精品解析：山东省莱阳市2024-2025学年度（五四学制）八年级1月期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末学业水平检测 初三数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 一、卷面书写（本题满分3分） 二、选择题（本题共10个小题，满分30分）每小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 如图所示食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 小明准备完成题目：解方程．发现分母的位置“”处印刷不清，查阅答案后得知这个方程的解是，请你帮助小明推断印刷不清的位置可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6. 如果是的一个因式，则m的值是（ ） A. B. 6 C. D. 8 7. 某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住名学生，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若一组数据2，4，6，8，x的方差比另一组数据1，3，5，7，9的方差大，则x的值可能是（ ） A. 12 B. 10 C. 2 D. 0 9. 如图，点 为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）；（2）的值不变；（3）四边形 的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1． 10. 如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ） A. 2或秒 B. 秒 C. 或秒 D. 秒 三、填空题（本题共6个小题，满分18分） 11. 多项式与多项式的公因式是______________． 12. 若为整数，则使的值为整数的有__________个． 13. 某快递员一周投放快递物品件数为：有3天是20件，有1天是31件，有3天是35件，则本周的日平均投递物品件数为__________． 14. 已知，满足，则的值为__________． 15. 如图，，两点的坐标分别为，，线段绕原点按顺时针方向旋转后，点的对应点是点，则点的对应点的坐标是__________． 16. 在中，点E为的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为______ ． 四、解答题（本题共8个小题，满分69分） 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 18. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，并直接写出点的对应点的坐标； （2）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，并直接写出点的对应点的坐标； （3）将绕某一点旋转可以得到，请画出旋转中心，并直接写出旋转中心的坐标； （4）在轴上找一点，使的值最小，并直接写出点的坐标． 19. 先化简再求值： （1），其中； （2），其中． 20. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． （1）观察图形，把多项式进行因式分解； （2）若这张大长方形纸板的周长为，图中空白部分的面积为，求图中阴影部分的面积． 21. 如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点． （1）求证：； （2）连接，为的中点，连接．若，求的长． 22. 如图，在中，、分别平分、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点E作，垂足为F．若的周长为28，，求 23. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 9 乙 丙 8 根据以上信息，完成下列问题： （1）求出，，的值； （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由： （3）在比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，直接写出与a的大小关系． 24. 某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 （1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元． ①请分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末学业水平检测 初三数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 一、卷面书写（本题满分3分） 二、选择题（本题共10个小题，满分30分）每小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 如图所示食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A．该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D．该图既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 2. 下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式结构是解题的关键．根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各项分析判断后即可得到答案． 【详解】解：A、，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，可写成，9可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、，可写成，可写成，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意； 故选：D． 3. 如图所示，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，掌握三角形外角和的性质是解题的关键． 如图所示，连接，由三角形外角的性质可知：，然后由三角形内角和定理得出，再由四边形的内角和公式可求得答案． 【详解】解：如图，连接， 根据图象可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 小明准备完成题目：解方程．发现分母的位置“”处印刷不清，查阅答案后得知这个方程的解是，请你帮助小明推断印刷不清的位置可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，设印刷不清的位置的式子为，把代入分式方程计算确定出即可． 【详解】解：设印刷不清的位置的式子为，即， 把代入得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为， ∵， ∴，，，， ∴推断印刷不清的位置可能是． 故选：A． 5. 已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据众数和中位数的定义，确定数据中的各个数值，再计算平均数，即可求解． 【详解】解：∵一组正整数，5，，，8有唯一众数1， ∴1出现次数至少两次， ∵中位数是3， ∴排序后第三个数为3， ∴将数据从小到大排列为1，1，3，5，8， ∴总和为，平均数为， 故选：B． 6. 如果是的一个因式，则m的值是（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系．设，然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与的对应项的系数相同，据此即可求得a，m的值． 【详解】解：设， 整理得， 则， 解得：． 故选：A． 7. 某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住名学生，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，根据“工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍”列方程即可． 【详解】解：由原计划每间宿舍住名学生，原来所用房间数为，实际所用房间数为． ∴所列方程为． 故选：C． 8. 若一组数据2，4，6，8，x的方差比另一组数据1，3，5，7，9的方差大，则x的值可能是（ ） A. 12 B. 10 C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数和方差，数据1，3，5，7，9中，每2个数相差2，一组数据2，4，6，8，x前4个数据也是相差2，若或时，两组数据方差相等，故先求出1，3，5，7，9这一组数据的平均数和方差，再根据题意代入另一组数据，求出平均数以及方差看是否满足题意即可． 【详解】解： 1，3，5，7，9这一组数据的平均数为：， 方差为：， ∵2，4，6，8，x这一组数据的方差比另一组数据1，3，5，7，9的方差大， 则有 当时，2，4，6，8，x这一组数据的平均数为：， 满足题意， 故选：A 9. 如图，点 为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）；（2）的值不变；（3）四边形 的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键． （1）如图作于，于，由于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，故（）正确； （2）因为，故（）正确； （3）由三角形全等可知，所以定值，故（）正确； （4），的位置变化，所以的长度是变化的，故（4）错误． 【详解】解：如图，作于E，于F． ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，，故（）正确， ， =定值，故（）正确， 为定值，故（2）正确， ，的位置变化， 的长度是变化的，故（4）错误． 正确的有（1）（2）（3），共3个 故选：B． 10. 如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ） A. 2或秒 B. 秒 C. 或秒 D. 秒 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 三、填空题（本题共6个小题，满分18分） 11. 多项式与多项式的公因式是______________． 【答案】x-2． 【解析】 【分析】分别将多项式ax2-4a与多项式x2-4x+4进行因式分解，再寻找他们的公因式． 【详解】∵ax2-4a=a（x2-4）=a（x+2）（x-2）， x2-4x+4=（x-2）2， ∴多项式ax2-4a与多项式x2-4x+4的公因式是x-2． 【点睛】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式． 12. 若为整数，则使的值为整数的有__________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．先化简分式，然后利用整数的整除性求出的值即可求解． 【详解】解： 要使分式的值为整数，且为整数， ∴，， 又∵， ∴，， ∴符合题意的整数的值共有个． 故答案为：． 13. 某快递员一周投放快递物品件数为：有3天是20件，有1天是31件，有3天是35件，则本周的日平均投递物品件数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了加权平均数，直接利用加权平均数公式计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，本周的日平均投递物品件数为：（件）． 故答案为：． 14. 已知，满足，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．由整理得，同时除以，得到，再对所求式子化简整理，整体代入即可求解． 【详解】解：，则， ，即， ， ，即 ， 故答案为：． 15. 如图，，两点的坐标分别为，，线段绕原点按顺时针方向旋转后，点的对应点是点，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化−−旋转，根据题意画出旋转后的线段即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：∵线段绕原点按顺时针方向旋转后，点的对应点是点， ∴线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段，如图所示： 根据图形可知：点的对应点的坐标是． 故答案为：． 16. 在中，点E为的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，矩形的性质和判定，勾股定理；连接，取中点M，连接，，得出是的中位线，得出，，，，再由得出四边形是矩形，最后通过勾股定理即可求出. 【详解】解：连接，取中点M，连接，，交于点，如图所示， ∵E是中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理：，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 四、解答题（本题共8个小题，满分69分） 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键． （1）先提公因式，然后根据平方差公式可进行因式分解即可； （2）先提公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，并直接写出点的对应点的坐标； （2）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，并直接写出点的对应点的坐标； （3）将绕某一点旋转可以得到，请画出旋转中心，并直接写出旋转中心的坐标； （4）在轴上找一点，使的值最小，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； 点的坐标为； （2） 解：如图，即为所求； 点的坐标为； （3） 解：如图，绕点P旋转可以得到， 点P坐标为； （4） 解：如图，点Q即为所求， 点Q的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、轴对称-最短路线问题、作图-平移变换． （1）根据旋转的性质作图，再看图写出的坐标即可； （2）根据平移的性质作图，再看图写出的坐标即可； （3）连接，，，相交于点P，则绕点P旋转可以得到，即可得出答案； （4）取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点Q，则点Q即为所求，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点Q，连接， 此时为最小值， 则点Q即为所求， ∴点Q的坐标为． 19. 先化简再求值： （1），其中； （2），其中． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算及化简求值； （1）先算括号，再算除法，化简后代入求值即可； （2）先算乘法，再算减法，最后化简后代入求值即可． 【小问1详解】 解： ， 当时，原式； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 20. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． （1）观察图形，把多项式进行因式分解； （2）若这张大长方形纸板的周长为，图中空白部分的面积为，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、因式分解． （1）结合代数式的几何意义因式分解； （2）根据空白部分的面积得到，再由大长方形的周长得到，化简得，，再根据阴影部分的面积为，整体代入求值即可得到阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：由题意得，大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为， ∴为大长方形的面积， ∵大长方形的长为厘米，宽为厘米， ∴大长方形的面积为平方厘米， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵这张大长方形纸板的周长为，空白部分的面积为， ∴，， ∴，， ∴阴影部分的面积为： ， 答：图中阴影部分的面积为． 21. 如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点． （1）求证：； （2）连接，为的中点，连接．若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∴， ， ， 在和中， ，，， ， ； （2）4 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形中位线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据四边形是平行四边形，得到，从而证明，进而得证； （2）根据三角形的中位线，即可求解； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵点为的中点，， 是的中位线， ， ，． 22. 如图，在中，、分别平分、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点E作，垂足为F．若的周长为28，，求 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵、分别平分、， ，， ， ∴， ∴，， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）35 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，由角平分线的定义可得，利用证明可得； （2）过E点作于H，由角平分线的性质可求解，根据平行四边形的性质可求解，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作过E作 交于点H， ∵的周长为28， ， ∵平分，， ∴， ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质，角平分线的定义与性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 23. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 9 乙 丙 8 根据以上信息，完成下列问题： （1）求出，，的值； （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由： （3）在比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，直接写出与a的大小关系． 【答案】（1），， （2）甲 理由如下： 因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲． （3） 【解析】 【分析】本题考查了中位数，平均数，方差，熟练掌握相关定义与意义是解题关键． （1）分别根据中位数、平均数、方差的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据表格中数据，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案； （3）根据方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况进行分析，即可得到答案． 【小问1详解】 解：甲的方差为， ； 由乙得分的条形统计图可知，乙得分的排序为：7、9、9、9、10， 乙得分的中位数为9，即； 由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8， 丙得分的平均数为，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：因为方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况， 所以去掉一个最高分和一个最低分之后，数据的波动变小，方差更小， 因此， 24. 某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 （1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元． ①请分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】（1）燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元 （2）①燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】（1）根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题；②设每年行驶里程为x千米时，由年费用＝年行驶费用+年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：燃油车每千米行驶费用为（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为（元）， 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元； 【小问2详解】 解：①由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴ （元），（元）， 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元； ②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得：， 解得：， 答：当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低． 【点睛】本题考查分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）正确列出代数式；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $