为：， 把、代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，点D和点C关于x轴对称， ∴， ∵，， ①当时，， ∴， 解得：，（舍去）， ②当时，， ∴， 解得，（舍去）； （3）解：(4) 由（2）知，， ， ①当在抛物线上，，如图： ， 解得或（舍去）， 由图可知此时满足，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小； ②当在抛物线上，，如图： 在中，令得， ，而， ， 解得（舍去）或， 而与重合时：， 解得或， 又， 结合图形可得，或时，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小． 综上所述，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小，的范围是或或． 例2．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由得，推出；根据点B的横坐标为2．求得；将、代入即可求解； （2）根据点是线段上的动点，可得，；由题意得：，推出；即可求解； （3）由（2）可知：；根据轴，且两点均为整点，推出或；求得故或；分类讨论当为边时，当为对角线时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：由得， ∴； ∵点B的横坐标为2． ∴； ∴； 将、代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式： （2）解：∵点是线段上的动点． ∴，； 由题意得： ∴； ∵， ∴当时，线段有最大值，且最大值为； （3）解：由（2）可知：； ∵ 轴，且两点均为整点， ∴线段的长为整数； ∴或； 若，则，解得（不符合题意）； 若，则，解得； 故或 当为边时，有且； 则， ∵， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为或； 即：整点R的坐标为或； 当为对角线时，设， 则，解得：； 或，解得：； 即：整点R的坐标为或； 综上所述：整点R的坐标或或或； 【变式演练】 1．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，该抛物线上有三个点、、，轴，，，与抛物线的对称轴交于点（点在对称轴的左侧）． ①如果点到抛物线对称轴的距离为，请用含的代数式表示点的横坐标； ②求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①连接，过点作直线，根据对称性结合直角三角形斜边上的中线推出为等边三角形，在中，求出的长，进而得到的长，即可得出点的横坐标； ②在中，利用锐角三角函数求出的值，进而求出点的横坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴，解得：， ∴； （2）①∵， ∴对称轴为直线， ∵轴， ∴关于对称轴对称， ∵与抛物线的对称轴交于点， ∴为的中点， 连接，过点作直线， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵直线，且点到抛物线对称轴的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为：； ②设点到抛物线对称轴的距离为，则点的横坐标为， ∴点的纵坐标为：， 由①可知：点的横坐标为：，则：点的纵坐标为：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为：． 2．（2025·上海黄浦·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 【答案】(1)，； (2)①该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位；②． 【分析】（1）化成顶点式，可求得顶点P的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （2）①该抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则顶点的坐标为，得到新抛物线的解析式为，利用待定系数法求得直线的解析式，推出直线与直线重合，得到，由题意得到，利用勾股定理列式计算求得，据此即可求解； ②根据题意求得点的坐标为，根据被y轴平分，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点D的坐标为； （2）解：①该抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则顶点的坐标为， ∵， ∴新抛物线的解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵顶点落在线段的延长线上， ∴直线与直线重合， ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ， ， 即， 解得， ∴， ∴该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位； ②当时，， 解得， ∵点A在点B的右侧， ∴点A的坐标为， ∴点的坐标为， 又∵，且被y轴平分， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴原抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了根据已知条件确定二次函数的解析式，二次函数平移后解析式的变化情况以及勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 3．（2024·上海普陀·三模）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点，又与x轴正半轴相交于点A，，点P是线段上的一点，过点P作，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)过点M作轴，分别交直线轴于点N、C，若的面积等于的面积的2倍，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）过点作轴，垂足为点，根据等腰直角三角形的性质可求点，用待定系数法可求抛物线的表达式； （2）根据平行线的性质可得，可求点坐标，用待定系数法可求直线，直线，直线的解析式，即可求点坐标； （3）延长交轴于点，作于点，根据等腰直角三角形的性质可得，，根据锐角三角函数可得，可得，根据面积关系可求的值，再求出的值，即可得证． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为点， 点， ，， ，， ， ， 点， 抛物线过原点、点、， 设抛物线的表达式为， ， 解得：，， 抛物的线表达式为：． （2）解：如图， ， ，且， ， ， 设点，且点在抛物线上， ， （舍去），， 点， 点，点，点， 直线解析式为，直线解析式为，， 设解析式为，且过点， ， ， 解析式为， ， 解得：， 点． （3）解：如图，延长交轴于点，作于点， ，， ， ，， 又，， ，， ， ， ， 点坐标， ， ， ， 的面积等于的面积的2倍， ， ， ， 直线解析式为， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平行线的性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（2023·上海长宁·一模）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，为坐标原点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3)存在，， 【分析】（1）设抛物线的解析式为，利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式，利用，得出方程，解方程即可求解； （3）证明，分两种情况讨论，当时，当时，利用相似三角形的性质列式计算，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵，， ∴ 代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 设，，则， 则， ∵是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：由题意得，，， ∴点D、A、Q在同直线上， 设，， ∴，， 作轴，故轴，则， ∴， ∵， ∴， 可知， ∴， 同理可得直线的解析式为， 解方程，得或， ∴， 连接，作轴， 可知：， ∴， ∵， ∴， 即，故在的左侧， 此时：， 设， ∵，，，， I．当时， ， ∴，， ∴， II．当时， ， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的判定和相似三角形的性质等．解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 一、单选题 1．（2021·上海·中考真题）将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（    ） A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变 【答案】D 【分析】根据二次函数的平移特点即可求解． 【详解】将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变 故选D． 【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点． 二、填空题 2．（2023·上海·中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案． 【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向上，即， ∵二次函数的顶点在y轴正半轴上， ∴，即，， ∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键． 3．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 【答案】4 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 三、解答题 4．（2020·上海·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A． （1）求线段AB的长； （2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=，求这条抛物线的表达式； （3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围． 【答案】（1）5；（2）y=﹣x2+x；（3）﹣＜a＜0． 【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论； （2）设点C（m，-m+5），则BC=|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论； （3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论． 【详解】（1）针对于直线y=﹣x+5， 令x=0，y=5， ∴B(0，5)， 令y=0，则﹣x+5=0， ∴x=10， ∴A(10，0)， ∴AB==5； （2）设点C(m，﹣m+5)． ∵B(0，5)， ∴BC==|m|． ∵BC=， ∴|m|=， ∴m=±2． ∵点C在线段AB上， ∴m=2， ∴C(2，4)， 将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中，得， ∴， ∴抛物线y=﹣x2+x； （3）∵点A(10，0)在抛物线y=ax2+bx中，得100a+10b=0， ∴b=﹣10a， ∴抛物线的解析式为y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a， ∴抛物线的顶点D坐标为(5，﹣25a)， 将x=5代入y=﹣x+5中，得y=﹣×5+5=， ∵顶点D位于△AOB内， ∴0＜﹣25a＜， ∴﹣＜a＜0． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键． 5．（2022·上海·中考真题）已知：经过点，． (1)求函数解析式； (2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围； ②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标． 【答案】(1) (2)①k≥2 ②P的坐标为（2，3） 【分析】（1）把，代入，求解即可； （2）①由，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位，根据，求得m=2，在的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k取值范围； ②把P（m，n）代入，得n=，则P（m， ），从而求得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=，PQ2=，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，根据等腰三角形的性质可得BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，再根据tan∠BPC= tan 60°=，即可求出m值，从而求出点P坐标． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得：， ∴函数解析式为：； （2）解：①∵， ∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点， ∵平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ∴抛物线向右平移了m个单位， ∴， ∴m=2， ∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上， ∵在的右侧，两抛物线都上升， 又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上， ∴k≥2， ②把P（m，n）代入，得n=， ∴P（m， ） 根据题意，得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3， ∴Q(0，m2-3)， ∵B（0，-3）， ∴BQ=m2，BP2=， PQ2=， ∴BP=PQ， 如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|， ∵BP=PQ，PC⊥BQ， ∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°， ∴tan∠BPC= tan 60°=， 解得：m=±2（舍去负数）， ∴n==3， 故P的坐标为（2，3）. 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般． 6．（2021·上海·中考真题）已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角． ①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C落在抛物线上，求C的坐标． 【答案】（1）；（2）①1；②点C的坐标是 【分析】(1)将两点分别代入，得,解方程组即可; （2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可. 【详解】解：（1）将两点分别代入，得 解得． 所以抛物线的解析式是． （2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，， 作于H． ∵是等腰直角三角形， ∴和也是等腰直角三角形， ∴， ∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1． ②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得 解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， 所以． 所以． 将点代入， 得． 整理，得． 因式分解，得． 解得，或（与点P重合，舍去）． 当时，． 所以点C的坐标是． 【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键． 7．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线即可求得； （2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得b，c； （3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即列式求得，，然后得到抛物线N解析式为：，将代入可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B， 当时，代入得：，故， 当时，代入得：，故， （2）设， 则可设抛物线的解析式为：， ∵抛物线M经过点B， 将代入得：， ∵， ∴， 即， ∴将代入， 整理得：， 故，； （3）如图： ∵轴，点P在x轴上， ∴设，， ∵点C，B分别平移至点P，D， ∴点，点向下平移的距离相同， ∴， 解得：， 由（2）知， ∴， ∴抛物线N的函数解析式为：， 将代入可得：， ∴抛物线N的函数解析式为：或． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值． 8．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 【答案】(1)或； (2)①；②． 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明，可得，设，则，，，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入可得： ， 解得：， ∴新抛物线为； （2）解：①如图，设，则， ∴， ∵小于3， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， ∴轴， ∴， ∴， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则， 过作于， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上：； 【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数 目录 热点题型归纳 题型01 二次函数的定义 1 题型02 二次函数的图像与性质 2 题型03 二次函数图像与系数的关系 5 题型04 二次函数的对称性 9 题型05 待定系数法求二次函数解析式 11 题型06 二次函数的平移 14 题型07 二次函数的实际应用 17 题型08 二次函数综合题 20 中考练场 26 1.考查分值：14-18分。 2.考查题型：常以填空、解答题（压轴）形式出现。 3.能力要求：理解二次函数图象上的点的坐标满足其函数解析式。会用代入法求出给定横坐标(或纵坐标)的点的纵坐标(或横坐标)，并且能够根据点的坐标特征研究二次函数图象的性质，如对称轴、顶点坐标等相关内容。 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次的数关系，通过建立二次函数模型解决诸如利润最大、面积最值等实际问题。能从实际问题情境中抽象出二次函数模型并且利用二次函数的性质对问题进行求解，解释结果的实际意义。 题型01 二次函数的定义 【提分秘籍】 一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。 【典例分析】 例1．（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·上海虹口·一模）已知是二次函数，那么的值是 ． 例3．（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ． 【变式演练】 1．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，y关于x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 3．（2025·上海黄浦·一模）某抛物线的最高点在y轴上，且与x轴有两个交点，这个抛物线的表达式可以是 ． 题型02 二次函数的图像与性质 【提分秘籍】 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 注意： 二次函数图象的画法(1)依据解析式列表、描点、连线画出二次函数图象;(2)利用配方法找出函数图象顶点;利用因式分解法或公式法找出图象与x轴的交点;利用一般式中的c值找出图象与y轴的交点,画出简易的函数图象. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，当x=时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，当x=时 时y有最大值. 增 减 性 a>0 在对称轴x=的左边y随x的增大而减小，在对称轴x=的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴x=的左边y随x的增大而增大，在对称轴x=的右边y随x的增大而减小. 【典例分析】 例1．（2025·上海闵行·一模）二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·上海崇明·一模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·上海虹口·一模）已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例4．（2025·上海普陀·一模）下列二次函数的图像中，以直线为对称轴的是（   ） A． B． C． D． 例5．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 例6．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 例7．（2025·上海闵行·一模）抛物线在对称轴的左侧部分是下降的，那么 0．（填“>”或“<”） 例8．（2025·上海虹口·一模）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 例9．（2025·上海静安·一模）二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线． (1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与轴的另一个交点坐标为 ． (2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 【变式演练】 1．（2025·上海嘉定·一模）抛物线一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海金山·一模）已知二次函数的图象是开口向上的抛物线，抛物线的对称轴在轴右侧．当抛物线与轴两交点的距离为9时，若、、、这四个函数值中有且只有一个值不大于0，那么在这四个函数值中，值不大于0是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海杨浦·一模）下列二次函数中，如果函数图像的顶点在轴上，那么这个函数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海普陀·一模）已知抛物线的开口向上，那么此抛物线的顶点在第 象限． 5．（2025·上海青浦·一模）二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 6．（2025·上海金山·一模）已知，那么 ． 7．（2025·上海崇明·一模）已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是 ．（填“”、“”或“”） 题型03 二次函数图像与系数的关系 【提分秘籍】 关系 符号 图象特征 a决定抛物线的开口方向 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小． a<0 开口向下 a、b共同决定抛物线对称轴的位置 b=0 对称轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c=0 抛物线经过原点 c>0 抛物线与y轴交于正半轴 c<0 抛物线与y轴交于负半轴 由b²-4ac 确 定抛物线与x轴交点的个数 b²-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点 b²-4ac=0 抛物线与x轴有一个交点 b²-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点 注意：当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c.若a+b+c>0,即当x=1时y>0;若a-b+c<0,即当x=-1 时,y<0. 【典例分析】 例1．（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 例2．（2025·上海徐汇·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为 ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 例4．（2024·上海嘉定·模拟预测）[问题背景]解方程：； [解决方法]建立函数， (1)求：该函数与坐标轴的交点及其顶点坐标 (2)设，则可以通过将抛物线______得到该函数，由图像可知，当问题方程有4个不同根的时候，所有根的和为______ (3)求解[问题背景] 【变式演练】 1．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线的图像如图所示，那么下列各式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·模拟预测）抛物线的部分图像如图所示，顶点坐标，则以下结论：①；②；③若m为任意实数，；④一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 题型04 二次函数的对称性 【提分秘籍】 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 【典例分析】 例1．（2023·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标是 ． 例2．（23-24九年级上·上海长宁·期末）二次函数图像上部分点的坐标满足下表：那么 ． 0 1 例3．（2025·上海嘉定·一模）已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 例4．（2025·上海闵行·一模）已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 例5．（2025·上海青浦·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 【变式演练】 1．（2023·上海松江·一模）若抛物线经过点 和点，则这条抛物线的对称轴是直线 ． 2．（2023·上海·一模）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： x … 0 … y … m … 那么m的值为 ． 3．（2025·上海奉贤·一模）二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为 ． 4．（2023·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式； (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标． 题型05 待定系数法求二次函数解析式 【提分秘籍】 1.二次函数常见表达式 名称 解析式 适用范围 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 已知抛物线与x 轴两交点坐标 注意:抛物线与x轴交点的横坐标就是方ax²+bx+c=0的解 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 2.对未给定二次函数解析式,根据所给点坐标选择适当的表达方式 (1)顶点在原点,可设为y=ax² (2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设为y=ax²+c; (3)顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)²; (4)抛物线过原点,可设为y=ax²+bx. 【典例分析】 例1．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 例2．（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，已知：抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线上，求的正弦值． 例3．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线（）上的两点． (1) ； (2)如果该抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的右侧），且，四边形的面积是25，求这个抛物线的表达式 【变式演练】 1．（2025·上海松江·一模）已知抛物线经过点，那么该抛物线的开口方向是 ． 2．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线在轴右侧的部分是下降的，且经过，请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是 ． 3．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 4．（2025·上海普陀·一模）已知二次函数的图像经过原点，那么 ． 5．（2025·上海宝山·一模）一个二次函数的图象经过点，则称t的值是这个函数的“零点”．例如：二次函数，无论a取何值和点，所以3和是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点”，那么这个二次函数的解析式可以是 ．（写出一个符合要求的函数解析式即可） 6．（2025·上海松江·一模）已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 题型06 二次函数的平移 【提分秘籍】 方法一: (1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k); (2) 保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处, 方法二: (1) 将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或y=ax²+bx+c-m); (3) (2)将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或y=a(x-m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下: 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 总结：抛物线的平移规律左加右减自变量，上加下减常数项” 【典例分析】 例1．（2025·上海松江·一模）将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是 ． 例2．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 例3．（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 例4．（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【变式演练】 1．（2025·上海崇明·一模）如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是 ． 2．（2025·上海嘉定·一模）将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是 ． 3．（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中、、是常数，且），以原点为中心，旋转得抛物线，则称是的“中心对称抛物线”．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．将抛物线的“中心对称抛物线”向右也平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．当线段是线段、的比例中项时，的值为 ． 4．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 5．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线（）经过点、点、点． (1)求此抛物线的表达式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 题型07 二次函数的实际应用 【提分秘籍】 1.利用二次函数解决面积最值：利用图形面积公式构造关于x的二次函数,利用二次函数图象的顶点坐标求出最值，注意解题时必须结合自变量的取值范围和函数的增减性确定最值 2.抛物线形问题：将实际问题转化为数学问题,建立函数模型,利用二次函数的性质解决问题 3.销售利润问题：根据“利润=(售价-进价)×销量列出函数解析式,利用二次函数的性质求最值 【典例分析】 例1．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为 例2．（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 例3．（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 例4．（2024·上海·模拟预测）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 【变式演练】 1．（2025·上海松江·一模）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 2．（2024·上海杨浦·一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是 米．（结果保留根号） 3．（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ． 4．（2025·上海浦东新·模拟预测）若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．若抛物线与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是 5．（23-24九年级上·上海金山·期末）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 题型08 二次函数综合题 1.利用二次函数解决动点问题：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 2.利用二次函数解决存在性问题：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 【典例分析】 例1．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． (1)求：抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． (3)当抛物线在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 例2．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 【变式演练】 1．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，该抛物线上有三个点、、，轴，，，与抛物线的对称轴交于点（点在对称轴的左侧）． ①如果点到抛物线对称轴的距离为，请用含的代数式表示点的横坐标； ②求点的横坐标． 2．（2025·上海黄浦·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 3．（2024·上海普陀·三模）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点，又与x轴正半轴相交于点A，，点P是线段上的一点，过点P作，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)过点M作轴，分别交直线轴于点N、C，若的面积等于的面积的2倍，求证：． 4．（2023·上海长宁·一模）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，为坐标原点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（2021·上海·中考真题）将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（    ） A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变 二、填空题 2．（2023·上海·中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ． 3．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 三、解答题 4．（2020·上海·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A． （1）求线段AB的长； （2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=，求这条抛物线的表达式； （3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围． 5．（2022·上海·中考真题）已知：经过点，． (1)求函数解析式； (2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围； ②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标． 6．（2021·上海·中考真题）已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角． ①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C落在抛物线上，求C的坐标． 7．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 8．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$