第4单元正比例与反比例知识梳理、例题剖析、考点突破-2024-2025学年数学六年级下册北师大版

第4单元正比例与反比例知识梳理、例题剖析、考点突破 知识梳理 变化的量 生活中存在着大量互相依存的变量，一种量变化，另一种量也随着变化。 正比例的意义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为：=k（一定）。 应用正比例的意义判断两种量是否成正比例 有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例，如被减数与差，正方形的面积与边长等。 正比例的图像是一条直线。 反比例的意义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，反比例的关系式可以表示为：x·y=k（一定）。 判断两个量是不是成反比例 要先想这两个量是不是相关联的量；再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定；最后作出结论。 当两个变量成反比例关系时，所绘成的图像是一条光滑曲线。 一幅图放大或缩小，只有按照相同的比来画，画的图才像。 例题剖析 例题一：变化的量 1．单价一定，总价和（    ）是相关联的量。 A．速度    B．边长       C．数量 【答案】C 【分析】根据总价÷单价＝数量，解答即可。 【详解】由“总价÷单价＝数量”可知：单价一定，总价和数量是相关联的量。 故答案为：C 【点睛】本题是一道基础题，主要考查对相关联量的认识。 2．正方形的边长和周长（    ）。 A．是两个变量 B．不是变量 C．是不相关的两个量 【答案】A 【分析】一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量就是相关联的量。 【详解】如表： 正方形边长变化，周长也随着变化，正方形的边长和周长是两个相关联的变量。 故答案为：A 3．食堂大米的总重量一定，每天吃的大米数和（    ）在发生有规律的变化。 A．吃的天数 B．用水量 C．用的液化气的多少 【答案】A 【详解】根据题意可得，每天吃的大米数×吃的天数=食堂大米的总质量，当食堂大米的总质量一定，每天吃的大米数和吃的天数在发生有规律的变化，每天吃的大米数增加，吃的天数就减少，据此解答. 故答案为A. 例题二：正比例的辨析 1．当梯形的（    ）一定时，梯形的面积与高成正比例。 A．上底 B．下底 C．上、下底之和 【答案】C 【分析】根据梯形的面积公式：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，上底＋下底的和一定，梯形面积与高成正比例。 【详解】由分析可知，梯形的上底和下底的和一定，梯形面积与高成正比例。 故答案选：C 【点睛】本题考查梯形的面积公式和正比例的意义。 2．下列说法错误的是（    ）。 A．圆的周长与直径成正比例B．圆的周长与半径成正比例 C．圆的面积与直径成正比例 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定还是乘积一定；如果比值一定，就成正比例，如果乘积一定，就成反比例，即可解答。 【详解】A．圆的周长＝π×直径，圆的周长÷直径＝π（一定），圆的周长与直径的比值一定，圆的周长与直径成正比例，说法正确； B．圆的周长＝π×2×半径，圆的周长÷2×半径＝π（一定），圆的周长与半径的比值一定，圆的周长与半径成正比例，说法正确； C．圆的面积＝π×（）2，圆的面积＝π×直径2，圆的面积÷直径＝π×直径（不一定），比值不一定，圆的面积与直径成正比例，说法是错误。 故答案选：C 【点睛】本题考查正比例的意义，根据正比例的意义解答问题。 3．下面a与b成正比例的式子是（    ）。 A．b＝a＋5 B．＝b C．a＝2b 【答案】C 【分析】如果一个量为固定不变量，那么另外两个量的数量关系成除法关系就是正比例，乘法关系则为反比例。以此解答。 【详解】（1）b＝a＋5通过推导为5＝b－a，5一定，b和a成减法关系，所以不成比例； （2）＝b通过推导为a＝b÷a，因为a为变量，不一定，所以不成比例； （3）a＝2b通过推导为2＝a÷b，2一定，a和b成除法关系，所以成正比例。 故答案为：C 【点睛】需要学生注意正比例和反比例的判断依据是一个量一定，另外两个量成积或者商的关系。 例题三：反比例的辨析 1．下面m和n成反比例的式子有（    ）个。                   A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫作成正比例的量。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量。 因此，若式子中m和n是两个相关联的量，并且它们的乘积一定，则说明m和n成反比例。 【详解】①3m＝4，m和n没有关联，通过式子无法确定m和n的关系。 ②＝7，m和n的商一定，m和n成正比例。 ③m＋n＝8，当m＝1时，n＝7，当m＝2时，n＝6，当m＝3时，n＝5；m和n的商、积都不是定值，m和n既不成反比例，也不成正比例。 ④＝n，则mn＝7，m和n的积一定，m和n成反比例。 ⑤6mn＝12，则mn＝2，m和n的积一定，m和n成反比例。 m和n成反比例的式子是：＝n、6mn＝12，共2个。 故答案为：C 2．下列各种关系中，成反比例关系的是（    ）。 A．在一定时间里，每分钟生产零件个数和生产零件的总个数 B．长方形的长不变，面积和宽 C．圆锥的体积一定，圆锥的高和圆锥的底面积 D．一捆10米长的彩带，用去的长度与剩下的长度 【答案】C 【分析】两种相关联的量，若两种量的比值一定，两种量成正比例；若两种量的乘积一定，则两种量成反比例，据此逐一分析判断即可。 【详解】由分析可得： A.生产零件的总个数÷每分钟生产零件个数＝生产零件的总时间（一定），由此可知对应的商一定，所以在一定时间里，每分钟生产零件个数和生产零件的总个数成正比例关系； B．长方形的面积÷宽＝长（一定），由此可知对应的商一定，所以长方形的长不变，面积和宽成正比例关系； C．×圆锥底面积×高＝圆锥的体积（一定），由此可知对应的积一定，所以圆锥的体积一定，圆锥的高和圆锥的底面积成反比例； D．用去的长度＋剩下的长度＝10（一定），既不是积一定，也不是商一定，所以一捆10米长的彩带，用去的长度与剩下的长度不成比例； 故答案为：C 3．下面关于正比例和反比例的四个说法，正确的是（    ）。 ①正比例的图象是一条直线    ②一个人的年龄和体重既不成正比例也不成反比例 ③圆锥的底面积一定，它的体积和高成反比例 ④从学校去劳动实践基地的路程一定，已走的路程和剩下的路程不成比例。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，正比例图像是一条经过原点的直线；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。 【详解】①正比例的图象是一条直线，说法正确； ②一个人的年龄和体重既不成正比例也不成反比例，说法正确； ③圆柱的体积÷高＝底面积÷3，圆锥的底面积一定，它的体积和高成正比例，原说法错误； ④已走的路程＋剩下的路程＝总路程，从学校去劳动实践基地的路程一定，已走的路程和剩下的路程不成比例，说法正确。 正确的是①②④。 故答案为：B 例题四：正反比例的应用 1．手冲咖啡通常按照咖啡粉与水2∶25的比例配制而成，现有咖啡粉28克，需加多少克的水？（用比例解答） 【答案】350克 【分析】从题中我们可以知道，手冲咖啡的咖啡粉与水的比值是不变的，也就是咖啡粉与水的量成正比例关系，根据这个比例关系，可以列出比例方程，再根据比例的基本性质以及等式的性质解比例方程。 【详解】解：设需加x克的水。 28∶x＝2∶25 2x＝25×28 2x＝700 x＝700÷2 x＝350 答：需加350克的水。 2．奇思和旗手们去升国旗，早上8时测得旗杆影长12.8米，同时又测得自己影长1.2米，已知奇思的实际身高1.5米，旗杆实际有多高？（用比例解） 【答案】16米 【分析】由身高和影长成正比例可得，奇思的身高∶奇思的影长＝旗杆的高度∶旗杆的影长，据此列比例解答即可。 【详解】解：设旗杆实际有x米高。 x∶12.8＝1.5∶1.2 1.2x＝12.8×1.5 x＝16 答：旗杆实际有16米高。 3．如图是两个互相啮（niè）合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。尝试回答下面的问题。 （1）大齿轮和小齿轮在同一时间内转动时，哪个齿轮转得更快？哪个齿轮转的圈数多？ （2）转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是什么关系？ （3）大齿轮有40个齿，小齿轮有24个齿。如果大齿轮每分转90圈，小齿轮每分转多少圈？ 【答案】（1）小齿轮；小齿轮 （2）反比例关系 （3）150圈 【分析】（1）根据“它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的”，可知小齿轮转得更快，转的圈数也多。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 （3）根据上一题可知，每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】（1）大齿轮和小齿轮在同一时间内转动时，小齿轮转得更快，小齿轮转的圈数多。 （2）每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，所以每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系。 （3）解：设小齿轮每分转圈。 24＝90×40 24＝3600 ＝3600÷24 ＝150 答：小齿轮每分转150圈。 例题五：正反比例的图像 1．科技小组的同学们用自制的皮筋称量物体的质量与皮筋伸长的长度的关系如下表： 所称物体的质量/克 0 200 400 600 800 1000 皮筋伸长的长度/厘米 0 2 4 6 8 10 （1）判断用自制的皮筋称量物体的质量与皮筋伸长的长度是否成正比例？并说明理由。 （2）把上表中用自制的皮筋称量物体的质量与皮筋伸长的长度所对应的点描在方格纸上，再次连接。 （3）如果用这根皮筋称一个物体，皮筋伸长25厘米，这个物体的质量是（    ）千克。 【答案】（1）成正比例； （2）见详解 （3）2.5 【分析】（1）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （2）统计图中，横轴代表自制的皮筋称量物体的质量，纵轴代表皮筋伸长的长度，根据表中所给数据，找到对应点依次连接。 （3）通过（1）判断出的皮筋称量物体的质量与皮筋伸长的长度之间的关系求解，即可解答。 【详解】（1）200÷2＝400÷4＝600÷6＝800÷8＝1000÷10＝100（一定） 答：自制的皮筋称量物体的质量与皮筋伸长的长度的比值一定，自制的皮筋称量物体的质量与皮筋伸长的长度成正比例关系。 （2） （3）25×100＝2500（克） 2500克＝2.5千克 如果用这根皮筋称一个物体，皮筋伸长25厘米，这个物体的质量2.5千克。 2．陕西各地不断提高经济绿色化程度，加快形成绿色发展，一个环保节能型造纸厂生产情况如下表： 时间/天 0 1 2 5 8 10 生产总量/吨 0 80 160 400 640 800 （1）生产总量和时间成什么比例关系？为什么？ （2）在如图中用点表示出相对应的生产总量和时间，再把它们按顺序连起来。 （3）生产720吨纸需要（    ）天；15天可以生产（    ）吨纸。 【答案】（1）成正比例关系，因为生产总量随着时间的增加的增加而增加，并且它们的比值是一定的； （2）见详解 （3）9；1200 【分析】（1），两个变化的量，一个量随着另一个量的变化而变化，并且它们的比值一定，那么这两个量成正比例关系；因为生产总量随着时间的增加的增加而增加，并且它们的比值为80，是一定的，所以生产总量和时间成正比例关系；据此解答。 （2）横坐标表示时间，纵坐标表示生产总量，先描出各点，再依次连接即可； （3）由（1）可知生产总量与时间的比值是80，根据比与除法的关系，即生产总量÷时间＝80，根据除数＝被除数÷商，所以时间＝生产总量÷80，所以720÷80＝9（天）；根据被除数＝商×除数，即80×时间＝生产总量，所以80×15＝1200（吨），据此解答。 【详解】（1） 答：生产总量和时间成正比例关系，因为生产总量随着时间的增加的增加而增加，并且它们的比值是一定的； （2） （3）720÷80＝9（天） 80×15＝1200（吨） 所以生产720吨纸需要9天；15天可以生产1200吨纸。 3．下面的图像表示甲车和乙车行驶的路程和时间的关系。 （1）从图像上看两车行驶的路程和时间成（    ）比例，（    ）车行驶得快。 （2）已知甲、乙两地的距离是900千米。如果甲乙两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，几小时后两车相遇？ 【答案】（1）正；甲；（2）7.5小时 【分析】（1）通过观察可知，速度＝路程÷时间，甲的速度：24÷20＝1.2（千米/分），乙的速度：24÷30＝0.8（千米/分），两车的速度一定，说明两车行驶的路程和时间成正比例，通过比较可知，甲车行驶的比较快。 （2）根据相遇时间＝路程÷速度之和，用900÷（1.2＋0.8）即可求出相遇时间，再把单位换算成小时。 【详解】（1）甲的速度：24÷20＝1.2（千米/分） 乙的速度：24÷30＝0.8（千米/分） 1.2＞0.8 两车行驶的路程和时间成正比例，通过比较可知，甲车行驶的比较快。 （2）900÷（1.2＋0.8） ＝900÷2 ＝450（分钟） 450分钟＝7.5小时 答：7.5小时后两车相遇。 考点突破 一、选择题 1．不蕴含正比例知识的成语有（    ）。 A．立竿见影 B．南腔北调 C．水涨船高 D．日积月累 2．下面各组中的两个量，成反比例关系的是（    ）。 A．一个圆的半径和它的面积 B．看一本书，每天看的页数和看完的天数 C．一个圆的周长和直径 D．买同一种苹果，买的数量与付的金额 3．已知、是两个相关联的量，且都不为0，则下面式子中，、成反比例的是（    ）。 A． B． C． D． 4．如下表，已知a和b成反比例关系，则x表示的数是（    ）。 a 4 2 b 8 x A．16 B．10 C．8 D．4 5．一列火车从甲地开往乙地，10小时行驶了800千米，离乙地还有160千米，照这样行完全程还需要几小时？ 解答此题时，同学们有以下几种方法，其中解答错误的是（    ）。 A．设还需要x小时。＝ B．设还需要x小时。10∶800＝160∶x C．160÷（800÷10） D．10÷（800÷160） 6．下图表示斑马和长颈鹿的奔跑情况，下面说法不符合这个图象的是（    ）。    A．斑马跑12千米用了10分钟 B．长颈鹿奔跑的路程与时间成正比例 C．照这样的速度长颈鹿跑40千米需50分钟 D．斑马比长颈鹿跑得慢 二、填空题 7．，和成( )比例；2＝，和成( )比例。 8．如果a和b是两个相关联的量，且9a＝7b，那么a∶b＝( )（填比值），a和b成( )比例。 9．已知x与y成反比例关系，把下表补充完整。 x 2 3 ( ) 12 ( ) y ( ) 20 6 ( ) 15 10．物流公司要将一批货物运往加工厂，如果要一次把这批货物全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表。 载重量/吨 2.5 3 5 数量/辆 48 40 24 (1)该物流公司车辆的载重量和所需车辆的数量成( )比例。（填“正”或“反”） (2)如果用载重量为4.8吨的卡车来运，一共需要( )辆卡车。 11．下面分别是正方形的周长与边长的变化情况，把表填完整。 边长/cm 1 2 3 ( ) 周长/cm 4 ( ) ( ) ( ) 分析与解答：正方形边长变化，周长也随着变化，但这两个量的比值（商）是一定的：边长÷周长＝( )或周长÷边长＝( )。 12．看图回答问题。 (1)汽车行驶的路程与时间成( )比例。 (2)由图可知，汽车行驶800km需要( )小时。 (3)由图可知，汽车6小时能行驶( )km。 三、判断题 13．三角形的高一定，面积和底成反比例。( ) 14．圆周率一定，直径与周长成正比例。( ) 15．被除数一定，除数和商不会发生变化。( ) 16．每米彩带售价3元，购买米数和总价是两个变化的量。    ( ) 17．一辆汽车以每小时60千米的速度向前行驶，汽车行驶的路程和时间的关系用图象表示是一条射线。( ) 四、解答题 18．给一间房子的地面铺地砖，用边长50厘米的正方形地砖铺，需要30块。如果改用长30厘米、宽25厘米的长方形地砖铺，需要多少块？（用比例解） 19．清晨，两名行人行走在广场的石板路上。根据图中的信息，你能求出左侧行人的影子长度是多少米吗？ 20．下表是李老师在数学周购买奖品时记录的奖品数与总钱数的相关数据。 奖品数/个 50 100 150 200 250 … 总钱数/元 200 400 600 800 1000 … （1）奖品数和总钱数成（    ）比例。 （2）根据表中的数据，在图中描出相对应的点，再连接起来。 21．如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分钟转60圈时，小齿轮每分钟转多少圈？ 22．近年来，我国高速铁路网的迅速发展极大的促进了区域经济的一体化和城市群的联动发展。下表是某列高铁行驶的时间和路程的关系。 时间/分 0 1 2 3 4 5 6 … 路程/km 0 4 8 12 16 20 24 … （1）把上表中的时间和路程所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （2）这列高铁的行驶时间和所行驶的路程成正比例吗？为什么？ （3）估一估，当这列高铁行驶4.5分钟时，行驶了多少千米？ 23．书籍是人类进步的阶梯，让课外书为孩子们打开一扇扇窗，开启一道道门。文明小学在五月中旬开展了“携手经典，浸润和美”的读书节活动。六（1）班的三名同学同读一本书，下表记录了每人每天看的页数和所需时间。 （1）把表格补充完整。 李欢 孙林 董芊宜 每天看的页数 15 20 30 看完所需时间/天 8 （2）三名同学看书的过程中哪个量没变？每天看的页数和看完所需的天数有什么关系？ （3）看了3天后，他们已看的页数和剩下的页数成反比例吗？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断。 【详解】A．立竿见影是影子的长度和物体的高度的比值一定，影长和物体的高度成正比例。 B．南腔北调形容口音不纯，夹杂着各地的方言，没有涉及正比例知识。 C．水涨船高，水越涨，船越高，说明船的增高速度＝实际的高度÷时间，速度不变，实际的高度和时间成正比例。 D．日积月累，积累的速度＝积累的总量÷时间，速度不变，总量和时间成正比例。 所以不蕴含正比例知识的成语有南腔北调。 故答案为：B 2．B 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系； 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用xy＝k（一定）表示。据此逐项分析即可解答。 【详解】A．由圆的面积变形可得，即一个圆的半径的平方和它的面积成正比例关系，不符合题意； B．每天看的页数×看完的天数＝这本数的总页数（一定），故看一本书，每天看的页数和看完的天数成反比例关系，原说法正确； C．由圆的周长变形可得，即一个圆的周长和直径成正比例关系，不符合题意； D．付的金额÷买的数量＝苹果单价（一定），即买同一种苹果，买的数量与付的金额成正比例关系，不符合题意。 故答案为：B 3．C 【分析】两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。 【详解】A．，根据比例的基本性质可得：，比值一定，则m和n成正比例； B．，和一定，m和n不成比例； C．，根据等式的性质可得：，mn＝4，积一定，则m和n成反比例； D．，商一定，m和n成正比例。 故答案为：C 4．A 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果两种量的乘积一定，这两种量就是成反比例的量，据此写出反比例算式，计算即可。 【详解】2x＝4×8 解：2x＝32 2x÷2＝32÷2 x＝16 已知a和b成反比例关系，则x表示的数是16。 故答案为：A 5．B 【分析】根据速度＝路程÷时间，用800÷10即可求出火车的速度，然后根据时间＝路程÷速度，用160÷（800÷10）即可求出行完全程还需要多少小时； 如果列方程解决问题，则设完全程还需要x小时，速度不变，路程和时间成正比例，列比例为：800∶10＝160∶x； 也可以用800÷160求出800千米里面有几个160千米，也就是5个，5个160千米需要花10小时，则用10÷5即可求出160千米需要花多少小时；据此解答。 【详解】根据分析可知，用列算式解答可以是160÷（800÷10）和10÷（800÷160）； 如果用列方程解决问题，设还需要x小时。列方程为：10∶800＝160∶x，也就是＝。 其中解答错误的是：设还需要x小时。10∶800＝160∶x。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了灵活解应用题的方法，掌握正比例的应用是解答本题的关键。 6．D 【分析】根据统计图可知，在10分钟的时候，斑马跑了12千米，A选项据此判断； 长颈鹿的奔跑的路程和时间的商一定，也就是速度一定，可以判断长颈鹿奔跑的路程与时间是否成正比例，B选项据此解答； 根据速度＝路程÷时间，先计算出长颈鹿的速度，再根据路程＝速度×时间，求出长颈鹿50分钟跑的路程，C选项据此判断； 计算出斑马和长颈鹿的速度，再进行比较，即可判断谁跑的快，谁慢，D选项据此解答。 【详解】A．观察统计图可知，斑马跑12千米用了10分钟，原题干说法正确； B．观察图形可知，长颈鹿奔跑的速度不变，根据路程÷时间＝速度（一定），长颈鹿奔跑的路程与时间成正比例，原题干说法正确； C．20÷25×50 ＝0.8×50 ＝40（千米） 照这样的速度长颈鹿跑40千米需50分钟，原题干说法正确； D．斑马速度：24÷20＝1.2（千米） 长颈鹿速度：20÷25＝0.8（千米） 1.2千米＞0.8千米，长颈鹿跑得慢。 原题干说法错误。 下图表示斑马和长颈鹿的奔跑情况，下面说法不符合这个图象的是斑马比长颈鹿跑得慢。    故答案为：D 【点睛】本题考查了对成正比例关系图像的认识，根据图像，按要求找出有用的信息进行计算解答本题。 7． 反 正 【分析】两种相关联的量，若两种量的比值一定，两种量成正比例，若两种量的乘积一定，则两种量成反比例，据此判断即可。 【详解】由分析可得： 已知，则xy＝28（一定），也就是x、y的乘积一定，所以二者成反比例； 已知2＝，则＝2（一定），也就是x、y的比值一定，所以二者成正比例。 综上所述：，和成反比例；2＝，和成正比例。 【点睛】本题考查了对正反比例的辨识问题，想判断两种量是成正比例还是反比例，就看他们是乘积一定还是比值一定。 8． 正 【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，据此可知a和b的比值是多少；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】因为9a＝7b 所以a∶b ＝7∶9 ＝ a和b的比值一定，所以它们成正比例。 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质、正比例的意义和辨识。注意比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。 9． 10 4 30 5 【分析】根据x和y两个量成反比例关系，可知x和y这两个量对应的乘积一定，进而根据乘积一定列出比例，解比例。 【详解】6x＝3×20 解：6x＝60 x＝60÷6 x＝10 15x＝3×20 解：15x＝60 x＝60÷15 x＝4 2y＝3×20 解：2y＝60 y＝60÷2 y＝30 12y＝3×20 解：12y＝60 y＝60÷12 y＝5 x 2 3 10 12 4 y 30 20 6 5 15 【点睛】本题考查反比例的应用，根据x和y这两个量对应的乘积一定，进而根据乘积一定列出比例。 10．(1)反 (2)25 【分析】（1）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （2）用货物的总吨数除以车辆的载重量，即可求出所需车辆的数量。 【详解】（1）48×2.5＝3×40＝5×24＝120（一定） 车辆的载重量×所需车辆的数量＝货物的总吨数（一定），该物流公司车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。 （2）5×24÷4.8 ＝120÷4.5 ＝25（辆） 如果用载重量为4.8吨的卡车来运，一共需要25辆卡车。 【点睛】本题考查正、反比例的意义及辨识方法，同时能运用统计表中提供的信息解决问题。 11． 4 8 12 16 4 【分析】根据成正比例的两个量的关系，判断其比例关系。 【详解】2×4＝8（cm） 3×4＝12（cm） 4×4＝16（cm） 4÷1＝4 8÷2＝4 12÷3＝4 16÷4＝4 如图： 边长/cm 1 2 3 4 周长/cm 4 8 12 16 因为根据成正比例关系的两个量的意义，周长∶边长＝4（一定），正方形的周长与边长成正比例。 据此可得：分析与解答：正方形边长变化，周长也随着变化，但这两个量的比值（商）是一定的：边长÷周长＝或周长÷边长＝4。 【点睛】此题主要考查正方形的特征、周长的计算方法、以及正比例的意义。 12．(1)正 (2)16 (3)300 【分析】（1）取几个时间点的路程，用对应的路程除以时间，观察商是否一定，商一定就是正比例。 （2）用路程800千米除以速度即得需要的时间。 （3）用速度乘所行驶的时间6小时即是路程。 【详解】（1）100÷2＝50（千米） 200÷4＝50（千米） 300÷6＝50（千米） …… 汽车行驶的路程与时间的商一定，成（正）比例。 （2）800÷50＝16（小时） 汽车行驶800km需要（16）小时 （3）6×50＝300（千米） 汽车6小时能行驶（300）千米。 【点睛】判断汽车行驶的路程与时间成正比例还是反比例是解答的关键。看两个相关联的量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 13．× 【分析】三角形的面积＝底面积×高÷2，两边同时÷底面积，进行转化再判断。 【详解】三角形的面积＝底面积×高÷2，两边同时÷底面积，三角形面积÷底面积＝高÷2（一定），是正比例关系，所以原题说法错误。 【点睛】本题考查了辨识正比例和反比例的量，商一定是正比例，积一定是反比例。 14．√ 【详解】略 15．× 【详解】被除数一定，除数会随着商的变化而发生变化。原题说法错误。 故答案为：× 16．√ 【分析】一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量就是相关联的量。 【详解】如表： 每米彩带售价3元不变，购买米数变化，总价也随着变化，购买米数和总价是两个变化的量。 故答案为：√ 17．√ 【详解】这辆汽车每小时行驶的速度是60千米，速度一定，它行驶的路程和时间成正比例，汽车行驶的路程和时间的关系用图像表示是一条射线。 故答案为正确。 18．100块 【分析】根据每块砖的面积×需要的块数＝房子的地面面积（一定）可知：每块砖的面积与需要的块数成反比例关系。设如果改用长30厘米、宽25厘米的长方形地砖铺，需要x块，根据每块砖的面积与需要的块数成反比例关系写出比例求解即可。 【详解】解：设如果改用长30厘米、宽25厘米的长方形地砖铺，需要x块 （30×25）×x＝（50×50）×30 750x＝2500×30 750x＝75000 750x÷750＝75000÷750 x＝100 答：如果改用长30厘米、宽25厘米的长方形地砖铺，需要100块。 19．2.55米 【分析】首先，我们知道两个相似三角形中，对应边之间的比例是相等的。在这个问题中，左1和和左2行人的身高与他们的影子长度之间就形成了这样的比例关系，可列出比例方程为：1.6∶2.4＝1.7∶，计算出结果即可。 【详解】解：设影子长度为米。 1.6∶2.4＝1.7∶ 解：1.6x＝4.08 1.6x÷1.6＝4.08÷1.6 ＝2.55 答：左侧行人的影子长度是2.55米。 20．（1）正 （2）见详解 【分析】（1）两种相关量中相对应的两个数，如果商一定，就成正比例，如果积一定，就成反比例，据此解答即可； （2）据所给数据进行描点连线即可。 【详解】（1）总价÷数量＝单价，观察表中数据可知单价一定，也即总钱数和奖品数的商一定，所以总钱数和奖品数成正比例。 （2）如图所示： 【点睛】本题考查正比例，解答本题的关键是掌握正比例的概念。 21．85圈 【分析】根据“在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的”，即齿数×齿轮转的圈数＝总齿数（一定），积一定，则齿数与齿轮转的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设小齿轮每分钟转圈。 24＝34×60 24＝2040 ＝2040÷24 ＝85 答：小齿轮每分钟转85圈。 22．（1）见详解 （2）成正比例；见详解 （3）18千米 【分析】（1）根据表中的数据，进行描点、然后连线； （2）根据火车行驶路程与相对应的时间，写出比即可，求出比值，根据路程÷时间＝速度（一定），可知这列火车行驶的时间和路程成正比例关系； （3）先求出速度，再根据路程＝速度×时间解答即可。 【详解】（1）如图： （2），比值一定，所以这列火车行驶的时间和路程成正比例。 （3）（千米/分） 路程：4×4.5＝18（千米） 答：行驶了18千米。 23．（1）6；4 （2）总页数；反比例关系 （3）不成；见详解 【分析】（1）三人看的是同一本书。将李欢每天看的页数乘8天，求出书的总页数。将书总页数除以孙林每天看的页数，求出看完需要多少天。同理求出，董芊宜看完这本书需要多少天； （2）看书过程中，书的总页数不变。乘积一定的两个量成反比例关系； （3）乘积一定的两个量成反比例关系，据此分析解题。 【详解】（1）15×8＝120（页） 120÷20＝6（天） 120÷30＝4（天） 填表如下： 李欢 孙林 董芊宜 每天看的页数 15 20 30 看完所需时间/天 8 6 4 （2）每天看的页数×看完需要的天数＝书的总页数（一定） 答：三名同学看书的过程中，书的总页数不变。每天看的页数和看完所需的天数成反比例关系。 （3）答：看了3天后，他们已看的页数和剩下的页数不成反比例。因为已看的页数＋剩下的页数＝书总页数（一定），和是一定的，但积不一定。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$