精品解析：陕西省宝鸡市陈仓区2024—2025学年九年级上学期1月期末数学试题

陈仓区2024~2025学年度第一学期九年级期末考试数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，直接利用特殊角的三角函数值作答即可． 【详解】 故选：B． 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形进行求解即可，注意看不到的棱用虚线表示． 【详解】解：该几何体左视图为： 故选：D． 3. 一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（ ） A. 3张 B. 15张 C. 5张 D. 10张 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率及概率的关系和题意可直接列式计算．本题主要考查 已知概率求数量，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在， ∴（张）， 故选：C． 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：D． 5. 如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是（即），河堤的高度为1m，则坡面的长度是（ ） A. 4m B. m C. m D. m 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是明确坡比是坡角的正切值． 根据坡度的定义，求出，然后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵河堤横断面迎水坡的坡比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中 ． 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，连接，若点A的坐标是，点C的坐标是，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，两点间的距离公式，根据四边形为矩形，得，因为点A的坐标是，点C的坐标是，则由勾股定理求得，即可作答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， 即， 故选：A． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号再根据一次函数的性质进行解答． 分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故A错误； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故B错误； C 、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故C错误； D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故D正确． 故选：D． 8. 如图，为的对角线，E是边上一点，连接交于点G，F是边上一点，连接交于点H，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质，可得，从而得到，进而得到，，再由，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 任意写出两个根分别是和2关于x的一元二次方程，你写的是____________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程，即为一元二次方程，据此进行作答即可． 【详解】解：∵两个根分别是和2的关于x的一元二次方程， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 10. 若，则锐角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的正切值，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，为正方形的对角线，延长到E点，使得，以，为邻边作菱形，若菱形的面积为，则正方形的面积为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，把握特殊四边形的性质是解题的关键． 由勾股定理得，则由，求出，即可得到正方形的边长，继而即可求解面积． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴正方形的面积为9， 故答案为：9． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B在反比例函数的图象上，反比例函数的图象与边交于点D，连接，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，正确反比例函数的比例系数k的几何意义，是解题的关键．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知，，再计算，即得答案． 【详解】矩形的顶点B在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的图象与边交于点D， ， 四边形的面积为． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，D、E分别是、边上的两个动点，点G是的中点，连接，，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用构造相似三角形的方法，结合直角三角形的性质、勾股定理以及两点之间线段最短的原理，解题的关键是通过构造相似三角形将转化为，利用直角三角形性质与勾股定理计算边长，依据两点之间线段最短求的最小值. 在中，利用勾股定理算出斜边的长度。再根据直角三角形斜边中线性质，得出，在上取点，使与、与的比值都为，且夹角相等，从而构造出相似三角形和，依据相似三角形性质得到 ，根据两点之间线段最短的原理，当、、三点共线时，其值最小，利用勾股定理算出的长度，即为的最小值。 【详解】在中，，，， ∴． ∵连接，点是中点，， ∴为的中线， ∴． 在上取点，使， 连接， 在和中， ，，且， ∴， ∴，即， ∴， 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，即的长度， 连接，在中，， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，计算绝对值、零次幂，即可求解． 【详解】解：原式 ． ． 15. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配成完全平方式（）的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：两边都加，得： ， 即， 两边开平方，得：， 即或 解得：，． 16. 已知y关于x的反比例函数的表达式为． （1）若反比例函数的图象在第二、四象限内，求m的取值范围； （2）若，当点在反比例函数的图象上，求A点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的图象在第二、四象限内的比例系数为负数，列出不等式求解即可； （2）先写出反比例函数的解析式，再将点代入求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象在第二、四象限， ， 解得； 【小问2详解】 解：， 反比例函数的表达式为， 把点代入，得， A点的坐标为． 17. 如图，为矩形的对角线，点F是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作垂直平分线，相似三角形判定，作的垂直平分线交与点E，交与点F，根据平行线的判定可知，即可得出． 【详解】解：如图所示，点E即为所求．（答案不唯一） 18. 如图，在菱形中，连接，点、分别是、上的点，连接，，，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定；根据菱形的性质可得，，，根据已知，得出，进而证明，根据全等三角形的对应边相等，即可得证． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 小华和小丽节假日期间到宝鸡市进行游玩，小华和小丽各自计划在青铜器博物院、金台观、炎帝祠、西府老街这四个景点中随机挑选一个进行游玩． （1）小华选取炎帝祠游玩的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法，求小华和小丽选取的景点不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式直接计算即可； （）列出表格，根据表格计算即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：小华选取炎帝祠游玩的概率为， 故答案为：； 小问2详解】 解：用分别表示青铜器博物院、金台观、炎帝祠、西府老街，列表如下： 小丽 小华 由表可知，共有种等可能的结果数，其中小华和小丽选取的景点不同的结果数为种， ∴小华和小丽选取的景点不同的概率为． 20. 如图，在中，，点是边上一点，过点作，垂足为，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值并准确计算是解题的关键．根据得出，进而根据勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 21. 尊老爱幼是中华民族的传统美德，菜商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要达到平均每天1280元，销售单价应降低多少元？ 【答案】销售单价应降低2元或6元 【解析】 【分析】设销售单价应降低x元，根据商店销售这款商品的利润要达到平均每天1280元列一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设销售单价应降低x元， 根据题意，得（25-15-x）（80+•20）=1280， 整理得：x2-8x+12=0， 解得x1=2或x2=6， 答：销售单价应降低2元或6元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立一元二次方程是解题的关键． 22. 如图，为的对角线，平分，交于点E，过点E作，交于点F，，，． （1）求证：是矩形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要查了矩形的判定，勾股定理的逆定理，锐角三角函数： （1）根据勾股定理的逆定理可得，即可求证； （2）利用锐角三角函数可得，从而得到，在和中，分别利用锐角三角函数解答即可． 【小问1详解】 证明：在中，∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是矩形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴． 23. 某数学实践小组的同学把测量某塔作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方案和数据如表： 课题 测量某塔的高度 测量工具 皮尺、标杆、测角仪等 测量方案示意图 说明 如图，在A处放置一个测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪的高度为时，恰好测得点M的仰角为；某一时刻，塔在阳光下的影子为，来回调整标杆的位置，当标杆移动到C处时，标杆影子的顶端与塔影子的顶端恰好重合于点D，此时测得m，．已知标杆的高度为，，，，点D，C，A，N在一条直线上． 请根据上述方案及其数据求出这个塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】这个塔的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点B作于点F，得四边形是矩形，则，再证明，得，解得，即可作答． 【详解】解：过点B作于点F， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴这个塔的高度约． 24. 如图，在中，，点是中点，点在的延长线上，点在边上，连接，，． （1）求证：； （2）当，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定以及三角函数，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质得到，根据外角的性质得到，即可证明相似； （2）连接，利用等腰三角形的性质得到，，由三角函数得，再利用相似三角形的性质即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接， ∵点D是的中点，， ∴，， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴ 25. 乐乐家有一台智能饮水机，接通电源，饮水机自动开始加热，每分钟水温上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温和通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为：，接通电源后，水温和通电时间之间的关系如图所示，回答下列问题： （1）求当时，与之间的函数表达式； （2）某天，乐乐早上点整打开饮水机，乐乐计划将水烧开后，待水温下降到及以下时喝水，求乐乐最早什么时候能喝到不高于的水？ 【答案】（1） （2）乐乐最早在点能喝到不高于的水 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数： （1）利用待定系数法求得函数解析式即可； （2）将数值代入函数解析式即可． 【小问1详解】 当时，设与之间的函数表达式为， 将代入中得：， 解得， 与之间的函数表达式为． 【小问2详解】 把代入中得：， 解得， 乐乐最早在点能喝到不高于的水． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接． 求证： ①； ②； 【实际应用】 （2）如图2，有一块正方形的荒地，点E在边上，是荒地中的一条小路，某村民计划以为边开垦一个正方形的菜地，在菜地的对角线的交点O处修建一口水井，并沿修建一条水渠．若荒地的边长为米，小路长为300米，求水渠的长度．（小路宽度以及水井面积忽略不计） 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）米 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）①先根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定即可得证； ②先根据相似三角形的性质可得，再得出，然后证出，根据相似三角形的性质即可得证； （2）连接，先根据正方形的性质、勾股定理可得，米，从而可得的长，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：①∵在等腰中，， ∴， ∵在等腰中，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ②由（1）①已证：， ∴，即， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵荒地的边长为米，正方形的边长长为300米， ∴米，米，，，， ∴米，米， 米， ∴米，，， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴（米）， 答：水渠的长度为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陈仓区2024~2025学年度第一学期九年级期末考试数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A B. C. D. 3. 一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（ ） A 3张 B. 15张 C. 5张 D. 10张 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 8 5. 如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是（即），河堤的高度为1m，则坡面的长度是（ ） A. 4m B. m C. m D. m 6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，连接，若点A的坐标是，点C的坐标是，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的对角线，E是边上一点，连接交于点G，F是边上一点，连接交于点H，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 任意写出两个根分别是和2的关于x的一元二次方程，你写的是____________．（写出一个即可） 10. 若，则锐角的度数为______． 11. 如图，为正方形的对角线，延长到E点，使得，以，为邻边作菱形，若菱形的面积为，则正方形的面积为______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B在反比例函数的图象上，反比例函数的图象与边交于点D，连接，则四边形的面积为______． 13. 如图，在中，，，，D、E分别是、边上两个动点，点G是的中点，连接，，若，则的最小值为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 用配方法解方程：． 16. 已知y关于x的反比例函数的表达式为． （1）若反比例函数的图象在第二、四象限内，求m的取值范围； （2）若，当点在反比例函数的图象上，求A点的坐标． 17. 如图，为矩形的对角线，点F是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在菱形中，连接，点、分别是、上的点，连接，，，且．求证：． 19. 小华和小丽节假日期间到宝鸡市进行游玩，小华和小丽各自计划青铜器博物院、金台观、炎帝祠、西府老街这四个景点中随机挑选一个进行游玩． （1）小华选取炎帝祠游玩的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法，求小华和小丽选取的景点不同的概率． 20. 如图，在中，，点是边上一点，过点作，垂足为，，，，求的长． 21. 尊老爱幼是中华民族的传统美德，菜商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要达到平均每天1280元，销售单价应降低多少元？ 22. 如图，为的对角线，平分，交于点E，过点E作，交于点F，，，． （1）求证：是矩形； （2）求的长． 23. 某数学实践小组的同学把测量某塔作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方案和数据如表： 课题 测量某塔的高度 测量工具 皮尺、标杆、测角仪等 测量方案示意图 说明 如图，在A处放置一个测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪的高度为时，恰好测得点M的仰角为；某一时刻，塔在阳光下的影子为，来回调整标杆的位置，当标杆移动到C处时，标杆影子的顶端与塔影子的顶端恰好重合于点D，此时测得m，．已知标杆的高度为，，，，点D，C，A，N在一条直线上． 请根据上述方案及其数据求出这个塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 24. 如图，在中，，点是的中点，点在的延长线上，点在边上，连接，，． （1）求证：； （2）当，，求的值． 25. 乐乐家有一台智能饮水机，接通电源，饮水机自动开始加热，每分钟水温上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温和通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为：，接通电源后，水温和通电时间之间的关系如图所示，回答下列问题： （1）求当时，与之间的函数表达式； （2）某天，乐乐早上点整打开饮水机，乐乐计划将水烧开后，待水温下降到及以下时喝水，求乐乐最早什么时候能喝到不高于的水？ 26. 【问题探究】 （1）如图1，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接． 求证： ①； ②； 【实际应用】 （2）如图2，有一块正方形的荒地，点E在边上，是荒地中的一条小路，某村民计划以为边开垦一个正方形的菜地，在菜地的对角线的交点O处修建一口水井，并沿修建一条水渠．若荒地的边长为米，小路长为300米，求水渠的长度．（小路宽度以及水井面积忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $