精品解析：河南省周口市项城市三店乡二中等校2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度上期期末综合测试卷八年级数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 实数在数轴上的对应点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，，点A、B、C分别与D、E、F对应，且点E在上，点B、F、C、D在同一直线上，若，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 小宁同学根据全班同学的血型绘制了如图所示的扇形统计图，该班血型为A型的有20人，那么该班血型为型的人数为（ ） A. 2人 B. 5人 C. 8人 D. 10人 6. 如果，那么m、n的值为（　　） A. B. C. D. ， 7. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A. B. C. D. 8. 若中刚好有 ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且 称作“可爱角”．现有 一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 9. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ） A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 10. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：___________ 12. 设，，则的所有可能的值为_______． 13. 我校初一（1）班对60名学生寒假在家每天做作业的时间进行了统计，并绘制成扇形统计图．发现做作业时间在2～3小时这一组的圆心角为198°，则这一组的频数为__________． 14. 建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______． 15. 如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为______． 三、解答题（共75分） 16. （1）分解因式：； （2）计算：． 17. 先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 18. 图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图： （1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点； （2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点． 19. 如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 20. 如图，某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？ (2)若a＝3，b＝2，请求出绿化面积． 21. 图1表示的是某书店今年1～5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1～5月的营业总额一共是182万元，观察图1、图2，解答下列问题： （1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图． （2）求5月份“党史”类书籍的营业额． （3）请你判断这5个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高，并说明理由． 22. 如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边，连接、． （1）当时，试判断的形状，并说明理由； （2）当是等腰三角形时，求的度数． 23. 在中，． （1）①若为直角，则由勾股定理得．若为锐角，求证：． ②若为钝角，试判断 与 的关系，并证明． （2）若，且是钝角三角形，求第三边的长c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上期期末综合测试卷八年级数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及整式的加减运算可直接进行排除选项． 【详解】解：A、，错误，故不符合题意； B、，正确，故符合题意； C、，错误，故不符合题意； D、，错误，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及整式的加减运算，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及整式的加减运算是解题的关键． 2. 实数在数轴上的对应点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的近似值，再判定它位于哪两个整数之间即可找出其对应点． 【详解】解：∵， ∴， ∴它表示的点应位于2和3之间， 所以对应点是点D， 故选：D． 【点睛】本题考查了对无理数的估值及其在数轴上的表示，解决本题的关键是能正确估出的整数部分，本题较基础，考查了学生的基本功． 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义．熟练掌握定义是关键．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A、是单项式乘多项式的运算，不属于因式分解，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 4. 如图，，点A、B、C分别与D、E、F对应，且点E在上，点B、F、C、D在同一直线上，若，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，，则，由于，则，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选∶B． 5. 小宁同学根据全班同学的血型绘制了如图所示的扇形统计图，该班血型为A型的有20人，那么该班血型为型的人数为（ ） A. 2人 B. 5人 C. 8人 D. 10人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 先求全班总人数，再求型的所占的百分比，即可求解． 【详解】解：∵全班的人数是：（人），型的所占的百分比是：， ∴型血的人数是：（人）． 故选：B． 6. 如果，那么m、n的值为（　　） A. B. C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法及积的乘方运算，熟记幂的运算法则是解本题的关键．根据同底数幂的乘法及积的乘方运算可得再建立简单方程求解即可． 【详解】解： 解得：． 故选A． 7. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得到是的角平分线，根据角平分线的性质，，以及直角三角形锐角互余即可逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 无法证明， 故选：A． 8. 若中刚好有 ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且 称作“可爱角”．现有 一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和为180°且等腰三角形的两个底角相等，再结合题中一个角是另一个角的2倍即可求解． 【详解】解：由题意可知：设这个等腰三角形为△ABC，且， 情况一：当∠B是底角时，则另一底角为∠A，且∠A=∠B=2∠C， 由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°， ∴5∠C=180°，∴∠C=36°，∠A=∠B=72°， 此时可爱角为∠A=72°， 情况二：当∠C是底角，则另一底角为∠A，且∠B=2∠A=2∠C， 由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°， ∴4∠C=180°，即∠C=45°， 此时可爱角为∠A=45°， 故选：C． 【点睛】本题借助三角形内角和考查了新定义题型，关键是读懂题目意思，熟练掌握等腰三角形的两底角相等及三角形内角和为180°． 9. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ） A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度. 【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2， ∴BD2+22=6.25， ∴BD2=2.25， ∵BD＞0， ∴BD=1.5米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键. 10. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确； 根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴平分，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：___________ 【答案】 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【解析】 【分析】本题考查了逆定理的概念，熟练掌握逆定理的概念是解决本题的关键． 逆定理是通过将原定理的条件和结论互换得到的，即“如果点到线段两端的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上”． 【详解】解：原定理表述为“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”， 其逆命题表述为“到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”． 故答案为：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 12. 设，，则的所有可能的值为_______． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题考查平方根及立方根，解题的关键是正确理解平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．根据立方根与平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：， 当时， 当时，， 故答案为：0或． 13. 我校初一（1）班对60名学生寒假在家每天做作业的时间进行了统计，并绘制成扇形统计图．发现做作业时间在2～3小时这一组的圆心角为198°，则这一组的频数为__________． 【答案】33 【解析】 【详解】根据题意得：做作业时间在2～3小时这一组的频数为60× =33， 故答案为33． 14. 建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出与面积，求面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得，，利用已知条件进行多项式的化简即可得出答案． 【详解】如图所示，对需要的交点标注字母： ， ， ， ∴， ， ∵， ∴， 化简得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目考察阴影部分面积的实质是对多项式之间的化简求值，求出各部分阴影面积是题目难点． 15. 如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律是解题的关键．根据题意求出面积标记为的等腰直角三角形的直角边长，得到，同理求出，得出一般规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， 正方形的边长为2， ∴， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， ∴， ， ， ， …… ， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. （1）分解因式：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分解因式与实数的混合运算，掌握因式分解的方法和立方根、绝对值、算术平方根的意义是解决问题的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式，即可将多项式分解因式； （2）利用立方根、绝对值、算术平方根的意义，即可求解． 【详解】解：（1）原式 ， （2）原式 ， 17. 先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 【答案】（1），1 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式、整数的除法法则及合并同类项法则来解决此题即可； （2）根据完全平方公式、平方差公式、整数的除法法则及合并同类项法则来解决此题即可. 【小问1详解】 解：原式 当时,原式 【小问2详解】 解：原式 当, 时，原式 【点睛】此题主要考查完全平方公式、平方差公式、整数的除法法则及合并同类项法则及化简求值，需要灵活运用公式进行解答. 18. 图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图： （1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点； （2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点． 【答案】 （1）如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求． 【解析】 【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形； （2）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题的关键． 19. 如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 【答案】证明：平分， ， ，， ， ， ，即平分， ，， ． 【解析】 【分析】先证明，得到，即平分，因为，，根据角平分线的性质，可得． 【详解】略 20. 如图，某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？ (2)若a＝3，b＝2，请求出绿化面积． 【答案】（1）a2+3ab+b2；（2）31平方米. 【解析】 【分析】（1）绿化面积等于长方形的面积减去中间正方形的面积； （2）将a、b的值代入后即可求得绿化面积； 【详解】解：（1）绿化的面积是（2a+b）（a+b）-a2=2a2+3ab+b2-a2=a2+3ab+b2； （2）当a=3，b=2时，原式=9+3×2×3+4=31平方米． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21. 图1表示的是某书店今年1～5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1～5月的营业总额一共是182万元，观察图1、图2，解答下列问题： （1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图． （2）求5月份“党史”类书籍的营业额． （3）请你判断这5个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高，并说明理由． 【答案】（1）45万元， 补全条形统计图： （2）10.5万元； （3）5月份党史类书籍的营业额最高， 4月份“党史”类书籍的营业额为：（万元）． ∵，且1~3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业总额的百分比都低于4、5月份， ∴5月份“党史”类书籍的营业额最高． 【解析】 【分析】（1）用该书店1～5月的营业总额减去其它4个月的营业总额即可求出该书店4月份的营业总额，进而可补全统计图； （2）用5月份的营业总额乘以折线统计图中其所占百分比即可； （3）结合两个统计图可以发现：在5个月中4、5月份的营业总额最高，且1~3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业总额的百分比都低于4、5月份，故只需比较4、5月份“党史”类书籍的营业额即可． 【详解】解：（1）（万元）， 答：该书店4月份的营业总额为45万元． （2）（万元）． 答：5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元． （3）略 【点睛】本题考查了条形统计图和折线统计图，属于常考题型，读懂图象信息、熟练应用所学知识是解题的关键． 22. 如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边，连接、． （1）当时，试判断的形状，并说明理由； （2）当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1）为直角三角形；理由如下； 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 是直角三角形； （2）为、、 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及等边三角形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）首先根据已知条件可以证明，然后利用全等三角形的性质可以求出的度数，由此即可判定的形状； （2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：，，，， 要使，需， ， ； 要使，需， ， ； 要使，需， ， ， 综上所述，当是等腰三角形时，为、、． 23. 在中，． （1）①若为直角，则由勾股定理得．若为锐角，求证：． ②若为钝角，试判断 与 的关系，并证明． （2）若，且是钝角三角形，求第三边的长c的取值范围． 【答案】（1） 解：①证明：过点作于点，如图1所示， 则． 在中，， 在中，， ， ， 整理得 ． ，， ， ②解：，证明如下： 过点作交的延长线于点，如图2所示， 则， 在中，， 在中，， ， ， 整理得 ， ，， ， （2）第三边的长c的取值范围为或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形三边关系，熟练掌握勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． （1）①过点作于点，如图1所示，在与中，由勾股定理可推出，即可得出结论；②过点作交的延长线于点，如图2所示同法①可得结论； （2）当为钝角时，由（1）②得，即；当为钝角时，由（1）②得，即．即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当为钝角时，由（1）②得， 即； 当为钝角时，由（1）②得， 即． 综上所述，第三边的长的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $