精品解析：四川省乐山市市中区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

乐山市市中区2024—2025学年度上期期末教学质量调研考试 八年级数学 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．选择题在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. -2 C. ± D. ±2 2. 空气由多种气体混合而成，为了介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是（ ） A. 条形图 B. 折线图 C. 扇形图 D. 直方图 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在的正方形网格中，（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 6. 有下列命题； ①形状相同的两个三角形全等；②有一个角为的等腰三角形是等边三角形； ③全等三角形对应边上的高相等；④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 其中真命题的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 8. 已知的三边长、、满足条件：．那么的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 9. 如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F； ④连接． 若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 10. “杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2024，余数为2023． 上述结论正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 第二部分 非选择题（共120分） 注意事项： 1，考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：______． 12. 如图，数轴上点A对应的数为1，与数轴垂直，，则P所对应的数是______． 13. 若是完全平方式，则________． 14. 如图，已知，请你添加一个条件，使，你添加的条件是______________________（填一个即可）． 15. 观察等式：，，…，若，则______（用含m的代数式表示） 16. 如图，中，，，，点O为内一点，连结． ①边的长为______． ②的最小值为______． 三、本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 因式分解：． 19. 先化简，再求值：，其中，，． 20. 如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，可以在的垂线上取两点、，使，再过点作，使、、在一条直线上，这时测得的的长就是的长，你知道其中的道理吗？请给出你的证明． 21. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且． （1）试说明：； （2）该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 22. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，乐山五中准备组织八年级学生开展研学活动，现随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求学生必须从A、B、C、D四个研学点中选择一个，并将结果绘制成以下两幅尚未完整的统计图．如图，请根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）求选择A研学点的学生人数m； （2）求选择C研学点的学生人数，并补全条形统计图； （3）求扇形统计图中D研学点对应的圆心角度数． 23. 如图，是等边三角形，点、分别是边、上的动点，，与交于点． （1）求证：； （2）当是等腰三角形时，求的度数． 24. 设是关于x的多项式，若方程有一个根为，则．所以多项式必有一个一次因式．例如，多项式，当时，，则必有一个一次因式，那么，，而，所以，，．这种因式分解的方法叫做“试根法”．解决下列问题： （1）请你用“试根法”分解因式： ①； ②； （2）若多项式（m为常数）有一个因式为，求m的值并将此多项式因式分解． 25. 我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，． （1）根据以上变形填空： ①已知，，则______； ②已知，，则______； （2）若，，求的值； （3）如图，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和． 26. 问题1：如图1，在四边形中，，是上一点，，．求证：； 问题2：如图2，在四边形中，，是上一点，，，过点作交的延长线于点，连接． ①求证：；②请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山市市中区2024—2025学年度上期期末教学质量调研考试 八年级数学 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．选择题在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. -2 C. ± D. ±2 【答案】D 【解析】 【详解】根据平方根的定义可得4的平方根是±2． 故答案选D． 2. 空气由多种气体混合而成，为了介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是（ ） A. 条形图 B. 折线图 C. 扇形图 D. 直方图 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了选择合适的统计图，解决本题的关键是熟悉掌握各种统计图的作用与表现形式，难度不大，是一道基础题目．根据扇形统计图的特征，即可求解． 【详解】解：为了介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形图． 故选：C． 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方，积的乘方，掌握相关的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，正确； D．，故不正确； 故选：C． 4. 如图，在的正方形网格中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，如图，利用网格的特点证明，推出，可得． 【详解】解：如图， 由题意知，在和中， ， ， ， ， ， 故选：D． 5. 若，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，将变形为，再将代入，即可求解． 【详解】解：若， 则， 故选B． 6. 有下列命题； ①形状相同的两个三角形全等；②有一个角为的等腰三角形是等边三角形； ③全等三角形对应边上的高相等；④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 其中真命题的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据全等三角形的定义，等边三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，逐项判断即可． 【详解】解：形状相同，大小相等的两个三角形全等，故①是假命题； 等腰三角形有一个角为时，另外两个角也是，因此有一个角为的等腰三角形是等边三角形，故②是真命题； 全等三角形的面积相等，因此对应边上的高相等，故③是真命题； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故④是真命题； 综上可知，真命题的个数是3个， 故选C． 7. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式求面积，由题意得出，表示出，即可得出答案，采用数形结合的思想，正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键． 【详解】解：如图， 大正方形与小正方形的面积之差是8， ， 由图可知： ， 故选B． 8. 已知的三边长、、满足条件：．那么的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，将整式因式分解是解题的关键．将等式左边分解因式可求得或，进而判定三角形的形状． 【详解】解： 或 或， 或，即的形状为等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 9. 如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F； ④连接． 若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，由作图方法可知，平分，垂直平分，由三线合一定理得到，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，平分，垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点F为的中点， ∴， ∴的周长为， 故选；B． 10. “杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2024，余数为2023． 上述结论正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知， 的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即， 故结论①正确； 的计算结果中各项系数的之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论②正确； 当时，， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2024，因此除以2024，余数为，即2023． 故结论④正确； 故选D． 第二部分 非选择题（共120分） 注意事项： 1，考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分解因式，提取公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，数轴上点A对应的数为1，与数轴垂直，，则P所对应的数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，如图，利用勾股定理求出，可得，再根据数轴上两点间距离公式，可得答案． 【详解】解：如图， 点A对应的数为1，点C对应的数为， ， 与数轴垂直，， ， ， P所对应的数是：， 故答案为：． 13. 若是完全平方式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式解答即可． 本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知，请你添加一个条件，使，你添加的条件是______________________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意已知一组边相等，一个公共角相等，再添加一个角相等即可求解． 【详解】解：添加， ∵，,， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 15. 观察等式：，，…，若，则______（用含m的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，幂的乘方的逆运算，由题意可知，将变形为，进而可得，由此可解． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，中，，，，点O为内一点，连结． ①边的长为______． ②的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①由含30度角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出；②将绕B点顺时针旋转60度，得到，证明是等边三角形，推出，当O，C，E，D四点共线时，等号成立，由此可解． 【详解】解：①中，，，， ， ， 故答案为：； ②如图，将绕B点顺时针旋转60度，得到， 由旋转知，，，，， ，， 是等边三角形， ， ，当O，C，E，D四点共线时，等号成立， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是通过旋转构造等边． 三、本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算立方根、算术平方根、绝对值，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 18. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再应用完全平方公式，即可求解，本题考查了因式分解，解题的关键是：熟练应用完全平方公式，进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 19. 先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知整式的乘除运算法则． 先根据整式的乘除运算法则进行化简，再代入、的值计算即可． 【详解】解： 当，时，原式． 20. 如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，可以在的垂线上取两点、，使，再过点作，使、、在一条直线上，这时测得的的长就是的长，你知道其中的道理吗？请给出你的证明． 【答案】 证明：，，       ，               又，， ，                        ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等的判定方法．证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 21. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且． （1）试说明：； （2）该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】（1） 证明：，，， ， 是直角三角形，其中是斜边， ； （2）7200元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，即可说明； （2）过A作于点E，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后求出阴影部分的面积，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过A作于点E， ，，， ， ， ， ， ， （元）， 此块空地全部种植花卉共需花费7200元． 22. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，乐山五中准备组织八年级学生开展研学活动，现随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求学生必须从A、B、C、D四个研学点中选择一个，并将结果绘制成以下两幅尚未完整的统计图．如图，请根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）求选择A研学点的学生人数m； （2）求选择C研学点的学生人数，并补全条形统计图； （3）求扇形统计图中D研学点对应的圆心角度数． 【答案】（1）18 （2）32人，补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用： （1）根据选择B研学点的人数和百分比求出总人数，再乘以选择A研学点的百分比可得m； （2）总人数减去A，B，D的人数，可得选择C研学点的学生人数，再补全条形统计图； （3）选择D研学点的学生人数所占比例乘以360度可得对应的圆心角度数． 【小问1详解】 解：抽取学生总数为：（人） 选择A研学点的学生人数：（人）； 【小问2详解】 解：选择C研学点的学生人数为：（人）； 【小问3详解】 解：， 即扇形统计图中D研学点对应的圆心角度数为． 23. 如图，是等边三角形，点、分别是边、上的动点，，与交于点． （1）求证：； （2）当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）的度数是或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据等边三角形的性质可得：，证明，得到，即可得证； （2）由（1）得：，，设，则，，在中，，，推出，当是等腰三角形时，分两种情况：①，②，列方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：，， 设，则，， 在中，，， ， ， 当是等腰三角形时，分两种情况： ①若，则， ， 解得：， ； ②若，则， 在中，， ， 解得：， ； 综上所述，的度数是或． 24. 设是关于x的多项式，若方程有一个根为，则．所以多项式必有一个一次因式．例如，多项式，当时，，则必有一个一次因式，那么，，而，所以，，．这种因式分解的方法叫做“试根法”．解决下列问题： （1）请你用“试根法”分解因式： ①； ②； （2）若多项式（m为常数）有一个因式为，求m的值并将此多项式因式分解． 【答案】（1）①；② （2）， 【解析】 【分析】本题考查因式分解，多项式乘多项式，理解“试根法”的原理是解题的关键． （1）① 时，，令，参照题干，即可求解；②当时，，令，参照题干，即可求解； （2）令，参照题干，即可求解． 【小问1详解】 解：① 当时，， 则必有一个一次因式， 令， 而， ，， ． ②当时，， 则必有一个一次因式， 令， 而， ，，， ，，， ． 同理，可得， ； 【小问2详解】 解：多项式（m为常数）有一个因式为， 令， 而， ，，，， 解得，，， ， ， 同理，可得， ． 25. 我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，． （1）根据以上变形填空： ①已知，，则______； ②已知，，则______； （2）若，，求的值； （3）如图，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． （1）①根据即可求解；②根据求出，即可求解； （2）根据求出，即可求解； （3）根据题意可得：，四边形为直角梯形，，得到，根据，，求出，进而得到，可求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：①，， ， ， 故答案为：； ②，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ，， ， ； 【小问3详解】 正方形、的边长分别为、， ，，， ，， ，四边形为直角梯形， ， ，， ， ， （负值已舍去）， ． 26. 问题1：如图1，在四边形中，，是上一点，，．求证：； 问题2：如图2，在四边形中，，是上一点，，，过点作交的延长线于点，连接． ①求证：；②请求出的值． 【答案】问题1： 证明：，， ， ，， ， ， ， ， ， ； 问题2： ①证明：，， ， 如图：分别过、作于G，于H， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握全等三角形的性质与判定是解答本题的关键． 问题1：先根据，可得，证明得到，再结合，推出，即可证明结论； 问题2：①分别过、作，，先证明可得，，进而说明，，推出，再证可得，最后根据垂直平分线的性质即可证明结论； ②分别过、作，，由①得：，，推出，，，即可求解． 【详解】问题1：略 问题2： ①略 ②分别过、作于G，于H， 由①得：，， ，，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $