第二单元 长方体的特征及展开图（六个重难点突破）-2024-2025学年五年级下册数学重难点专题突破（北师大版）

第二单元 长方体的特征及展开图 一、长方体的认识及特征 二、长方体棱长的应用 三、正方体的认识及特征 四、正方体棱长的应用 五、长方体的展开图 六、正方体的展开图 知识点1长方体的认识 1、长方体和正方体都是由6个面围成的立体图形。长方体和正方体各部分的名称如下所示： 2、长方体的特点。 （1）长方体有8个顶点、6个面、12条棱； （2）长方体相对的两个面完全相同，6个面都是长方形，特殊情况下，有两个相对的面是正方形； （3）长方体相对的棱长度相等。 3、正方体的特点。 （1）正方体有8个顶点、6个面、12条棱； （2）正方体的6个面完全相同，都是正方形； （3）正方体每条棱的长度都相等。 4、长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 5、正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体因此它是特殊的长方体。 6、利用长方体和正方体的面、棱的特点可以判断一些面是否可以组成长方体或正方体。 重难点一长方体的认识及特征 【典例1】在下面图中选出6个面，使它们组成一个长方体。这6个面分别是( )（填序号）。 【变式1-1】观察一个长方体，从前面和上面看到图形如下图所示。这个长方体底面的面积是( )平方厘米，左面的面积是( )平方厘米。 从前面看：    从上面看： 【变式1-2】看图填空。 长/cm 宽/cm 面积/cm2 上面 左面 后面 【变式1-3】请你在下面的8个面中找出6个面，使它们围成下边右边的长方体。能围成长方体的面是( )。 重难点二长方体棱长的应用 【典例2】用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长( )cm的铁丝。 【变式2-1】陈师傅制作一个长方体灯笼框架，长是20cm，宽是15cm，高是12cm，他制作一个这样的框架至少需要长度是( )cm的木条。 【变式2-2】一个长方体相交于同一顶点的三条棱的长度之和是10cm（如图），一只蚂蚁从点A沿着长方体的棱爬到点B，至少要爬( )cm。 【变式2-3】王老师给同学们准备了一些小棒，数量如图。从中选用部分小棒搭成一个长方体框架（小棒不裁剪），这个长方体框架的棱长总和是( )cm。 重难点三正方体的认识及特征 【典例3】把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体。这个长方体的长是( )分米，宽是( )分米，高是( )分米。 【变式3-1】三种不同长度的小棒分别有8根、12根、8根。请你搭出一个长方体和一个正方体。 图形名称 长/cm 宽/cm 高/cm （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） 【变式3-2】如图的长方体是由棱长为1cm的小正方体摆成的，它的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。 【变式3-3】如图，小华正在用一些同样长的小棒和橡皮泥团搭一个正方体框架，还需要( )个橡皮泥团和( )根小棒才能搭完。 重难点四正方体棱长的应用 【典例4】挂灯笼是中秋节传统习俗之一，是吉瑞祥和的象征。学校开展了“巧手制灯笼，欢喜迎中秋”活动，东东用一根铁丝制作一个棱长为6cm的正方体灯笼框架（铁丝没有剩余），如果想改成长6cm，宽是5cm的长方体，则高是( )cm。 【变式4-1】一个正方体的礼品盒，它的棱长是7dm，在所有的棱上粘上彩带，需要彩带( )dm。 【变式4-2】将4个棱长是10厘米的正方体拼成一个长方体，棱长之和可能减少( )厘米，也可能减少( )厘米。 【变式4-3】张老师用铁丝做了一个长8厘米，宽和高都是5厘米的长方体框架，然后又用同样长的铁丝做了一个正方体框架，正方体的棱长是( )厘米。 知识点2长方体的展开图 1、长方体的展开图是由6个小长方形（特殊情况下有2个正方形）组成的，相对的面完全隔开。 2、正方体的展开图是由6个小正方形组成的，且相对的面也完全隔开。由于剪法不同，正方体和长方体的展开图均有多种。 3、根据长方体和正方体的特点，可以判断长方体和正方体的展开图中哪两个面是相对的。 4、由于长方体并不是每个面都相同，有时可直接根据面的大小来判断(相对的面大小相同)。 重难点五长方体的展开图 【典例5】下左图是一个长方体，右面是它的展开图。展开图中已经标出了上面、左面和后面，在相应的位置标出下面、右面和前面。 【变式5-1】如图是一个长方体的展开图，在图上标出另外三个面。          【变式5-2】下图是一个长方体的展开图，与1号、2号、5号面相对的面各是几号面？ 1号面相对的面是( )号面； 2号面相对的面是( )号面； 5号面相对的面是( )号面。 【变式5-3】下面的图形折叠后，哪些能围成长方体？哪些能围成正方体？ 能围成长方体的图形是( )，能围成正方体的图形是( )。 重难点六正方体的展开图 【典例6】下列图形中哪些是正方体的展开图？是的画“√”，不是的画“×”。可以做一做。    【变式6-1】“礼、乐、射、御、书、数”是古代读书人必须学习的“六艺”。在正方体的6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后如图，与“礼”字相对的是( )字。与“数”字相对的是( )字。 【变式6-2】如图所示，的平面展开图与( )正方体相符合。                    A              B          C          D        E 【变式6-3】2022年5月10日在人民大会堂举行了“庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会”，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平在会上发表重要讲话强调，青春孕育无限希望，青年创造美好明天。下图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，与“望”字相对面上的字是“( )”。 一、填空题 1．下图是一个正方体的展开图，与“疫”相对面上的字是( )。 2．一个长方体的棱长总和是100cm，长是10cm，高是7cm，宽是( )cm。 3．把一根48分米长的铁丝焊接成一个正方体框架（接头处忽略不计），它的棱长是( )分米。 4．长方体灯笼框架（如图），至少需要( )厘米长的木条。 5．张老师用铁丝做了一个长8厘米，宽和高都是5厘米的长方体框架，然后又用同样长的铁丝做了一个正方体框架，正方体的棱长是( )厘米。 6．把一根长24厘米的铁丝焊成一个宽2厘米、高1厘米的长方体框架，这个框架的长是( )厘米。 7．用一根长( )厘米的铁丝正好做一个长6厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体框架。 8．如图一共有( )个小正方体，再添( )个就能组成一个大正方体。 9．如图，三种不同长度的小棒分别有12根、8根、4根，请你搭出3种不同的长方体或正方体，并填写下表。 序号 图形名称 长/ 宽/ 高/ ①     ②     ③     10．下面各展开图中，可以围成长方体的是( )，可以围成正方体的是( )。 二、作图题 11．下面是一张长方形硬纸板，正好分成15个小正方形。请你把它平均分成三份，使每份有5个小正方形相连，且每份都可以折叠成一个无盖的正方体纸盒。 12．下图是一个长方体展开图的四个面，请画出其余的两个面，使它成为完整的长方体展开图。 三、解答题 13．如图是一个长方体盒子。（上、下两面近似认为一致，单位：厘米） （1）这个盒子的上面是什么形状？长和宽各是多少？哪个面和它形状、大小都相同？左侧面呢？ （2）哪个面的长是36厘米、宽是10厘米？ 14．把一个长20厘米，宽15厘米，高18厘米的礼品盒包扎起来（如图）。至少需要包扎带多少厘米？（打结处共长16厘米） 15．李叔叔用一根104厘米的铁丝刚好焊成一个长方体框架，这个长方体框架长12厘米、宽5厘米，它的高是多少厘米？ 16．元宵节，奇思要制作一个底面是边长25cm的正方形，高是40cm的长方体灯笼，至少需要准备多少米的木条来搭这个灯笼框架？ 17．小商店要做一个长210厘米、宽60厘米、高50厘米的玻璃柜台，若给这个玻璃柜台的各边都安上角铁，至少需要多少米的角铁？ 18．收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子，打结时两端各留10厘米长的绳子，妈妈一共用掉了多少米绳子？ 19．如图，一张硬纸板剪下4个边长4厘米的小正方形后，可以做成一个没有盖子的盒子。请你求出剪后的硬纸板的面积？ 20．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，将它展开成平面图形，那么这个平面图形的周长最小是多少？最大是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二单元 长方体的特征及展开图 一、长方体的认识及特征 二、长方体棱长的应用 三、正方体的认识及特征 四、正方体棱长的应用 五、长方体的展开图 六、正方体的展开图 知识点1长方体的认识 1、长方体和正方体都是由6个面围成的立体图形。长方体和正方体各部分的名称如下所示： 2、长方体的特点。 （1）长方体有8个顶点、6个面、12条棱； （2）长方体相对的两个面完全相同，6个面都是长方形，特殊情况下，有两个相对的面是正方形； （3）长方体相对的棱长度相等。 3、正方体的特点。 （1）正方体有8个顶点、6个面、12条棱； （2）正方体的6个面完全相同，都是正方形； （3）正方体每条棱的长度都相等。 4、长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 5、正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体因此它是特殊的长方体。 6、利用长方体和正方体的面、棱的特点可以判断一些面是否可以组成长方体或正方体。 重难点一长方体的认识及特征 【典例1】在下面图中选出6个面，使它们组成一个长方体。这6个面分别是( )（填序号）。 【答案】①③④⑤⑥⑦ 【分析】长方体中：长4条棱相等，宽4条棱相等，高4条棱相等；且长方体对面形状，大小完全一样，这6个面需要两两相等。据此解答。 【解答】②和⑧，找不到与其形状相同的图形，排除。剩下的①和③都是长6厘米，宽4厘米的长方形，形状完全相同；④和⑤都是长8厘米，宽6厘米的长方形，形状完全相同；⑥和⑦都是长8厘米，宽4厘米的长方形，形状完全相同；且它们两两比较，都有相同长度的边，可以拼合在一起，组成长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体。所以这6个面的编号分别是①③④⑤⑥⑦。 【变式1-1】观察一个长方体，从前面和上面看到图形如下图所示。这个长方体底面的面积是( )平方厘米，左面的面积是( )平方厘米。 从前面看：    从上面看： 【答案】6 4 【分析】观察一个长方体，从前面看到的是长方体的长和高，从上面看到的是长方体的长和宽，因此该长方体的长是3厘米，宽是2厘米，高是2厘米；这个长方体底面的面积＝长×宽，左面的面积＝宽×高，代入相应数值计算即可解答。 【解答】3×2＝6（平方厘米） 2×2＝4（平方厘米） 因此这个长方体底面的面积是6平方厘米，左面的面积是4平方厘米。 【变式1-2】看图填空。 长/cm 宽/cm 面积/cm2 上面 左面 后面 【答案】6；4；24； 4；3；12； 6；3；18 【分析】 长方体的特征：长方体有6个面，一般情况下，6个面都是长方形。找出图中长方体的上面、左面、后面的长、宽，根据长方形的面积＝长×高，求出各面的面积，并填入表格中。 【解答】上面：6×4＝24（cm2） 左面：4×3＝12（cm2） 后面：6×3＝18（cm2） 如下表： 长/cm 宽/cm 面积/cm2 上面 6 4 24 左面 4 3 12 后面 6 3 18 【变式1-3】请你在下面的8个面中找出6个面，使它们围成下边右边的长方体。能围成长方体的面是( )。 【答案】②③④⑥⑦⑧ 【分析】 由图可知，长方体的长宽和高分别4厘米，3厘米和2厘米；所以应该是由4厘米和3厘米的面有2个，4厘米和2厘米的面有两个，3厘米和2厘米的面两个，由此选择即可。 【解答】 由分析可得：使它们围成下边右边的长方体。能围成长方体的面是②③④⑥⑦⑧。 重难点二长方体棱长的应用 【典例2】用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长( )cm的铁丝。 【答案】80 【分析】题目中的相交于同一个顶点的三条棱的长度就是长方体的长、宽、高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【解答】 （cm） 用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长80cm的铁丝。 【变式2-1】陈师傅制作一个长方体灯笼框架，长是20cm，宽是15cm，高是12cm，他制作一个这样的框架至少需要长度是( )cm的木条。 【答案】188 【分析】求需要木条的长度，就是求长方体灯笼的棱长总和，根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。 【解答】（20＋15＋12）×4 ＝（35＋12）×4 ＝47×4 ＝188（cm） 陈师傅制作一个长方体灯笼框架，长是20cm，宽是15cm，高是12cm，他制作一个这样的框架至少需要长度是188cm的木条。 【变式2-2】一个长方体相交于同一顶点的三条棱的长度之和是10cm（如图），一只蚂蚁从点A沿着长方体的棱爬到点B，至少要爬( )cm。 【答案】10 【分析】根据题意可知：蚂蚁从A点沿着一个长方体框架的棱爬到B点，至少应爬一个高、一个长、一个宽，10cm就是长方体的长宽高的和，据此即可解答。 【解答】在如图的长方体中，相交于同一顶点的三条棱长之和是10cm，至少要爬10cm。 故答案为：10 【变式2-3】王老师给同学们准备了一些小棒，数量如图。从中选用部分小棒搭成一个长方体框架（小棒不裁剪），这个长方体框架的棱长总和是( )cm。 【答案】52 【分析】长方体有4个长、4个宽和4个高，而8cm长的小棒只有3根，所以做长方体框架时不能用8cm长的小棒，只能用8根4cm长的小棒和4根5cm长的小棒；再根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体框架的棱长总和即可。 【解答】相交于同一个顶点的三条棱分别长4cm、4cm、5cm。 （4＋4＋5）×4 ＝（8＋5）×4 ＝13×4 ＝52（cm） 这个长方体框架的棱长总和是52cm。 重难点三正方体的认识及特征 【典例3】把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体。这个长方体的长是( )分米，宽是( )分米，高是( )分米。 【答案】6 2 2 【分析】 三个小正方体拼成长方体，只有一种拼法，即一字排列；拼成的这个长方体长为（3×2）分米，宽和高则都等于原来小正方体的棱长，据此解答。 【解答】3×2＝6（分米） 1×2＝2（分米） 1×2＝2（分米） 因此把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体。这个长方体的长是6分米，宽是 2分米，高是2分米。 【变式3-1】三种不同长度的小棒分别有8根、12根、8根。请你搭出一个长方体和一个正方体。 图形名称 长/cm 宽/cm 高/cm （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） 【答案】长方体；8；3；3； 正方体；5；5；5 【分析】根据长方体的特征、正方体的特征：长方体的12条棱分3组，每组4条棱的长度相等，特殊情况，当长方体有两个相对的面是正方形时，这个长方体中有8条棱的长度相等，其余4条棱的长度相等；正方体的12条棱长都相等，据此解答。 【解答】选取8根3cm的小棒和4根8cm的小棒，可以搭出一个长方体； 选取12根5cm的小棒，可以搭出一个正方体； 表格如下： 图形名称 长/cm 宽/cm 高/cm 长方体 8 3 3 正方体 5 5 5 【变式3-2】如图的长方体是由棱长为1cm的小正方体摆成的，它的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。 【答案】4 3 2 【分析】由图示可知，一共有24个小正方体组成，长由几个小正方体组成，就是几cm，同理求得长方体的宽和高，据此解答。 【解答】如图的长方体是由棱长为1cm的小正方体摆成的，它的长是4cm。宽是3cm，高是2cm。 【点评】本题考查简单的立体图形拼组知识，结合题意分析解答。 【变式3-3】如图，小华正在用一些同样长的小棒和橡皮泥团搭一个正方体框架，还需要( )个橡皮泥团和( )根小棒才能搭完。 【答案】2 5 【分析】正方体有6个面，8个顶点，12条棱。结合图形可知：橡皮泥团也就是搭建的正方体顶点，小棒就是搭建正方体的棱。观察图形可知：这个框架已经有了6个顶点，也就是还需要橡皮泥团：8－6＝2（个），已经有7条棱，也就是还需要小棒：12－7＝5（根）。据此填空即可。 【解答】需要橡皮泥团：8－6＝2（个），需要小棒：12－7＝5（根） 所以小华正在用一些同样长的小棒和橡皮泥团搭一个正方体框架，还需要2个橡皮泥团和5根小棒才能搭完。 重难点四正方体棱长的应用 【典例4】挂灯笼是中秋节传统习俗之一，是吉瑞祥和的象征。学校开展了“巧手制灯笼，欢喜迎中秋”活动，东东用一根铁丝制作一个棱长为6cm的正方体灯笼框架（铁丝没有剩余），如果想改成长6cm，宽是5cm的长方体，则高是( )cm。 【答案】7 【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式计算即可。 【解答】6×12＝72（cm） 72÷4－6－5 ＝18－6－5 ＝7（cm） 高是7cm。 【变式4-1】一个正方体的礼品盒，它的棱长是7dm，在所有的棱上粘上彩带，需要彩带( )dm。 【答案】84 【分析】正方体有12条棱，并且每条棱的长度相等，所以用“棱长×12”即可求出彩带的长度。 【解答】由分析可知： 12×7＝84（dm） 所以需要彩带84dm。 【点评】本题考查正方体的棱长之和，学生需熟知正方体的特征，以及棱长之和的算法。 【变式4-2】将4个棱长是10厘米的正方体拼成一个长方体，棱长之和可能减少( )厘米，也可能减少( )厘米。 【答案】240 280 【分析】已知把4个完全一样的正方体拼成一个长方体，可以排成一排；也可以是前后2排：前面和后面各两个。先根据正方体的棱长和＝棱长×12，求出原来4个正方体的棱长和，再分两种情况根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，求出拼成的长方体棱长之和，进而计算出差值即可。 【解答】因为：原来4个正方体的棱长和： 10×12×4 ＝120×4 ＝480（厘米） 排成一排的长方体棱长和： （10×4＋10＋10）×4 ＝（40＋10＋10）×4 ＝60×4 ＝240（厘米） 排成两排的长方体棱长和：（10×2＋10×2＋10）×4 ＝（20＋20＋10）×4 ＝50×4 ＝200（厘米） 所以：将4个棱长是10厘米的正方体拼成一个长方体，棱长之和可能减少：480－240＝240（厘米），也可能减少：480－200＝280（厘米）。 【点评】此题主要考查正方体拼组长方体的特征以及棱长之和计算方法，解答关键是求出正方体的棱长，然后根据棱长总和公式解答即可． 【变式4-3】张老师用铁丝做了一个长8厘米，宽和高都是5厘米的长方体框架，然后又用同样长的铁丝做了一个正方体框架，正方体的棱长是( )厘米。 【答案】6 【分析】根据长方体的棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出长方体总棱长，又长方体棱长总和＝正方体棱长总和；再根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，即可解答。 【解答】 ＝（13＋5）×4÷12 （厘米） 【点评】利用长方体棱长总和与正方体棱长总和相等，进行解答。 知识点2长方体的展开图 1、长方体的展开图是由6个小长方形（特殊情况下有2个正方形）组成的，相对的面完全隔开。 2、正方体的展开图是由6个小正方形组成的，且相对的面也完全隔开。由于剪法不同，正方体和长方体的展开图均有多种。 3、根据长方体和正方体的特点，可以判断长方体和正方体的展开图中哪两个面是相对的。 4、由于长方体并不是每个面都相同，有时可直接根据面的大小来判断(相对的面大小相同)。 重难点五长方体的展开图 【典例5】下左图是一个长方体，右面是它的展开图。展开图中已经标出了上面、左面和后面，在相应的位置标出下面、右面和前面。 【答案】见详解 【分析】根据长方体的特征，相对的面完全一样，上面和下面相对，左面和右面相对，前面和后面相对，进行分析。 【解答】 【变式5-1】如图是一个长方体的展开图，在图上标出另外三个面。          【答案】见详解 【分析】根据长方体的特征可知，长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，且相对的面不相邻，据此找出长方体展开图中的另外三个面。 【解答】如图： 【变式5-2】下图是一个长方体的展开图，与1号、2号、5号面相对的面各是几号面？ 1号面相对的面是( )号面； 2号面相对的面是( )号面； 5号面相对的面是( )号面。 【答案】3 4 6 【分析】根据长方体展开图的特征，属于“1－4－1”型结构；折叠成长方体，1号面对3号面；2号面对应4号面；5号面对应6号面，据此解答。 【解答】根据分析可知： 1号面对应的面是3号面； 2号面对应的面是4号面； 5号面对应的面是6号面。 【点评】本题考查长方体展开图的特征，根据长方体展开图的特征进行解答。 【变式5-3】下面的图形折叠后，哪些能围成长方体？哪些能围成正方体？ 能围成长方体的图形是( )，能围成正方体的图形是( )。 【答案】①③ ②④⑥ 【分析】长方体与正方体展开图类似，正方体展开图是由6个相同的正方形组成的，而长方体展开图是由6个长方形组成的（特殊长方体有两个相对面是正方形），对应的长方形相同，然后再根据正方体展开图的11种特征解答即可。 【解答】①和③属于正方体展开图“1－4－1”结构，能围成长方体； ②属于正方体展开图“1－3－2”结构，能围成正方体； ④属于正方体展开图“1－4－1”结构，能围成正方体； ⑤不能围成正方体； ⑥属于正方体展开图“3－3”结构，能围成正方体。 【点评】熟练掌握正方体展开图的各种情况是解答本题的关键。 重难点六正方体的展开图 【典例6】下列图形中哪些是正方体的展开图？是的画“√”，不是的画“×”。可以做一做。    【答案】①√；②√；③√；④× 【分析】正方体展开图如下： （1）“141”型： （2）“231”型： （3）“222”型： （4）“33”型： 据此判断即可。 【解答】 根据分析可得：图形①、图形②、图形③都是“141”型，是正方体的展开图，图形④不是正方体的展开图。 【变式6-1】“礼、乐、射、御、书、数”是古代读书人必须学习的“六艺”。在正方体的6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后如图，与“礼”字相对的是( )字。与“数”字相对的是( )字。 【答案】御 乐 【分析】正方体相对的面不相连；相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面。据此解答。 【解答】通过分析可得：与“射”字相对的字是“书”字；与“礼”字相对的是“御”字；与“数”字相对的是“乐”字。 【变式6-2】如图所示，的平面展开图与( )正方体相符合。                    A              B          C          D        E 【答案】 【分析】 根据正方体展开图知识，结合题意可知，平面展开图围成正方体后，两个黑色的三角拼成正方体一个面的一半，并且这个面与黑色的面相对，另外四个白色的面相邻，据此解答即可。 【解答】 分析可知，的平面展开图与正方体相符合。 【变式6-3】2022年5月10日在人民大会堂举行了“庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会”，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平在会上发表重要讲话强调，青春孕育无限希望，青年创造美好明天。下图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，与“望”字相对面上的字是“( )”。 【答案】青 【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”，汉字“青”与“望”相对，“春”与“育”相对，“孕”与“希”相对。 【解答】如图： 是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，与“望”字相对面上的字是“青”。 【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。 一、填空题 1．下图是一个正方体的展开图，与“疫”相对面上的字是( )。 【答案】同 【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，折成正方体后，“同”与“疫”相对，“呼”与“共”相对，“吸”与“战”相对。 【解答】由分析得， 这个正方体的展开图，与“疫”相对面上的字是“同”。 【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并掌握规律，能快速解答此类题。 2．一个长方体的棱长总和是100cm，长是10cm，高是7cm，宽是( )cm。 【答案】8 【分析】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，高＝棱长总和÷4－长－宽；代入数据，即可解答。 【解答】100÷4－10－7 ＝25－10－7 ＝15－7 ＝8（cm） 【点评】熟练掌握长方体棱长总和公式是解答本题的关键。 3．把一根48分米长的铁丝焊接成一个正方体框架（接头处忽略不计），它的棱长是( )分米。 【答案】4 【分析】根据正方体棱长＝棱长总和÷12，列式计算即可。 【解答】48÷12＝4（分米） 【点评】关键是熟悉正方体特征，正方体有12条棱，所有的棱长度相等。 4．长方体灯笼框架（如图），至少需要( )厘米长的木条。 【答案】400 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，把数据代入公式解答。 【解答】（50＋25＋25）×4 ＝100×4 ＝400（厘米） 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和公式的灵活运用。 5．张老师用铁丝做了一个长8厘米，宽和高都是5厘米的长方体框架，然后又用同样长的铁丝做了一个正方体框架，正方体的棱长是( )厘米。 【答案】6 【分析】根据长方体的棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出长方体总棱长，又长方体棱长总和＝正方体棱长总和；再根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，即可解答。 【解答】 ＝（13＋5）×4÷12 （厘米） 【点评】利用长方体棱长总和与正方体棱长总和相等，进行解答。 6．把一根长24厘米的铁丝焊成一个宽2厘米、高1厘米的长方体框架，这个框架的长是( )厘米。 【答案】3 【分析】根据长方体所有的棱长之和就等于铁丝的长，再依据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，即可求出长方体框架的长。 【解答】 （厘米） 【点评】解答此题的关键是明白，长方体所有的棱长之和就等于铁丝的长。 7．用一根长( )厘米的铁丝正好做一个长6厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体框架。 【答案】56 【分析】根据题意，求铁丝的长度就是求长方体的棱长之和。长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，据此代入数据计算。 【解答】（6＋5＋3）×4 ＝14×4 ＝56（厘米） 【点评】本题考查长方体有关棱长的计算。掌握长方体的棱长之和公式是解题的关键。 8．如图一共有( )个小正方体，再添( )个就能组成一个大正方体。 【答案】3 5 【分析】观察图形可知：一共有3个小正方体； 如上图所示：用同样大小的小正方体拼成一个大正方体，最少要用8个这样的正方体，用8减去3，据此解答即可。 【解答】（个） （个） 图中一共有3个小正方体，再添5个就能组成一个大正方体。 【点评】掌握正方体的特征是解答题目的关键。 9．如图，三种不同长度的小棒分别有12根、8根、4根，请你搭出3种不同的长方体或正方体，并填写下表。 序号 图形名称 长/ 宽/ 高/ ①     ②     ③     【答案】见详解 【分析】长方体的特征：长方体的12条棱分3组，每组4条棱的长度相等，特殊情况，当长方体有两个相对的面是正方形时，这个长方体中有8条棱的长度相等，其余4条棱的长度相等；正方体的特征：正方体的12条棱的长度都相等，据此解答。 【解答】选取12根15cm的小棒，就可以搭成一个正方体。 选取8根10cm的小棒和4根8cm的小棒，就可以搭成一个长方体。 选取4根15cm的小棒、4根10cm的小棒和4根8cm的小棒，就可以搭成一个长方体。 序号 图形名称 长/ 宽/ 高/ ①   正方体 15 15 15     ②        长方体 10 10 8 ③    长方体 15 10 8 （答案不唯一） 10．下面各展开图中，可以围成长方体的是( )，可以围成正方体的是( )。 【答案】⑥ ①⑤ 【分析】根据正方形展开图的特征、长方形展开图的特征进行解答。 【解答】①符合正方体展开图的“1－4－1”型，能围成正方体； ②不符合长方体展开图的特征，不能围成长方体； ③围成几何体时，相交的棱长不相等，不符合长方体展开图的特征，不能围成长方体； ④不符合正方体展开图的特征，不能围成正方体； ⑤符合正方体展开图的“2－2－2”型，能围成正方体； ⑥符合长方体展开图的“1－4－1”型，能围成长方体。 ⑥能围成长方体；①⑤能围成正方体。 【点评】利用长方体展开图和正方体展开图的特征进行解答，关键是熟记展开图的特征。 二、作图题 11．下面是一张长方形硬纸板，正好分成15个小正方形。请你把它平均分成三份，使每份有5个小正方形相连，且每份都可以折叠成一个无盖的正方体纸盒。 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】由5个小正方形折叠成一个无盖的正方体，它的展开图可以是1--4型，（即上下两行，一行四个，一行一个摆放），也可以是1--1--3型，如右图，据此可以来分此硬纸卡。 【解答】 12．下图是一个长方体展开图的四个面，请画出其余的两个面，使它成为完整的长方体展开图。 【答案】见详解 【分析】 根据长方体的特征，相对的面完全一样，给出的四个面可以看作如图，还缺前面和上面，前面和后面相对，上面和下面相对，据此作图。 【解答】 （画法不唯一） 三、解答题 13．如图是一个长方体盒子。（上、下两面近似认为一致，单位：厘米） （1）这个盒子的上面是什么形状？长和宽各是多少？哪个面和它形状、大小都相同？左侧面呢？ （2）哪个面的长是36厘米、宽是10厘米？ 【答案】（1）长方形；长36厘米；宽28厘米；下面；右侧面 （2）前面和后面 【分析】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，分别是上下面、前后面和左右面。一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 【解答】（1）这个盒子的上面是长方形，长是36厘米，宽是28厘米。下面和它形状、大小都相同。左侧面和右侧面的形状、大小都相同。 （2）前面和后面的长是36厘米、宽是10厘米。 14．把一个长20厘米，宽15厘米，高18厘米的礼品盒包扎起来（如图）。至少需要包扎带多少厘米？（打结处共长16厘米） 【答案】218厘米 【分析】根据长方体的特征，12条棱分成互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相等；由图可知，是求这个长方体的2条长棱，6条宽棱，4条高棱的长度和，再加上打节处长16厘米；由此解答。 【解答】20×2＋15×6＋18×4＋16 ＝40＋90＋72＋16 ＝218（厘米） 答：至少需要包扎带218厘米。 【点评】此题主要根据长方体棱的特征解决问题，注意按顺序数出几条棱的数量，做到不重不漏。 15．李叔叔用一根104厘米的铁丝刚好焊成一个长方体框架，这个长方体框架长12厘米、宽5厘米，它的高是多少厘米？ 【答案】9厘米 【分析】用一根104厘米的铁丝刚好焊成一个长方体框架，这个长方体框架的棱长总和就是104厘米；长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用棱长总和除以4减去长和宽，即可求出长方体的高，据此求解即可。 【解答】104÷4－12－5 ＝26－12－5 ＝9（厘米） 答：它的高应是9厘米。 【点评】此题主要考查了学生运用长方体的棱长总和公式解题的能力。 16．元宵节，奇思要制作一个底面是边长25cm的正方形，高是40cm的长方体灯笼，至少需要准备多少米的木条来搭这个灯笼框架？ 【答案】3.6米 【分析】根据“长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4”，即可求出至少需要准备多少米的木条来搭这个灯笼框架。 【解答】（25＋25＋40）×4 ＝90×4 ＝360（厘米） 360厘米＝3.6米 答：至少需要准备3.6米的木条来搭这个灯笼框架。 【点评】解答本题关键是熟练运用长方体的棱长和公式。注意单位的转化。 17．小商店要做一个长210厘米、宽60厘米、高50厘米的玻璃柜台，若给这个玻璃柜台的各边都安上角铁，至少需要多少米的角铁？ 【答案】12.8米 【分析】要在柜台的各边都安上角铁，实际是求长方体的棱长总和，根据“棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”，代入数据求出需要角铁的长度，再统一单位即可。 【解答】（210＋60＋50）×4 ＝320×4 ＝1280（厘米） 1280厘米＝12.8米 答：至少需要12.8米的角铁。 【点评】此题的解题关键是灵活运用长方体的棱长总和公式来求解。 18．收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子，打结时两端各留10厘米长的绳子，妈妈一共用掉了多少米绳子？ 【答案】1.62米 【分析】在计算捆一圈的长度时，需要考虑到杂志的长、宽、高，分别计算出两个长、两个宽和四个高的长度，再相加得到总长度。然后，再加上打结时两端预留的绳子长度，即可得到妈妈一共用掉的绳子长度。最后，将长度单位从厘米转换为米。 【解答】2×26＋2×21＋4×12 ＝52＋42＋48 ＝142（厘米） 142＋10×2 ＝142＋20 ＝162（厘米） 162厘米＝1.62米 答：妈妈一共用掉了1.62米绳子。 19．如图，一张硬纸板剪下4个边长4厘米的小正方形后，可以做成一个没有盖子的盒子。请你求出剪后的硬纸板的面积？ 【答案】456平方厘米 【分析】由题意可知，剪后的硬纸板的面积＝原长方形面积－4×小正方形面积，将数值代入长方形面积计算公式求值即可。 【解答】26×20－4×4×4 ＝520－64 ＝456（cm2） 答：剪后的硬纸板的面积是456平方厘米。 【点评】此题主要考查了学生动手操作的能力，在计算不规则图形的面积时，一般都会把它转化成几个规则图形的面积之和或差，再利用规则图形的面积公式进行解答。 20．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，将它展开成平面图形，那么这个平面图形的周长最小是多少？最大是多少？ 【答案】最小22厘米；最大34厘米 【分析】如图1所示，要使周长最小，尽量剪开高与宽，剪1条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫色），4条高1厘米（绿色），那么周长最小是（3×1＋2×2＋1×4）×2厘米； 如图2所示，要使周长最大，尽量剪开长与宽，剪4条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫色），1条高1厘米（绿色），那么周长最大是（3×4＋2×2＋1×1）×2厘米。 【解答】 周长最小： （3×1＋2×2＋1×4）×2 ＝（3＋4＋4）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） 周长最大： （3×4＋2×2＋1×1）×2 ＝（12＋4＋1）×2 ＝17×2 ＝34（厘米） 答：这个平面图形的周长最小是22厘米，最大是34厘米。 【点评】把长方体纸盒剪开后展开，需剪开它的七条棱才可能展开成平面图。关键看剪的方法，要是平面图周长最小，剪开的7条棱的长度要尽量小；要使平面图周长最大，剪开的7条棱的长度就要尽量的大。 学科网（北京）股份有限公司 $$