精品解析：黑龙江省哈尔滨市南岗区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度上学期七年级 数学试卷 第Ⅰ卷 选择题（共27分） 一、选择题（每小题3分，共计27分） 1. 的相反数是（　　） A. 3 B. ﹣3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数． 【详解】解：的相反数为﹣． 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可． 2. 下列等式中，是一元一次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，据此逐项进行判断即可． 【详解】解：A、中缺少未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故此选项符合题意； C、中未知数次最高是2次，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、中含量有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 64的平方根是（ ）． A. B. C. 8 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：64的平方根是； 故选A． 4. 本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．“滨滨”和“妮妮”的原型是2023年9月出生于黑龙江东北虎林园的两只可爱的小东北虎，“滨滨”名字取自“哈尔滨”，“妮妮”取自“您”的读音，两个名字寓意“哈尔滨欢迎您”．如图，通过平移吉祥物，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查生活中平移现象，熟练掌握平移的定义是解决本题的关键．根据平移的定义判断即可． 【详解】解：根据平移的定义，平移前后的图形形状、大小完全一样，仅位置不一样，那么C符合题意． 故选：C． 5. 下列各数，，π，，中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数，立方根，根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：，，π，，中，无理数有，π，共2个； 故选B． 6. 数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数．熟练掌握利用数轴比较有理数的大小法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数是解题的关键． 观察数轴得出，在数轴上表示出、，即可由图得出结论． 【详解】解：由图得， 在数轴上表示出、为： 由图可得：， 故选：C． 7. 利用等式的性质，下列变形正确的是（ ）． A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．如果，那么，不符合题意； B．如果，当时，那么，不符合题意； C．如果，那么，不符合题意； D．如果，那么，符合题意． 故选：D． 8. 一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用的钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，所做的A部件与B部件正好配套成若干台仪器．设用x立方米钢材制作A部件，则下面所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键． 设用钢材做A部件，则应用钢材做B部件，根据一个A部件和三个B部件刚好配成套，列方程求解． 【详解】解：设用钢材做A部件，则应用钢材做B部件，， 由题意得，， 故选：A． 9. 如图，正方形的边长为a，根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积，下列代数式正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列代数式，利用两个直角三角形的面积差表示出阴影部分的面积即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为：； 故选A． 第Ⅱ卷 非选择题（共93分） 二、填空题（每小题3分，共计27分） 10. 联合国2022年11月15日宣布，全世界人口已达80亿．将8000000000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，先开方，再进行加法运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 12. 有一长方体纸盒，当体积是一个定值时，长方体纸盒的底面积与高成_____比例关系．（填“正”或“反”） 【答案】反 【解析】 【分析】本题考查反比例，根据两个变量的积为定值时，两个变量成反比例，作答即可． 【详解】解：∵体积是一个定值， ∴长方体纸盒的底面积与高的乘积为定值， ∴长方体纸盒的底面积与高成反比例， 故答案为：反． 13. 如图，O是直线上一点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求角的度数，利用平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 14. 把89转换二进制数为________． 【答案】1011001 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据，可以写出89转换成的二进制数． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1011001． 15. A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是________， 【答案】1或5 【解析】 【分析】本题考查了数轴，利用数轴知识解答． 【详解】解：∵点A表示数3，且点A、B的距离为4， ∴， ∴点B表示数为7或， ∵C为线段 的中点 ∴ ， ， ∴点C在数轴上表示的数是1或5． 故答案为：1或5． 16. 如图是学校400米的标准跑道，需要设计400米跑的起跑线．最内圈的跑道是“第一跑道”，若要使得每个运动员到达同一终点线，则第二跑道比第一跑道需前移________米．（π取3.14） 【答案】7.85 【解析】 【分析】本题考查圆的周长，根据圆的周长公式，根据第二跑道的周长-第一跑道的周长列式计算即可． 【详解】解： （米）． 故答案为：7.85． 17. 《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五：人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱：若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为人，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设买羊的人数为人，根据题意正确列方程即可． 【详解】解：设买羊的人数为人， 根据题意，可列方程为， 故答案为：． 18. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律.第n个图案中有__个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示) 【答案】（4n+1）##（1+4n） 【解析】 【详解】解：由图可得，第1个图涂有阴影的小正方形的个数为5， 第2个图涂有阴影的小正方形的个数为5×2-1=9， 第3个图涂有阴影的小正方形的个数为5×3-2=13， …， 第n个图涂有阴影的小正方形的个数为5n-（n-1）=4n+1. 故答案为：（4n+1）. 三、解答题（其中19-23题各6分，24-25各8分，26-27题各10分，共计66分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）先进行除法运算，再进行减法运算； （2）先乘方，再乘除，最后算加减即可． 小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式 ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）移项，合并同类项，系数化1，求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 21. 先化简，再求值 ，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先将原式去括号合并同类项，再将已知的数值代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 22. 完成下面的证明． 如图，，．求证：． 证明：， （________）． 又， ________． （________）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质和判定方法进行作答即可． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）． 又， ． （同旁内角互补，两直线平行）． 23. 中国结，作为中国传统的民间手工艺品，承载了丰富的文化内涵和美好寓意，同时也体现了中国人民的情致和智慧．编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20米．已知编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米．问这两种中国结各编织多少个． 【答案】大号，小号中国结各编织2个，4个 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设大号中国结编织x个，根据编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20米，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设大号中国结编织x个， 根据题意，得； 解得， ； 答：大号，小号中国结各编织2个，4个 24. 如图，点D，E分别在三角形的边，上，连接，，点F在上，连接，其中． （1）求证：； （2）若，，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）由题意，得到，从而得到，即可证得结果； （2）由已知条件，得到，从而得到，结合已知条件，即可证得结果． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 又 25. 定义：若无理数的被开方数（N为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为________； （2）若整数x，y满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数，非负数的性质：绝对值与算术平方根，熟练掌握无理数的大小估算是关键．． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据非负数性质求出x和y值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴的“共同体区间”为； 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， ， 的“共同体区间”为 的“共同体区间”为． 26. 随着水资源的浪费越来越严重，近几年大力促进水资源节约，某市居民用水实行阶梯水价，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，实施细则如下表： 某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米） 收费方式 年用水量（单位：立方米） 费用（单位：元/立方米） 第一阶梯 4.5 第二阶梯 6 第三阶梯 8 若某户居民去年用水量为260立方米，则其应缴纳水费为（元）． （1）若小亮家年用水量为立方米，则小亮家应交水费________元（用含a的代数式表示）； （2）若小亮家年水费为930元，则小亮家年用水量为多少立方米？ （3）小亮家去年和今年共用水480立方米，共缴纳水费2810元，并且今年的用水量超过去年的用水量，则小亮家去年和今年各用水多少立方米？ 【答案】（1） （2）小亮家年用水量为200立方米． （3）小亮家去年和今年各用水80和400立方米 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用： （1）根据收费方式列出代数式即可； （2）设小亮家年用水量为x立方米，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设小亮家去年用水y立方米，则今年用水立方米，分和，两种情况，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，小亮家应交水费为（元）； 故答案为：． 【小问2详解】 设小亮家年用水量为x立方米． 年用水量为180立方米时，应交水费（元）， 年用水量为240立方米时，应交水费（元）， ， ， ， 解得； 答：小亮家年用水量为200立方米． 【小问3详解】 设小亮家去年用水y立方米，则今年用水立方米． 去年和今年共用水480立方米，且今年的用水量超过去年的用水量， ，， ①当时， ， 解得， ． 答：小亮家去年和今年各用水80和400立方米． ②当时， ， 解得（舍）； 综上所述：小亮家去年和今年各用水80和400立方米 27. 探究发现】 如图1，，点A在，之间，连接，．求证：． 【学以致用】 哈尔滨某商场地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图2所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆升起到如图3所示的位置，其示意图如图4所示（，，栏杆宽度忽略不计），已知，填空：________度． 【拓展应用】 如图5，已知，点E在上，点A在，之间，交于点D，过点A作于点B，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】探究发现：证明见解析；学以致用：；拓展应用： 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．关键是通过作辅助线，构造平行线，把实际问题转化为数学问题加以计算． 探究发现：过点A作，根据两直线平行，同旁内角互补解答即可； 学以致用：根据[探究发现]结论解答即可； 拓展应用：过点A作，根据平行线的判定与性质解答即可． 【详解】证明：如图1，过点A作， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 即； 学以致用：由； ∴， 故答案为：120； 拓展应用：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点A作，如图5， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期七年级 数学试卷 第Ⅰ卷 选择题（共27分） 一、选择题（每小题3分，共计27分） 1. 的相反数是（　　） A. 3 B. ﹣3 C. D. 2. 下列等式中，是一元一次方程的是（ ）． A. B. C. D. 3. 64的平方根是（ ）． A. B. C. 8 D. 32 4. 本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．“滨滨”和“妮妮”的原型是2023年9月出生于黑龙江东北虎林园的两只可爱的小东北虎，“滨滨”名字取自“哈尔滨”，“妮妮”取自“您”的读音，两个名字寓意“哈尔滨欢迎您”．如图，通过平移吉祥物，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各数，，π，，中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）． A B. C. D. 7. 利用等式性质，下列变形正确的是（ ）． A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 8. 一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，所做的A部件与B部件正好配套成若干台仪器．设用x立方米钢材制作A部件，则下面所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为a，根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积，下列代数式正确的是（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共93分） 二、填空题（每小题3分，共计27分） 10. 联合国2022年11月15日宣布，全世界人口已达80亿．将8000000000用科学记数法表示为__________． 11 计算：________． 12. 有一长方体纸盒，当体积是一个定值时，长方体纸盒的底面积与高成_____比例关系．（填“正”或“反”） 13. 如图，O是直线上一点，，则________． 14. 把89转换二进制数为________． 15. A，B，C是数轴上三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是________， 16. 如图是学校400米的标准跑道，需要设计400米跑的起跑线．最内圈的跑道是“第一跑道”，若要使得每个运动员到达同一终点线，则第二跑道比第一跑道需前移________米．（π取3.14） 17. 《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五：人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱：若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为人，根据题意，可列方程为________． 18. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律.第n个图案中有__个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示) 三、解答题（其中19-23题各6分，24-25各8分，26-27题各10分，共计66分） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： （1） （2） 21. 先化简，再求值 ，其中，． 22. 完成下面的证明． 如图，，．求证：． 证明：， （________）． 又， ________． （________）． 23. 中国结，作为中国传统的民间手工艺品，承载了丰富的文化内涵和美好寓意，同时也体现了中国人民的情致和智慧．编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20米．已知编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米．问这两种中国结各编织多少个． 24. 如图，点D，E分别在三角形的边，上，连接，，点F在上，连接，其中． （1）求证：； （2）若，，求证：． 25. 定义：若无理数的被开方数（N为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为________； （2）若整数x，y满足关系式：，求的“共同体区间”． 26. 随着水资源的浪费越来越严重，近几年大力促进水资源节约，某市居民用水实行阶梯水价，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，实施细则如下表： 某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米） 收费方式 年用水量（单位：立方米） 费用（单位：元/立方米） 第一阶梯 4.5 第二阶梯 6 第三阶梯 8 若某户居民去年用水量为260立方米，则其应缴纳水费为（元）． （1）若小亮家年用水量为立方米，则小亮家应交水费________元（用含a的代数式表示）； （2）若小亮家年水费为930元，则小亮家年用水量为多少立方米？ （3）小亮家去年和今年共用水480立方米，共缴纳水费2810元，并且今年的用水量超过去年的用水量，则小亮家去年和今年各用水多少立方米？ 27. 【探究发现】 如图1，，点A在，之间，连接，．求证：． 【学以致用】 哈尔滨某商场地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图2所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆升起到如图3所示的位置，其示意图如图4所示（，，栏杆宽度忽略不计），已知，填空：________度． 【拓展应用】 如图5，已知，点E在上，点A在，之间，交于点D，过点A作于点B，平分，平分，若，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $