精品解析： 山东省枣庄市山亭区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末学业质量监测 九年级数学（A卷） 注意事项： 1．本试卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号． 考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 （选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题３分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下． 身高 人数 60 260 550 130 根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（ ） A. 0.32 B. 0.55 C. 0.68 D. 0.87 5. 如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 6. 在直角中，，，，求（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数，点，都在其图象上，下列说法不正确的是（ ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而增大 C 图象经过点 D. 若，则 8. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 9. 设是一元二次方程的两根，则（　　） A. 2 B. C. D. 10 10. 如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而减小 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 12. 若是一元二次方程的一个根，则________. 13. 如图，是等腰直角三角形，，D为边上一点，连接，过点B作，交的延长线于点E．若，则的值为_____． 14. 如图，顶点是正方形网格的格点，则的值为______ 15. 某品牌汽车刹车后行驶距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是，汽车刹车后到停下来前进了_______米． 16. 如图，AB，CD都与轴垂直，垂足分别为B，D，点C在双曲线上．若∠AOC=90°，，，则的值是____． 三、  解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 17. （1）计算 （2）解方程. 18. 如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米． （1）求小明的身高； （2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 19. 在互联网时代，随着信息技术的飞速发展，现在人们去商场购物时，消费的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组的同学们设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了______人； （2）将条形统计图补充完整． （3）在某次的购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 20. 若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 21. 如图，点A 在反比例函数图象上，轴于点B，，． （1）求反比例函数的表达式； （2）若直线垂直平分线段，交于点D，交y轴于点C，交x轴于点E，求线段的长． 22. 每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m． （1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长． （2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由． （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 23. 综合与实践 【问题情境】在学校活动课上，樊老师让同学们探究特殊平行四边形的性质，小明和他的小伙伴们准备了如图1所示的正方形，连接对角线，在上取一点P，连接，延长至点E，连接，交于点F，且． （1）如图1，小明连接了，小伙伴们发现了与之间存在一定的关系，其数量关系为________，位置关系为________． （2）如图2，小明连接了，小伙伴们发现了和之间存在一定的数量关系，请你帮助小明和小伙伴们探究和之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3．小明将正方形改为菱形，当时，请直接写出与之间的数量关系． 24. 如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标； （3）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末学业质量监测 九年级数学（A卷） 注意事项： 1．本试卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号． 考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 （选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题３分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：几何体的主视图为： 故选A． 2. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】∵CE//BD，DE//AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD， ∴OD=OC= AC=2， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8． 故选C． 3. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于的方程没有实数根，判断出，求出的取值范围，再找出符合条件的的值． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得：， 故选项中只有D选项满足， 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零. 4. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下． 身高 人数 60 260 550 130 根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（ ） A. 0.32 B. 0.55 C. 0.68 D. 0.87 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解． 【详解】解：样本中身高不低于170cm的频率， 所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 5. 如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据为的中点，则位似比为，再根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方便可求解． 【详解】∵和是以点为位似中心的位似三角形，为的中点， 面积是3， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选B． 【点睛】本题考查位似比等于相似比，同时面积比是相似比的平方，掌握知识点是关键． 6. 在直角中，，，，求为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出面积及的值． 【详解】解：由，， 得出：， 由勾股定理得出：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的能力，还考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质． 7. 已知反比例函数，点，都在其图象上，下列说法不正确的是（ ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象经过点 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质分别判断各选项即可解答． 【详解】解：反比例函数，点，都在其图象上， A、，图像分布在第二、四象限，正确，故本选项不符合题意； B、，当时，y随x的增大而增大，正确，故本选项不符合题意； C、，则图像经过点，正确，故本选项不符合题意； D、点，都在其图象上但不一定在同一象限，若，则错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握：反例函数，当时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 8. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 9. 设是一元二次方程的两根，则（　　） A. 2 B. C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用根与系数的关系确定出原式的值即可． 【详解】∵是一元二次方程的两根， ∴， ， ∴， 故选：D 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 10. 如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意． 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意． 抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意． 抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意． 故选C 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】根据刻度尺可知． 在中，点D是的中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键． 12. 若是一元二次方程的一个根，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：是一元二次方程一个根， ， 解得， 故答案：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题的关键是熟记一元二次方程的根的概念：使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 13. 如图，是等腰直角三角形，，D为边上一点，连接，过点B作，交的延长线于点E．若，则的值为_____． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】设，则，证明，用k表示即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴可以假设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题． 14. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了格点与勾股定理，锐角三角函数的计算，根据题意，作，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据锐角三角函数的计算即可求解，掌握格点与勾股定理，正弦函数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴根据格点可得，， ∴，即是直角三角形，， ∴在中，， 故答案为： ． 15. 某品牌汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是，汽车刹车后到停下来前进了_______米． 【答案】45 【解析】 【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可． 【详解】解：， ， 时，s取得最大值45， 汽车刹车后到停下来前进了45米， 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了二次函数求最值的问题，根据已知利用配方法得出顶点式是解题关键． 16. 如图，AB，CD都与轴垂直，垂足分别为B，D，点C在双曲线上．若∠AOC=90°，，，则的值是____． 【答案】-4 【解析】 【分析】证明△COD∽△OAB，根据相似三角形的性质求出，然后利用反比例函数系数k的几何意义可得答案． 【详解】解：∵AB⊥x轴，CD⊥x轴， ∴∠ABO＝∠CDO＝90°， ∴∠AOB＋∠OAB＝90°， ∵∠AOC＝90°， ∴∠COD＋∠AOB＝90°， ∴∠COD＝∠OAB， 又∵∠ABO＝∠CDO＝90°， ∴△COD∽△OAB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 故答案为：－4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 三、  解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 17. （1）计算 （2）解方程. 【答案】（1）-6；（2） 【解析】 【分析】（1）首先分别利用负指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，然后计算加减法即可； （2）直接分解因式即可解方程． 【详解】（1）解：原式 （2）解： 或 【点睛】本题分别考查了实数的混合运算及利用因式分解法解一元二次方程，实数的混合运算的关键是熟练掌握实数混合运算的法则，解方程的关键是会进行因式分解． 18. 如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米． （1）求小明的身高； （2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】（1）米 （2）变短了，变短了米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． （1）通过证明，得出，即可解答； （2）通过证明，得出，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即 解得，． 即小明的身高为米． 【小问2详解】 解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴小明的身影变短了，变短了米． 19. 在互联网时代，随着信息技术的飞速发展，现在人们去商场购物时，消费的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组的同学们设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了______人； （2）将条形统计图补充完整． （3）在某次的购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】（1）200 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查的是条形统计图与扇形统计图信息综合，用树状图法求概率． （1）用现金的人数和除以百分比之和可得总人数，即可解决问题； （2）根据（1）的结论，求得用银行卡支付的人数，进而补全统计图，即可求解； （3）画树状图，共有91种等可能结果，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 本次活动调查的总人数为(人)， 故答案为：， 【小问2详解】 用银行卡支付的人数为(人)， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 把“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式分别记为、、， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种， ∴小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的概率为 20. 若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根及解一元二次方程．将代入求得b的值，然后解方程组即可． 【详解】∵是方程有一个根， ∴， ∴ 当时，原方程为， 解得，． ∴，方程的另一个根为． 21. 如图，点A 在反比例函数的图象上，轴于点B，，． （1）求反比例函数的表达式； （2）若直线垂直平分线段，交于点D，交y轴于点C，交x轴于点E，求线段的长． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）由题意可得点A的坐标为，代入，求出的值即可； （2）连接，过点A作于点，由直线为线段的垂直平分线可得，设线段的长为，则，，由勾股定理得，即，求出的值即可． 【小问1详解】 解：轴， ， ∵，， 点A的坐标为， 将代入， 得， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：连接，过点A作于点，如图所示： ∵直线为线段的垂直平分线， ， 设线段的长为，则， 点A的坐标为， ，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：， 线段的长为． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m． （1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长． （2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由． （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 【答案】（1）15m （2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答； （2）根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答． 【小问1详解】 解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m， ∴AB==15（m）， ∴此时云梯AB的长为15m； 【小问2详解】 解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处， 理由：由题意得： DE=BC=2m， ∵AE=19m， ∴AD=AE-DE=19-2=17（m）， 在Rt△ABD中，BD=9m， ∴AB= （m）， ∵m＜20m， ∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 23. 综合与实践 【问题情境】在学校活动课上，樊老师让同学们探究特殊平行四边形的性质，小明和他的小伙伴们准备了如图1所示的正方形，连接对角线，在上取一点P，连接，延长至点E，连接，交于点F，且． （1）如图1，小明连接了，小伙伴们发现了与之间存在一定的关系，其数量关系为________，位置关系为________． （2）如图2，小明连接了，小伙伴们发现了和之间存在一定的数量关系，请你帮助小明和小伙伴们探究和之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3．小明将正方形改为菱形，当时，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1） （2），理由见解析． （3） 【解析】 【分析】（1）可先证，得，进而可得到和的数量关系；根据和的数量关系以及和数量关系，可求得的度数，进而可判断和的位置关系． （2）根据，，即可求得答案． （3）根据，，，结合菱形性质，可求得的度数，进而可求得答案． 【小问1详解】 ∵四边形为正方形， ∴，． 在和中， ∴． ∴，． 又， ∴． ∵， ∴． ∴． 又，， ∴． ∴． ∴． 故答案为： 【小问2详解】 ． 理由如下： 由（1）证明可知，， ∴． ∴． 【小问3详解】 ． 理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，． ∴． 类比（1）的证明过程，可知，， ∴． ∵，， ∴． ． 又， ∴为等边三角形． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质，牢记正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定定理及性质、平行线的性质是解题的关键． 24. 如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标； （3）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3； （2）（﹣，） （3）（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，） 【解析】 【分析】（1）把点A，B代入y＝ax2+bx﹣3即可； （2）设P（x，x2+2x﹣3），求出直线AB的解析，用含x的代数式表示出点E坐标，即可用含x的代数式表示出PE的长度，由函数的思想可求出点P的横坐标，进一步求出其纵坐标； （3）设点Q（-1，a），然后分类讨论利用勾股定理列出关于a的方程求解． 【小问1详解】 解：把A（﹣3，0）和C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3， 得，， 解得，， ∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3； 【小问2详解】 解：设P（x，x2+2x﹣3），直线AB的解析式为y＝kx+b， 由抛物线解析式y＝x2+2x﹣3， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴B（0，﹣3）， 把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝kx+b， 得，， 解得，， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3， ∵PE⊥x轴， ∴E（x，﹣x﹣3）， ∵P在直线AB下方， ∴PE＝﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+， 当x＝﹣时，y＝x2+2x﹣3＝， ∴当PE最大时，P点坐标为（﹣，）； 【小问3详解】 存在，理由如下， ∵x＝﹣＝-1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝-1， 设Q（-1，a）， ∵B（0，-3），A（-3，0）， ①当∠QAB＝90°时，AQ2+AB2＝BQ2， ∴22+a2+32+32＝12+（3+a）2， 解得：a＝2， ∴Q1（-1，2）， ②当∠QBA＝90°时，BQ2+AB2＝AQ2， ∴12+（3+a）2+32+32＝22+a2， 解得：a＝﹣4， ∴Q2（-1，﹣4）， ③当∠AQB＝90°时，BQ2+AQ2＝AB2， ∴12+（3+a）2+22+a2＝32+32， 解得：a1＝或a1＝， ∴Q3（-1，），Q4（-1，）， 综上所述：点Q的坐标是（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，解题的关键是用含有未知数的代数式表达点的坐标和线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$